Printer Friendly

Comportamiento estructural y predictivo de variables macroeconomicas: combinando meegd y var.

STRUCTURAL BEHAVIOR AND FORECAST OF MACROECONOMIC VARIABLES: COMBINING DSGE AND VAR

COMPORTAMENTO ESTRUTURAL E PREDITIVO DE VARIAVEIS MACROECONOMICAS: COMBINANDO MEEGD E VAR

CONTENIDO

Introduccion; 1. El modelo estocastico de equilibrio general; 2.Vector autoregresivo bayesiano; 3. El algoritmo de estimacion; 4. Desempeno predictivo; 5.Conclusiones; Bibliografia; Anexos.

CONTENT

Introduction; 1. The general equilibrium stochastic model; 2.Bayesian autoregressive vector; 3. The estimation algorithm; 4. Predictive performance; 5. Conclusions; Bibliography.

CONTEUDO

Introducao; 1. O modelo estocastico de equilibrio geral; 2. Vetor autoregresivo bayesiano; 3. O Algoritmo de estimacao; 4. Desempenho preditivo; 5. Conclusoes; Bibliografia; Anexos.

INTRODUCCION

Los modelos estocasticos de equilibrio general dinamico (MEEGD) y los vectores auto-regresivos (VAR) se han convertido en herramientas estandares en el medio academico y en las instituciones que disenan y ejecutan politicas economicas. Los MEEGD proveen un marco conceptual que integra en un mismo modelo, la interrelacion entre la dinamica del ciclo economico, la inflacion y la politica monetaria. Su fundamentacion microeconomica permite analizar los efectos de los shocks estructurales, o shocks con sentido economico, en la dinamica de una economia. Sin embargo, la utilizacion de estos modelos en la Banca Central se ha visto limitada por su bajo desempeno predictivo en comparacion con otras herramientas. Para las instituciones disenadoras y ejecutoras de politicas economicas, predecir los efectos de una politica determinada es crucial para la toma de decisiones. Los VAR son las herramientas predilectas por estas instituciones debido a su buen rendimiento predictivo. Sin embargo, los shocks que se estiman mediante un VAR son shocks predictivos que no permiten computar la respuesta dinamica a los shocks estructurales. Para identificar los shocks estructurales a partir de los shocks predictivos se ha desarrollado una vasta y sofisticada literatura (Christiano, Eichenbaum y Evans, 1999). Recientemente se han hecho importantes progresos para mejorar la capacidad predictiva de los MEEGD, entre los que destacan los trabajos de Smets y Wouters (2003) y Schorfheide y Del Negro (2004) que combinan ambos tipos de Modelos.

En Schorfheide y Del Negro (2004), con las simulaciones generadas por un MEEGD, se construyen las densidades a priori de los parametros de un VAR bayesiano (BVAR). Combinando la densidad a priori con la verosimilitud de las series observadas, se estima conjuntamente la densidad a posteriori de los parametros del BVAR y del MEEG. El BVAR y el MEEGD, resultantes de este proceso de estimacion, los denominaremos el BVAR-MEEGD. Entre las principales ventajas de la metodologia de Schorfheide y Del Negro (2004) podemos senalar, en primer lugar, que permite estimar de manera conjunta los parametros del BVAR y del MEEGD. De modo que esta metodologia proporciona un modelo dinamico de naturaleza estructural para la comprension de la dinamica economica y al mismo tiempo un modelo predictivo, altamente valorado para su uso en el diseno de politica economica. Ademas, permite construir densidades a priori de una BVAR fundamentado economicamente, a diferencia de las densidades a priori comunmente empleadas cuya motivacion es de naturaleza estadistica. Es computacionalmente eficiente: el calculo de la verosimilitud del BVAR y del MEEGD no requiere del Algoritmo de Kalman, que es la herramienta con la que usualmente se calcula la verosimilitud de los MEEGD. Provee una solucion alternativa a las ya conocidas, al problema de identificacion del VAR estructural, de una manera natural y sin mayor costo computacional.

EL modelo BVAR-MEEGD presupone que las series de datos observables con las que se efectua la estimacion son estacionarias, un supuesto que no presenta inconvenientes para la economias de paises como USA. Las economias de los paises latinoamericanos, y los paises emergentes en general, presentan un comportamiento menos estable. ?Los modelos BVAR-MEEGD para estas economias tienen sentido? ?Es la tecnica de estimacion lo suficientemente robusta como para superar los problemas de irregularidades de las series de datos observables? En este trabajo se intenta dar respuesta a estas interrogantes, estimando un BVAR-MEEGD para la economia venezolana, cuyo comportamiento es menos estable que las economias desarrolladas, y evaluando su comportamiento tanto predictivo como estructural. Para ello, se considera un modelo estilizado neokeynesiano planteado en Woodford (2003), que tiene como variables observables (que son, a su vez, las variables endogenas del VAR) el producto, la inflacion y las tasa de interes. Se presentan comparaciones del desempeno predictivo entre el BVAR-MEEGD y de dos referentes de prediccion macroeconomica, un VAR estimado por minimos cuadrados ordinarios y el BVAR de Litterman (1985). Los resultados de esta comparacion muestran que las proyecciones de la inflacion y las tasas de interes del BVAR-MEEGD superan a los dos referentes mencionados. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante minimos cuadrados ordinarios, se observa tambien un buen desempeno predictivo. Se evalua el comportamiento estructural de las variables del modelo ante un shock monetario mediante el analisis de las funciones impulso-respuesta del MEEGD. El comportamiento observado es consistente con la teoria economica.

