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DISENO DE UN INSTRUMENTO DE INVENCION DE PROBLEMAS PARA CARACTERIZAR EL TALENTO MATEMATICO.

I. INTRODUCCION

El interes por la investigacion relacionada con la inteligencia, la superdotacion y el talento no son una novedad, ya que han sido estudiados desde el siglo XX; sin embargo, esto no es asi para las relacionadas con el talento en matematica que tienen un desarrollo mas reciente (Castro, 2008). Este mismo autor menciona que los estudios realizados en este campo se han centrado en tres grandes focos de investigacion, donde caracterizar el talento matematico es uno de ellos.

De hecho, varias investigaciones han puesto de manifiesto las caracteristicas de este tipo de estudiantes, generalmente, al resolver tareas de resolucion de problemas; sin embargo, existen pocos estudios que centren su atencion en estudiar la actuacion de estudiantes con talento matematico ante tareas de invencion de problemas (Espinoza, 2011).

Al respecto se pueden citar los estudios de Dominic & Freiman (2017); Ellerton (1986); Espinoza, Lupianez, & Segovia (2016); Kes.an, Kaya, & Guvercin (2010) y Krutetskii, (1976), los cuales se fundamentan en el hecho de que cuando un estudiante realiza este tipo de actividades alcanza niveles avanzados de razonamiento matematico (Ayllon & Gomez, 2014), que les permite evidenciar sus conocimientos, habilidades, capacidades y experiencias matematicas (Espinoza, 2011; Silver, 1994).

Por tanto, en este estudio se presenta el diseno de un instrumento de invencion de problemas cuyo fin es caracterizar estudiantes con talento matematico, el cual es producto de una revision de literatura relacionada con la clasificacion y diseno de tareas de invencion de problemas, asi como de las caracteristicas del talento matematico asociadas con este tipo de actividades. Luego, con base en esta informacion se elaboro una matriz que mostraba las caracteristicas del talento matematico, asi como variables de estudio que podrian generarse a partir de las producciones de los estudiantes en cada tarea

Por ultimo, se realizo un estudio piloto al instrumento que fue aplicado a dos grupos de estudiantes, uno identificado con talento matematico mediante el test de Raven y otro de un colegio publico normal. El objetivo del estudio piloto fue comprobar si ambos grupos eran capaces de inventar problemas a partir de las tareas propuestas, comprobar si el tiempo y el orden establecido de las tareas definidas era el adecuado e identificar algunas variables de estudio que permitan caracterizar los problemas inventados por los estudiantes. Ademas, se realizo una entrevista a los estudiantes con el objetivo de conocer su opinion con respecto a la actividad y profundizar un poco mas sobre algunos elementos de interes.

A continuacion se hace un breve resumen de la revision de literatura realizada, el instrumento empleado y de los resultados de la implementacion del estudio piloto. Por ultimo se presentan las conclusiones y modificaciones realizadas al instrumento de acuerdo con los objetivos planteados en el estudio piloto.

II. LA INVENCION DE PROBLEMAS

De acuerdo con Singer, Ellerton & Cai (2013), la actividad de inventar problemas no es nueva, sino que forma parte de la resolucion de problemas desde hace ya varios anos; sin embargo, es hasta en las ultimas decadas cuando los investigadores en Educacion Matematica le prestan mas atencion y la identifican como una linea de investigacion (Espinoza, Lupianez & Segovia, 2016). Pero ?en que consiste este proceso?

La literatura consultada muestra que la invencion de problemas ha sido definida de varias formas, pero todas ellas hacen referencia al mismo hecho, inventar problemas. Asi, se le conoce como generacion de problemas o reformulacion de problemas dados (Silver, 1994), formulacion de problemas (Kilpatrick, 1987), planteamiento de problemas (Brown & Walter, 1990) o creacion de problemas (Malaspina, 2011).

Para Koichu & Kontorovich (2013), la invencion de problemas es el proceso mediante el cual los estudiantes construyen interpretaciones personales de situaciones concretas y las formulan como problemas matematicos con significado. Ayllon, Castro & Molina (2011), tambien hacen referencia a este hecho y lo conceptualiza como la accion de producir un enunciado que presente un planteamiento o historia a partir del cual se formulan una o mas preguntas que son contestadas a partir de ciertos datos. Ademas, el problema inventado debe ser genuino, por lo que no debe ser tomado de otro medio, sino que es producto de los conocimientos que tiene el sujeto. Otra conceptualizacion se refiere al hecho de crear un problema nuevo, ya sea por variacion de un uno dado o por elaboracion (Malaspina, 2011).

