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Demostracion leibniziana de las formulas numericas.

Despues de que uno se haya convencido de la inconmovilidad de una roca por los vanos intentos de moverla, puede uno preguntar ademas que la sostiene con tanta seguridad. *

FREGE

[seccion] 1. Encontrar, elaborar y exponer el autentico metodo de todo el saber constituye uno de los ejes centrales en torno al cual gira buena parte de los principales problemas y las discusiones sistematicas mas relevantes que dan forma y caracter distintivo a toda la filosofia moderna. Este metodo general debia responder naturalmente al tipo de conocimiento considerado eminente. Hobbes, Descartes, Spinoza, Leibniz, Wolff y muchos otros pensadores de primera linea compartieron un ideal comun de conocimiento al que todo saber debia ajustarse, para lo cual tenia que alcanzar la claridad, universalidad, necesidad y certeza apodictica que solo la matematica pareceria ofrecer (cfr. L.W. Beck 1993, p. 8). Esto es particularmente claro en el metodo cartesiano. Como su meta es la certeza (certitudo) y el dominio en el que ella reina preferentemente es la matematica, Descartes ve una esencial afinidad entre el verdadero metodo buscado y el metodo ya existente de la matematica, por cuanto la aritmetica y la geometria son las unicas ciencias facticamente disponibles (iam inventa) que se ajustan al ideal matematico de conocimiento, pues adquieren su saber a traves de razones ciertas y evidentes. Puesto que la ciencia misma --para el filosofo frances-- es una y todas sus ramas estan intimamente interconectadas, el metodo debe ser, ademas, uno y universal. (1) Esta vision del conocimiento en su conjunto lleva precisamente a Descartes a imponerse la tarea de refundar la metafisica o la filosofia primera, en cuanto que es en esta ciencia donde todo el cuerpo del saber hunde finalmente sus raices y, por ello mismo, proporciona los principios a todas las restantes ramas del saber. Vemos por eso como Descartes busca, al margen de la tradicion y la historia, refundar la totalidad de la filosofia desde sus cimientos mismos, a efectos de apuntalarla, de una vez por todas, sobre principios absolutamente ciertos y asi hacerla entrar por fin en el camino firme y seguro de la scientia. Para conseguir este cometido el filosofo galo se propone dudar concienzudamente de todo contenido de conocimiento, dispositivo epistemico que hace posible destruir los antiguos fundamentos e instaurar en su lugar genuinos principios, absolutamente indubitables y evidentes. El metodo cartesiano de la duda, en cuanto que persigue ab initio la certeza, al ser aplicado sistematica y universalmente nos ofrece la mayor certeza imaginable, la evidencia irresistible de la existencia del yo pienso. Dubito, cogito, ergo sum hace relucir la certeza de que yo soy, en cuanto sujeto meramente pensante, como un momento de iluminacion racional autoinducido por la duda hiperbolica. Ego sum cogitans (2) es la enunciacion linguistica de la primera verdad del sistema cartesiano y el modelo de toda posible certeza (mensura veritatis), desde la cual Descartes pretende establecer su regla epistemologica principal: Quicquid clare distincteque percipio, verum est. (3) Para el, la verdad tiende a fundirse, de este modo, con la evidencia dada a la conciencia vigilante, pura y atenta, como ciertamente acontece en los razonamientos de los matematicos.

[seccion] 2. Leibniz no fue en ningun caso ajeno a esta senera disputa sobre el verdadero metodo. El critica persistentemente a muchos filosofos anteriores y coetaneos suyos por no poseer una conciencia suficientemente clara del verdadero metodo de la filosofia --asi como de su alcance, significado e implicaciones--, cuyo conocimiento constituye un prerrequisito sine qua non para llevar adelante cualquier empresa cientifica exitosa. (4) Si se atiende, por ejemplo, a las reglas del metodo cartesiano, son tan vagas e imprecisas --piensa Leibniz-- como el precepto de un alquimista (praecepto Chemici): (5) "Sume lo que deba y opere lo que deba y obtendra lo que quiera" (GP IV 329). Algo exactamente similar puede decirse de la duda cartesiana, puesto que, como tantas otras cosas en Descartes --cree Leibniz--, la duda no es sino supercheria para el vulgo (ad populum phalerae), pues, ajuicio del filosofo aleman, el verdadero alcance de la duda metodica no consiste sino en la demostracion de los axiomas no identicos, ya que "si Descartes hubiera querido desarrollar a fondo lo mejor de su precepto, habria debido aplicarse a demostrar los principios de las ciencias [in demonstrandis principiis scientiarum]" (GP IV 355). Tal como acontece en geometria y tambien en aritmetica --donde se dan por supuestas la menor cantidad de cosas--, toda ciencia en forma debe tener la menor cantidad posible de axiomas y no debe aceptarlos, en lo posible, sin demostracion. Es verdad que la ciencia en sus inicios no debe ser refrenada por exceso de celo formal ni por una desmesurada escrupulosidad en sus procedimientos, por cuanto si se hubiese pretendido demostrar todos los axiomas y reducir por completo las demostraciones a conocimientos intuitivos, probablemente no se habria llegado a poseer una ciencia como la geometria (cfr. NE IV 2 [seccion] 8). Sin embargo, cuando el saber ya se ha consolidado en buena medida y ha logrado una suficiente madurez y seguridad en si mismo, es necesario --en aras de su claridad y autocomprension, que redundan, al fin y al cabo, en su propia solidez-- profundizar la inteligencia de sus primeros principios, admitidos en un comienzo sin prueba, por razones extrinsecas a la scientia misma (cfr. NE IV 7 [seccion] 1).

En un pasaje metodologico importante de un escrito titulado Quod Ens Perfectissimum existit, (6) en el que examina el argumento ontologico cartesiano, Leibniz escribe:
   Y no es suficiente que Descartes recurra a la experiencia y que
   alegue que experimenta en si mismo clara y distintamente [in se
   clare distincteque sentiat] algo semejante, pues tal cosa es anular
   la demostracion, no resolverla [abrumpere, non absolvere
   demonstrationem], a menos que se muestre [ostendere] de que modo
   otros pueden acceder tambien a tal experiencia [ad ejusmodi
   experientiam venire]. Pero siempre que en la demostracion alegamos
   experiencias debemos mostrar tambien el modo de realizar una
   experiencia igual [modum ostendere faciendi eandem experientiam],
   si no pretendemos convencer a los demas solo en virtud de nuestra
   autoridad. (GP VII 262)


Leibniz muestra aqui cual es, a su juicio, una de las debilidades mayores de la regla conforme a la cual Descartes pretende fundar la verdad en la percepcion clara y distinta, pues, como se ve, el alcance de la critica leibniziana a la prueba ontologica, contenida en este pasaje, bien puede extenderse a la totalidad del metodo cartesiano en cuanto fundado en la omnipresencia de la evidencia. En efecto, es inapropiado --juzga el filosofo de Leipzig-- intentar basar el conocimiento en la experiencia privada, de dificil acceso publico, si no se proporcionan mecanismos claros y controlables que permitan hacerla comunicable a los demas e inducir, de algun modo estandar, su reproduccion a voluntad. (7)