El trabajo esta estructurado de la manera siguiente: en la primera seccion, se presenta el MEEGD, su loglinealizacion y las ecuaciones de evolucion de las observaciones. En la segunda seccion, se construye el BVAR-MEEGD de Schorfheide y Del Negro (2004), su densidad a priori y su densidad a posteriori. En la tercera, se presenta el algoritmo de estimacion. En la cuarta seccion, se analizan los resultados de las comparaciones de los desempenos predictivos de los distintos VAR y las respuestas del MEEGD ante shocks monetarios. Finalmente, se presentan las conclusiones.

1. EL MODELO ESTOCASTICO DE EQUILIBRIO GENERAL DINAMICO (MEEGD)

En esta seccion se presenta brevemente el modelo estocastico de equilibrio general dinamico considerado en este trabajo; para mayores detalles acerca del modelo se puede consultar King (2000), Woodford (2003) o Schorfheide y Del Negro (2004). Es un modelo de un agente representativo, los hogares, un continuo de firmas monopolisticas con una funcion de costos de ajustes de precios cuadraticos, y una autoridad monetaria que fija las tasa de interes de acuerdo con una regla de Taylor (Taylor, 1993).

Las preferencias de los hogares, en terminos de consumo y ocio, y de su balance real (1) de efectivo se expresan en la siguiente funcion de utilidad

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (1)

Donde [E.sub.t] es el operador de expectativas, [beta] es el factor de descuento, t es el parametro de aversion al riesgo, [C.sub.s], [A.sub.s] y [h.sub.s] representan el consumo, el factor de productividad y las horas trabajadas en el periodo de tiempo s, respectivamente. [M.sub.s] / [P.sub.s] denota los balances reales, [ji] el factor de escala y [P.sub.s] es el nivel de precios nominal. La inflacion en el periodo de tiempo t la denotaremos mediante [pi] = [P.sub.t] / [P.sub.t-1].

La restriccion presupuestaria de los hogares esta dada por,

[C.sub.t] + [B.sub.t]/[P.sub.t] + [M.sub.t]/[P.sub.t] + [T.sub.t]/[P.sub.t] = [W.sub.t][h.sub.t] + [M.sub.t- 1]/[P.sub.t] + [R.sub.t-1] [B.sub.t-1]/[P.sub.t] + [D.sub.t]. (2)

En este caso [B.sub.t] /[P.sub.t] representa los bonos, [T.sub.t] /[P.sub.t] los impuestos, [W.sub.t] el salario real, [R.sub.t-1] las tasas de interes y [D.sub.t] los beneficios de las firmas que son distribuidos uniformemente a los hogares.

La oferta agregada es generada por un continuo de firmas monopolisticas competitivas. La funcion de demanda de la j-esima firma esta dada por,

[P.sub.t](j) = [([X.sub.t](j)/[X.sub.t]).sup.-1/v][P.sub.t], (3)

Donde [P.sub.t](j) es el nivel de precios que maximiza los beneficios de las firmas para un nivel de produccion [X.sub.t](j) y v la elasticidad de sustitucion entre diferentes bienes. La rigidez de precios se modela mediante la funcion cuadratica de costos de menu,

[fi]/2[([P.sub.t](j)/[P.sub.t-1](j) - [[pi].sup.*]).sup.2] [X.sub.t](j), (4)

Donde [fi] representa un parametro que caracteriza el grado de rigidez de los precios y [[pi].sup.*] la inflacion del estado estacionario.

La funcion de produccion esta dada por, [X.sub.t](j) = [A.sub.t][h.sub.t](j), (5)

Donde [A.sub.t] el factor de productividad, un proceso auto-regresivo en logaritmos de raiz unitaria.

ln([A.sub.t]) = ln [gamma] + ln [A.sub.t-1] + [[??].sub.t], y [[??].sub.t] es un AR(1), (6)

[[??].sub.t] = [[rho].sub.z][[??].sub.t-1] + [[epsilon].sub.z,t], (7)

Donde [[epsilon],sub.z,t] es el shock a la productividad.

