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Consideraciones sobre el calculo infinitesimal leibniziano y el calculo de fluxiones newtoniano.

1. Introduccion

El calculo infinitesimal constituye el logro matematico mas notable del siglo XVII. Proporciona a la ciencia de la naturaleza una herramienta sumamente poderosa y efectiva para analizar y comprender cuantitativamente diversos procesos de cambio y movimiento del mundo fenomenico. Aunque Leibniz y Newton son considerados sus inventores o descubridores, no debe pensarse que crearon el calculo ex nihilo. Los desarrollos infinitesimales se remontan al uso del metodo de exhaucion por Arquimedes para calcular areas de superficies y volumenes de solidos. Los matematicos europeos venian usandolos y trabajando en ellos desde hacia tiempo, en especial a partir de los estudios de Cavalieri y de su metodo de los indivisibles. De hecho, el calculo continuo desarrollandose y ampliandose despues de la muerte de Leibniz y Newton, recibiendo su expresion y fundamentacion mas rigurosa en el siglo XIX. Sin embargo, si se atribuye la gloria a estos dos grandes hombres se debe a que ambos elaboraron procedimientos y simbolismos algebraicos que hicieron posible ofrecer un tratamiento unificado de los diversos metodos infinitesimales desarrollados anteriormente por sus predecesores mediante un metodo algoritmico simple y general. En las manos de estos dos grandes matematicos los nuevos metodos unificados se convirtieron en instrumentos poderosos de la ciencia (cf. Courant y Robbins 1996, p. 398; Mancosu 1996, p. 150; Boyer 1959, p. 186).

La idea central del calculo, como se sabe, es que los procesos de diferenciacion y de integracion son en terminos generales inversos o, dicho en terminos geometricos, la determinacion de la tangente a una curva dada y el calculo del area delimitada por el eje y la curva son problemas inversos. Leibniz y Newton reconocieron con claridad la intima conexion entre ambos procesos, dejando claramente establecida la relacion existente entre calculo diferencial y calculo integral, lo que hoy se conoce habitualmente como teorema fundamental del calculo. (1)

2. Calculo infinitesimal leibniziano y calculo fluxional newtoniano

A pesar de la agria disputa por la prioridad en la invencion del calculo, se ha demostrado que tanto Newton como Leibniz llegaron de manera independiente a sus metodos y resultados. Newton descubrio su metodo de series infinitas y d calculo de fluxiones durante los anos 1665-1666. Aun cuando sus descubrimientos de remontan di 1675, Leibniz fue el primero en hacer publicos sus resultados en las Acta Eruditorium en un breve ensayo de 1684 titulado Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus (cf. Hofmann 1974, pp. 187-201). En este opusculo Leibniz ofrece las formulas de la derivada del producto d(xy) = xdy + ydx, la derivada del cociente d(x/y) = ydx - xdy/[y.sup.2] y la derivada de una potencia de x d[x.sup.n] = n[x.sup.n-1]dx. En 1686 Leibniz publico el articulo De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, donde proporcionaba los fundamentos de su concepcion del calculo integral.

Leibniz concibe la curva comoun poligono <<infinitangular>>, es decir, como un poligono compuesto por un numero infinitamente grande de lados. Inspirado por sus estudios sobre las propiedades de series numericas, como el mismo explica en Historia et origo calculi differentialis (cf. Duran 2006, pp. 235-240), Leibniz considera que los problemas de tangentes y cuadraturas son problemas inversos de modo analogoa como las operaciones de sumar terminos numericos consecutivos y establecer diferencias entre ellos tienen una relacion reciproca entre si. La analogia con el calculo numerico es importante. A medida que las diferencias de los terminos se hacen mas pequenas, mejores son las aproximaciones de las cuadraturas y las tangentes de la curva (considerada como poligono). Y finalmente se hacen exactas cuando las diferencias se hacen infinitamente pequenas (o los terminos sucesivos se hacen infinitamente proximos), es decir, cuando la curva es considerada como un poligono de infinitos lados (cf. Bos 1980, pp. 84-86). De ahi que Leibniz haya considerado la integracion como una especie de suma y que haya adoptado el signo de una S estilizada, a saber [integral], para designar dicha operacion. Leibniz vio con claridad, por tanto, que las operaciones de diferenciacion e integracion son inversas y reciprocas.