La orientacion opuesta que sigue el pensamiento de ambos filosofos se revela en el hecho de que parten originariamente de presupuestos distintos. Como ha senalado Belaval, el punto de partida de Descartes son las matematicas y el busca determinar en que basan su certeza los metodos de tal ciencia. El "encuentra que es la intuicion, y que esa intuicion continua [intuition continuee] libera un orden de razones que no aparecia con la logica comun; su logica es una matematica aplicada" (Belaval 1960, p. 38). Leibniz, por el contrario, "no parte de las matematicas, el no llega a ellas sino bastante tarde, convencido de que el secreto de la certeza se encuentra en el formalismo de la Escuela: incluso no vera en las matematicas mas que una promocion de la Logica" (ibid.). (8) Leibniz, en oposicion a Cartesio, no solo permanecio siempre fiel, como matematico, a la gran tradicion clasica, sino que para el la matematica era una rama de la logica (cfr. Cassirer 1943, p. 383). En efecto, se ha sostenido con razon que la idea mas fecunda que Leibniz extrajo de sus estudios de logica aristotelica fue la nocion de prueba formal (cfr. Kneale y Kneale 1962, p. 325). Para el, Aristoteles fue, de hecho, el primero que escribio matematicamente fuera de las matematicas (cfr. GP VII 519), (9) siendo la invencion de la forma de los silogismos "una especie de matematica universal [Mathematique universelle]" (NE IV 17 [seccion] 4). En la medida en que "la ciencia depende de la demostracion" (C 153), no es casual que las reglas tanto de la logica aristotelica como las de los geometras sean para Leibniz superiores a las reglas cartesianas. Sin embargo, el campo entero de la logica tampoco se reduce por ello para el filosofo germano a la silogistica aristotelica, sino que esta representa solo una pequena fraccion de aquella. Como observa Cassirer, "en su 'Characteristica generalis' el habia encontrado y estudiado tipos de argumentacion y razonamiento completamente diferentes de aquellos contenidos en la logica clasica" (Cassirer 1943, pp. 383-384). La logica de Aristoteles simplemente descubrio el organo; la tarea consiste ahora en llevarlo a su perfeccion. A diferencia de Descartes, la actitud critica de Leibniz hacia la logica clasica no es destructiva, sino perfectiva.

Asi, pues, la rigurosidad de la ciencia debe basarse en el caracter formal de sus demostraciones y argumentos, cuyo alcance no esta limitado unicamente a las reglas validas del silogismo, sino que se extiende tambien, por ejemplo, a las reglas usadas en las pruebas de la matematica vulgar, pues "el verdadero metodo [vraye Methode], considerado en toda su extension --afirma el filosofo aleman--, es una cosa en mi opinion completamente desconocida hasta ahora, y no ha sido practicado mas que en las matematicas" (C 153). (10) Toda demostracion, todo argumento en general, debe concluir, en definitiva, por la fuerza de su forma. (11) Ahi radica en gran medida el meollo del metodo. La certeza, el criterio de la verdad, no puede basarse en la evidencia psicologica, subjetiva, inmanejable e incomunicable, sino en las reglas formales que rigen la inferencia logica en general, cuyo sitio fecundo de desarrollo y concrecion se encuentra en el lenguaje escrito. Asi, el lenguaje simbolico de las matematicas tiene el privilegio y la fortuna de ser un lenguaje artificial dirigido ad oculos, esto es, se trata de un lenguaje que "habla" a la vista, en virtud de lo cual se puede convertir en el hilo visible que conduzca el razonamiento, permitiendo que el pensamiento salga de su interioridad al ser obligado, por asi decir, a dejar huellas sensibles suyas en el papel. La potencia y el exito de la matematica provienen, en parte importante, de la indole peculiar de su lenguaje simbolico, hecho en ningun caso ajeno al genio de Leipzig, reconocido e insigne constructor de notaciones matematicas. En tal contexto adquiere plena importancia la creacion de una buena characteristica, a fin de promover el avance y el rigor de la ciencia, del mismo modo que un adecuado sistema notacional puede incrementar notoriamente el poderio del organon matematico. Pues, en tanto que posiblemente no haya pensamiento ni razonamiento que pueda llevarse adelante sin alguna clase de signos (cfr. GP VII 191), la caracteristica nos proporcionaria un filum meditandi mechanicum que nos permitiria introducir y ejecutar el calculus sive operatio per characteres no solo en las cantidades, sino en todo otro razonamiento (cfr. GM IV 461-462). La caracteristica general seria un nuevo instrumento (humanum organi genus novum) que aumentaria el poder de la mente mucho mas que instrumentos como el microscopio o el telescopio han fortalecido los ojos, teniendo en cuenta que la razon es incluso superior a la vista (cfr. GP VII 187). El simbolismo puede ser una herramienta epistemica sin par para el progreso del saber, por lo cual "una buena caracteristica es una de las ayudas mas grandes de que pueda disponer el espiritu humano" (NE IV 7 [seccion] 6). Por tal razon,
   si se pudieran encontrar caracteres o signos apropiados [caracteres
   ou signes propres] para expresar todos nuestros pensamientos tan
   nitida y exactamente como la aritmetica expresa los numeros, o como
   el analisis geometrico expresa las lineas, se podria hacer en todas
   las materias, en cuanto estan sujetas al razonamiento, todo lo que
   se puede hacer en Aritmetica y en Geometria. (C 155)


Gracias a esos caracteres se podria fijar el razonamiento en general tal cual en matematicas (cfr. Couturat 1901, pp. 95-96; Iommi 1999-2000, pp. 98-101). De este modo, como certeramente senala Belaval,
   la caracteristica eliminaria el criterio psicologico y, por
   consiguiente, subjetivo, de la evidencia cartesiana [l'evidence
   cartesienne], al sustituirla por la manipulacion de signos que
   representarian todos nuestros pensamientos para ensenarselos al
   projimo, los fijarian en nosotros para que no los olvidemos mas,
   abreviaria la expresion y permitiria asi ordenar mas facilmente el
   conjunto de una meditacion. (12)


[seccion] 3. Ademas de subrayar la importancia de la prueba formal como elemento central del metodo y la necesidad de demostrar todos los axiomas secundarios o no primarios para afianzar el saber sobre bases monoliticas, es menester hacer mencion, aunque solo sea sucintamente, de la teoria leibniziana (logica) de la verdad, a efectos de precisar aun mas la posicion de Leibniz respecto de la evidencia cartesiana. Me limito a senalar simplemente que Leibniz sustenta una teoria de la verdad que bien podriamos denominar concepcion de la verdad como contencion o inherencia conceptual, en la medida en que la verdad para el reside en la inhesion de los conceptos, (13) documentada simbolicamente en el enunciado. (14) En virtud de la primacia tradicional que tiene la proposicion de la forma 'S es P', que Leibniz continua suscribiendo, el piensa esa concepcion de la verdad como Praedicatum inest subjecto. (15) Ademas, las verdades en general --segun Leibniz-- pueden ser divididas de acuerdo a una doble dicotomia:

(i) Verdades de razon (veritates rationis, verites de raison ou a priori) y verdades de hecho (veritates facti, verites de fait ou a posteriori);

(ii) Verdades demostrables y verdades indemostrables (cfr. Demostracion de las proposiciones primarias, A VI ii 479).

De este modo, las verdades en general pueden ser clasificadas, a saber, en: (1) verdades de razon indemostrables, (2) verdades de razon demostrables, (3) verdades de hecho indemostrables, (4) verdades de hecho demostrables. Toda verdad indemostrable es primitiva y toda verdad demostrable es derivada. Como se ve, esta cuadruple particion se genera de la interseccion de un criterio epistemologico (segun sea la razon o la experiencia la fuente de validez del conocimiento), por un lado, con uno logico (lo que es susceptible de prueba formal), por otro lado. Aqui no se apela a ningun criterio psicologico, como acaece --segun Leibniz-- con la evidencia cartesiana.16 Esta clasificacion de las verdades puede ser expuesta, a modo de resumen, en la siguiente tabla: (17)

                     Verdades de hecho           Verdades de razon

Verdades                Inmediatas             Identicas explicitas
indemostrables         (Inmediacion                (Inmediacion
o primitivas         de sentimiento):               de ideas):
                    Cogito, varia a me                 A = A
                  cogitantur Las primeras       Las primeras luces
                       experiencias

Verdades           Cuya resolucion va al        Identicas virtuales
demostrables      infinito (Conforme a la           Resolubles
o derivadas        teoria leibniziana de      en identicas explicitas
                     la contingencia)


De lo indicado arriba se muestra --y esto es lo que nos interesa recalcar respecto de este punto-- que Leibniz, al establecer una tipologia general de las verdades basada en el significado primario de la verdad y situar dentro de ella el primer principio de los cartesianos --ocupando un "casillero" mas en tal esquema--, relativiza por completo el criterio de la evidencia contenido en el cogito cartesiano y, de este modo, pone en entredicho la pretension de Descartes de hacer de la evidencia irrebatible del ego sum cogitans la norma de toda verdad.