La autoridad monetaria ajusta la tasa de interes nominal siguiendo una regla de Taylor, que responde a las desviaciones de la inflacion y de la produccion de sus respectivos niveles, es decir,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (8)

Donde, [R.sup.*] es la tasa de interes nominal, [X.sup.*.sub.t] es la produccion potencial, [X.sup.*.sub.t] = [A.sub.t] y [[epsilon].sub.R,t] es el shock a las tasas de interes. El parametro 0 [menor que o igual a] [[rho].sub.R] < 1 es el coeficiente de suavizado (Taylor, 1993).

El gobierno consume una fraccion [[zeta].sub.t] de cada bien j. Se define [[??].sub.g,t] = 1/1 - [[zeta].sub.t] se asume que

[[??].sub.t] = ln([g.sub.t]/[g.sup.*]) sigue un proceso AR(1) estacionario,

[[??].sub.t] = [[rho].sub.g][[??].sub.t-1] + [[epsilon].sub.g,t], (9)

[[epsilon].sub.g,t] se interpreta como un shock de los gastos del gobierno. El gobierno recauda impuestos para financiar su deficit o efectuar transferencias a los hogares en caso de superavit, es decir, no hay deuda publica.

La restriccion presupuestaria del gobierno esta dada por,

[[zeta].sub.t][X.sub.t] + [R.sub.t-1] [B.sub.t-1]/[P.sub.t] + [M.sub.t-1]/[P.sub.t] = [T.sub.t]/[P.sub.t] + [M.sub.t]/[P.sub.t] + [B.sub.t]/[P.sub.t], (10)

Donde, [R.sub.t-1] es la tasa de interes en el periodo de tiempo t - 1, y [T.sub.t] / [P.sub.t] es el impuesto en el periodo de tiempo t.

Tenemos entonces, que el MEEGD tiene tres shocks estructurales [[epsilon]'.sub.t] = [[epsilon].sub.R,t], [[epsilon].sub.g,t], [[epsilon].sub.z,t]], y un vector de los parametros estructurales,

[theta]' = [??]ln [gamma], ln [fi].sup.*], ln [r.sup.*], [kappa], [tau]. [[psi].sub.1], [[psi].sub.2], [[rho].sub.r], [[rho].sub.g], [[rho].sub.z], [[sigma].sub.R], [[sigma].sub.g], [[sigma].sub.z][??] (11)

El estado estacionario del modelo, las condiciones de primer orden del problema de maximizacion de los hogares y las firmas, y su version loglinealizada del modelo se presentan en el anexo A.

2. VECTOR AUTO-REGRESIVO BAYESIANO (BVAR)

El BVAR [y.sub.t] = [[fi].sub.0] + [[fi].sub.1][y.sub.t-1] + ... + ([[fi].sub.p][y.sub.t-p] + [u.sub.t], con [u.sub.t] normal multivariada N (0, [[suma].sub.u]), se representara en el formato de un sistema de ecuaciones simultaneas. Esta representacion permitira obtener la funcion de verosimilitud del VAR de una forma particularmente sencilla y util.

Denotemos mediante Y la matriz de datos, de dimension T x n , es decir,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (12)

Sea k = 1 + np y X la matriz con la data rezagada, de dimension T x k , sea [x.sup.k.sub.t-j] = ([y.sup.k.sub.t-j], [y.sup.k.sub.t-j], ..., [y.sup.k.sub.t-j])' con j = 1, ..., p y k = 1, ...,n y 1 = (1, ..., 1)', entonces,

X = (1' [x.sup.1.sub.t-1], [x.sup.2.sub.t-1], ..., [x.sup.n.sub.t-1], ..., [x.sup.1.sub.t-l], ..., [x.sup.n.sub.t-l], ..., [x.sup.1.sub.t-p] ..., [x.sup.n.sub.t-p]) (13)

U es la matriz de ruidos, de dimension T x n y [fi] es de dimension (1 + np) x n, es decir,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (14)

[fi] la matriz de coeficientes,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (15)

El BVAR puede ser expresado como Y = X[fi] + U con la funcion de verosimilitud,

p(Y | [fi], [[suma].sub.u]) = 1/[(2[pi]).sup.nT/2]

[[valor absoluto de x [[suma].sub.u]].sup.-nT.2] exp{-1/2 tr[ [[suma].sup.-1.sub.u](Y'Y - [fi]'X'Y - Y'X[fi] + [fi]'X'X[fi]}, (16)

condicional a las observaciones [y.sub.1-p], ..., [y.sub.0].

2.1. La verosimilitud y la densidad a priori

Sea Y la muestra observada, T el numero de observaciones y X la matriz de rezagos de Y . La muestra observada es ampliada con observaciones sinteticas [T.sup.*] = [lambda]T, ([Y.sup.*], [X.sup.*]) (para [lambda] fijo), simuladas a partir del MEEGD, (cuyo vector de parametro es [theta]). La funcion de verosimilitud combina la data observada y la sintetica, como se observa a continuacion.

p(Y | [fi], [[suma].sub.u]) = 1/[(2[pi]).sup.nT/2]

[[valor absoluto de x [[suma].sub.u]].sup.nT/2] exp{-1/2 tr[[suma].sup.-1.sub.u](Y'Y - [fi]'X'Y - Y'X[fi] + [fi]'X'X[fi]}, (17)

Factorizando obtenemos,

p([Y.sup.*]([theta]), Y |[fi] [[suma].sub.u]) = p([Y.sup.*]([theta])|[fi], [[suma].sub.u])p(Y|[fi], [[suma].sub.u]) (18)

el termino p([Y.sup.*] ([theta])|[fi], [[suma].sub.u]) puede ser interpretado como una densidad a priori de ([fi], [[suma].sub.u]). La informacion acerca de los parametros del BVAR esta contenida en la data simulada a partir del MEEGD.