Newton presento sus resultados en una serie de exposiciones tardiamente publicadas. (2) La primera exposicion impresa del calculo de Newton aparecio en 1687 en los Philosophiae naturalis principia mathematica. Los Principia no utilizan la notacion caracteristica del metodo de fluxiones, sino que estan escritos en una especie de calculo infinitesimal more geometrico basado en el metodo de las razones primeras y ultimas (methodus rationum primarum et ultimarum), expuesto en la seccion primera del libro primero de dicha l obra. Newton declara haber preferido reducir las a demostraciones de las proposiciones a <<las primeras y ultimas sumas y razones de cantidades nacientes y evanescentes, es decir, a los limites de esas sumas y razones>>,porque, aun que el metodo de los indivisibles abrevia las demostraciones (largas y tediosas segun el proceder de los geometras antiguos), <<la hipotesis de los indivisibles parece de alguna manera mas ruda y, por ello, es considerada menos geometrica como metodo>> (Newton 2011, p. 71).El prefacio de The Method of Fluxions and Infinite Series; with its Application to the Geometry of Curve-Lines (3) declara que el principio fundamental sobre el que esta construido el metodo de fluxiones, que es muy simple y es tomado de la mecanica racional, consiste en:

Toda cantidad matematica, particularmente la extension, puede concebirse como generada por un movimiento local continuo; y que cualquier cantidad, al menos por analogia y acomodacion, pueden concebirse como generadas de una manera similar. Por consiguiente, debe haber velocidades comparativas de aumento y disminucion, durante dichas generaciones, cuyas relaciones son fijas y determinables. (Newton 1736, p. xi). (4)

Newton sostiene en esta obra que todos los problemas relativos a la naturaleza delas curvas pueden reducirse a solo dos, a saber:(i) encontrar la velocidad del movimiento encualquier tiempo

la velocidad del movimiento en cualquier tiempo propuesto, siendo dada continuamente (es decir, en cualquier tiempo) la longitud del espacio descrito; y (ii) encontrar la longitud del espacio descrito en cualquier tiempo propuesto, siendo dada continuamente la velocidad del movimiento (cf. Newton 1736, p. 19). Estos problemas generales se

orresponden con los procesos de diferenciacion e integracion respectivamente. En este escrito se introduce la caracteristica notacion newtoniana que utiliza las letras finales del alfabeto (v, x, y, z) para representar las cantidades fluyentes o fluentes (fluents), las variables que varian continua e indefinidamente, mientras que dichas letras con un punto sobre ellas ([EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]) designan las fluxiones (fluxions) o tasas de cambio de la variable respecto al tiempo (las velocidades instantaneas del movimiento).Newton puntualiza que las fluxiones son las velocidades o celeridades (Velocities or Celerities) por las cuales cada fluente es aumentado o incrementado por su movimiento generador (generating Motion) (cf. Newton 1736, p. 20).

Como se puede ver, la notacion fluxional de Newton se asienta en una concepcion cinematica de las curvas y de su generacion. Newton l estaba especialmente interesado en los procesos temporales y dinamicos subyacentes a los fenomenos fisicos. Elabora su metodo de fluxiones concibiendo la geometria desde un punto de vista cinematico, como herramienta para la investigacion de la naturaleza.

El punto de partida de Leibniz, en cambio, no es cinematico ni basado en consideraciones fisicas, sino que es algebraico, teniendo como trasfondo sus estudios de filosofia y logica, asi como una formacion en matematicas, que es--como el mismo reconoce--deficiente respecto a los principales avances de su epoca. En efecto, Leibniz llega relativamente tarde a las matematicas modernas. Inspirado por sus tempranos estudios de logica y combinatoria, accede a ellas recien en su decisiva estancia en Paris de 1672-1676. Sus estudios de logica aristotelica lo introdujeron, como el dice, en el <<pais de los escolasticos>>, donde se intereso sobre todo por la silogistica l y los aspectos formales de la computacion y las propiedades de los numeros. De hecho Leibniz no obtuvo un conocimiento real y una adecuada familiaridad con la geometria, ni en la escuela ni en la universidad, sino tan solo en su madurez. En 1714,mirando en retrospectiva, indica en Historia et origo calculi differentialis que inicialmente no presto suficiente atencion a Euclides y que solo comenzo a conocer en profundidad el analisis de Descartes a instancias de Huygens. (5)

A continuacion se presenta, a modo de resumen, una comparacion del calculo leibniziano, el calculo newtoniano y el calculo moderno: (6)
                Calculo leibniziano         Calculo newtoniano

Conceptos       Variable (variando en una   Variable (variando en el
fundamentales   serie de valores            tiempo)
                infinitamente proximos)

                Diferencial: diferencia     Fluxion: velocidad finita
                infinitamente pequena       o tasa se cambio respecto
                entre valores sucesivos     al tiempo de la variable
                en la serie

Variable        dx = constante (de modo     Tiempo; [??] = 1 (de
base;           que ddx = ... = 0)          modo que [barra.t] =
criterio                                    ... = 0)

