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Control en un sistema de tanques interactuantes no lineales desde el enfoque de sistemas dinamicos hibridos.

Control in a System of Non-Linear Interacting Tanks from the Perspective of Dynamic Hybrid Systems (2)

Controle em um sistema de tanques integrados nao lineares a partir do enfoque de sistemas dinamicos hibridos (3)

Introduccion

En los ultimos anos se han empezado a estudiar sistemas que tienen variables de estado continuas y discretas simultaneamente que estan acopladas entre si (Goebel, Sanfelice y Teel, 2009). Estos sistemas se denominan comunmente sistemas dinamicos hibridos (SDH) y debido a su reciente aparicion, su modelado y el posterior control, tienen muchos aspectos teoricos y practicos aun no resueltos. En este articulo se expone un sistema de tanques interactuantes no lineal visto desde el enfoque de los SDH. Los tanques interactuantes son considerados dispositivos ampliamente utilizados en todo tipo de industria y en muchas ocasiones requieren un control de alta precision tanto de flujo de liquido circulante como del nivel de llenado.

Debido a la naturaleza del sistema, los tanques obedecen a un comportamiento no lineal, el cual generalmente se aproxima a una dinamica lineal. Estas aproximaciones llevan a leyes de control que no tienen en cuenta el comportamiento no lineal del sistema. Una razon para usar los SDH es la reduccion de complejidad del modelo, puesto que en lugar de representar la dinamica a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales, se puede representar por medio de un conjunto de ecuaciones simples de comportamiento lineal, las cuales por medio de conmutaciones emulan el comportamiento no lineal de un sistema (veanse Antsaklis, Stiver y Lemmon, 1993; Villa et al., 2004). Los SDH han sido ampliamente estudiados en la ultima decada (Grossman et al., 1993) bajo diferentes perspectivas que no siempre son compatibles entre si.

La identificacion y el diseno de las leyes de control para los SDH, debido a su compleja naturaleza, no ha sido un tema extensamente estudiado en el ambito nacional colombiano; sin embargo, se han analizado algunas formas de identificacion mediante sistemas lineales a tramos y sistemas dinamicos mixtos, ademas del diseno de estrategias de control utilizando modelos de control predictivo (Villa et al., 2004; Duque et al., 2004; Patino, 2009; Mcgrath et al., 2007).

Por otro lado, internacionalmente, una de las estrategias mas utilizadas para la identificacion fue planteada por Bemporad y Morari (1999), Ferrari-Trecata et al. (1999) y Bemporad et al. (2005). Ellos proponen utilizar algoritmos para encontrar modelos de SDH aptos para tareas de control. En cuanto a la estabilidad y el control, los SDH han sido tema de investigacion teorica y aplicativa, siendo la estabilidad el tema que mas discusion ha generado (Daafouz, Riedinger, e Iung, 2002; Flieller, Riedinger y Louis, 2006; Liberzon et al., 2003).

Se ha comprobado que el problema de regulacion alrededor de un valor de referencia puede resolverse mediante teoremas de estabilidad (Daafouz, Riedinger, e Iung, 2002; Hespanha y Morse, 1999), por lo que el uso de estos metodos realmente busca una ley de control por realimentacion de estados capaz de estabilizar el sistema independiente de la conmutacion, y no se interesa en buscar la mejor forma de conmutar entre los subsistemas posibles.

Este articulo presenta una metodologia para identificar un sistema de tanques interactuantes, como un SDH, basado en el metodo bounded error approach (Bemporad et al., 2005). El algoritmo consiste en dividir un sistema no lineal en varios sistemas lineales y en establecer una region de operacion para cada sistema. Identificado el sistema de tanques como un SDH, este se representara en variables de estado para aplicar una ley de control por realimentacion de estados conmutada, basados en teoremas de estabilidad expuestos en (Daafouz, Riedinger e Iung, 2002).

El objetivo de este control sera regular el sistema alrededor de un punto de referencia con error en estado estacionario igual a cero. El articulo se encuentra organizado de la siguiente manera: la primera seccion describe el sistema de tanques interactuantes con el que se implementara la metodologia propuesta. La segunda seccion describe el algoritmo de identificacion de un sistema no lineal como un modelo PWARX. La tercera seccion muestra la representacion un modelo PWARX en variables de estado. La siguiente seccion presenta una estrategia de control para un SDH que garantiza la estabilidad del sistema. Por ultimo, se exponen los resultados obtenidos al implementar la metodologia propuesta en el sistema de tanques interactuantes mencionado.