En la expresion (17) si se sustituyen los momentos muestrales por los momentos poblacionales ([lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xy] ([theta]), [lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xx] ([theta]) y ATT* (9) ) se tiene la siguiente definicion,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (19)

con c([theta]) el factor de normalizacion, es decir,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (20)

En (19) tenemos una densidad a priori de [fi] y [[suma].sub.u] condicionada por los parametros del MEEGD.

La densidad a priori condicionada puede ser expresada como producto de densidades conjugadas naturales, lo cual simplifica su computo.

Si definimos,

[[fi].sup.*]([theta]) = [[GAMMA].sup.*-1.sub.xx]([theta]) [[GAMMA].sup.*-1.sub.xy]([theta]), (21)

[[suma].sup.*.sub.u]([theta]) = [[GAMMA].sup.*.sub.yy]([theta]) - [[GAMMA].sup.*.sub.yy]([theta]) [[GAMMA].sup.*- 1.sub.xx]([theta]) [[GAMMA].sup.*.sub.xy]([theta]) (22)

entonces,

[[suma].sub.u] | [theta] - Inv - Wishart([lambda]T[[suma].sup.*.sub.u]([theta]), [lambda]T - k, n), (23)

[fi] | [[suma].sub.u], [theta] ~ N([[fi].sup.*](theta), [[suma].sub.u] [producto cruzado] [([lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]))-.sup.1), (24)

[[suma].sub.u], [fi] | [theta] ~ Inv - Wishart (25)

p([[suma].sub.u], [fi] | [theta]) tiene una distribucion InversaWishartNormal (Zellner, 1971).

La densidad conjunta de los parametros del BVAR y los parametros del MEEGD se obtiene como,

p([fi], [[suma].sub.u], [theta]) = p([fi], [[suma].sub.u], [fi] | [theta])p([theta]). (26)

Por otra parte, como [[fi].sup.*]([theta]) (24) es el estimador de minimos cuadrados ordinarios (en el caso de una regresion lineal el estimador de maxima verosimilitud (emv)) es igual al estimador de minimos cuadrados ordinarios (mco), [[fi].sup.*]([theta]) minimiza el error cuadratico medio (ecm) a un paso.

2.2. Densidad a posteriori

La densidad a posteriori conjunta de los parametros del BVAR y el MEEGD satisface,

p([fi], [[suma].sub.u], [theta] | Y) = p p([fi], [[suma].sub.u] | Y, [theta])p([theta] | Y), (27)

Con p([fi], [[suma].sub.u], [theta]|Y) la densidad a posteriori de todos los parametros, p([fi], [[suma].sub.u], |Y, [theta]) la densidad posteriori de los parametros del VAR dado los parametros del MEEGD y p([theta]|Y) es la densidad a posteriori de los parametros del MEEGD, que es generada por Metropolis-Hasting y empleando el Algoritmo de Sims (2002).

Ademas,

p([fi], [[suma].sub.u], |Y, [theta]) = p([[suma].sub.u] | Y, [theta])p([fi] | Y, [theta], [[suma].sub.u]) (28)

Como la densidad a priori tiene una distribucion Inversa Wishart-Normal y la funcion de verosimilitud tiene una distribucion normal, se tiene que son conjugados naturales. Zellner (1971) muestra que la "densidad a posteriori" de [fi] [[suma].sub.u] es Inversa Wishart-Normal, es decir,

[[suma].sub.u] | , [theta] ~ Inv - Wishart(([lambda] + 1)T[[??].sub.u]([theta]), (29) (1 + [lambda])T - k, n),

[fi]p | Y, [[suma].sub.u], [theta] ~ N([??]p, [[suma].sub.u] [producto cruzado] [([lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]) + X'X).sup.-1] (30)

Donde [??]([theta]) y [[??].sub.u]([theta]) son los estimadores de Maximo Verosimilitud (MV) de [fi] y [[suma].sub.u], es decir,

[??]([theta]) = [([lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]) + X'X).sup.-1] ([lambda]T[[GAMMA].sup.*.sub.xy]([theta]) + X'Y), (31)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (32)

Schorfheide y Del Negro (2004), muestran las siguientes relaciones entre la densidad a posteriori y la verosimilitud.