Operaciones     Diferenciacion:             Encontrad la fluxion a
fundamentales                               partir de un fluente
                Variable [flecha diestra    dado:
                variable infinitamente
                pequena                     Variable [flecha diestra
                                            tasa de cambio con
                x [flecha diestra] dx       respecto al tiempo de la
                dy [flecha diestra] ddy     variable

                                            x [flecha diestra] [??]
                                            [??] [flecha diestra]
                                            [barra.x]

                Sumision:                   Encontrar la cantidad
                                            fluente a partir de una
                Variable [flecha diestra]   fluxion dada:
                variable infinitamente
                grande                      x [flecha diestra] [??]

                x [flecha diestra] fx
                ydx [flecha diestra]
                [integral]ydx

Lugar           En los diferenciales dx,    En los momentos o,
principal de    ddx, ...                    [o.sup.2], ... del tiempo
los infinite-
simales

Principales     Triangulo caracteristico;   Integracion termino a
tecnicas        analogias con -, + y /, x   termino y diferenciacion
matematicas                                 de series de potencia

                Calculo leibniziano         Calculo moderno

Conceptos       Variable (variando en una   Funcion
fundamentales   serie de valores
                infinitamente proximos)

                Diferencial: diferencia
                infinitamente pequena
                entre valores sucesivos
                en la serie

Variable        dx = constante (de modo
base;           que ddx = ... = 0)
criterio

Operaciones     Diferenciacion:             Derivacion:
fundamentales
                Variable [flecha diestra    Funcion[R] funcion
                variable infinitamente      f [flecha diestra] f'
                pequena                     f [flecha diestra] f"

                x [flecha diestra] dx       (f' siendo la derivada de
                dy [flecha diestra] ddy     f y definida en terminos
                                            del concepto de limite
                                            como: [EXPRESION
                                            MATEMATICA IRREPRODUCIBLE
                                            EN ASCII])

                Sumision:                   Integracion:
                                            Funcion [flecha diestra]
                Variable [flecha diestra]   funcion
                variable infinitamente
                grande                      f [flecha diestra] F
                                            (con F(x) =
                x [flecha diestra] fx       [[integral].sup.x.sub.a]
                ydx [flecha diestra]        fit)dt)
                [integral]ydx

Lugar           En los diferenciales dx,    Analisis no estandar
principal de    ddx, ...                    Smooth infinitesimal
los infinite-                               analysis
simales

Principales     Triangulo caracteristico;
tecnicas        analogias con -, + y /, x
matematicas


Es importante destacar que tanto el calculo de Newton como el de Leibniz se refieren a variables, mientras que el calculo moderno trata con funciones. Todas las funciones son finitas y el concepto basico es el concepto de limite. En el analisis moderno ya no se habla de cantidades infinitamente pequenas ni infinitamente grandes. Aunque Newton trato de basar su calculo en el uso de limites, lo hizo de manera poco clara y satisfactoria. (7) Segun Courant, la fundamentacion del calculo fue oscurecida por el no reconocimiento del derecho exclusivo del concepto de limite como la fuente de los nuevos metodos (cf. Courant y Robbins 1996, p. 433). En la actualidad el concepto de limite ha sido completamente clarificado, avance con el que no contaban Leibniz y Newton en su epoca.

Se puede apreciar, por tanto, una clara y significativa diferencia de enfoques entre ambos matematicos, que concierne tanto a la manera de acceder a los problemas infinitesimales como a la fundamentacion del calculo y al problema del rigor en el desarrollo de las matematicas. Como advierte Hall (2002, p. 431), Newton fue un geometra por eleccion, mientras que Leibniz fue sobre todo un algebrista. Aunque ambos trabajaron con cantidades infinitamente pequenas y se dieron cuenta de los problemas logicos que su utilizacion implicaba, Newton, a diferencia de Leibniz, se tomo el problema del rigor mucho mas en serio. Como afirma Bos (1980, p. 93), Newton creia que su calculo podia proporcionar una fundamentacion rigurosa por medio del concepto de razones primeras y ultimas, un concepto afin al concepto de limite (aunque no identico a el). Pensaba que era <<posible ofrecer una explicacion completamente geometrica, expresada en terminos de su geometria cinematica, para el exito del metodo de los infinitesimales>> (Kitcher 1984, p. 237). Mientras los seguidores de Leibniz fueron criticados por utilizar libremente la manipulacion algebraica de <<simbolos vacios>>, Newton y sus adeptos fueron considerados como seguidores de <<los verdaderos metodos de los antiguos>>, cercanos al ideal euclideo del rigor.

