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Cota inferior para el primer valor propio de Neumann.

1 Introduccion

Sea M [subconjunto] [R.sup.n] un dominio con borde [derivada parcial]M suave. El problema de valores propios de Neumann consiste en encontrar todos los numeros reales [my] para los cuales existe una solucion no trivial [fi] [elemento de] [C.sup.2] (M) [interseccion] [C.sup.1] ([barra.M]) que satisfacen la ecuacion

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El conjunto de valores propios para el problema de Neumann (1) consiste de una sucesion creciente

0 = [[my].sub.0] < [[my].sub.1] < [[my].sub.2] < ... + [infinito],

donde cada espacio propio asociado es finito dimensional. Dos espacios propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales en [L.sup.2] (M). [L.sup.2] (M) es la suma directa de todos estos espacios propios y cada funcion propia es [C.sup.[infinito]] sobre [barra.M].

El problema de valores propios de Steklov consiste en encontrar todos los numeros reales v para los cuales existe una solucion no trivial [fi] [elemento de] [C.sup.2] (M) [interseccion] [C.sup.1] (M) que satisfacen la ecuacion

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Al igual que en el problema de Neumann el conjunto de valores propios del problema de Steklov (2) consiste de una sucesion creciente

0 = [v.sub.0] < [v.sub.1] < [v.sub.2] < ... + [infinito],

con conclusiones analogas a las del problema (1). El primer valor propio no cero, [[my].sub.1], del problema (1) es conocido como el primer valor propio de Neumann. El primer valor propio no cero, [v.sub.1], del problema (2) es conocido como el primer valor propio del problema de Steklov. Los valores propios pueden ser caracterizados variacionalmente. Para u [elemento de] [C.sup.[infinito]] (M)) sea

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Sea [H.sub.M] := [H.sup.1] (M) la completacion del espacio [C.sup.[infinito]] (M) con la norma dada por la ecuacion (3). Las caracterizaciones variacionales son las siguientes

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (4)

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Definicion 1.1. Una funcion u [elemento de] [H.sub.M] es factible para el problema (4) si [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], en tal caso

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Definicion 1.2. Una funcion u [elemento de] [H.sub.M] es factible para el problema (5) si [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], en tal caso

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Supongamos que M [subconjunto] [R.sup.n] es un dominio con borde [derivada parcial]M suave, simetrico con respecto al origen y con respecto a la coordenada [x.sub.n] y que [OMEGA] es la proyeccion de M sobre el hiperplano [x.sub.n] = 0. Nos proponemos en esta nota encontrar una desigualdad entre el primer valor propio de Neumann [[my].sub.1]([OMEGA]) y el primer valor propio de Steklov [v.sub.1] (M). Usando la desigualdad hallada y suponiendo la convexidad fuerte de [derivada parcial]M, es decir, que la segunda forma fundamental [pi] sobre [derivada parcial]M satisface la condicion ty > kl para alguna constante positiva fe, demostraremos que [[my].sub.1]([OMEGA]) > [k.sup.2]/2.

2 Preliminares

Por un teorema clasico de Bonnet and Myers ([1]), si una variedad Riemanniana n-dimension al y completa M tiene curvatura de Ricci mayor o igual a (n - 1)k, donde k > 0 es una constante, entonces el diametro de M es a lo mas [pi]/[raiz cuadrada de k]. Por Cheng [2] se tiene el siguiente teorema de rigidez: si el diametro de M es igual a [pi]/[raiz cuadrada de k], entonces M es isometrica a una n-esfera de curvatura seccional constante fe. Recientemente Martin Li [4] demostro un teorema similar para variedades completas con curvatura de Ricci no negativa y borde medianamente convexo. El teorema se enuncia a continuacion.

Teorema 2.1. Sea M una variedad riemanniana completa n-dimensional (n [mayor que o igual a] 2) con curvatura de Ricci no negativa y frontera no vacia [derivada parcial]M. Asumamos que la curvatura media h de la frontera [derivada parcial]M con respecto a la normal interior satisface h [mayor que o igual a] k > 0 para alguna constante positiva fe. Sea d la funcion distancia sobre M. Entonces,

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Ademas, si [derivada parcial]M es compacto, entonces M tambien es compacto y la igualdad se tiene si y solo si M es isometrica a una bola euclidiana n-dimensional de radio 1/k.

Note que bajo las suposiciones de curvatura la variedad M puede no ser compacta. Sin embargo, si se impone convexidad fuerte sobre [derivada parcial]M, entonces la convexidad fuerza a [derivada parcial]M a ser compacta y en consecuencia M seria tambien compacta.