1. Descripcion del sistema de tanques interactuantes

En la figura 1 se presenta un sistema de dos tanques interconectados con un caudal de entrada [Q.sub.in] a traves del orifico ubicado en la parte superior de un tanque cilindrico (Tank 02). Este caudal de entrada genera un caudal de salida [Q.sub.a] a traves del orificio ubicado en la parte inferior, el cual--por disposicion de una valvula de bola manual- se conecta con el orificio ubicado en la parte inferior del tanque de area transversal no lineal (Tank 01). El caudal [Q.sub.a] funciona como entrada del tanque no lineal. Observese que en la medida que el nivel en el tanque (Tank 01) aumente, la salida del tanque cilindrico, este se vera afectado por el cambio de la presion diferencial en los extremos de la valvula, y dada la geometria de Tank 01, se producira un comportamiento no lineal en la dinamica del sistema.

[FIGURA 1 OMITIR]

2. Modelado del sistema de tanques como un sistema dinamico hibrido

El sistema de tanques obedece a un comportamiento no lineal que generalmente se aproxima a una dinamica lineal. Este modelo lineal no es capaz de describir con precision la dinamica real del sistema. Para mejorar la precision del modelo se utilizan tecnicas de identificacion de sistemas no lineales. Esta seccion se centra en la identificacion de un sistema no lineal como un modelo exogeno autorregresivo a trozos (PWARX) que se obtiene con datos adquiridos del sistema (entradas y salidas pasadas). Estos modelos representan la estructura de una caja negra con la que practicamente se puede describir cualquier dinamica no lineal (Heemels, Schutter y Bemporad, 2001). Esta seccion se basa en el metodo propuesto en (Bemporad et al., 2005) para identificar un modelo PWARX del sistema de tanques interactuantes de la figura 1.

Considerese un modelo PWARX como:

[y.sub.k] = F([x.sub.k]) + [[elemento de].sub.k] (1)

donde:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)

y [u.sub.k] [elemento de] R es la entrada del sistema, [y.sub.k] [elemento de] R es la salida y [[elemento de].sub.k] [elemento de] R es el error. Por lo tanto, el sistema tiene una salida, y una entrada. [x.sub.k] [elemento de] [R.sup.n] es el vector de regresion que depende de [n.sub.y] valores pasados de la salida y de [n.sub.u] valores pasados de la entrada. Esto quiere decir que [x.sub.k] tiene n = [n.sub.y] + [n.sub.u] componentes. F es un campo vectorial a trozos de la forma:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (3)

Donde N es el numero de submodelos [??] = [[[x.sup.T.sub.k], 1].sup.T], [[alfa].sub.i] = [[alfa].sup.1.sub.i], [[alfa].sup.2.sub.i], ..., [[alfa].sup.n+1.sub.i]] [elemento de] [R.sup.n+1] (i = 1, ..., N) son los parametros que se necesitan identificar. Cada region X, i = 1, ., N representa un conjunto invariante del submodelo activo. El problema que se debe resolver es entonces:

Problema 1. Dados K datos del sistema ([y.sub.k], [x.sub.k]), [atane a todos]k = 1, ..K y un limite de error [delta] > 0 se identifican los parametros [[alfa].sub.i] y las regiones de operacion para cada submodelo representadas por [X.sub.i], i = 1, ., N, donde N es el numero de submodelos, tales que cumplan la condicion:

[valor absoluto de ([valor absoluto de ([y.sub.k] - F([x.sub.y]))])] [menor que o igual a] [delta] [atane a todos] k = 1, ..., K (4)

Hipotesis 1. El orden de cada submodelo ARX n es definido a priori (n = [n.sub.u] + [n.sub.y]).

Basados en el algoritmo (Bemporad et al., 2005) se busca desarrollar una metodologia que permita encontrar un modelo PWARX que describa el sistema de tanques.

2.1. Algoritmos

El procedimiento consiste basicamente en una clasificacion inicial, un refinamiento de la clasificacion y una estimacion de la region de operacion. El algoritmo 1, que se presenta en (Bemporad et al., 2005), es la base con la que se determina el numero inicial de submodelos. Los algoritmos 2, 3 y 4 corrigen errores en la identificacion y dan como resultado los parametros optimos [[alfa].sup.*.sub.i]. Para estimar la region de operacion de cada submodelo se utiliza un algoritmo de clustering, por ejemplo, un support vector machine (Cortes y Vapnik, 1995) o una programacion lineal robusta (Bennet y Mangasarian, 1995).