Los escritos de Leibniz dan a entender que el no llego a considerar el problema del rigor, en lo que al calculo infinitesimal concierne, como algo especialmente urgente. Esta actitud puede parecer extrana en alguien que insistentemente reclama la necesidad de demostrar todas las proposiciones, incluso los axiomas, y que constantemente senala la importancia de que la ciencia se asiente sobre principios firmes y rigurosos. En algunos pasajes de su obra Leibniz explica las razones de ello. La ciencia en sus inicios (como en el nacimiento del calculo) no debe ser refrenada por exceso de celo formal ni por una desmesurada escrupulosidad en sus procedimientos, por cuanto el rigor excesivo puede ser contraproducente e incluso puede llegar a paralizar el avance de la propia ciencia (cf. NE IV 2 [seccion] 8). La fundamentacion del saber ha de valorarse en perspectiva y supeditarse a la naturaleza y repercusion de los resultados que produce. No se puede pretender fundamentar sobre bases absolutamente rigurosas algo que todavia no se ha alcanzado plenamente. El empeno por profundizar en la inteligencia de los primeros principios de la ciencia, admitidos en un comienzo sin prueba, y sin una estricta fundamentacion, responde sensu stricto a una fase del desarrollo del saber en la que ya se ha apuntalado y afianzado la conquista del nuevo territorio y en la que la ciencia ha logrado una suficiente madurez y seguridad en si misma (cf. NE IV 7 [seccion] 1). En otras palabras, la fundamentacion rigurosa de los cimientos del calculo infinitesimal puede esperar a la consolidacion de la ciencia. Inicialmente debe predominar la busqueda de procedimientos adecuados y la constatacion de la correccion de los resultados. De este modo, se ha de privilegiar en primera instancia el desarrollo de la logica inventiva de la ciencia, de los aspectos heuristicos de la matematica infinitesimal como ars inveniendi, en lugar de concentrarse en su justificacion rigurosa, a fin de lograr la consolidacion de sus metodos y resultados, que estan dirigidos a favorecer, en ultima instancia, el progreso y el bienestar del genero humano.

Esta actitud encuentra su explicacion mas plausible en el hecho de que Leibniz tenia conciencia plena de que el calculo suponia un avance revolucionario en matematicas, de modo que era preciso subordinar el escrupulo formal y la busqueda del rigor al progreso de esta rama nueva de las matematicas. Segun Hall (1980, p. 90), la principal diferencia entre Leibniz y Newton (y Huygens) reside en la valoracion del calculo.

Leibniz tuvo conciencia de que no se trataba de una mera prolongacion y continuacion de los metodos analiticos ya existentes, de un perfeccionamiento, si se quiere, de lo ya disponible, sino de una mutacion decisiva y de un salto cualitativo respecto de lo previamente alcanzado. Newton, aunque consciente del caracter innovador de sus logros, no lo vio asi. Leibniz, en cambio, considero su calculo infinitesimal como un gran paso adelante, al modo como lo fue la introduccion del algebra, de manera que la matematica jamas volveria a ser la misma. Leibniz tenia consciencia, en definitiva, del verdadero valor y trascendencia historica del calculo.

3. Caracteristica universal y notacion del calculo

A partir de ahora nos concentraremos sobre todo en algunos aspectos fundacionales del calculo infinitesimal leibniziano, que son de interes filosofico y de alcance sistematico en el pensamiento de Leibniz. En particular nos referiremos sucintamente al papel del simbolismo y del pensamiento simbolico en la concepcion de los infinitesimales como ficciones utiles.

Bos (1980, p. 60) afirma que la principal idea que se encuentra a la base de la invencion del calculo infinitesimal leibniziano es de naturaleza filosofica, a saber: la idea de la characteristica universalis como lenguaje simbolico general. A lo largo de toda su vida, Leibniz jamas abandono el proyecto de crear una characteristica generalis que empleara los caracteres, adecuadamente ideados, de modo que todas las consecuencias que se pudieran establecer, en el curso del razonamiento, procedieran directamente de los caracteres mismos. Un simbolismo semejante potenciaria la capacidad inventiva de la ciencia para beneficio de la humanidad. Insigne investigador e inventor de notaciones matematicas, es plenamente consciente de que la potencia y el exito de la matematica provienen en gran medida de la indole peculiar de su lenguaje simbolico. Leibniz consideraba, como afirma Dascal (1978, p. 5), sus exitos en el algebra, el calculo infinitesimal y la logica como simples muestras de su proyecto mas ambicioso de crear una notacion simbolica universal que se convertiria en el instrumento definitivo de perfeccionamiento de la ciencia y de la filosofia. Leibniz dimensiono con acierto el valor de la notacion de su nuevo calculo y de las ventajas operacionales propiciadas por ella (cf. Hall 1980, p. 90).