Proposicion 1. La densidad posterior conjunta de los parametros del BVAR y el MEEGD puede ser escrita como,

p([fi], [[suma].sub.u][theta]|Y) = p([fi], [[suma].sub.u]|Y) p([theta] | [fi], [[suma].sub.u]) (33)

La funcion de verosimilitud puede ser escrita como,

p(Y | [theta]) = [integral] p(y | [fi], [[suma].sub.u])p([fi], [[suma].sub.u] | [theta])d([fi], [[suma].sub.u]) (34)

La funcion de verosimilitud esta dada por la siguiente expresion,

p(Y | [theta]) = p(y | [fi], [[suma].sub.u])p([fi], [[suma].sub.u] | [theta])/ p([fi], [[suma].sub.u] | Y) (35)

3. EL ALGORITMO DE ESTIMACION

Se pretende simular la densidad a posteriori p([theta]|y) de los parametros del modelo. Las simulaciones se obtendran mediante el algoritmo de Metropolis-Hastings considerando la funcion objetivo p(Y | [theta])p([theta]) como funcion de [theta], que es calculable salvo por una constante multiplicativa. El calculo de la funcion de verosimilitud se efectuara empleando la ecuacion (36), que requiere los momentos muestrales y poblacionales de los datos. Estos momentos poblacionales ([[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]), [[GAMMA].sup.*.sub.yx]([theta]), [[GAMMA].sup.*.sub.yy]([theta]) se calculan como simples sustituciones derivadas de la formula (44) que se obtienen de la representacion de espacios de estado (37) y (38). Observe que el calculo de la funcion de verosimilitud no requiere del algoritmo iterativo de Kalman, como usualmente se hace para los MEEGD, lo que permite calcularla de forma mas rapida computacionalmente.

De la ecuacion (27) se requiere simular p([theta] | Y) para determinar p([fi], [[suma].sub.u], [theta] | Y). Es importante destacar que p([fi], [[suma].sub.u] | Y, [theta]) es una expresion cerrada, es decir, la densidad a posterior de [fi] y [[suma].sub.u] es Inv-Wishart-Normal (ver la ecuacion 28).

Se supondra que el espacio de parametros de [lambda] es finito, es decir, [LAMBDA] = {[l.sub.1], ..., [l.sub.q]}. [lambda] se estima y se genera la distribucion a posteriori conjunta de los parametros del MEEGD y del BVAR usando el siguiente algoritmo:

1. Para [lambda] [elemento de] [LAMBDA] se usa el algoritmo de Metropolis Hastings, para generar las simulaciones de [p.sub.[lambda]]([theta]|Y) [varia en proporcion con] [p.sub.[lambda]](Y|[theta])p([theta]). Los pasos necesarios para evaluar [p.sub.[lambda]]([theta]|Y) se basan en la siguiente ecuacion:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (36)

p(Y | [theta]) se calcula condicionado por los parametros del BVAR y en particular como una expresion cerrada que es funcion del estimador de minimos cuadrados ordinarios y los momentos poblacionales.

Para cada [theta] :

(a) Se resuelve el MEEGD dado por las ecuaciones (7), (9), (a.18), (a.19) y (a.20), con el algoritmo que describe Sims (2002). Esto conduce a una ecuacion de transicion de la forma,

[S.sub.t] = T([theta])[s.sub.t-1] + R([theta]) [[epsilon].sub.t]. (37)

Las ecuaciones (a.21) pueden escribirse en forma apilada como:

[y.sub.t] = Z ([theta])[s.sub.t] + D([theta]) + [v.sub.t]. (38)

En la implementacion se elegira [s.sub.t] tal que [v.sub.t] = 0. Se define la matriz de covarianza de los shocks como:

E[[v.sub.t][v.sub.t']] = 0, E[[[epsilon].sub.t] [[epsilon].sub.t']] = [[suma].sub.[epsilon][epsilon]]([theta]), E[[[epsilon].sub.t][v.sub.t']] = [[suma].sub.[epsilon]v]([theta]). (39)

(b) Se define la matriz de covarianza de los shocks como [[GAMMA].sup.*.sub.yy]([theta]), [[GAMMA].sup.*.sub.yx]([theta]) y [[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]), desde la representacion de estados de (35) y (36). Note que,

[[GAMMA].sup.*.sub.yy]([theta]) = [E.sub.[theta]][[y.sub.t][y.sub.t]'] = Z[[OMEGA].sub.ss] Z' + DD' (40)

E[[y.sub.t][y.sub.t-h]'] = [ZT.sup.h] ([[OMEGA].sub.ss] Z' + R[[suma].sub.[epsilon]v]) + DD'. (41)

Donde [[OMEGA].sub.ss] = E[[s.sub.t][s.sub.t']] el cual puede ser obtenido por la ecuacion de Lyapunov [[OMEGA].sub.ss] = T[[OMEGA].sub.ss] T' + R[[suma].sub.[epsilon][epsilon]] R'. Por otra parte, [[GAMMA].sup.*.sub.xx]([theta]) y [[GAMMA].sup.*.sub.yx]([theta]) son submatrices que se obtienen a partir de E[??][y.sub.t][y'.sub.t-h][??] y E[[y.sub.t][y'.sub.t-h]] [[GAMMA].sup.*.sub.xy]([theta]) = [??][[GAMMA].sup.*.sub.yx]([theta])[??]'. (2)

2. Basado en las simulaciones se modifica el estimador de la media armonica para obtener las aproximaciones numericas de la data [p.sub.[lambda]](Y), de acuerdo con Geweke (1998).