Por ultimo, Espinoza, Lupianez, & Segovia (2016) mencionan que es un proceso matematico complejo donde se construyen enunciados a partir de la interpretacion personal o significado que le da un sujeto a una situacion concreta o a un problema previamente dado, el cual puede ocurrir antes, durante o despues del proceso de resolucion. Esta concepcion de invencion de problemas es la que utilizaremos en este trabajo.

III. CLASIFICACION Y DISENO DE TAREAS DE INVENCION DE PROBLEMAS

De acuerdo con Silver y Cai (1996), existe una variedad notable de clasificaciones de tareas de invencion de problemas, que dan lugar a una gran cantidad de recursos que se pueden emplear para promover el aprendizaje significativo de los escolares. Al respecto, Stoyanova (1998) identifica tres categorias de experiencia: situacion libre, semi-estructurada y situacion de planteamiento de problemas estructurada.

Otra clasificacion se basa en si la actividad se lleva a cabo antes, durante o despues del resolver un problema matematico (Silver, 1994). En el primer caso lo que se persigue no es la solucion sino la creacion de un problema a partir de una situacion o experiencia. En el segundo se busca que el estudiante reformule el problema dado y en el tercer caso se le pide a los estudiantes que modifique el objetivo, meta o condicion de un problema ya resuelto con el fin de generar nuevos problemas.

Stoyanova (1998) y Silver (1994) tambien identifican 5 categorias generales de invencion de problemas que piden a los estudiantes inventar: a) un problema sin ninguna restriccion, b) un problema con una respuesta dada, c) un problema que contenga cierta informacion, d) preguntas para una situacion problematica dada y e) un problema que se ajuste a un calculo dado.

Kojima, Miwa & Matsui (2009, citados en Ghasempour, Bakar & Reza, 2013), agregan una estrategia denominada "imitacion", que consiste en exponer a los estudiantes ante casos de problemas y luego ellos reproducen los casos siguiendo los procesos.

De igual forma, Chapman (2012) propone que los estudiantes respondan a actividades que impliquen escribir un problema: a) de su propia eleccion, b) similar a un problema dado, c) que tengan una pregunta abierta, d) relacionado con un concepto matematico especifico, e) basado en un problema mal formulado y, f) derivado de una figura dada. Por su parte, Tsubota (1987; citado en Fernandez & Barbaran, 2015), distingue seis tipos de tareas que podrian contener: a) un algoritmo, b) texto, c) una figura o una tabla, d) un topico matematico, e) una respuesta, f) un problema matematico.

En cuanto al diseno de las tareas, se recomiendan que las situaciones planteadas sean parte natural de las actividades que lleva a cabo el alumno en clases de matematicas, por lo que pueden generarse a partir de libros de texto al modificar las caracteristicas y el enunciado de las tareas (Stoyanova & Ellerton, 1996). Ademas, se sugiere que los estudiantes inventan problemas usando su primer problema como referente, pues en el estudio de Silver & Cai (1996) se observo que a medida que reformulaban sus problemas iba creciendo su complejidad sintactica y semantica. En este sentido, Singer & Voica (2013) afirman que la situacion de invencion de problemas mas productiva, es aquella, en la que se plantea un problema, el estudiante la resuelve y luego la reformula con el fin de obtener uno mas complejo.

Por ultimo, Espinoza (2011) recomienda presentar situaciones de invencion de problemas que incluyan imagenes, ya que en su estudio se encontro que los estudiantes inventaron problemas con mayor riqueza con este tipo de situaciones, que en aquellas donde la situacion es presentada de forma textual. Ademas, sugiere que las tareas propuestas sean de interes y familiar para los estudiantes, incluyan suficiente informacion tanto explicita e implicitos que promueva realizar conexiones, motiven a los estudiantes a plasmar su creatividad, permitan el empleo de diferentes tipos de numeros, cantidades y representaciones numericas y favorezcan e incentiven la creacion de problemas dificiles.