[seccion] 4. El famoso pasaje de los Nuevos ensayos --glosado por pensadores de la talla de Frege y Poincare-- en el cual Teofilo, en representacion de Leibniz, demuestra la formula aritmetica elemental "2 + 2 = 4", es el siguiente:

Digo que os esperaba aqui bien preparado. Supuesto que cuatro significa tres y uno, el que dos y dos son cuatro no constituye una verdad completamente inmediata. Se la puede entonces demostrar y he aqui como:

Definiciones:

1) Dos, es uno y uno.

2) Tres, es dos y uno.

3) Cuatro, es tres y uno.

Axioma: Poniendo cosas iguales una en lugar de la otra, la igualdad se mantiene.

Demostracion:

2 y 2 es 2 y 1 y 1 (por la definicion 1)

2 y 1 y 1 e s 3 y 1 (por la definicion 2)

3 y 1 es 4 (por la definicion 3)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.]

Entonces (por el axioma)

2 y 2 es 4. Lo que habia que demostrar.

En lugar de decir que 2 y 2 es 2 y 1 y 1, podia haber puesto que 2 y 2 es igual a 2 y 1 y 1, y asi con todo lo demas. Pero tambien se puede subentenderlo en todos los pasos, para hacerlo con mas rapidez, y ello en virtud de otro axioma que lleva consigo que una cosa es igual a si misma, o que lo que es lo mismo es igual. (NE IV 7 [seccion] 10)

Para una mejor inteligencia de este pasaje es necesario tener a la vista lo que dice Locke sobre el asunto en el pasaje respectivo del Ensayo y lo que enuncia Filaletes en los Nuevos ensayos en su nombre.

?Que principio --dice Locke-- se requiere para probar que uno y uno son dos, que dos y dos son cuatro, que tres por dos son seis? Lo cual siendo conocido sin ninguna prueba, muestra que o todo conocimiento no depende de ciertas praecognita o maximas generales, llamadas principios; o bien que estos son principios: y si estos han de ser contados como principios, una gran parte de la numeracion sera asi. (E IV 7 [seccion] 10)

Este es un punto que no hay que perder de vista, ya que lo que aqui esta en juego y en disputa es nada menos que el valor y la utilidad del metodo axiomatico-deductivo, que Locke pone expresamente en entredicho al enfocar el problema del conocimiento casi exclusivamente en terminos de una evidencia vaga e imprecisa. (18) De lo alli afirmado se sigue que o bien no hay que aceptar ningun principio o bien es menester admitir infinitos de ellos, en ambos casos en contra de la concepcion axiomatica tradicional del saber. Por lo demas, un poco antes de ese pasaje del Ensayo, Locke sostiene que las proposiciones aritmeticas elementales no requieren prueba, por cuanto "siendo la igualdad de esas ideas tan visible y cierta [visible and certain] para el sin ese o cualquier otro axioma, no necesita ninguna prueba para percibirlo" (E IV 7 [seccion] 10). Siendo las maximas o axiomas proposiciones autoevidentes (self-evident propositions) (cfr. ibid.), proposiciones como "dos y dos son cuatro" son tan evidentes por si mismas como algunos axiomas. Habiendo para el tres tipos de conocimiento: el intuitivo, el demostrativo y el sensitivo (cfr. NE IV 2 [seccion] 14), como es manifiesto por lo dicho, el considera que las proposiciones aritmeticas elementales son conocidas de modo intuitivo. Y, desde luego, "el conocimiento intuitivo [intuitive knowledge] --nos dice Locke-- no requiere ni admite ninguna prueba [proof], ninguna parte suya mas que otra" (E IV 7 [seccion] 19).

Filaletes hace hincapie en el mismo punto tambien en los Nuevos ensayos.

Filaletes.-- Nuestro habil autor dice aqui: Me gustaria preguntar a los que pretenden que todo conocimiento (que no sea de hecho) depende de los principios generales innatos y evidentes por si mismos, ?de que principio precisan para probar que dos y dos es cuatro? Porque se conoce (segun el) la verdad de este tipo de proposiciones sin ayuda de ninguna prueba. ?Que decis al respecto? (NE IV 7 [seccion] 10)

La demostracion de Leibniz, que viene justo a continuacion de este pasaje, es funcional al proposito de refutar la opinion de Locke segun la cual "2 + 2 = 4" es una verdad completamente inmediata (verite tout afait immediate), conocida por intuicion, que no requiere por ello de prueba ni principios mediante los cuales ser probada. Puesto que para Leibniz solo hay dos tipos de indemostrables, en los cuales se resuelve en ultima instancia toda demostracion: "definiciones o ideas" y "proposiciones primitivas, que son identicas" (cfr. GM VII 20), proposiciones como "2 + 2 = 4" requieren de prueba en cuanto verdades de razon derivadas no primitivas. Tratandose de verdades de razon, debemos limitarnos (i) a la evidencia dada en la formacion originaria de los conceptos, a traves de la descomposicion completa de las nociones, y (ii) a la evidencia de la identidad, cuando esta es hecha explicita mediante la demostracion formal, por medio de la transformacion de las formulas, encadenando definiciones, al sustituir unos terminos por otros. Y este procedimiento es legitimado por el axioma introducido por Teofilo: "Poniendo cosas iguales una en lugar de la otra, la igualdad se mantiene", que no es sino expresion de la ley de Leibniz: eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate, aplicada al caso de los numeros, donde lo que se preserva propiamente es la igualdad (de magnitudes).

[seccion] 5. Quiza este sea el momento adecuado para dirigir nuestra atencion a los comentarios de Frege y Poincare sobre la demostracion leibniziana. Me limitare solo a tratar algunos puntos significativos para nuestra discusion. Ninguno de ellos reproduce textualmente el pasaje de Leibniz, aunque ambos introducen modificaciones en el. Poincare considera irrefutable el caracter puramente analitico de la prueba leibniziana (cfr. Poincare 1927, p. 12). Y en ello justamente estriba su debilidad, considera el, en la medida en que la de Leibniz no es una demostracion (demonstration) propiamente dicha, sino una verificacion (verification) (cfr. pp. 12-13). Pero ?que quiere decir Poincare con esta contraposicion?

La verificacion difiere precisamente de la verdadera demostracion [veritable demonstration], porque ella es puramente analitica y porque ella es esteril. Es esteril porque la conclusion no es sino la traduccion de las premisas a un lenguaje distinto. La demostracion verdadera es fecunda al contrario porque la conclusion tiene un sentido mas general que las premisas. (Poincare 1927, p. 13)