Leibniz destaca las virtudes de su simbolismo en su escrito Symbolismus memorabilis calculi algebraici et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differentiarum, et de lege homogeneorum transcendantal, publicado en 1710 en Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, poniendo de relieve la analogia que permite establecer su notacion entre la elevacion a una potencia de una suma de variables y la diferenciacion de un producto de variables. Esta analogia se observa constantemente si se continua la potenciacion y la diferenciacion, de modo que es posible operar con los diferenciales como si se tratase de potencias algebraicas. Con ello se revela y enfatiza que d actua como un operador diferencial sobre una variable.

La regla de la diferenciacion del producto de dos variables establece que d(xy) = xdy + ydx (cf. Leibniz 1989, p. 106). (8) A partir de ella se tiene que [d.sup.2](xy) = dd(xy) = d(xdy + ydx) = [d.sup.2]x[d.sup.0]y + 2dxdy + [d.sup.0]x[d.sup.2]y = y[d.sup.2]x + 2dxdy + x[d.sup.2]y, siendo [d.sup.0]x = x y [d.sup.0]y = y. Si se desarrolla el cuadrado del binomio de dos variables se tiene que [(x + y).sup.2] = [x.sup.2][y.sup.0] + 2[x.sup.1][y.sup.1] + [y.sup.2][x.sup.0] = [x.sup.2] + 2xy + [y.sup.2], con [x.sup.0] = 1 y [y.sup.0] = 1 De este modo, el simbolismo exhibe una similitud entre los desarrollos de [d.sup.n](xy) y [(x +y).sup.n] 0 como escribe Leibniz, [p.sup.n](x +y). Se observa que la diferenciacion se convierte en una manipulacion simbolica y mecanica gracias a la combinatoria (cf. Leibniz 1989, p. 419, nota 24).

Ahora bien, la notacion de Leibniz <<no es meramente sugestiva por si misma--como advierte Courant--, sino que es en realidad sumamente flexible y util. La razon es que en muchos calculos y transformaciones formales podemos tratar con los simbolos dx y dy exactamente como si fueran numeros ordinarios. Tratando a dx y dy como numeros es posible dar una expresion mas clara a muchos calculos que pueden llevarse a cabo con toda validez sin su uso>> (Courant y John 1988, p.193). Para facilitar la operatoria y potenciar la capacidad inventiva de los caracteres, este simbolismo trata, de alguna manera, lo continuo como si fuera discreto, los infinitesimales como si fueran cantidades finitas. (9) Las analogias que el simbolismo de Leibniz sugiere ayudan a agilizar y automatizar el pensamiento. La doctrina leibniziana del pensamiento simbolico permite comprender mejor este planteamiento, como veremos a continuacion.

4. Pensamiento ciego

El proyecto de la caracteristica universal y la doctrina del pensamiento simbolico van de la mano para Leibniz, lo cual se refleja en la invencion de la notacion del calculo infinitesimal. En las Meditaciones sobre el conocimiento, la verdad y las ideas (1684) Leibniz sostiene que el pensamiento ciego o simbolico se utiliza <<no solo en el algebra, sino en la aritmetica, y casi en todo>> (GP IV 423). Los caracteres y pensamientos ciegos son utiles para el razonamiento, por motivos de eficiencia mental y economia temporal.

Creo que, efectivamente, sin el deseo de hacerse entender nunca hubieramos llegado a formar un lenguaje; y una vez formado, tambien le sirve al hombre para razonar por si mismo, tanto por la oportunidad que le dan las palabras para acordarse de los pensamientos abstractos como por la utilidad que tiene para razonar el servirse de caracteres y pensamientos sordos [caracteres et pensees sourdes], pues si hiciese falta explicarlo todo y substituir siempre cada termino por su definicion, necesitariamos demasiado tiempo. (NE III 1 [seccion]2).

Ahora bien, la utilizacion de sistemas simbolicos no garantiza de suyo el conocimiento. Como todo instrumento, el organo simbolico debe ser adecuado a su finalidad. Si no lo es, su uso puede ser contraproducente. Segun Leibniz, puede acontecer que lo que es expresado en el lenguaje no necesariamente tenga su correlato en el plano de las ideas. Constituye un requisito de todo conocimiento la posesion efectiva de una idea de la cosa de la que se piensa o se habla, de acuerdo a criterios estrictamente logicos, no psicologicos.