Asi, en termino generales, se pueden identificar las siguientes situaciones de invencion de problemas:

a) Inventar problemas sin ninguna restriccion.

b) Completar un problema agregando la pregunta que falta.

c) Inventar problemas que encajen con una solucion, enunciado, contexto, pregunta, operaciones artimeticas, datos, modelo, proceso de resolucion, concepto o procedimiento matematico.

d) Inventar problemas basados en imagenes, tablas y graficos estadisticos, graficas de funciones, figuras o relaciones geometricas, regiones sombreadas, datos contextualizados en situaciones reales, etc).

e) Inventar problemas con base en problema dado o mal formulado.

f) Reformular un problema durante el proceso de resolucion o a partir de uno que ya han inventado.

IV. CARACTERISTICAS DEL TALENTO MATEMATICO ASOCIADAS A LA INVENCION DE PROBLEMAS

Luego de una revision sobre la caracterizacion del talento matematico, se encontro que varios autores proporcionan una serie de rasgos que pueden observarse en ninos aventajados en esta disciplina y que pueden servir de senales para proceder a la identificacion y evaluacion del posible talento matematico, mediante tareas de invencion de problemas.

Al respecto se pueden citar las siguientes: captan la estructura interna de los problemas, examinan el contenido matematico de un problema analitica y sistematicamente, recuerdan informacion matematica general y metodos de resolucion (Krutetskii, 1976). Capacidad para formular y reformular el contenido con el fin de crear nuevos problemas (Singer & Voica, 2014). Analizan el problema y consideran alternativas, tienen energia, persistencia y concentracion (Banfield, 2005). Disfrutan inventando problemas originales (House, 1987; citado en Kesan et al., 2010). Poseen flexibilidad en la manipulacion de datos, agilidad mental para el flujo de ideas o pensamiento divergente, capacidad de generalizacion y formulacion espontanea de problemas (Greenes, 1981). Producen ideas originales, valiosas y extensas, localizan la clave del los problemas (Freiman, 2006).

V. DESCRIPCION GENERAL DEL INSTRUMENTO DE INVENCION DE PROBLEMAS

Con base en la revision de literatura relacionada con la clasificacion y diseno de tareas de invencion de problemas, asi como del analisis de las caracteristicas del talento matematico, se construyo un instrumento que esta conformado por tres cuestionarios de invencion de problemas, de modo que el primero posee cuatro tareas, mientras que los otros dos contienen tres tareas cada uno. Es importante mencionar que se constato, con base en los programa de estudio de Matematica para la educacion media costarricense y los profesores a cargo, que los temas incluidos en el instrumento forman parte de dichos programas y que ya habian sido estudiados en clases.

El instrumento es presentado a los estudiantes en diez hojas y en cada una de estas se muestra una tarea de invencion de problemas. En la parte superior de la primera pagina se consigna la informacion general del estudiante como es el nombre, apellidos, genero, edad, nombre del centro educativo y nivel que cursa.

Tambien se incluyo en cada tarea las opciones facil, regular o dificil, para que los estudiantes indicaran el nivel de dificultad que le asignaban a la tarea de inventar cada problema. Tambien al finalizar la aplicacion del estudio piloto se aplico una pequena entrevista semiestructurada a ambos grupos de estudiantes con el objetivo de profundizar en el analisis del mismo.

Por ultimo, es importante mencionar que en el estudio piloto se les pidio a los estudiantes resolver los problemas que inventaron y justificar el razonamiento utilizado para obtener la respuesta. El instrumento se muestra en el apendice de este documento. A continuacion se describe con mayor detalle cada uno de los cuestionarios.

Cuestionario 1

El primer cuestionario esta conformado por tareas libres de invencion de problemas, donde el estudiante formula problemas nuevos sin ninguna restriccion y luego los reformula para obtener un problema mas complejo.

En la tarea 1, se le pide a los estudiantes inventar un problema matematico que ellos mismos puedan resolver, pero que consideren dificil para sus companeros. Con respecto a esta ultima condicion, creemos importante que los estudiantes planteen problemas que consideren dificiles de resolver, ya que nos interesa observar en que medida ponen en juego sus conocimientos, habilidades y creatividad para inventar problemas elaborados. Ademas, consideramos que esto podria promover que los estudiantes pongan su mayor esfuerzo y sienta un reto y compromiso hacia la actividad de inventar problemas originales.