En efecto, limitar la matematica a tal proceder --afirma Poincare-- es no hacer de ella una ciencia, ya que "no hay ciencia sino de lo general" (ibid.). La fecundidad de la demostracion matematica ha de residir en la generalidad de la conclusion respecto de las premisas, cuyo fundamento reside en lo que Poincare denomina el principio de induccion completa. Esa generalidad es exactamente lo que se echa en falta en la prueba leibniziana, al no consistir sino en la ejecucion de meras transposiciones linguisticas, de modo que, al fin y al cabo, cada paso de tal demostracion no diria mas que lo mismo de otro modo. !Pero eso es precisamente lo que Leibniz quiere mostrar, en cierto sentido, con su demostracion! Por eso, Teofilo replicaria seguramente a Poincare: "Pareceis haber olvidado como os hice ver mas de una vez que decir uno y dos son tres no es mas que la definicion del termino tres, de manera que decir que uno y dos es igual a tres, es decir que una cosa es igual a si misma" (NE IV 7 [seccion] 10). En este pasaje Leibniz muestra, es cierto, que es posible transitar de la identidad afirmada en la definicion a la igualdad de las expresiones contenidas en ella. Pero lo que hay que destacar es que en la definicion esta puesta la identidad o la igualdad de una cosa consigo misma, como termina aseverando el pasaje citado, o, dicho en otros terminos, ambos lados de la igualdad definicional ("3 =[sub.def] 2 + 1") refieren a lo mismo o son modos simbolicamente diferentes de expresar lo mismo. En la medida en que "toda definicion proporciona una regla de sustitucion" --y justamente reside ahi, "segun la doctrina constante de Leibniz, la funcion esencial de la definicion en la demostracion" (Fichant 1994, p. 180)--, gran parte del peso de la demostracion leibniziana recae en las definiciones mismas de los numeros que el proporciona en ella, puesto que el fundamento de la igualdad se basa en que ambas expresiones simbolicas, distintas entre si, se refieren a una y la misma cosa, al ser descripciones formales diferentes del mismo numero. El tercer termino que oficia aqui, por decirlo asi, de "pivote" es la identidad de referencia que se encuentra en la base de las definiciones, designado por el es. Asi, por ejemplo, cuando se presenta la definicion "dos es uno y uno" lo que se hace no es sino afirmar que la esencia de dos es ser esa determinada multitud de unidades. Ahora bien, como sostiene Leibniz:
   para distinguir mejor la esencia de la definicion hay que
   considerar que de la cosa no existe mas que una esencia, y, sin
   embargo, hay varias definiciones que expresan una misma esencia, al
   modo en que una misma estructura o una misma ciudad pueden ser
   representadas por diferentes escenografias, segun los diferentes
   lados desde los cuales se la mire. (NE III 3 [seccion] 15)


Con todo, los terminos de la definicion tienen un orden irreversible que expresa las relaciones necesarias existentes entre los conceptos. Eso hace que la "identidad definicional" no sea simetrica. En efecto, como apunta Fichant, "en el enunciado definicional mismo, las expresiones identificadas no son permutables: '2' no podria en ningun caso valer como la definicion '1 + 1', porque hay un orden de ideas, donde '1 + 1' exhibe las nociones primitivas y su ley de composicion" (op. cit., p. 182). En las definiciones en cuanto tales, por lo tanto, no esta permitido intercambiar el definiendum por el definiens, lo cual deja entrever que las "meras" transposiciones linguisticas siguen reglas bien determinadas que reflejan un fundamentum in re.

Por lo demas, me parece que Leibniz es plenamente consciente de que las proposiciones aritmeticas entranan en si mismas su propia verificacion o comprobacion mediante la ejecucion de un calculo, como muestra el siguiente pasaje.
   Ahora bien, cual sea la razon por la cual el arte de demostrar no
   se encuentra mas que en las matematicas, no ha sido penetrada hasta
   ahora, porque si se hubiese conocido la causa del mal, hace mucho
   tiempo que se hubiera encontrado tambien el remedio. Esta razon es
   que las matematicas llevan su prueba consigo: porque cuando se me
   presenta un teorema falso, no tengo necesidad de examinarlo ni
   siquiera de saber la demostracion, puesto que descubriria la
   falsedad a posteriori por una experiencia facil, que no cuesta nada
   sino la tinta y el papel, es decir, por el calculo. (C 154; las
   cursivas son mias.)


El calculo (calcul) es considerado aqui como una "prueba" a posteriori, por cuanto se trata de una experiencia facil (experience aisee) (cfr. Iommi 1999-2000, pp. 98-99). En cuanto comprobacion o verificacion, tal calculo no es propiamente una demostracion, aunque la posibilidad siempre presente de realizarlo pone de manifiesto uno de los motivos mas importantes del exito de la matematica, a saber: que esta ciencia, a diferencia de disciplinas como la metafisica, "aporta sus propios controles y comprobaciones" (cfr. GP IV 469). Ahora bien, verificar los razonamientos mediante experiencias (verifier les raisonnements par les experiences) no seria mas que la exhibicion del principio general "encarnado" en ellas o su expresion ectetica. "Es verdad y ya he observado --dice Leibniz en los Nuevos ensayos-- que es tan evidente [evident] decir ecteticamente [ecthetiquement] en particular A es A, que decir en general, se es lo que se es [on est ce qu'on est]" (NE IV 7 [seccion] 2). La ciencia ciertamente aspira siempre a la generalidad de sus enunciados, aunque el principio expresado formalmente con toda generalidad tiene la misma evidencia que una verdad particular (una identidad) en la que tal principio esta incardinado. Esto es justamente lo que afirma el filosofo germano en un pasaje de los Nouveaux Essais:
   Por lo que respecta al axioma de Euclides ["si quitamos cosas
   iguales de cosas iguales el resto sigue siendo igual"], aplicado a
   los dedos de la mano, os concedo que es igual de facil concebir lo
   que decis sobre los dedos que verlo en A y B; pero para no hacer
   constantemente lo mismo, lo representamos en general, y a partir de
   ahi basta con hacer las subsunciones. De lo contrario, es como si
   se prefiriera el calculo con numeros particulares [le calcul en
   nombres particuliers] en lugar de con reglas universales [regles
   universelles]; lo cual seria obtener menos de lo que se puede. (NE
   IV 7 [seccion] 6)


En este sentido, Leibniz distingue un algebra numerica (Algebre numerique) y un algebra especiosa (Algebre specieuse) (cfr. NE IV 7 [seccion] 6). La primera trabaja solo con numerales, cifras o figuras graficas para representar numeros; la segunda opera tambien con letras. La mayor utilidad de esta ultima es la generalidad mayor que es posible alcanzar con ella. Por lo demas, como hace ver el pensador teuton, es una simple convencion tomar las figuras numerales como numeros particulares, por cuanto bien pueden ser ellas mismas consideradas de manera general tal como sucede con las letras (cfr. Couturat 1901, pp. 480-482).19 En alguna medida, el algebra numerica (o aritmetica) es expresion ectetica de un algebra mas general, que esta "corporizada" y yace virtualmente en la primera, esperando, por asi decir, su actualizacion para adoptar una forma explicita. O, dicho de otro modo: el algebra numerica expresa ecteticamente lo que el algebra especiosa expresa general o universalmente.

Ahora dirijamos nuestra atencion a la critica de Frege. Los enunciados aritmeticos para Frege tienen una naturaleza analitica --no sintetica a priori, como pretendia Kant-- y por ello la aritmetica puede ser reducida a la logica. En efecto, la aritmetica es tan solo una logica mas extensamente desarrollada (eine weiter ausgebildete Logik) y cada enunciado aritmetico es una ley logica, aunque deducida de otras primitivas (cfr. Frege 1884, [seccion] 87). Como se puede observar, en oposicion a la opinion hostil de Poincare hacia el planteamiento leibniziano, existe una coincidencia total entre los dos autores germanos respecto de la necesidad de demostrar las proposiciones numericas de una manera logicamente rigurosa. Tal exigencia (Forderung) constituye ciertamente una demanda de la matematica misma, puesto que, como escribe Frege,

las proposiciones fundamentales de la aritmetica [Grundsatze der Arithmetik] deben ser probadas, si ello fuera posible, con el mayor rigor; asi, solo cuando se haya eliminado todo hueco en la cadena deductiva podra decirse con seguridad de que verdades primitivas [Urwahrheiten] depende la prueba. (Frege 1884, [seccion] 4)