A continuacion enunciamos dos teoremas demostrados por Escobar J. F. en [3] en los cuales encuentra cotas inferiores para el primer valor propio de Steklov cuando la curvatura de Ricci es no negativa y el borde es convexo. Para el caso 2 dimensional la cota es optima, en dimensiones altas el mismo Escobar J. F. conjetura que la mejor cota debe ser fe.

Teorema 2.2. Sea M una variedad riemanniana compacta n-dimensional (n [mayor que o igual a] 3) con curvatura de Ricci no negativa y frontera no vacia [derivada parcial]M. Asumamos que la segunda forma fundamental [pi] sobre [derivada parcial]M satisface que [pi] [mayor que o igual a] kI para alguna constante positiva k. Entonces

[v.sub.1] (M) > k/2 (7)

Teorema 2.3. Sea M una variedad riemanniana 2-dimensional compacta con borde. Asumamos que M tiene curvatura gaussiana no negativa y que la curvatura geodesica de [derivada parcial]M, [k.sub.g] satisface [k.sub.g] [mayor que o igual a] k > 0 para alguna constante positiva k.

Entonces

[v.sub.1] (M) [mayor que o igual a] k. (8)

La igualdad se tiene solamente para la bola euclidiana de radio [k.sup.-1].

3 Resultados

En lo que sigue M [subconjunto] [R.sup.n] sera un dominio con borde [derivada parcial]M suave, simetrico con respecto al origen y con respecto a la coordenada [x.sub.n]. [OMEGA] sera la proyeccion de M sobre el hiperplano [x.sub.n] = 0. La segunda forma fundamental [pi] sobre [derivada parcial]M satisface que [pi] [mayor que o igual a] kI para alguna constante positiva k. U = {x [elemento de] [R.sup.n-l] | (x, 0) [elemento de] [OMEGA]} y f: [barra.U] [flecha diestra] R es una funcion en [C.sup.1](U)[interseccion][C.sup.0]([barra.U]), con f(-x) = f(x) > 0 para todo x [elemento de] U y tal que (x, 0) [elemento de] [derivada parcial][OMEGA] si y solo si f(x) = 0. Suponemos ademas que M = {(x, z) [elemento de] U x R | - f(x) < z < f(x)}.

Proposicion 3.1. Si [fi] es la primera funcion propia para el problema de Neumann sobre [OMEGA] con valor propio [[my].sub.1] ([OMEGA]), entonces [fi] no tiene simetria par.

Demostracion. Del teorema de Dominios Nodales de Courant [1], N = [[fi].sup.-1] {0} divide a [barra.[OMEGA]] - N en dos dominios nodales [[OMEGA].sub.-] y [[OMEGA].sub.+]. Si suponemos que <f> tiene simetria par, entonces o N es una hipersuperficie simetrica con respecto al origen que separa [barra.[OMEGA]] y tal que N [interseccion] [derivada parcial]Q [desigual a] [conjunto vacio] o N es una hipersuperficie cerrada simetrica con respecto al origen. En el primer caso dado que la hipersuperficie N es simetrica con respecto al origen entonces [[OMEGA].sub.-] = -[[OMEGA].sub.+], lo cual es absurdo dada la simetria par de [fi]. En el segundo caso si asumimos que [derivada parcial][[OMEGA].sub.+] = N. Puesto que [fi] tiene un unico signo sobre [[OMEGA].sub.+] entonces [[my].sub.1]([OMEGA]) = [lambda]([[OMEGA].sub.+]), donde [lambda]([[OMEGA].sub.+]) denota el primer valor propio de Dirichlet sobre [[OMEGA].sub.+]. Puesto que [[OMEGA].sub.+] [subconjunto] [OMEGA] entonces [my].sub.1]([[OMEGA].sub.+]) = [lambda]([[OMEGA].sub.+]) [mayor que o igual a] [lambda]([OMEGA]). De [5] sabemos que [[my].sub.1]([OMEGA]) < [lambda]([OMEGA]). Tenemos asi una contradiccion y por lo tanto [fi] no puede ser par.