En la tarea 2, los estudiantes reformulan el problema que inventaron en la tarea 1, con el fin de modificar algunos de sus elementos para obtener un problema mas complejo. Por ultimo, en la tarea 3, los estudiantes deben inventar un problema que se resuelva por medio del planteo de alguna ecuacion y en la ultima tarea se les solicita reformular el problema planteado en la tarea anterior.

Cuestionario 2

El segundo cuestionario incluye tres tareas semiestructuradas, en las cuales se pide inventar problemas dificiles de resolver a partir de una informacion textual o enunciado.

En la tarea 1, se les propone a los estudiantes inventar un problema matematico con base en una situacion expuesta de forma escrita. La instruccion indica lo siguiente: "con la siguiente informacion inventa un problema matematico que te parezca dificil de resolver. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion". Luego se presenta la siguiente situacion con base en la cual deben inventar un problema matematico:

"Un tren con cuatro vagones para pasajeros sale de una estacion a las 9:00 h con destino a Heredia. El tren tiene una capacidad maxima para 294 pasajeros".

Esta tarea fue empleada en el estudio de Espinoza (2011) y a partir de ella los estudiantes inventaron problemas de gran riqueza. Ademas, permitio establecer diferencias en las producciones de los estudiantes, de modo que los chicos con talento matematico inventaron problemas mas ricos que sus companeros de un colegio publico normal.

En la segunda tarea se les propone a los estudiantes inventar la mayor cantidad de problemas que puedan a partir del siguiente enunciado:

"Juan, Maria y Pedro son artesanos que venden sus productos en el mercado. Juan vende sandalias a 5000 centavos, Maria bolsos a 9500 centavos y Pedro carteras a 6000 centavos. La semana pasada Juan vendio 15 productos mas que Pedro, mientras que Pedro vendio el doble de productos que Maria. Maria vendio 42 bolsos esa misma semana"

Con base en esta situacion se podrian inventar problemas relacionados con la cantidad de productos que vende cada uno en un determinado tiempo, establecer relaciones de precios y ganancias entre los comerciantes. Ademas, se podrian plantear un problemas en el area de la Estadistica al incluir el promedio, la moda, mediana para describir las ventas semanales, de Aritmetica al establecer relaciones numericas entre la informacion dada o plantear un problema de ecuaciones.

La ultima tarea de este cuestionario es similar a la anterior, ya que se le solicita a los estudiantes inventar 5 problemas matematicos relacionados con el siguiente enunciado:

"Hay diez ninas y quince ninos de pie en una fila".

Esta tarea es menos estructurada que la anterior, por lo que el estudiante puede emplear mas su creatividad. Se considera que pueden formular problemas en las que se relacionen las posiciones, edades, estaturas, etc de los ninos y las ninas, asi como plantear problemas que involucre alguna ecuacion. Asi, los problemas inventados podrian estar relacionados con la teoria de numeros, metodos de conteo, probabilidades, estadistica, etc.

Cuestionario 3

En el ultimo cuestionario los estudiantes formulan y reformulan problemas a partir de una imagen, figura geometrica y recorte de periodico.

La indicacion de la tarea 1 de este cuestionario es la siguiente: "De acuerdo con la informacion de la siguiente figura, inventa un problema matematico que te parezca dificil de resolver. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion". Luego se presenta la siguiente imagen:

Como se puede observar, la imagen muestra explicitamente una informacion numerica de tipo natural (80 metros) y un contexto que es familiar para los estudiantes (tres ninos recorriendo una pista alrededor de una plaza que esta junto a una chancha de futbol). Dicho contexto permite que los estudiantes puedan establecer relaciones entre la pista y la cancha de futbol, asi como entre los ninos que estan corriendo en la pista. De esta forma, los problemas planteados podrian estar relacionados con distancias, tiempo, velocidad, area, perimetro, etc, y enmarcados en el area de la Aritmetica, Fisica, Geometria, Trigonometria etc. Esta tarea tambien fue empleada en el estudio de Espinoza (2011) y resulto que se lograron establecer diferencias en las producciones de los estudiantes, de modo que los chicos con talento inventaron problemas mas ricos que sus companeros de un colegio publico normal.