2.1.1. Clasificacion de datos

El algoritmo 1 consiste en encontrar los datos ([y.sub.k], [x.sub.k]) que verifiquen la ecuacion (4), tal que F contenga el menor numero posible de submodelos con la mayor cantidad de datos. Esto significa que para un i fijo, se debe buscar los parametros ([[alfa].sub.i]) que cumplan la desigualdad mostrada en la ecuacion (4) para el mayor numero de datos. Cuando un submodelo de F logra explicar los datos, estos se retiran del proceso de clasificacion. Los datos que no logran explicarse con ningun submodelo de F repiten el procedimiento hasta que se encuentren clasificados. La salida del algoritmo es, entonces, un numero de submodelos iniciales [N.sub.0], el conjunto de datos [[GAMMA].sub.i] a los que pertenece cada submodelo i-esimo y los parametros a para cada submodelo.
Algoritmo 1. Clasificacion de dato

Entradas: datos ([x.sub.k], [y.sub.k]), [atane a todos]k = 1, ..., K

Salidas: numero inicial de submodelos [N.sub.0], conjunto de datos
[[GAMMA].sub.i] que pertenecen a cada submodelo y parametros
[[alfa].sub.i], para cada submodelo.

Dado [I.sub.h] = {1, ..., K} y un contador h = 1:

Mientras [valor absoluto de ([I.sub.h])] [desigual a] [conjucto vacio]
   hacer

Definir el conjunto [[DELTA].sub.h] = {([x.sub.k], [y.sub.k])/
[paralelo][y.sub.k] - [[alfa].sup.T.sub.h] [[??].sub.k][paralelo]
[menor que o igual a]: k [elemento de] [I.sub.h]};

Buscar el vector [[alfa].sub.h] con el algoritmo de optimizacion MAX FS
(Bemporad et al., 2005) para los puntos [[DELTA].sub.h]

para i [flecha diestra] 0 hasta h
Definir el conjunto
[[DELTA].sub.h] = {([x.sub.k], [y.sub.k])/
[paralelo][y.sub.k] - [[alfa].sup.T.sub.h] [??][paralelo]
[menor que o igual a] [delta]: k [elemento de] [I.sub.h]};
Si [valor absoluto de ([[DELTA].sub.ih])] >
[valor absoluto de ([[DELTA].sub.h])]
[a.sub.i] = [a.sub.h]
h = i;

Definir [[GAMMA].sub.h] = {k [elemento de] [I.sub.h] [paralelo]
[y.sub.k] - [a.sup.T.sub.h][??][paralelo] [menor que o igual a]
[delta]};

[I.sub.h+1] = [I.sub.h]/[[GAMMA].sub.h]
h [flecha diestra] h + 1;
[N.sub.0] [flecha diestra] h


2.1.2. Refinamiento

Una vez obtenido [N.sub.o] submodelos a traves del algoritmo 1, se realiza una modificacion propuesta por este trabajo de investigacion, puesto que, usualmente, el algoritmo 1 retorna mas modelos de los que se necesita.

Hipotesis 2. [N.sub.d] es el numero deseado de submodelos que conformaran el modelo PWARX y es conocido.

Esta parte de la identificacion consiste en reducir el numero de submodelos [N.sub.o] a [N.sub.d] tal que [N.sub.d] [menor que o igual a] [N.sub.0].

Los puntos que no cumplen con la condicion (4) para un modelo en particular i, i [elemento de] [I.sub.d] = {1, ..., [N.sub.d]} se agrupan en un nuevo conjunto:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5)

Dado que el objetivo es reducir el numero de submodelos a [N.sub.d], el factor de error se incrementa por un factor de [beta] > 1. Por lo tanto, se tiene un nuevo conjunto de desigualdades [[DELTA].sup.new.sub.i], definido como:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (6)

Los puntos que aun con el incremento en el error no satisfacen (6) en ninguno de los submodelos deseados se agrupan en [[GAMMA].sup.na].

* El conjunto [[DELTA].sup.new.sub.i] se usa entonces para encontrar los siguientes subconjuntos [[GAMMA].sup.new.sub.i] representa el conjunto de puntos que pertenece unicamente a un submodelo i [elemento de] [I.sub.d].