Sin embargo, Leibniz argumenta en los Nuevos ensayos que el pensamiento simbolico se caracteriza por la existencia de algo vacio y sordo en el pensamiento (quelque chose de vuide et de sourd dans la pensee), que no queda cubierto sino por el nombre, ya sea porque, al usar las palabras, no se lo vincula a ninguna idea, ya sea porque se lo une a una idea imperfecta (idee imparfaite), una de cuyas partes esta vacia y, por asi decir, queda en blanco. (10) Esta clase de pensamiento, desprovisto de contenido, es frecuente e incluso fundamental en la ciencia matematica, puesto que no siempre es posible disponer de la ayuda de las figuras, como en geometria. El algebra pone de relieve que es posible realizar grandes descubrimientos sin tener que recurrir siempre a las ideas mismas de las cosas (cf. NE IV 3 [seccion]30). Como acontece en el calculo algebraico, el pensamiento consiste en gran medida en el empleo y manipulacion ciega o sorda de caracteres, donde se considera solamente de vez en cuando lo que los signos representan.

El espiritu, debido a la naturaleza finita de las facultades humanas de conocer, busca afanosamente maneras de compendiar, abreviar, tomar atajos. Sin estos recursos artificiales el espiritu no avanzaria mucho en la comprension y conocimiento de la complejidad de lo real. Sin alguna clase de signos no se podria pensar ni razonar. Para Leibniz el pensamiento ciego cumple una funcion vital en la abstraccion y en los procedimientos algoritmicos, en los cuales se ha de prestar atencion principalmente a las reglas sintacticas que regulan la operatoria con los caracteres. Aunque Leibniz piensa que se trata de una tendencia extensamente documentada en el lenguaje natural, con resultados dispares, es en los lenguajes formales, como en las matematicas, donde se ha sabido encausar adecuadamente y sacar rendimiento a esa disposicion cognitiva natural.

5. Infinitesimales como ficciones utiles

Cuando Leibniz hizo publico su calculo infinitesimal, las objeciones relativas al caracter supuestamente contradictorio de los infinitesimales no tardaron en llegar. Podian ser tratados como cantidades finitas y la notacion de Leibniz permitia establecer fructiferas asociaciones con el calculo numerico en terminos algoritmicos. Pero al mismo tiempo los infinitesimales de grado superior se igualaban a cero, lo cual supone al menos las siguientes dificultades. El infinitesimal parece constituir una entidad matematica intermedia entre el cero y una cantidad finita, sin ser en realidad ninguna de las dos. Ademas, como los infinitesimales de grado superior son despreciados, los resultados alcanzados parecen ser tan solo aproximaciones, en lugar de resultados exactos. Tambien se objeto que se considerara a los infinitesimales como cantidades realmente existentes, aunque muy pequenas, a la manera de los indivisibles de Cavalieri.

Leibniz adopta basicamente dos estrategias para defender su calculo y la indole de los infinitesimales. Aunque argumento--en linea con el concepto moderno de limite--que el infinitesimal (el diferencial) es una cantidad que se puede hacer siempre mas pequena que una cantidad dada, su respuesta madura consistio en sostener que el infinitesimal es una ficcion util, una ficcion bien fundada. Poco antes de morir, en su escrito de 1716 La ultima respuesta, declara que <<el calculo infinitesimal es util cuando se trata de aplicar la matematica a la fisica, aunque no pretendo emplearlo para dar cuenta de la naturaleza de las cosas. Pues considero a las cantidades infinitesimales como ficciones utiles>> (GP IV 629). En lo que sigue nos concentraremos en esta linea de defensa de Leibniz y mostraremos su vinculacion con la doctrina del pensamiento simbolico.

Es importante destacar que Leibniz califica de ficcion util al infinitesimal, porque las ficciones pueden ser, como de hecho sucede frecuentemente, ficciones inutiles, improductivas. Como la duda cartesiana, las ficciones pueden ser extravagantes (cf. Advertencia a la parte general de los Principios de Descartes, GP IV 358, EF 482). Ahora bien, segun Leibniz, los entes matematicos se caracterizan precisamente por ser entia imaginaria, los cuales pueden ser posibles o imposibles, puesto que hay ficciones imposibles como la cuadratura del circulo. En terminos practicos, y en tanto que nocion posible, el infinitesimal es admitido por la utilidad que su uso reporta.

En una carta a Des Bosses del 11 de marzo de 1706 Leibniz se expresa de manera significativa sobre el asunto:

Filosoficamente hablando no sostengo las magnitudes infinitamente pequenas mas que las infinitamente grandes, o las infinitesimales mas que las infinituplas. Pues las considero, a unas y otras, ficciones de la mente [mentis fictionibus], debido a formas abreviadas de hablar [modum loquendi compendiosum], aptas para el calculo, tal como son las raices imaginarias en el algebra. Ademas, he demostrado que estas expresiones tienen gran utilidad para abreviar el pensamiento [ad compendium cogitandi] y de este modo para la invencion; y no pueden conducir al error, ya que bastaria con sustituir lo infinitamente pequeno por una magnitud tan pequena como uno quiera, de modo que el error seria menor que cualquiera dado; de donde se sigue que no puede darse ningun error. (GP II 305; Leibniz 2007, pp. 32-33).