De este modo, el caracter analitico de la demostracion leibniziana es para Frege --a diferencia de Poincare--, precisamente, su mayor virtud. Por lo demas, poner de manifiesto que las formulas numericas son verdades analiticas y a priori --ya que solo dependen de definiciones y leyes logicas generales, que no pueden ni necesitan ser demostradas (cfr. Frege 1884, [seccion] 3)-- no es ciertamente una tarea menor si se tiene en cuenta el impresionante desarrollo de los estudios aritmeticos y sus multiples aplicaciones, lo cual ya no permite sostener, desde luego, "el menosprecio, tan ampliamente difundido, hacia los juicios analiticos y el cuento de la esterilidad de la logica pura [Marchen von der Unfruchtbarkeit der reinen Logik]" (Frege 1884, [seccion] 17). Ahora bien, Frege, con Kant, denomina formulas numericas (Zahlformeln) a enunciados como "7 + 5 = 12" o "2 + 3 = 5", las cuales conviene distinguir expresamente de las leyes generales que son validas para todos los numeros enteros, tales como la de asociacion o la de conmutatibidad (cfr. Frege 1884, [seccion] 5). Y es en este punto donde, a pesar de la coincidencia casi total existente entre Leibniz y Frege, este ultimo encuentra una laguna en la prueba leibniziana, a saber: no haber justificado explicitamente el transito entre "2 + (1 + 1)" y "(2 + 1) + 1", fundado en la ley de asociatividad para la adicion, la cual reza de la siguiente manera:

a + (b + c) = (a + b) + c

En efecto, esta ley no esta contenida en las definiciones y los axiomas enunciados por Leibniz (cfr. NE IV 7 [seccion] 10), de modo que el debio haber justificado explicitamente ese paso, pues, segun Frege, Leibniz apela a esa ley tacitamente (cfr. Cobb-Stevens 2006, p. 93). Presuponiendo esta ley, dice Frege, se ve facilmente que se puede probar de esta manera cualquier formula para anadir la unidad a la unidad (Einsundein) (cfr. Frege 1884, [seccion] 6). Esta seria, en consecuencia, la gran deficiencia de la prueba que Leibniz suministra, y Frege proporciona su propia version que, a su entender, la subsana satisfactoriamente. Desde un punto de vista estrictamente formal, la critica fregeana parece ser completamente pertinente. La demostracion --como Leibniz sin duda suscribiria-- debe ser una cadena unitaria e ininterrumpida de proposiciones logicas ensambladas unas con otras sobre la base de leyes logicas y definiciones. Cualquier grieta en el encadenamiento de las verdades amenaza con destruir el valor de la prueba formal, pues, como senala Frege, la demostracion no tiene solamente el proposito de establecer la verdad de una proposicion mas alla de toda duda, sino tambien el de proporcionar una comprension (Einsicht) de la dependencia de las verdades entre si (cfr. Frege 1884, [seccion] 2). He aqui la relevancia para la fundamentacion de la aritmetica del lapsus que Frege cree detectar en la cadena del razonamiento de Leibniz, cuando este transita injustificadamente, en su opinion, de "2 + (1 + 1)" a "(2 + 1) + 1", sin fundamentar tal paso en la ley de asociatividad para la adicion. Asi y todo, la observacion de Frege parece deberse mas a un malentendido de su parte con respecto al proposito especifico que Leibniz persigue en el referido pasaje de los Nuevos ensayos, pues, en lugar de desarrollar una demostracion absolutamente completa, con perfecto rigor formal, el filosofo de Leipzig se propone fundamentalmente socavar la posicion de Locke, segun la cual las formulas numericas son evidentes de suyo y no requieren por ello de prueba alguna, poniendo simplemente en evidencia la falta de fundamento de tal posicion. La prueba leibniziana parece asemejarse, en tal sentido, a un atajo, a una demostracion abreviada, en la cual se omite, por razones de economia y tiempo, colocar absolutamente todos los axiomas empleados, como acontece habitualmente, por lo demas, en el conocimiento humano, segun la doctrina leibniziana constante del pensamiento ciego o simbolico. Esto permitiria explicar el hecho de que Leibniz no explicite, como es debido, la ley de asociatividad para la adicion. Ademas, y en concordancia con lo anterior, Frege parece no entender del todo el significado del simbolismo empleado por Leibniz en tal ocasion. Como sugiere una lectura atenta de la prueba leibniziana, las llaves que Leibniz introduce en su demostracion expresan ecteticamente la asociatividad de la adicion, haciendo uso de ella "operativamente", sin enunciarla formal y expresamente, con lo cual, entonces, la cuestion radica en determinar por que Leibniz ha creido poder eximirse de formular explicitamente tal regla.

Asi, asumiendo y explicitando la ley de asociatividad para la adicion, es posible demostrar cualquier formula numerica, definiendo, como lo hace Leibniz, cada numero a partir del precedente. En efecto, como escribe Frege:

no veo como nos podria ser dado mas adecuadamente un numero como 437986 mas que de la manera leibniziana. Asi, incluso sin tener una representacion [Vorstellung] de el, conseguimos tenerlo, sin embargo, en nuestro poder [Gewalt]. El conjunto infinito de los numeros, a traves de tales definiciones, es reducido al uno y al aumento en uno, y cualquiera de las infinitamente muchas formulas numericas puede ser probada a partir de algunas proposiciones generales. (Frege 1884, [seccion] 6)

De este modo, como lo hace notar Poincare tambien, de acuerdo a las definiciones que Leibniz provee de los numeros enteros o naturales dos, tres y cuatro, se colige que el pensador aleman es de la opinion de que la definicion de un natural cualquiera --suponiendo la definicion de "1" y la funcion u operador sucesor f (n) = n + 1-- esta dada por n' = f (n) = n + 1, donde n' se llama el sucesor de n, de modo tal que los naturales se generan o definen del siguiente modo: 2 = f (1) = 1 + 1; 3 = f (2) = 2 + 1; 4 = f (3) = 3 + 1, y asi sucesivamente. (20) Estas son, segun el pensador germano, las definiciones mas simples de los numeros (cfr. NE IV 2 [seccion] 1). Ahora bien, puntualiza Leibniz:
   Es verdad que en ello [i.e., en las definiciones mas simples de los
   numeros] hay un enunciado implicito [une enonciation cachee], que
   ya he hecho notar, a saber que dichas ideas son posibles: y esto se
   conoce aqui intuitivamente, de manera que se puede decir que en las
   definiciones hay incluido un conocimiento intuitivo cuando su
   posibilidad aparece desde el primer momento. De este modo, todas
   las definiciones adecuadas incluyen verdades primitivas de razon,
   y, por tanto, conocimientos intuitivos. (NE IV 2 [seccion] 1)


En efecto, decir, por ejemplo, que "uno y uno es dos" tiene, desde luego, "de verdadero y evidente el hecho de que es la definicion de una cosa posible" (NE IV 7 [seccion] 6), y lo que se conoce intuitivamente es la posibilidad de aquello que es mentado en la definicion. Por consiguiente, las definiciones mas simples de los numeros revelan que la identidad contenida en ellas no consiste en una identidad formal o nominal, entendiendo por tal una identidad vacia de contenido (lo definido en la definicion), puesto que, como indica Fichant, tal identidad

depende de una concepcion de la aritmetica elemental que se podria caracterizar de "contentual" [contentuelle] (inhaltlich), en el sentido en que se la entiende por oposicion al formalismo: es decir, que las expresiones alli son referidas a un contenido de pensamiento, contenido comprobado por anadidura para Leibniz en una intuicion irreductible. (Fichant 1994, p. 183)

[seccion] 6. Tanto Frege como Poincare concuerdan en el caracter meramente analitico de la prueba leibniziana. Y ello es asi por cuanto Leibniz efectivamente defiende una teoria analitica del razonamiento matematico (cfr. Belaval 1960, p. 138). Con todo, de ello pareceria seguirse, a primera vista, que Leibniz, conforme a todo lo que hemos senalado, suscribiria un formalismo puro, una concepcion de la prueba como mera manipulacion de simbolos vacios. Sin embargo, si se presta mayor atencion, se vera lo errado de esta apreciacion. Ante todo, Leibniz parte de una concepcion de la logica distinta de la que parten autores como Frege y Russell, de modo que el "logicismo" que Leibniz promueve no puede sin mas ser equiparado con el de estos autores sin ulteriores clarificaciones. Es verdad que para Leibniz el formalismo matematico no es mas que una promocion del formalismo de la Escuela, siendo aquel expresion limitada e imperfecta de este. Es cierto tambien que el busca reducir en cierto modo la matematica a la logica, pero la logica para el no puede nivelarse a nuestra logica extensional de relaciones. A pesar de haber realizado algunos desarrollos de la predicacion desde un punto de vista "extensionalista" proponiendo una relacion entre individuos y conjuntos o entre conjuntos, Leibniz, fiel a la tradicion, abraza finalmente una interpretacion "intensionalista" de la predicacion (cfr. Nuchelmans 1998, pp. 121-122). Esta sola indicacion debiese bastar para no incurrir en la equivocacion de atribuir apresuradamente a Leibniz --por simple homonimia-- un formalismo a la Hilbert, ajeno por completo a su horizonte intelectual y a su peculiar proyecto "formalizador".