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (7)

* [[GAMMA].sup.rep.sub.i]: representa el conjunto de puntos que pertenece a mas de un submodelo i [elemento de] [I.sub.d].

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (8)

El conjunto de puntos [[GAMMA].sup.rep.sub.i] son aquellos puntos que pertenecen a mas de un submodelo. La union de todos estos subconjuntos se puede agrupar para formar el conjunto [[GAMMA].sup.rep]:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (9)

Este nuevo conjunto contiene los datos que deben clasificarse una vez mas por algun otro metodo. Para este caso, los datos se clasifican por medio del algoritmo c-neareastpoint, basado en el criterio de la distancia euclidiana. El algoritmo consiste en tomar los c puntos mas cercanos al punto k [elemento de] [[GAMMA].sup.rep] y dependiendo del submodelo que se encuentre mas cercano al punto, se toma la decision para clasificarlo.

Si todos los puntos cercanos pertenecen al mismo submodelo, la decision es trivial; pero si hay dos submodelos con el mismo numero de puntos cercanos entre los puntos c, el k [elemento de] [[GAMMA].sup.rep] es asignado al submodelo i [elemento de] [I.sub.d] = {1, ..., [N.sub.d]} con la distancia media mas baja. Este punto se agrega a [[GAMMA].sup.new.sub.i] y se elimina de [[GAMMA].sup.rep]. Con el conjunto [[GAMMA].sup.new.sub.i] se encuentran los valores optimos para los parametros [[alfa].sup.*.sub.i] utilizando el algoritmo de optimizacion MIN PFS. Este procedimiento se realiza gracias el algoritmo 2, y se tienen como resultado los conjuntos [[GAMMA].sup.new.sub.i] y [[GAMMA].sup.na]. El algoritmo 3 permite cambiar la dimension de cada submodelo i para que esta sea [N.sub.d].

Finalmente, el algoritmo 4 prueba los datos adquiridos con los parametros a* y con el nuevo limite de error ([beta]) ([delta]). Esto implica que el algoritmo 2 se utiliza nuevamente, con lo que se corre el riesgo que [valor absolute de ([[GAMMA].sup.na.sub.i])] [desigual a] [conjucto vacio] (puntos que aun no han sido clasificados). Entonces el modelo correspondiente i para un punto k [elemento de] [[GAMMA].sup.na.sub.i] se encuentra por medio de:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (10)

2.2. Estimacion de la region

Por ultimo, para obtener las regiones [X.sub.i], i [elemento de] {1, ..., [N.sub.d]} cada punto ([y.sub.k], [x.sub.k]) debe ser clasificado. El metodo utilizado en este caso es support vector machines (SVM) (Duda, Hart y Stork, 2000). Una SVM es un modelo que representa los puntos de muestra en el espacio, separandolos en clases por un espacio lo mas amplio posible. Este busca superficies en un espacio [R.sup.n] que separe de forma optima los puntos de una clase de la otra.

3. Transformacion de un modelo PWARX a espacio de estados

En la seccion anterior se presento una metodologia para identificar un sistema no lineal como un modelo PWARX. Este modelo esta conformado por un campo vectorial a trozos, como se muestra en la ecuacion (3). El objetivo es transformar las ecuaciones del campo vectorial de (3) a una representacion en variables de estado, para facilitar el diseno de una ley de control por realimentacion de estados. El modelo en variables de estado tiene la siguiente forma:

[[theta].sub.k+1] = [A.sub.i][[theta].sub.k] + [B.sub.i][[sigma].sub.k] [y.sub.k] = [C.sub.i][[theta].sub.k],i = {1, ..., N} (11)

Donde

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] es el estado, [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] es el vector de entradas pasadas al sistema y [y.sub.k] [elemento de] R es la salida.
Algoritmo 2. Refinamiento: parte 1

Entradas: datos ([x.sub.k], [y.sub.k]), [atane a todos]k = 1, ...,
[[GAMMA].sub.i], el conjunto F., el numero deseado de submodelos
[N.sub.d], el parametro c > 0, el conjunto de parametros
[[alfa].sub.i] y el factor [beta] > 1.

Salidas: conjunto de datos [[GAMMA].sup.na] que no pertenece a
ningun submodelo y el conjunto de datos [[GAMMA].sup.new.sub.i] que
pertenece a mas de un submodelo.