En la tarea 2 se presenta una imagen que muestra el momento en que un avion despega de una pista y a partir de ella el estudiante inventa la mayor cantidad de problemas matematicos que pueda.

La imagen presentada es la siguiente:

Siguiendo la recomendacion de Stoyanova & Ellerton (1996), la imagen anterior fue extraida y modificada de un libro de texto. A partir de ella los estudiantes pueden inventar problemas relacionadas con la velocidad, altura, distancia recorrida y consumo de gasolina del avion. Tambien podria agregar elementos nuevos como un carro en movimiento o un observador en la torre de control. Asi, los problemas inventados podrian enmarcarse dentro de las areas de la Geometria, Trigonometria, Ecuaciones, fisica, etc.

Por ultimo, en la tarea 3, el estudiante debe inventar un problema matematico de acuerdo a un recorte de periodico y se le indica que puede agregar mas datos o informacion. La imagen presentada es la siguiente:

Se considera que los problemas pueden estar relacionados con el precio de diferentes tipos de pijamas o descuentos sobre estas. Podria cambiar la informacion agregando diferentes tipos de descuentos dependiendo de la hora o descuentos adicionales si se utiliza la tarjeta de la tienda. Ademas, podria incluir relaciones matematicas entre las peronas que van a la noche de pijamas. Asi, los problemas planteados podrian ser aritmeticos, con ecuaciones, sobre descuentos, etc.

VI. PROCEDIMIENTO GENERAL DE APLICACION DEL INSTRUMENTO

El instrumento fue aplicado por separado a dos grupos de estudiantes con caracteristicas diferentes en cuanto a su competencia matematica. El primero conformado por cuatro estudiantes del Colegio Cientifico Costarricense de Perez Zeledon, los cuales son considerados con talento matematico, y el segundo por siete estudiantes de un colegio publico normal de Perez Zeledon, Costa Rica. Para el estudio piloto se propuso que ambos grupos completaran el instrumento en 2 sesiones de 80 minutos, de manera que en la primera sesion completaron los dos primeros cuestionarios y en la segunda el cuestionario 3. Es importante mencionar que ninguno de los grupos recibio preparacion o entrenamiento previo en invencion de problemas matematicos.

VII. RESULTADOS DE LA IMPLEMENTACION DEL ESTUDIO PILOTO

En el primer cuestionario se observo que los estudiantes tuvieron dificultades para completar las tareas propuestas, pues era la primera vez que se enfrentaban a actividades de este tipo. Esto se evidencio en la inseguridad, distraccion y confusion que mostraron durante la actividad, asi como en la dificultad mostrada para inventar un problema.

En cuanto a la tarea 1 de este cuestionario, resulto que ningun estudiante logro inventar un enunciado en el tiempo estimado (10 minutos), de hecho, en la entrevista mencionaron que fue una de las tareas mas dificiles de realizar, ya que no sabian como iniciar. Ante esto, se decidio ampliar el tiempo disponible para que la concluyeran; sin embargo, provoco que los estudiantes del grupo talento no pudieran realizar la tarea 2 de este cuestionario.

En el caso del grupo estandar, el profesor a cargo permitio continuar con la actividad aun pasados los 40 minutos establecidos, por lo que ellos si completaron dicha tarea. En este grupo se observo que les resulto mas facil realizar esta tarea, ya que tenian una idea previa de donde tomar ideas. De hecho, catalogaron su dificultad como facil o regular, mientras que la tarea 1a fue catalogada como dificil o regular de realizar.

En la tarea 3 resulto que ningun estudiante del grupo estandar invento un enunciado que se resolviera con el tema de ecuaciones y mencionaron que no sabian como hacerlo, aun cuando el profesor a cargo habia confirmado que el tema si se habia impartido en clases. Caso contrario sucedio con el grupo talento que si la completaron y en la entrevista mencionaron que fue una de las tareas que mas disfrutaron. En terminos generales la catalogaron como regular o dificil de realizar.

Por ultimo, dado que en este cuestionario los estudiantes tardaron mas tiempo en completar las tareas 1, 2 y 3, se decidio que los estudiantes no resolvieran la tarea 4 para continuar con el estudio piloto del cuestionario 2.