Teorema 3.1. Sea [fi] primera funcion propia para el problema de Neumann sobre [OMEGA] con valor propio [[my].sub.1]([OMEGA]). Sea [v.sub.1] (M) el primer valor propio correspondiente al problema de Steklov sobre M. Entonces

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Demostracion. Supongamos primero que [fi] tiene simetria impar, es decir, [fi]{-x, 0) = [fi]{x, 0) para todo x [elemento de] U. Sea [fi] : M [flecha diestra] R definida por

[fi]{x, z) = [fi](x, 0),

puesto que

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de la definicion (1.1) [fi] es factible para el problema de Steklov, y por lo tanto

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De otro lado si [fi] no es impar, entonces [psi]([xi]) = [fi]([xi]) - [fi](-[xi]) es impar y no nula por la proposicion (3.1). Sobre la frontera de [OMEGA],

[gradacion][psi]([xi]) = [gradacion][fi]([xi]) + [gradacion][fi](-[xi]),

y por lo tanto

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Tambien, sobre [OMEGA],

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Tenemos de nuevo una funcion propia impar y desde luego la desigualdad (9).

Teorema 3.2. El primer valor propio [[my].sub.1]([OMEGA]) para el problema de Neumann sobre [OMEGA] satisface la desigualdad [[my].sub.1] ([OMEGA]) > [k.sup.2]/2.

Demostracion. Sea d como en el teorema 2.1. De la ecuacion (9)

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De los teoremas 2.1 y 2.2 obtenemos

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4 Ejemplo

Sea F(x, y, ?) = [x.sup.2]/[a.sup.2] + [y.sup.2]/[b.sup.2] + [z.sup.2]/[c.sup.2], a [mayor que o igual a] b [mayor que o igual a] c > 0. Sea M la region acotada por el elipsoide F(x,y,z) = 1 y [OMEGA] la proyeccion de M sobre el plano z = 0. La segunda forma fundamental [pi] en cualquier punto P = (x, y, z) [elemento de] [derivada parcial]M viene dada por

[pi] (v, v) = <(HF)(v), v>/[square root of ([gradacion]F)], (12)

donde HF es el hessiano de F en P, [gradacion]F es el gradiente de F en P y v es tangente a [derivada parcial]M en P. Tenemos asi:

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En tal caso k = c/[a.sup.2]. Si c > 6, obtenemos k = b/[a.sup.2]En la primera situacion se tiene [[my].sub.1]([OMEGA]) > [c.sup.2]/2[a.sup.4] y en la segunda [[my].sub.1]([OMEGA]). Se concluye de aqui que la mejor cota es [b.sup.2/2[a.sup.4]. Esta cota se obtiene tomando un elipsoide con c [mayor que o igual a] b y no depende del valor de c. En el caso particular que [OMEGA] sea un circulo de radio R, obtenemos [[my].sub.1] ([OMEGA]) > [R.sup.2]/2[R.sup.4] = 1/2[R.sup.2].

5 Conclusiones

Hemos obtenido una cota inferior para el primer valor propio de Neumann en dominios euclidianos simetricos. Nuestra cota inferior esta ligada a la cota inferior hallada por Escobar para el primer valor propio de Steklov [3]. Sabemos que la cota de Escobar no es optima, asi nuestra cota tampoco es la optima. La cota mejora si la conjetura de Escobar resulta cierta, en tal situacion como en el caso bidimensional la desigualdad queda [[my].sub.1]([OMEGA]) > [k.sup.2]. Puesto que en la bola de radio R el primer valor propio de Steklov es [v.sub.1] (M) = 1/R, podemos decir que para la bola de radio R el primer valor propio de Neumann satisface la desigualdad [[my].sub.1]([OMEGA])>l/[R.sup.2].

Recibido: mayo 10, 2013

Aceptado: julio 8, 2013

Agradecimientos

Expreso mi gratitud al profesor evaluador de este trabajo por sus valiosas correcciones y significativas sugerencias.

Referencias bibliograficas

[1] I. Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geornetry, Academic Press, Inc., (1984)

[2] S. Y. Cheng, Eigenvalue Comparison Theorems and its Geometric Aplications, Math. Z., 143, #3 289-297, (1975)

[3] J. F. Escobar, The Geornetry of the first Non-Zero Stekloff Eigenvalue, Journal of functional analysis, 150, 544-556, (1997)

[4] M. Li, Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature and Mean Convex Boundary, arXiv: 1204.1695vl, (2012)

[5] G. Polya, Remarks on the foregoing paper, J. Math. Phys., 31, 55-57, (1952) Direccion del autor

Oscar Andres Montado Carreno

Universidad del Valle

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Oscar Andres Montano Carreno

Departamento de Matematicas, Universidad del Valle, Cali--Colombia

os car.montano@correounivalle.edu.co
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Author:Montado Carreno, Oscar Andres
Publication:Revista de Ciencias
Date:Aug 1, 2013
Words:2224
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