Dado [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

para i [flecha diestra] 1 hasta [N.sub.d]

Definir [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] indicado en
(7);

para i [flecha diestra] 1 hasta [N.sub.d]

Definir [[GAMMA].sup.new.sub.i] indicado en (8)

Definir [[GAMMA].sup.rep.sub.i] indicado en (9)

Definir [[GAMMA].sup.rep] indicado en (10)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Utilizar el algoritmo c-nearestpoint con el parametro c para cada
punto ([x.sub.y], [y.sub.k]) k [elemento de] [[GAMMA].sup.na] para
clasificarlo dentro de un submodelo i [elemento de] {1, ...,
[N.sub.d]}. El punto se agrega al conjunto [[GAMMA].sup.new.sub.i]
y a la vez se elimina de [[GAMMA].sup.rep].

Algoritmo 3. Refinamiento: parte 2

Entradas: datos ([x.sub.k], [y.sub.k]), [atane a todos]k = 1, ...,
K, conjunto [[GAMMA].sup.new.sub.i], numero de submodelos [N.sub.d]

Salidas: conjunto de parametros [[alfa].sup.*.sub.i].

para i [flecha diestra] 0 hasta [N.sub.d]

Para cada uno de los puntos de [[GAMMA].sup.new.sub.i] encontrar
los valores optimos [[alfa].sup.*.sub.i] con el algoritmo de
optimizacion MAX FS (Bemporad et al., 2005).

Algoritmo 4. Refinamiento: parte 3

Entradas: datos ([x.sub.k], [y.sub.k]), [atane a todos]k =
1, ..., K, los conjuntos [[GAMMA].sup.new.sub.i],
[[alfa].sup.*.sub.i] y [[GAMMA].sup.na], numero de submodelos
[N.sub.d], una constante c > 0 y el parametro [beta]

Salidas: [[GAMMA].sup.new.sub.i] modificado

Usando el algoritmo de optimizacion MAX FS (Bemporad et al., 2005)
con los parametros [[alfa].sup.*.sub.i] y el nuevo limite del error
([beta]) ([delta]) como entrada:

Si [valor absoluto de ([[GAMMA].sup.na.sub.i])] [desigual a] 0
entonces

Para i [flecha diestra] 1 para [N.sub.d]

[[tau].sub.i] = {k [elemento de] [[GAMMA].sup.na]
[arg.sup.min.sub.(h)]) [paralelo] [y.sub.k] - ([a.sup.*T.sub.h]
[[??].sub.k])[paralelo] = i}

[[GAMMA].sup.new.sub.i] = [[GAMMA].sup.new.sub.i] [union]
[[tau].sub.i]


Notese que el vector [x.sub.k] definido en la ecuacion (2) esta compuesto entonces por [[theta].sub.k] y [[sigma].sub.k]. Las matrices [A.sub.i], [B.sub.i] y [C.sub.i] se definen como:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

4. Diseno de la ley de control

Con el modelo PWARX transformado a variables de estado, se procede a buscar una tecnica de control que garantice la estabilidad del sistema y permita regular el nivel del Tank 01, dada una referencia. La tecnica de control es una realimentacion de estados que consiste en buscar una funcion de Lyapunov que garantice la estabilidad asintotica del sistema conmutado descrito por la ecuacion (11).

4.1. Formulacion del problema

El problema consiste en disenar un controlador que garantice la estabilidad del sistema (11), independiente de como conmuta. Este articulo se basa en una realimentacion de estados conmutada de la forma [[sigma].sub.k], = [K.sub.i][[theta].sub.k], a fin de obtener un sistema en lazo cerrado de la forma:

[[theta].sub.k+1] = ([A.sub.i] + [B.sub.i][K.sub.i][C.sub.i]) [[theta].sub.k] (12)

Hipotesis 3. Todos los estados son medibles.

Como es bien sabido, una realimentacion de estados tiene un error en estado estacionario significativo. Por lo tanto, con el fin de eliminar este error y dar robustez al sistema se agrega un integrador dentro del lazo de control. Una forma de introducir este integrador en el modelo matematico es con la ayuda de un nuevo vector de estado, que integre la diferencia entre la referencia del sistema y el vector de salida y como se observa en la figura 2.