Puesto que "el principio aquel, tantas veces repetido hasta la saciedad [toties decantatum]: todo lo que percibo clara y distintamente es verdadero, poco nos hace avanzar mientras no se exhiban criterios suficientes [satis criteria] de lo claro y lo distinto" (GP VII 337), en la doctrina estandar de las Meditaciones sobre el conocimiento, la verdad y las ideas, de 1684, Leibniz presenta normas formales que, a su juicio, permiten hacer controlable y utilizable en alguna medida aquel precepto cartesiano. En efecto, segun ese escrito, el conocimiento distinto --que es el que nos importa aqui-- es caracterizado, por un lado, como inadecuado y adecuado, y tambien, por otro lado, como ciego e intuitivo (cfr. A VI iv 585-586; GP IV 422). Un conocimiento es adecuado cuando por analisis se conoce distintamente no solo la nocion compleja, sino tambien los ingredientes constituyentes primitivos de ella o sus requisita (cfr. NE II 31 [seccion] 1). Podemos llegar a conocer a priori la posibilidad de la nocion al constatar que todas sus notas son compatibles entre si. Es verdad que, en su mayor parte, el conocimiento humano es ciego o sordo, por cuanto se piensa en los simbolos en lugar de en las notas que componen una nocion, pero si podemos lograr pensar simul en todas las nociones que integran tal nocion, el conocimiento se llama intuitivo. Solo el conocimiento de los numeros parece acercarse lo mas posible al conocimiento adecuado (cfr. GP IV 423; NE II 31 [seccion] 1). Ahora bien, si, como afirma Leibniz en una carta a Bourguet, "la nocion de los numeros es resoluble al final en la nocion de la unidad que ya no es resoluble, y que se puede considerar como el numero primitivo [nombre primitif]" (GP III 582), es acertado sostener, como lo hace Fichant, que

la definicion de un numero entero como reunion o agregado de unidades justifica bien el proceso constructivo o genetico que constituye la nocion singular de cada numero; la compatibilidad de los elementos compuestos es aqui evidente, puesto que no se trata de nada mas que de la repeticion de la nocion irresoluble de la unidad, donde la posibilidad del objeto de pensamiento esta garantizada en una intuicion efectiva. (Fichant 1994, p. 184)

En efecto, de acuerdo a tal planteamiento, al poner la definicion misma se introduce simul, teticamente, la posibilidad de lo definido, de manera que al sustituir en el definiendum "dos y uno" el termino resoluble "dos" que aun contiene, se culmina el analisis con "el agregado uno y uno y uno', donde no figura mas que el 'numero primitivo', y cuyo contenido objetivo adecuadamente conocido es dado a la intuicion de una pluralidad reducida a sus elementos simples" (ibid.). Si las esencias de los numeros naturales son expresadas por las definiciones mas simples de ellos, entonces lo que se conoce intuitivamente es una esencia, la esencia del numero como agregado de unidades. (21) Alcanzado este punto, me limito a sugerir que tal vez el problema realmente acuciante, desde un punto de vista filosofico, sea preguntarse como es que podemos llegar a esas definiciones mas simples de los numeros. Y es precisamente en este lugar donde se situa --a mi entender-- el punto de partida de la reflexion critico-trascendental de Kant sobre los numeros (Zahlen), a saber: no partiendo de la definicion del concepto de numero --tal como lo hace Leibniz--, el cual posiblemente sea indefinible en si mismo, sino investigando su origen, rastreandolo en la generacion originaria de los numeros naturales como adicion sucesiva y ordenada de una unidad a otra (estableciendo, asi, de paso, una primacia del aspecto ordinal del concepto de numero, por sobre el cardinal), o, lo que es lo mismo, indagando como es que el numero se presenta originariamente a la conciencia trascendental cognoscente mediante sus actos primarios de construccion, que es lo que Leibniz deja entrever sin tematizar, cuando dice que en la posicion de la definicion mas simple del numero se afirma eo ipso la posibilidad de lo definido, esto es, del numero mismo. Por ello son reales tales definiciones, que son las mas simples posibles, por cuanto asistimos, si se quiere, al acto mismo de construccion de lo definido, documentado y afianzado simbolicamente a traves de una cadena sucesiva de definiciones.

[seccion] 7. En lugar de la evidencia cartesiana hipertrofiada, que introduce innecesariamente elementos psicologicos y, por lo tanto, subjetivos, Leibniz piensa que las unicas evidencias que deben admitirse en la prueba formal son la evidencia de la identidad --en cuanto adecuacion inmediata y explicita de las ideas-- y la dada en la libre formacion originaria de los conceptos (Begriffsgestaltung), (22) tal como acontece en la generacion de los numeros naturales expresados como agregados o multitudes de unidades. Se trata en este caso, entonces, por decirlo asi, de una evidencia formal, en la medida en que tal evidencia reside en la estructura formal del razonamiento y es exigida por ella. Sin embargo, pese a lo que pueda parecer prima facie, Leibniz no se inclina por un formalismo vacio en el cual los signos no tengan ninguna referencia a contenidos logico-ideales, sin ninguna vinculacion con las relaciones objetivas entre los conceptos, por cuanto --huelga decirlo-- su caracteristica es una caracteristica real (Caracteristique reelle) (cfr. Cassirer 1910, p. 44). Pese a que para el la prueba es conducida de manera estrictamente analitica, el conocimiento intuitivo tiene un lugar en ella, solo que acotado a un momento bien determinado. No se trata de una intuitus omnipresente desplegada arbitrariamente por todas partes, sino que se trata de un ingrediente que culmina el proceso de la ciencia, en un contexto en el cual el conocimiento humano se asume como esencialmente ciego o simbolico, pues, como dice Leibniz, "si hubiera que reducir todo a los conocimientos intuitivos, las demostraciones serian casi siempre de una insuperable prolijidad" (NE IV 2 [seccion] 8). En efecto, como se ve en la manipulacion de las expresiones simbolicas o formulas, mediante la sustitucion de unas definiciones por otras, el pensamiento ciego, cuando es llevado a cabo correctamente, se ajusta a la forma y en tal sentido posee una evidencia formal (sintactica) irrefutable. Con todo, las conclusiones a las que llega tal modo de pensar son tan solo hipoteticas, no demostrativas como exige la ciencia, (23) por cuanto es la intuicion de la posibilidad de lo definido en las definiciones empleadas en la demostracion lo que permite hacer ese transito desde lo meramente hipotetico a lo enteramente apodictico, como Leibniz muestra una y otra vez cuando se refiere al argumento ontologico para demostrar la existencia de Dios. (24) De esta forma, la intuitus constituye, por asi decir, el punto de contacto entre la via idearum y la via symbolorum que asegura la objetividad del saber y que lo ancla a parte rei. El modelo axiomatico-formalizante del saber, que procede teniendo como ideal la "deduccion pura por simbolos", es la via que Leibniz concibe para que el conocimiento humano se eleve progresiva y asintoticamente a un estado lo mas proximo posible de ciencia perfecta (scientia perfecta) (cfr. Cassirer 1971, p. 81). Por lo tanto, la prueba o demostracion para Leibniz no se funda ni en la evidencia cartesiana ni en el puro formalismo, sino en el reconocimiento --como indica Fichant-- de "la parte original de la intuicion de un contenido que todo paso formalizante siempre supone, mientras fija con atencion los contornos y el nivel de legitimidad" (Fichant 1994, p. 183). En consecuencia, el impulso formalizador leibniziano es --en este sentido-- metodologico, y en ningun caso dogmatico ni acritico.