En relacion con el segundo cuestionario, se observo que los estudiantes estuvieron mas a gusto con la actividad, lo cual se evidencio en su seguridad, relajacion, concentracion y actitud hacia la tarea. Ademas, ambos grupos catalogaron la dificultad de las tareas como faciles o regulares de realizar. Esto puede deberse a que corresponden a tareas mas estructuradas que las anteriores o que los estudiantes se habian familiarizando con la actividad.

Con respecto a las tareas de este cuestionario, en la primera los estudiantes inventaron problemas variados y de gran riqueza; mientras que en la segunda plantearon gran cantidad de preguntas y en algunos casos diversas, pero con un bajo nivel de riqueza, ya que eran faciles de resolver y no establecian diferencias significativas entre ambos grupos. Esto quizas se deba a que es una tarea muy estructurada, que limita la creatividad de los estudiantes y no los motiva a inventar problemas complejos. Por ultimo, los estudiantes no tuvieron tiempo para completar la tarea 3.

En cuanto al cuestionario 3, se observo que ambos grupos completaron las primeras dos tareas sin ningun inconveniente, lo cual se evidencio en las entrevistas y valoracion de dichas tareas, pues afirmaron que fueron las que completaron con mayor facilidad. Ademas, en estas tareas se logro encontrar diferencias en las producciones de ambos grupos. Es importante mencionar que los estudiantes manifestaron que en este cuestionario les resulto mas facil inventar problemas con base en la tarea 2 que con la tarea 1.

Con respecto a la tarea 3, algunos estudiantes del grupo estandar no lograron inventar algun enunciado, mientras que los del grupo talento si la completaron. Lamentablemente no fue posible indagar en el por que no lo hicieron, ya que la entrevista se aplico el mismo dia en que se realizo este cuestionario y aun no se habian analizado las producciones de los estudiantes ante esta tarea.

Otro aspecto a resaltar en la tarea 3, es el hecho de que no se encontraron problemas diversos, sino que la mayoria se relacionaban con descuentos. Esto puede deberse a que la tarea presenta dicha informacion o porque los estudiantes se sienten comodos y manejan el tema de porcentajes.

Por ultimo, se observo que en cuanto avanzaban en la realizacion de las tareas los estudiantes se sentian mas comodos con la misma.

VIII. CONCLUSIONES

A partir de los resultados de la implementacion del estudio piloto y de los objetivos planteados al mismo, se concluye que los estudiantes fueron capaces de inventar problemas con base en las tareas propuestas, excepto en la tarea 3 del cuestionario 1 y del cuestionario 3. A pesar de que los estudiantes del grupo estandar no inventaron problemas que se resolvieron con alguna ecuacion, se considera apropiado no eliminarla porque los estudiantes del grupo talento si la completaron. Ademas, es una tarea que puede establecer diferencias en cuanto a la riqueza de los problemas planteados. Por tanto, se modificara la instruccion para que sea mas comprensible para los estudiantes.

Con respecto a la tarea 3 del cuestionario 3, se cambiara la imagen por una que incluya precios y productos del supermercado, pues es una tarea mas contextualizada en la que pueden comparar precios o listas de compras, aplicar descuentos, establecer relaciones entre los precios o capacidades de los productos, plantear ecuaciones, etc. La imagen propuesta es la siguiente:

Tambien se cambiara la tarea 2 del cuestionario 2 por una que establezca mas diferencias en las producciones de los estudiantes. Asi se incluira la siguiente tarea "Juan, Pedro y Arturo se fueron de paseo el fin de semana a la playa y para regresar a casa dedicidieron turnarse para conducir. Arturo condujo 80km mas que Pedro, Pedro condujo el doble de kilometros que Juan. Juan condujo 50 km". Esta tarea ya fue empleada en otras investigaciones y de la cual se han obtenido resultados valiosos.

En relacion al tiempo para completar las tareas, se considera necesario eliminar algunas de ellas para que los estudiantes dispongan de mas tiempo, ya que se pretende que el instrumento sea completado en dos sesiones de 80 minutos. Por tanto, se decidio elimar la tarea 4 del cuestionario 1, que es similar a la tarea 2 de este mismo cuestionario y la tarea 3 del cuestionario 2, porque los estudiantes no tuvieron tiempo para completarla.