[FIGURA 2 OMITIR]

La representacion en variables de estado para el lazo de control que se muestra en la figura 2 esta dada por:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Entonces, las nuevas matrices que describen al sistema son:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (13)

La ley de control para el sistema es de la forma [??] = [K.sub.i][[theta].sub.k] + [KI.sub.i][v.sub.k], y asi se obtiene un nuevo sistema en lazo cerrado:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (14)

4.2. Control por estabilizacion

El diseno de la ley de control conmutado se reduce al diseno de ganancias de realimentacion que garanticen la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Los siguientes teoremas muestran una condicion suficiente basada en funciones multiples de Lyapunov con la que se puede estabilizar un sistema conmutado usando una realimentacion de estados [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII].

Teorema 3 (Daafouz, Riedinger e Iung, 2002)/ si existen matrices simetricas [S.sub.j], [U.sub.i] y [V.sub.i] [atane a todos] (i, j) [elemento de] I X I que verifiquen:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (15)

Entonces la ganancia que estabiliza el sistema independiente de las conmutaciones es [[??].sub.i] = [U.sub.i][V.sup.-1.sub.i] [atane a todos]i [elemento de] I.

Teorema 4 (Daafouz, Riedinger e Iung, 2002). Si existen matrices simetricas [S.sub.i], matrices [G.sub.j], [U.sub.i], y [V.sub.i] [atane a todos] (i [elemento de] I) tal que [atane a todos] (i, j) e I X I que verifiquen

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (16)

Entonces la ganancia que estabiliza el sistema es [[??].sub.i] = [U.sub.i][V.sup.-1.sub.i] [atane a todos]i [elemento de] I

5. Resultados

A lo largo de este articulo se ha presentado una metodologia que permite la identificacion de un sistema no lineal como un modelo PWARX. A partir del modelo a trozos se propone una estrategia de control por realimentacion de estados que garantiza la estabilidad del sistema alrededor de un punto de referencia. El sistema que se utilizara como ejemplo se presenta en la figura 1. Por facilidad al lector se vuelve a presentar en la figura 3.

[FIGURA 3 OMITIR]

5.1. Identificacion sistema de tanques como un SDH

Las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema de la figura 3 son:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Donde [h.sub.2] es el nivel de Tank 02, [h.sub.1] es la altura de Tank 01AK-001, [G.sub.f] es la gravedad especifica, [C.sub.v] el coeficiente de flujo de la valvula que se encuentra entre los tanques y [rho]. Se puede ver claramente que el modelo matematico desarrollado para el sistema de tanques determina que el sistema se comporta de manera no lineal. Para representar el sistema de tanques como un modelo PWARX se utilizan los algoritmos presentados en la seccion 3. Para iniciar la clasificacion es necesario tener una base datos del sistema. Estos datos son adquiridos por medio de una simulacion del sistema de tanques no lineal con la ayuda del software Matlab & Simulink. Al sistema se le aplican flujos de entrada con magnitudes y frecuencias diferentes, como la que se observa en la figura 4. Para poder aplicar los algoritmos mencionados se realiza la siguiente hipotesis:

Hipotesis 4. El orden del sistema debe ser seleccionado a priori. Por lo tanto n = 3, con [n.sub.y] = 1 y [n.sub.u] = 1. Se obtiene que el vector de regresion es igual a [??] = [[[y.sub.k-1], [u.sub.k-1], 1].sup.T].

[FIGURA 4 OMITIR]

Como parametro de entrada del algoritmo 1 se necesita imponer un umbral de error [delta]. En este caso se asume [delta] = 0,05. En el algoritmo 2, los parametros de entradas seleccionados son [beta] = 1,2 (este es el factor con el que se aumenta en limite del error), [N.sub.d] = 3, que es el numero deseado de submodelos, c = 4 con el que se le indica al algoritmo 2 la cantidad de puntos cercanos que debe tener en cuenta para el proceso reclasificacion. Al final de la identificacion obtenemos que los parametros optimos son los observados en la tabla 1. Cabe mencionar que unicamente 5 puntos de los 720 puntos que se utilizaron para la identificacion no pudieron clasificarse.

En la figura 5 y la tabla 2 se observan los submodelos y las regiones de operacion [X.sub.i], i [elemento de] [I.sub.d] obtenidas para cada submodelo.