4. DESEMPENO PREDICTIVO

Las variables del VAR coinciden con las variables observables del MEEGD, por lo tanto, consideraremos un VAR trivariado con 4 rezagos,

[z.sub.t] = [[fi].sub.0] + [4.suma de (i = 1)] [[fi].sub.i][z.sub.t-i] + [u.sub.t], (42)

con [z.sub.t] = ([y.sub.t], [[pi].sub.t], [r.sub.t])'. Para las dos primeras variables se consideran los logaritmos de sus incrementos y para las tasas se les aplica solamente el logaritmo.

4.1. Datos seleccionados

Los datos utilizados para la estimacion del modelo son series trimestrales observadas de la economia venezolana durante el periodo comprendido desde el segundo trimestre del 1985 hasta junio del 2009, para un total de 93 observaciones. Las series consideradas son los incrementos logaritmicos del producto, incrementos logaritmicos de la inflacion y los logaritmos de las tasas anualizadas, que se corresponden con el vector de observaciones ([DELTA] log [X.sub.t], [DELTA]log [P.sub.t] y log [R.sup.a.sub.t]), de las ecuaciones de medida (14). Los datos se desestacionalizaron utilizando el modulo X12 Arima de Eviews. En las graficas de los datos presentadas en el apendice B, puede observase el comportamiento irregular de estas series, lo que evidencia las dificultades que plantean estos datos para la estimacion de los modelos y la elaboracion de predicciones. En la simple inspeccion visual de las graficas (corroboradas por los test correspondientes) se puede ver que las series no son estacionarias. En los contrastes de hipotesis (Apendice C) acerca de la homocedasticidad de estas series, no se rechaza la hipotesis nula para la inflacion y las tasas; en el caso del producto, se acoge la hipotesis alternativa de heterocedasticidad. Para los contrastes de hipotesis de raiz unitaria, los incrementos logaritmicos del producto y los precios, no se rechaza la hipotesis nula; se rechaza para los logaritmos de las tasas de interes.

Los modelos se estiman de la siguiente forma: una primera estimacion se efectua con los datos hasta el ultimo trimestre del 2006 y se construyen las predicciones para los siguientes cuatro trimestres del 2007. Una segunda estimacion se efectua con los datos hasta el primer trimestre del 2007 y se construyen las estimaciones para los siguientes cuatro trimestres, y asi sucesivamente. El ultimo conjunto de estimacion contiene los datos hasta ultimo trimestre del 2008 y las predicciones se realizan para los cuatro trimestres del 2009. Luego se calculan los errores cuadraticos medios de prediccion para cada uno de los cuatro horizontes de tiempo.

En el cuadro 2 se tabulan los diferentes valores de [lambda][lambda] (proporcion de datos simulados en la muestra) y el valor de su verisimilitud computado por el algoritmo de media armonica de Geweke; observese que el valor optimo es para [lambda] = 0,4.

En los cuadros 3, 4 y 5 se presentan los errores cuadraticos medios (ecm) en diferentes horizontes de prediccion para las variables produccion, inflacion y tasas de interes, empleando el BVAR-MEEGD de Schorfheide, BVAR Litterman y VAR frecuentista respectivamente.

En general, podemos concluir que al comparar las predicciones a diferentes pasos para cada uno de los modelos, se observa que el modelo BVAR Schorfheide tiene un mejor desempeno predictivo en el corto plazo para la inflacion y las tasas de interes. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante minimos cuadrados ordinarios, se observa tambien un buen desempeno predictivo.

2.2. Respuesta del modelo ante un shock de politica monetaria

El comportamiento estructural de las variables observadas se analiza mediante las funciones impulso respuesta que se derivan de la representacion de espacio de estados del MEEGD. Si se sustituye (41) en (42) e iterando la sustitucion se tiene,

[y.sub.t] = Z([theta]) [t-1.suma de (h = 0)] [[T.sup.h]([theta])R([theta])[[epsilon].sub.t-h]] + D([theta]) (43)

La expresion anterior es la representacion de medias moviles de las variables observables del MEEG. Observe que esta representacion induce una identificacion en el BVAR.