En cuanto al orden en el que se presentaron las tareas, se concluye que se deben reordenar los cuestionarios con el fin de iniciar con tareas mas estructuradas y que presenten una mayor cantidad de informacion explicita. Por lo tanto, el instrumento estara conformado primeramente por el cuestionario 2, luego por las tareas del cuestionario 3 y por ultimo el cuestionario 1. Ademas, se le pedira a los estudiantes resolver los problemas que inventan, excepto en la tarea 2 del cuestionario 2 y cuestionario 3, donde solo deben resolver el que consideren mas dificil.

En resumen, el instrumento estara conformado por tres cuestionarios. El primero contiene dos tareas semiestructuradas de invencion de problemas, donde se le pide a los estudiantes inventar enunciados con base en informacion presentada de forma textual. El segundo contiene tres tareas que incluye dos imagenes y un recorte de periodico, mientras que el tercer cuestionario esta compuesto por dos tareas abiertas de invencion de problemas.

Por otra parte, luego de estudiar las caracteristicas del talento matematico y analizar las producciones de los estudiantes, se logro identificar una serie de variables que fueron frecuentes, sobre todo en el grupo talento, y que estan relacionadas con el talento matematico y los procesos de invencion de problemas. Dichas variables las denominamos "caracteristicas del talento matematico claves para la invencion de problemas". A continacion se describe brevemente cada una de ellas.

1) Invencion de un problema matematico a partir de la situacion propuesta: esta caracteristica se relaciona con la capacidad que muestra el estudiante de inventar un problema matematico a partir de la situacion propuesta.

2) Resolucion correcta del enunciado: esta caracteristica se relaciona con la capacidad del estudiante de resolver el problema que planteo.

3) Coherencia en el enunciado: estudia la formulacion de problemas bien concebidos en el sentido de que sean coherentes de acuerdo con las siguientes caracteristicas: el enunciado contiene todas sus partes (informacion, requerimientos, contexto, entorno matematico), relacion entre los requerimientos y la informacion del problema, coherencia matematica de los conceptos empleados, buen uso de la semantica.

4) Capta, manipula y relaciona informacion a partir de la situacion propuesta: se refiere a la capacidad que tienen los estudiantes de observar, manipular y establecer relaciones a partir de la informacion implicita o explicita que contiene la situacion propuesta; asi como profundizar en las relaciones que establecen los datos e imagenes.

5) Comprension de ideas complejas: esta variable se refleja cuando el estudiante plasma en sus producciones este tipo de ideas y logra resolver el problema con exito. Se considera que una idea es compleja cuando es comprendida, generalmente, por estudiantes que estan en grados superiores de quien la esta empleando

6) Empleo de diversos campos del conocimiento: se refiere a la diversidad de campos de conocimiento que incluye el estudiante en el problema matematico que inventa.

7) Flexibilidad en el uso de datos numericos: esta caracteristica se refiere a la diversidad de campos de conocimiento que emplea el estudiante al inventar un problema.

8) Pensamiento divergente: se refiere a la cantidad de proposiciones no semejantes presentes en el enunciado del problema. Se toma la conceptualizacion de proposicion expuesta en Espinoza, Segovia & Lupianez (2015).

9) Control metacognitivo: la metacognicion en la invencion de problemas consiste en el conocimiento y control de la actividad cognitiva que ejerce el estudiante cuando se enfrenta a este tipo de tareas. Esta se evidencia a partir de los cambios que realiza el estudiante a la informacion o los requerimientos del problema que invento.

10) Principios de autocorreccion en la resolubilidad del problema: esta variable se relaciona con el control metacognitivo explicado en el caso anterior, pero se centra en las acciones que realiza el estudiante para verificar que el problema inventado es resoluble. Para ello comprueba y realiza los cambios necesarios para que el problema esta bien concebido, tenga la informacion necesaria para ser resuelto, que los requerimientos no son ambiguos, que existe relacion entre la informacion y los requerimientos y que no presente, en general, alguna incompatibilidad que impida resolverlo.

11) Motivacion: se relaciona con la persistencia, concentracion y actitud que muestra el estudiante para concluir la tarea. Esta caracteristica es la unica que sera valorada por medio de la observacion del investigador durante cada sesion de trabajo y no con base en la produccion del estudiante.