[FIGURA 5 OMITIR]

Para validar el modelo PWARX utilizamos el coeficiente denominado FIT con el que podemos medir la veracidad de la identificacion del modelo PWARX respecto al sistema real. Este se encuentra definido por:

FIT = 100* (1 - [paralelo] [??] - y [paralelo]/[paralelo]y - [barra.y][paralelo]) % (17)

Donde y = ([y.sub.1], ..., [y.sub.N]) es el vector de salidas del sistema real, [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] es el vector de salida del modelo PWARX y [barra.y] que es el valor promedio del vector y. La figura 6 compara la senal real y la simulada en el modelo PWARX. Tambien se observa la conmutacion entre los submodelos del modelo PWARX. Los valores del FIT obtenidos en esta figura es de 83,6726 %. Esto significa que el modelo PWARX sigue a la salida real del sistema en este porcentaje. Estos valores son lo suficientemente altos para validar el modelo PWARX. Cabe aclarar que si se desea mejorar el FIT de la identificacion, el numero de submodelos debe ser ampliado. No se muestran mas pruebas por falta de espacio.

[FIGURA 6 OMITIR]

5.2. Transformacion del modelo PWARX a variables de estado y control para un sistema dinamico hibrido

Con los parametros [[alfa].sub.i] y las regiones [[ji].sub.i] identificados, el modelo PWARX se representa en variables de estado como se explico en la seccion 3. Por parte de la ley de control que se va a implementar, esta es una realimentacion de estados con integrador (vease seccion 4) y se obtiene el sistema conmutado descrito por las matrices que se observan en la tabla 3.

[TABLA 3 OMITIR]

Definido el sistema conmutado, utilizamos los teoremas 3 y 4 para encontrar las ganancias de la realimentacion de estados conmutada. El objetivo de estas ganancias es el de garantizar la estabilidad del sistema alrededor de una referencia que, en este caso, es el nivel del Tank 01. Las tablas 4 y 5 muestran las ganancias obtenidas.

Para comprobar el funcionamiento de la ley de control obtenida a traves de los teoremas 3 y 4, se ingresa al sistema como referencia un nivel deseado para el tanque Tank 01. Los resultados del lazo de control se muestran en las figuras 7, 8, 9 y 10 para referencias de 0,35 m y 0,45 m de cada una de las leyes de control respectivamente.

En las figuras siguientes se observa el funcionamiento del lazo control en el sistema conmutado. Estas figuras muestran la estabilidad del sistema y un error en estado estacionario igual a cero. Tambien se puede observar que los tiempos de establecimiento y las curvas de respuesta son diferentes para cada referencia. Esto se debe al comportamiento no lineal que presenta el sistema de tanques. A medida que el sistema sigue la referencia, se observan las conmutaciones entre los submodelos. Estas conmutaciones son aleatorias y no tienen un limite establecido.

Se puede observar tambien que al momento de conmutar se genera un cambio brusco en las acciones de control, lo que puede generar danos en los actuadores del sistema. Teniendo en cuenta estos efectos, la utilizacion de tecnicas de conmutacion suave, como el que se presenta en (Zaccarian y Teel, 2005), seria una herramienta util en el momento de implementar esta estrategia de control en un sistema real.

[FIGURA 7 OMITIR]

[FIGURA 8 OMITIR]

[FIGURA 9 OMITIR]

[FIGURA 10 OMITIR]

Conclusiones y trabajos futuros

La metodologia propuesta en este articulo ha probado ser util para identificar y resolver el problema de control en un sistema no lineal, como lo es el sistema de tanques interactuantes. Se puede observar como el metodo de identificacion del sistema no lineal permite obtener un modelo PWARX a partir de datos tomados del sistema. Una vez obtenido el modelo, el problema de control se resuelve a traves de un analisis de estabilidad del sistema donde el objetivo es buscar las ganancias de una realimentacion de estados conmutada que garantice la estabilidad del sistema alrededor de un punto de referencia. Establecida la metodologia para identificar y controlar un sistema no lineal, se construira un sistema de tanques con el objetivo de implementar el metodo de identificacion y control expuesto en este articulo.

SICI: SICI: 0123-2126(201301)17:1<143:CEUSTI>2.0.TX; 2-H

Referencias

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Christian Felipe Ramirez-Acosta (4)

Diego Alejandro Patino-Guevara (5)

Carlos Eduardo Cotrino1 (6)

(1) Fecha de recepcion: 18 de noviembre de 2011. Fecho de aceptacion: 10 de agosto de 2012. Este articulo se derivo de un proyecto de investigacion denominado Avances en el control de sistemas dinamicos hibridos: aplicacion en sistemas de tanques interactuantes no lineales. Numero de registro 003632. Desarrollado por el grupo de investigacion CEPIT (Control, Electronica de Potencia y Gestion de la Innovacion Tecnologica) financiado por la Vicerrectoria Academica, Proyecto No. 003632 de la Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, Colombia.