Con las estimaciones de los parametros estructurales presentados en el cuadro 5, la respuesta a un shock monetario y su mecanismo de transmision es acorde con la teoria economica, contrae el producto (ecuacion a.18) y esta contraccion reduce la inflacion (ecuacion a.19). En terminos cuantitativos, un shock a las tasas de interes de un 1%, reduce el producto en un 0.5% con respecto a su estado estacionario, mientras que en la inflacion es de una disminucion del 0.35%. La persistencia del shock es similar en las tres variables; al paso de 6 trimestres su efecto se disipa. Este analisis evidencia que el MEEGD estimado es una herramienta util para el diseno y estudio de politica monetaria.

[GRAFICO 1 OMITIR]

[GRAFICO 2 OMITIR]

[GRAFICO 3 OMITIR]

5. CONCLUSIONES

La combinacion de BVAR y MEEGD presento un buen comportamiento en el corto plazo para la prediccion de las series macroeconomicas observadas de la economia venezolana. Se evidencio que el modelo BVAR-MEEGD tiene un mejor desempeno predictivo en el corto plazo para la inflacion y las tasas de interes. En el caso del producto, si bien es superado por el VAR estimado mediante minimos cuadrados ordinarios, se observa tambien un buen desempeno predictivo. En cuanto a su comportamiento estructural, la respuesta a un shock monetario y su mecanismo de transmision es acorde con la teoria economica, contrae el producto y esta contraccion reduce la inflacion. Un shock a las tasas de interes de un 1%, reduce el producto en un 0.5% con respecto a su estado estacionario, mientras que en la inflacion es de una disminucion del 0.35%. La persistencia del shock es similar en las tres variables; al paso de 6 trimestres su efecto se disipa. Las funciones impulso respuesta muestran que el BVAR-MEEGD estimado es una herramienta util para el diseno y estudio de politica monetaria.

La combinacion del buen desempeno, tanto predictivo como estructural para la economia venezolana, muestra que el BVAR-MEEGD es una herramienta util para modelar economias como las latinoamericanas y de los paises emergentes, cuyo comportamiento no exhibe la estabilidad de las economia de paises desarrollados.

La estimacion conjunta del BVAR y el MEEGD permite contar, al mismo tiempo, con un modelo estructural microfundamentado y una herramienta de prediccion que supera los modelos estandar, que son estadistica y economicamente consistentes, lo que resulta particularmente atractivo para efectos de politica economica.

El modelo considerado en este trabajo es un modelo estilizado de pequena escala. Seria interesante considerar modelos que incorporen otros aspectos como, de pequena economia abierta, diferentes tipos de firmas (domesticas, importadoras y exportadoras), habitos en el consumo, entre otros. Con la incorporacion de estos aspectos al modelaje, pudieran lograrse al mismo tiempo, la estimacion de MEEGD mas cercanos a la realidad y reproducir mejor la dinamica economica, y mejores predicciones de las variables observables.

ANEXO A

El problema de maximizacion de los hogares es el siguiente:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (a.1)

sujeto a,

[C.sub.t] + [B.sub.t]/[P.sub.t] + [M.sub.t]/[P.sub.t] + [T.sub.t]/[P.sub.t] = [W.sub.t][h.sub.t] + [M.sub.t-1]/ [P.sub.t] + [R.sub.t-1] [B.sub.t-1]/[P.sub.t] + [D.sub.t], (a.2)

[X.sub.t](j) = [A.sub.t][h.sub.t](j). (a.3)

El Lagrangeano de este problema es:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (a.4)

Las condiciones de primer orden con respecto a [C.sub.t], [B.sub.t] y [h.sub.t] son:

[derivada parcial]L/[derivada parcial][C.sub.t] = [([C.sub.t]/[A.sub.t]).sup.-[tau]]/[A.sub.t] - [[lambda].sup.1.sub.t] = 0, (a.5)

[derivada parcial]L/[derivada parcial][B.sub.t] = - [[lambda].sup.1.sub.t]/[P.sub.t] + [beta] [[lambda].sup.1.sub.t+1][E.sub.t]([R.sub.t/[P.sub.t+1]]) = 0, (a.6)

[derivada parcial]L/[derivada parcial][h.sub.t] = -[[beta].sup.s-t] + [[lambda].sup.1.sub.t]/[W.sub.t] + [[beta].sup.s-t] + [[lambda].sup.2.sub.t] [A.sub.t] = 0. (a.7)

Estado estacionario de las variables

Como el factor de productividad At tiene raiz unitaria en logaritmos, el modelo tiene una tendencia estocastica, por lo que el producto y el consumo crecen a una tasa igual [A.sub.t]. Por lo tanto, [X.sub.t] / [A.sub.t] [C.sub.t] / [A.sub.t] y [lambda] * [A.sub.t] son estacionarias. De la ecuacion de la funcion de produccion (a.13) se tiene que [X.sup.*]/[A.sub.t] = 1, luego de normalizar por [h.sub.t] = 1. Observe que el estado estacionario de la inflacion es un parametro del modelo, y su valor [[pi].sup.*] esta definido por la ecuacion (4) de costos de ajuste de menu de Rotemberg, (1982).