12) Creatividad: se refiere a la capacidad del estudiante de inventar problemas variados y originales y puede ser estudiada a partir de cuatro indicadores que son los mas empleados para determinar si una produccion es creativa, a saber, fluidez, flexibilidad, originalidad y generalizacion.

13) Formulacion y reformulacion de problemas de gran riqueza: esta caracteristica consiste en la capacidad que muestra el estudiante para formular y reformular un problema, de modo que su nueva produccion sea de mayor riqueza.

Ademas, el analisis de las producciones en el estudio piloto permitio definir en cada caracteristica tres indicadores de dominio (bajo, medio y alto), mientras que en las caracteristicas 3, 4, 5, 9, 10 se agrago uno mas llamado "nulo", que valora la ausencia de dicha caracteristica en el enunciado del problema. El objetivo de los indicadores es valorar con mayor profundidad y precision el grado de presencia de dichas variables en las producciones de los estudiantes. La fundamentacion y descripcion de las catacteristicas, asi como de los indicadores de dominio seran presentados en un documento posterior, ya que se requiere de mayor espacio para hacerlo.

Por ultimo, se puede concluir que el instrumento propuesto, asi como las caracteristicas del talento matematico claves para la invencion de problemas y los indicadores definidos en cada una de ellas, corresponden a un primer acercamiento al estudio de la caracterizacion del talento matematico mediante actividades de invencion de problemas.

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APENDICE

Apendice A: Instrumento empleado en el estudio piloto.

Nombre del alumno--

Genero: Masculino [] Femenino []

Edad--

Nombre del centro educativo--

Nivel que cursa--

CUESTIONARIO #1

1. Inventa un problema matematico que pueda resolver, pero que considere que es dificil para tus companeros.

2. Reformula el problema que inventaste anteriormente cambiando o agregando mas informacion de modo que te parezca mas dificil de resolver que el anterior

3. Inventa un problema matematico que consideres dificil de resolver y que se resuelva utilzando alguna o varias ecuaciones.

4. Reformula el problema que inventaste cambiando o agregando mas informacion de modo que te parezca mas dificil de resolver que el anterior.

CUESTIONARIO #2

1. Con la siguiente informacion inventa un problema matematico que te parezca dificil de resolver. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion.

"Un tren con cuatro vagones para pasajeros sale de una estacion a las 9:00 h con destino a Heredia. El tren tiene una capacidad maxima para 294 pasajeros"

2. Inventa la mayor cantidad de preguntas que puedas que esten relacionados con el siguiente enunciado. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion.

"Juan, Maria y Pedro son artesanos que venden sus productos en el mercado. Juan vende sandalias a (5000 centavos, Maria bolsos a centavos 9500 centavos y Pedro carteras a (6000 centavos. La semana pasada Juan vendio 15 productos mas que Pedro, mientras que Pedro vendio el doble de productos que Maria. Maria vendio 42 bolsos esa misma semana"

3. Inventa 5 problemas matematicos que esten relacionados con el siguiente enunciado: "Hay diez ninas y quince ninos de pie en una fila

CUESTIONARIO #3

1. De acuerdo con la informacion de la siguiente figura, inventa un problema matematico que te parezca dificil de resolver. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion.

2. En la siguiente figura se muestra el momento en el que un avion despega de una pista. Inventa la mayor cantidad de problemas matematicos que puedas que esten relacionados con dicha figura

3. Inventa un problema matematico que este relacionado con la informacion que se presenta en el siguiente recorte de periodico. Si lo consideras necesario puedes agregar mas datos o informacion.

Johan Espinoza Gonzalez (1) ([cruz doble]), Jose Luis Lupianez Gomez (2) * e Isidoro Segovia Alex (2) *

(1) ([cruz doble]) Profesor titular, Universidad Nacional, Sede Region Brunca. Campus Perez Zeledon

(2) * Profesor titular, Universidad de Granada, Espana

Recibido: 28/Jun/2017; Aceptado: 17/Oct/2018

([cruz doble]) Autor para correspondencia: jespinoza@una.cr
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Article Details
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Author:Espinoza Gonzalez, Johan; Lupianez Gomez, Jose Luis; Segovia Alex, Isidoro
Publication:Ciencia y Tecnologia
Article Type:Bibliografia
Date:Jul 1, 2018
Words:6804
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