Esta promocion metodologica de la formalizacion busca sacar al pensamiento, por decirlo asi, de su "taller interior" para obligarlo a externalizarse y objetivarse de manera tal que sea "apresado" por el signo sensible y asi pueda ser accesible a todos, quedando siempre disponible. En el labyrinthus scientiae se requieren orientaciones confiables, gestos operacionales externos, procedimientos epistemicos estandarizados, o al menos alguna clase de indicaciones formales y estables, que sean universalmente comunicables a todos los hombres, de modo tal que los individuos puedan avanzar por el camino tortuoso del saber, apropiandose de lo conseguido por otros a la par que contribuyendo con lo que ellos mismos han logrado conocer, y, de este modo, pueda llegar a constituirse algo asi como un conocimiento humano, un saber de la humanidad, y no simplemente una abigarrada nebulosa de experiencias psicologicas aisladas y privadas, cuya unidad y significado solo tenga sentido propiamente para el sujeto cognoscente individual al que respectivamente pertenezcan. Se precisa, entonces, un filum Ariadnes comun, que todo el mundo pueda en principio entender y seguir. Expresar el pensamiento en un sistema adecuado de simbolos permitiria progresar en esa direccion, afianzando el conocimiento, consolidandolo de alguna manera en un todo supraindividual, haciendolo asi disponible a todos los hombres, minimizando tendencialmente todo elemento arbitrario y subjetivo, como lo exige la ciencia en cuanto empresa mancomunada y cooperativa de la humanidad. En virtud de ello seria posible generar algo asi como un sujeto epistemico colectivo del saber humano en su conjunto, lo cual no solo ayudaria a la comunicacion, difusion y apropiacion colectiva del saber, sino tambien a su despliegue eficiente, ordenado y acumulativo. La prueba formal y la caracteristica universal apuntan en esa direccion, como un proyecto utopico quizas en cuanto a la ambicion y la extension de sus resultados esperados, pero, en cuanto al proposito ultimo perseguido, el programa leibniziano aspira esencialmente, a fin de cuentas, a cimentar, sobre bases realmente solidas, las vias que hay que transitar si de verdad se quiere alcanzar el progreso del genero humano en el campo del saber. (25)

Recibido el 6 de febrero de 2009; aceptado el 14 de octubre de 2009.

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* "Nachdem man sich von der Unerschutterlichkeit eines Felsblockes durch vergebliche Versuche, ihn zu bewegen, uberzeugt hat, kann man ferner fragen, was ihn denn so sicher unterstutze"(Die Grundlagen der Arithmetik, [seccion] 2).

(1) Vease Regulae ad directionem ingenii, AT X 361. Cfr. Garber 1992, p. 13, y tambien L.J. Beck 1952, pp. 14-30. Para facilitar la remision a las fuentes usadas, ademas de las abreviaturas enlistadas al inicio de la bibliografia, agrego en los casos de: CEuvres de Descartes, el tomo en numeros romanos y la pagina en arabigos; Opuscules et fragments inedits de Leibniz, la pagina respectiva en arabigos; Die philosophische Schriften y Die mathematische Schriften, de Leibniz, el tomo en romanos y la pagina en arabigos; Discurso de metafisica, de Leibniz, el paragrafo y la paginacion segun GP; Nuevos ensayos, el libro en romanos, el capitulo en arabigos y el paragrafo; An Essay Concerning Human Understanding, de Locke, el libro en romanos, el capitulo en arabigos y el paragrafo.

(2) "Yo soy pensando".

(3) Vease Discours de la methode, AT VI 33; Meditaciones de filosofia primera, AT VII 35, AT VII 65, AT IX 52.

(4) Cfr. Rutherford 1995, pp. 73 ss.

(5) Traduzco Chemici aqui por 'alquimista', porque Leibniz no usa seguramente esta palabra en el sentido propiamente moderno del termino quimica, sino mas bien haciendo alusion a la practica de la alquimia, mezcla de ciencia y magia, con todas las connotaciones peyorativas que tal referencia conlleva en este contexto.

(6) Fechado en noviembre de 1676, GP VII 261-262.

(7) Vease el interesante apunte de Catherine Wilson a este respecto: "No puede haber medio estandar, intersubjetivo, para medir la claridad y distincion de un pensamiento. El [Leibniz] vio que el celebrado metodo cartesiano no es nada mas que un intento de legitimacion de la autoconfianza casi patologica de su autor. Vision que, como el dice, al utilizar conocimiento privado de versiones altamente autorreferentes [highly egotistical] de Descartes sobre experiencias misticas en su juventud, crea visionarios [makes visionaries]" (Wilson 1989, p. 118).

(8) Asi se expresa el propio Leibniz en una especie de bosquejo autobiografico que presenta a su amigo Remond: "Siendo nino estudie a Aristoteles e incluso los escolasticos no me desanimaban [...]. Es verdad que no penetre en lo mas profundo [de las matematicas] despues de haber conversado con el Sr. Huygens en Paris" (carta a Remond, 14 de enero de 1714, GP III 606). De manera similar se explaya en una carta a la princesa Elizabeth: "En mis primeros anos estaba bastante versado en las sutilezas de los tomistas y de los escotistas; al acabar mis estudios me entregue a la jurisprudencia, para la cual se requiere aprender tambien historia; pero los viajes me permitieron conocer grandes personajes, los cuales hicieron que me gustaran las matematicas. Me entregue a ellas con una pasion casi desmesurada durante los cuatro anos que permaneci en Paris, y ello con mayor exito y aplauso del que hubiera podido esperar un aprendiz como yo, ademas de extranjero" (Leibniz 1989, p. 50). Vease tambien GP IV 478.

(9) Carta a Gabriel Wagner fechada en 1696. "Hay ejemplos muy considerables --dice Teofilo en los Nuevos ensayos-- de demostraciones fuera de las matematicas, y se puede decir que ya Aristoteles nos proporciono algunas en sus Primeros Analiticos" (NE IV 2 [seccion] 12). Segun Weyl, la logica aristotelica puede ser considerada como el producto de una abstraccion proveniente de las matematicas (cfr. Weyl 1959, p. 3).

(10) Texto que corresponde al prefacio a la Ciencia general.

(11) Comenta Leibniz en su carta a Wagner que el trabajo realizado por Aristoteles es solo un comienzo y el abece (das ABC), pues existen otras formas mas complejas y dificiles que solo se pueden emplear despues de establecer con su ayuda las formas primeras y mas simples (ersten und schwehrere Formen), como por ejemplo las formas silogisticas euclidianas de prueba (Euclidischen Schlussformen). Incluso, continua, "las adiciones, multiplicaciones o divisiones de los numeros, tal como se ensena en los colegios, son formas de prueba demostrativa [Beweissformen] (argumenta in forma) y se puede confiar en ellas, pues demuestran por la fuerza de su forma [sie Krafft ihrerForm beweisen].Y asi es posible decir que todas las cuentas de un contador concluyen por la forma y se fundan en argumentis in forma. Lo mismo ocurre con el algebra y con otras demostraciones formales, escuetas y, sin embargo, completas" (GP VII 519). Vease Kneale y Kneale 1962, p. 325. En los Nuevos ensayos escribe Leibniz que "la logica es tan apta para la demostracion como la Geometria, y se puede decir que la logica de los geometras, o la manera de argumentar de Euclides, tal y como las explico y establecio respecto a proposiciones, son una extension, o aplicacion particular, de la logica general" (NE IV 2 [seccion] 12). Abrazando tal opinion, no es de extranar que Leibniz haya llevado a cabo diversos ensayos para aritmetizar la logica aristotelica. Para un instructivo estudio sobre esta cuestion, vease Glashoff 2002. Pese a que Leibniz, como hemos dicho, siempre profeso una gran admiracion por la logica tradicional de Aristoteles y la de los escolasticos (cfr. Couturat 1901, p. 1), el reconocimiento de inferencias asilogisticas, de Leibniz en adelante --ademas de las formas silogisticas clasicas--, ha permitido el progreso de la logica simbolica moderna (cfr. Russell 1972, [seccion] 11; Lenzen 2004, p. 5). Por tal razon puede atribuirse a Leibniz, con toda justicia, el titulo de inventor de la logica matematica. Asi lo juzga Godel: "Leibniz fue el primero en concebir la logica matematica, y precisamente en este segundo sentido, en su Characteristica universalis, de la cual habria constituido una parte central. Pero su idea de un calculo logico realmente suficiente para abarcar los razonamientos de las ciencias exactas no fue llevada a la practica hasta casi dos siglos despues, por obra de Frege y Peano (aunque quiza no de la misma manera que Leibniz tenia en mente)" (Godel 1944, p. 313). Una opinion similar es posible encontrar en Bochenski 1966, p. 291, y Tarski 1965, p. 19, n. 1.