El caracter ficcional de los infinitesimales viene dado entonces por el hecho de ser formas compendiadoras de hablar, atajos simbolicos, formas de escribir que ahorran tiempo y energia mental y permiten automatizar el pensamiento. El infinitesimal constituye, en fin, una abreviatura cuya existencia seria, por de pronto, meramente nominal e imaginaria. En cierta forma, Leibniz es nominalista (al menos provisional) en lo que a las nociones matematicas concierne. (11) Segun el, los entes matematicos son seres abstractos que no existen realmente. La ficcion matematica entonces se juega, por asi decir, su carta de ciudadania como dispositivo cognitivo en la utilidad y fecundidad que su empleo conlleva en terminos heuristicos, algoritmicos y computacionales.

En la medida en que constituyen formar de hablar que compendian procedimientos de paso al limite y que, con todo, pueden considerarse como si fuesen magnitudes indivisibles, aunque en realidad no lo sean, los infinitesimales que en realidad no lo sean, los infinitesimales son ficciones utiles. Aun cuando dy/dx designe una operacion de diferenciacion respecto a una variable, puede tratarse, sin embargo, como si fuese un cociente de magnitudes finitas, como una fraccion racional. Desde el punto de vista de la eficiencia operacional este tratamiento es muy util para resolver ecuaciones diferenciales simples. El ficcionalismo leibniziano respecto a los infinitesimales descansa en el tratamiento algoritmico "como si" que se les puede dispensar.

Estos procesos de abreviacion han sido especialmente relevantes en el desarrollo historico del algebra, que--como afirman numerosos eruditos (cf. Bell 1985, pp. 132-133; Dantzig 2007, p. 80)--ha pasado por las fases retorica, sincopada y simbolica, en las cuales un proceso paulatino de sincopacion ha permitido finalmente que las abreviaturas se conviertan en autenticos simbolos algebraicos. El caso de los infinitesimales y de los numeros imaginarios seria una <<vuelta de tuerca>> adicional en este proceso de abstraccion, formalizacion y simbolizacion creciente del lenguaje matematico. Desde el punto de vista leibniziano, los sistemas simbolicos matematicos tienden a avanzar por el camino de una independizacion y autonomia progresivas respecto a los supuestos objetos que representarian y a los que se referirian. El simbolismo propende para Leibniz a la presentacion meramente formal de estructuras que los signos y sus relaciones revelarian.

6. A modo de conclusion

Como hemos visto, existen similitudes y diferencias importantes entre el calculo infinitesimal de Leibniz y el calculo de fluxiones de Newton. Ambas versiones del calculo se basan en el uso de variables, en lugar de trabajar con funciones, como se hace en el analisis moderno. Pese a ciertas formulaciones de Newton, y a algunas sugerencias mas bien aisladas de Leibniz, el concepto basico del calculo infinitesimal no es para ellos el concepto moderno de limite, sino el de fluxion y el de diferencial respectivamente. De todos modos, estos puntos en comun en los desarrollos de ambos autores no deberian hacernos perder de vista las profundas diferencias existentes entre ambas concepciones del calculo, en lo que respecta especialmente a sus puntos de partida y a los enfoques que los caracterizan y les dan forma. Newton se intereso mas por el rigor que Leibniz, debido tal vez a que no vio con la misma claridad que este el significado y el caracter revolucionarios del nuevo analisis matematico. Su cercania al punto de vista tradicional, basado en la geometria clasica como modelo de certeza y rigor, contribuyo a ello en gran medida. Leibniz, mas cercano al modo algebraico de pensar e interesado en los metodos generales que explotan los aspectos algoritmicos y la automatizacion de los procedimientos de calculo, vio la importancia capital del simbolismo. Su ojo avizor, desarrollado en sus estudios de logica formal y combinatoria numerica, le permitio asociar inmediatamente su proyecto general de crear una caracteristica universal con la invencion del calculo. Pero la utilidad real de la caracteristica solo puede entenderse a la luz de una epistemologia que ponga debidamente de relieve la importancia del organo simbolico en el saber sobre la base de la disposicion natural del hombre para ello. Su doctrina del pensamiento ciego o simbolico constituye un elemento clave que permite vincular ese proyecto con la obtencion de resultados efectivos en las ciencias. Aunque Leibniz da a entender en numerosos pasajes que no es partidario de un formalismo puro, puesto que los signos en algun momento tienen que referirse a algun contenido ideal, a fin de dar un fundamento al pensamiento a parte rei, no se puede negar, de todas formas, la existencia de una cierta tension entre la doctrina leibniziana del pensamiento simbolico y su teoria de las ideas, en la medida en que el simbolismo tiende a una formalizacion extrema y a un desarrollo autonomo, pues se hace cada vez mas dificil referir las "ficciones" y las abstracciones resultantes a las ideas que en principio les corresponderian.