(2) Reception date: November 18th 2011. Admission date: August 10th 2012. This paper originated from a research project titled Avances en el control de sistemas dinamicos hibridos: aplicacion en sistemas de tanques interactuantes no lineales. Registry Number 003632. It was carried out by the Control, Electronica de Potencia y Gestion de la Innovacion Tecnologica research group, CEPIT, and financed by the Academic Vice-Rector, Project No. 003632 of the Pontificia Universidad Javeriana, in Bogota, Colombia.

(3) Data de recepcao: 18 de outubro de 2011. Data de aprovacao: 10 de agosto de 2012. Este artigo origina-se do projeto de pesquisa denominado Avances en el control de sistemas dinamicos hibridos: aplicacion en sistemas de tanques interactuantes no lineales [Avancos no controle de sistemas dinamicos hibridos: aplicacao em sistemas de tanques integrados nao lineares]. Numero de registro 0036329. Desenvolvido pelo grupo de pesquisa CEPIT (Controle, Eletronica de Potencia e Gestao da Inovacao Tecnologica), financiado pela Vicerrectoria Academica, Projeto No. 003632, da Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, Colombia.

(4) Ingeniero electronico, Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, Colombia. Maestria en Ingenieria Electronica, Pontificia Universidad Javeriana. Profesor de la Pontificia Universidad Javeriana. Correo electronico: christian- ramirez@javeriana.edu.co.

(5) Ingeniero electronico, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia. Maestria en Electronica y Computadores, Universidad de los Andes, Bogota, Colombia. Docteur en Automatique et Traitement Numerique du Signal. Profesor de la Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, Colombia. Correo electronico: patino-d@javeriana.edu.co.

(6) Ingeniero electronico, Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, Colombia. Master of Science, Stony Brook University, Estados Unidos. Profesor de la Pontificia Universidad Javeriana. Correo electronico: ccotrino@javeriana.edu.co.
Tabla 1. Parametros finales sistema de tanque

[[alfa].sub.1]  [[alfa].sub.2]   [[alfa].sub.3]

0,9605              0,8348           1,0257
0,1907              0,2901           0,2406
-0,1778            -0,0903          -0,3793

Fuente: presentacion propia de los autores.

Tabla 2. Submodelos y regiones de operacion

Submodelo 1                Submodelo 2

[EXPRESION MATEMATICA      [[ji].sub.2,1] =
IRREPRODUCIBLE EN ASCII]   [([y.sub.k-1] - 1,15).sup.2]/ 0,[2.sup.2] +
                           [([[u.sub.k-1]).sup.2]/0,[2.sup.2]

Submodelo 3

[[ji].sub.3,1] = [([y.sub.k/1] /
2,35).sup.2]/0,[3.sup.2] + [([u.sub.k/1] /
1,72).sup.2]/0,[45.sup.2]

[[ji].sub.3,2] = [([y.sub.k/1] /
2,06).sup.2]/0,2.sup.2] + [([u.sub.k/1] /
0,15).sup.2]/0,[1.sup.2]

[[ji].sub.3,3] = [([y.sub.k/1] /
1,46).sup.2]/0,[1.sup.2] +
[([u.sub.k-1]).sup.2]/0,[1.sup.2]

Tabla 4. Ganancias realimentacion estados, teorema 3

Ganancias      K                  [K.sub.I]

[[??].sub.1]   [5,0374 -0,9324]   [2,9779]
[[??].sub.2]   [2,8781 -0,9324]   [1,9576]
[[??].sub.3]   [4,2637 -0,9324]   [2,3603]

Fuente: presentacion propia de los autores

Tabla 5. Ganancias realimentacion estados, teorema

Ganancias             K           [K.sub.I]

[[??].sub.1]   [5,0187 -1,1808]    [2,7769]
[[??].sub.2]   [3,0365 -2,2492]    [0,3776]
[[??].sub.3]   [4,3456 -3,4661]    [0,6088]

Fuente: presentacion propia de los autores
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Author:Ramirez-Acosta, Christian Felipe; Patino-Guevara, Diego Alejandro; Cotrino, Carlos Eduardo
Publication:Revista Ingenieria y Universidad
Date:Jan 1, 2013
Words:6287
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