(12) Belaval 1962, p. 84. Asi se expresa Leibniz en una carta a Walter von Tschirnhaus, fechada en mayo de 1678 (cfr GM IV 460-461).

(13) En los escritos leibnizianos existen innumerables pasajes para avalar esta tesis, de modo que me limito a ofrecer solo uno, a modo de muestra: "Siempre, pues, el predicado o consecuente esta incluido en el sujeto o antecedente [praedicatum seu consequens inest subjecto seu antecedens]; y en esto, precisamente, consiste la naturaleza de la verdad en general, es decir, la conexion entre los terminos de la proposicion [natura veritatis in universum seu connexio inter terminos enuntiationis], como ya observo Aristoteles. Y en las proposiciones identicas esa conexion [connexio] y la inclusion del predicado en el sujeto [comprehensio praedicati in subjecto] es expresa [expressa]; en las demas, en cambio, implicita [implicita], y ha de ponerse de manifiesto por el analisis de las nociones [per analysin notionum ostendenda], en el cual estriba la demostracion a priori [demonstrado a priori]" (C 518-519). Los estudiosos del filosofo aleman concuerdan en esto. Asi Jolley: "Para Leibniz, la verdad consiste no en una correspondencia entre proposiciones y estados de cosas [a correspondence between propositions and states of affairs], sino en una relacion entre conceptos [a relation between concepts]" (Jolley 1993, p. 391). Y mas recientemente Rauzy: "En fin, segun una ultima concepcion, '[FI] es verdadero' significa que los conceptos que son designados en [FI] por los nombres son entre ellos como [FI] dice que son. 'Todo hombre es mortal es verdadero' significa que el concepto de hombre es una cierta relacion [une certaine liaison] con el concepto de mortal. Esta manera de ver, que hace del predicado de verdad el nombre de una relacion de conceptos o ideas [un rapport de concepts ou d'idees], es la que Leibniz ha adoptado principalmente. Pero no es propia de Leibniz. Se la puede encontrar igualmente, por ejemplo, en Malebranche" (Rauzy 2001, p. 22).

(14) Es cierto que la expresion de la verdad depende de los caracteres o simbolos y de las definiciones empleadas en la formulacion de las proposiciones verdaderas. Pero ello no menoscaba, a fin de cuentas, su naturaleza objetiva, de lo cual da testimonio la validez universal de las matematicas, aun cuando alguna persona pueda alejarse a tal extremo del buen sentido que "se convenza a si mismo de que la verdad es arbitraria y depende de los nombres, aunque, sin embargo, se sabe que la misma geometria pertenece a los griegos, latinos, germanos" (GP VII 191). Es el orden necesario, y no arbitrario, existente entre los signos y los objetos e, incluso, entre los diversos sistemas de simbolos, "el fundamento objetivo [fondement objectif], aunque desconocido, de toda verdad" (Couturat 1901, p. 105).

(15) La version mas conocida de esta tesis se encuentra en el siguiente pasaje: "Verdadera es una proposicion cuyo predicado esta incluido en el sujeto [praedicatum inest subjecto], y asi en toda proposicion verdadera afirmativa, necesaria o contingente, universal o singular, la nocion del predicado de algun modo esta contenida en la nocion del sujeto; de manera que quien comprendiese perfectamente ambas nociones del modo como las comprende Dios veria en ello claramente que el predicado esta incluido en el sujeto [praedicatum subjecto inesse]" (C 16-7). Vease tambien DM [seccion] 8, GP IV 433.

(16) Con todo, Leibniz tambien denomina verdades inmediatas a las verdades primitivas, por cuanto no requieren de prueba o demostracion, y accedemos a su verdad directamente. La primera verdad de razon es el principio de contradiccion o el principio de los identicos (cfr. GP IV 357). El cogito es, segun Leibniz, la verdad primaria de hecho o a posteriori.

(17) Este cuadro esta basado en parte en el de Serres 1968, p. 139.

(18) En tal sentido, habria que tener probablemente mas en cuenta la observacion de Belaval: "En Locke, [Leibniz] ha descubierto, con toda razon, un lector de Descartes: a traves de Locke --el examen atento de los textos lo demostraria--, los Nuevos ensayos buscan llegar al cartesianismo" (Belaval 1960, p. 147).

(19) Como dice bien Couturat, "la ventaja de los numeros por sobre las letras es que, en primer lugar, son en provision indefinida [en provision indefinie]; despues, que ellos son mas apropiados que las letras para marcar el orden, y que ellos son susceptibles de ordenes variados y de arreglos complejos" (Couturat 1901, p. 481).

(20) Asumiendo n' > 1 y n [desigual a] n'. Todo natural tiene un sucesor y ese sucesor se define por esa funcion f (n) = n + 1.

(21) "Es la esencia del numero la que se aprehende intuitivamente. A partir de ahi podemos observar como de tal esencia salen propiedades logicas tales como las expresadas en las formulas numericas. De la esencia de senario, a saber: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, derivan propiedades como: 6 = 3 + 3 = 3 x 2 = 12 / 2 = 4 + 2, etc., que son expresiones de la misma esencia" (Belaval 1962, p. 95).

(22) Esta es una capacidad primaria fundamental (erste Grundvermogen) que, segun Cassirer, Leibniz llamaria intuicion (Intuition), junto con Spinoza (cfr. Cassirer 1999, p. 102).

(23) Belaval dice que "nuestro pensamiento puede, sin perder esta evidencia, permanecer ciego o simbolico [aveugle ou symbolique]. Es suficiente aceptar los terminos hipoteticamente. La prueba se hara por la demostracion ex concessis, que reduce al absurdo la hipotesis contradictoria. La demostracion no necesita, insiste Leibniz, sino los principios reflexivos, indirectos o formales" (Belaval 1960, p. 159).

(24) En este sentido, se haria bien en considerar la critica leibniziana al argumento ontologico en su version cartesiana --y la consecuente reformulacion de la misma demostracion-- tambien conforme a la intencion estrictamente metodologica que el autor quiere darle y reenfocar su examen teniendo en vista el alcance general que ella entrana para la concepcion de Leibniz sobre la prueba en general.

(25) Una version preliminar abreviada de este escrito, bajo el titulo "Demostracion leibniziana de las proposiciones aritmeticas elementales", fue leida el 3 de noviembre de 2007, en las IV Jornadas Internacionales de la Sociedad Espanola Leibniz, "Leibniz entre la genesis y la crisis de la modernidad", organizadas por la Sociedad Espanola Leibniz (SEL) y el Departamento de Filosofia II-Universidad de Granada, que tuvieron lugar en la Universidad de Granada, Granada (Espana), los dias 1, 2 y 3 de noviembre de 2007. Agradezco al doctor Alejandro G. Vigo por sus valiosas observaciones y sugerencias que han contribuido a mejorar la calidad de este trabajo, asi como a los arbitros que han evaluado el presente articulo por sus muy atinadas y pertinentes observaciones.

PEDRO A. VINUELA

Instituto de Filosofia

Pontificia Universidad Catolica de Chile

pvinuela@uc.cl
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Author:Vinuela, Pedro A.
Publication:Dianoia
Date:May 1, 2010
Words:11972
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