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Notas

(1.) El teorema fundamental del calculo se puede formular brevemente asi: La derivada de la integral indefinida F(x) = [[integral].sup.x.sub.a] f(u)du = como funcion de x es igual al valor de f(u)en el punto x. F'(x) = f(x). En otras palabras, el proceso de integracion, que lleva de la funcion f(x) a F(x)(la primitiva de f(x)), se invierte por el proceso de diferenciacion aplicado a F(x) (cf. Courant y Robbins 1996, pp. 436-437).

(2.) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (escrito en 1669 y publicado en 1711); Methodus fluxionum et serierum infinitorum (escrito en 1671 y publicado en 1742 (en version inglesa en 1736); De quadratura curvarum (escrito en 1676 y publicado en 1704).

(3.) Esta es la traduccion al ingles de 1736 del original latino no publicado hasta ese entonces. La traduccion fue realizada por John Colson, maestro de la escuela libre de matematicas Sir Joseph Williamson, asentada en Rochester.

(4.) El problema de encontrar tales relaciones se basa en suponer que la cantidad es <<infinitamente divisible, o que puede ser (al menos mentalmente) disminuida continuamente, de modo que al final, antes de que se extinga totalmente, se llegue a cantidades que pueden llamarse cantidades evanescentes [vanishing Quantities], o que son infinitamente pequenas y menores que cualquier cantidad asignable>> (Newton 1736, p. xi).

(5.) Leibniz escribe en Historia et origo: <<Pero la aplicacion de verdades numericas a la geometria y tambien la consideracion de series infinitas eran a la sazon totalmente ignotas para nuestro mozo, quien dabase por satisfecho con observar complacido cosas tales en series de numeros. Nada tenia de la geometria, fuera de vulgarisimos preceptos practicos, y apenas miraba a Euclides con atencion suficiente, metido de plano en otros estudios>> (Duran 2006, p. 240).

(6.) Este cuadro esta basado en Bos (1993, p. 96), Bos (1980, pp. 92-93) y Grattan-Guinness (1998, p. 245).

(7.) En la seccion primera del libro primero (lema I) de los Principia Newton proporciona una especie de definicion del limite de una variable: <<Las cantidades, y las razones de cantidades, que en cualquier tiempo finito tienden continuamente a la igualdad, y que antes de terminar ese tiempo se aproximan una a otra mas que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales>> (Newton 2011, p. 61).

(8.) Leibniz lo habia introducido en las Acta Eruditorum en octubre de 1684 en el Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculis genus.

(9.) Leibniz pasa de lo discreto a lo continuo, dandose cuenta de las analogias y similitudes entre el estudio de sumas y diferencias de numeros en los triangulos aritmetico y armonico y las consideraciones infinitesimales sobre tangentes y cuadraturas (cf. Boyer 1959, pp. 203-204).

(10.) Leibniz llama tambien a los pensamientos ciegos (cogitationes caecas) pensamientos sordos (pensees sourdes), esto es, vacios de percepcion y sentimiento (vuides de perception et de sentiment) (cf. NE II 21 [seccion] 35). En el siglo XVII, se llamaba numeros sordos o razones sordas (rationes surdae) a los numeros irracionales o inconmensurables (numera incommensurabilia), es decir, aquellos numeros que no pueden ser expresados como cociente entre dos numeros enteros, siendo [raiz cuadrada]2 un buen ejemplo de ellos (cf. C 17-18; NE II 16 [seccion] 4). Newton, de hecho, en su Arithmetica Universalis, define numerus surdus, como aquel que es inconmensurable con la unidad (cui unitas est incommensurabilis) (cf. Newton 1722, p. 2).

(11.) Como afirma en la Disertacion del estilo filosofico de Nizolio (1670), <<nominalistas son los que piensan que todas las cosas, excepto las sustancias singulares, son meros nombres. Niegan, por tanto, de raiz, la realidad de los abstractos y universales>> (Leibniz 1993, p. 85).
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Author:Vinuela Villa, Pedro A.
Publication:Revista de Filosofia de la Universidad de Costa Rica
Date:Jan 1, 2012
Words:6887
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