El estado estacionario de las tasas reales se obtiene:

De la ecuacion (a.7) sabemos que [[lambda].sup.1.sub.t]/[[lambda].sup.1.sub.t+1] es igual a,

[[lambda].sup.1.sub.t]/[[lambda].sup.1.sub.t+1] = [beta][E.sub.t]([R.sub.t]/[[pi].sub.t+1]) (a.9)

Ademas,

[[lambda].sup.1.sub.t] x [A.sub.t] x 1/[A.sub.t]/[[lambda].sup.1.sub.t+1] x [A.sub.t+1] x 1/[A.sub.t+1] = [beta][E.sub.t] ([R.sub.t]/[[pi].sub.t+1]) (a.10)

Luego,

[A.sub.t+1] x [[lambda].sup.1.sub.t] x [A.sub.t]/[A.sub.t] x [[lambda].sup.1.sub.t+1] x [A.sub.t+1] = [beta][E.sub.t] ([R.sub.t]/[[pi].sub.t+1]) (a.11)

[gamma] x [[lambda].sup.1.sub.t] x [A.sub.t]/[[lambda].sup.1.sub.t+1] x [A.sub.t+1] = [beta][E.sub.t] ([R.sub.t]/[[pi].sub.t+1]) (a.12)

En estado estacionario,

[gamma]/[beta] = [R.sup.*][[pi].sup.*] (a.13)

El problema de maximizacion de las firmas es el siguiente,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (a.14)

sujeto a,

[X.sub.t](j) = [A.sub.t][h.sub.t](j) (a.15)

ln [A.sub.t] = ln [gamma] + ln [A.sub.t-1] + [[??].sub.t], (a.16) donde,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (a.17)

El sistema, luego de ser loglinealizado alrededor de su estado estacionario, se reduce a tres ecuaciones:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (a.18)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (a.19)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], (a.20)

Las variables con tilde (~) denotan desviaciones logaritmicas del estado estacionario. Por ejemplo [[??].sub.t] = log [X.sub.t] - log [X.sup.*.sub.t]. [kappa] es la pendiente de la curva de Phillips.

La solucion del sistema de expectativas racionales conformado por las ecuaciones (7), (9), (a.13), (a.18) y (a.20) se computa con el algoritmo de Sims (2002).

Las relaciones entre las desviaciones del estado estacionario de las variables del modelo y las series observadas del producto, la inflacion y las tasas de interes, se expresan en las siguientes ecuaciones de medida:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]. (a.21)

[GRAFICO 4 OMITIR]

[GRAFICO 5 OMITIR]

[GRAFICO 6 OMITIR]

ANEXO C

Pruebas de heterocedasticidad y raiz unitaria

1. Pruebas de heterocedasticidad a. Variable: [DELTA] log [X.sub.t]

Para el analisis del supuesto de homocedasticidad o varianza homogenea, se realiza la prueba de White Heteroskedasticity Test del software Eviews, donde se contrastan las hipotesis siguientes.

H0: Hay homocedasticidad.

H1: No hay homocedasticidad.

A traves de Eviews se obtuvo la salida que se muestra a continuacion:
White Heteroskedasy Test:

F-statistic       72.16285   Probability   0.000000
Obs * R-squared   58.38081   Probability   0.000000


Utilizando el estadistico F, observamos que se tiene una probabilidad menor que el nivel de significacion al 5%; en consecuencia, no se asume la hipotesis nula.

b. Variable: [DELTA] log [P.sub.t]
White Heteroskedasticity Test:

F-statistic       3.062331   Probability   0.051524
Obs * R-squared   5.931598   Probability   0.051519


Utilizando el estadistico F, observamos que se tiene una probabilidad mayor que el nivel de significacion al 5%; en consecuencia, no se rechaza la hipotesis nula.

c. Variable: log [R.sub.t.sup.a]
White Heteroskedasticity Test:

F-statistic       0.618527   Probability   0.540915
Obs * R-squared   1.259954   Probability   0.532604


Utilizando el estadistico F, observamos que se tiene una probabilidad mayor que el nivel de significacion al 5%; en consecuencia, no hay elementos para rechazar la hipotesis nula.

2. Pruebas de raiz unitaria.

a. Logaritmo del PIB desestacionalizado (primera diferencia):

Para determinar si la serie tienen raiz unitaria utilizamos el test de Dickey-Fuller. Se contrastaran las hipotesis siguientes:

H0: La serie tiene raiz unitaria.

H1: La serie no tiene raiz unitaria.

A traves de Eviews se obtuvo la salida que se muestra a continuacion:
Null Hypothesis: D(LOG(PIB_SA)) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG = 11)

                                         t-Statistic   Prob. *

Augmented Dickey-Fuller test statistic    -10.29528    0.0000

Test critical values:    1% level         -3.499910
                         5% level         -2.891871
                        10% level         -2.583017

* MacKinnon (1996) one-sided p-values.


Al determinar la probabilidad con un nivel de significacion al 5%, observamos que no asumimos H0; en consecuencia, la serie no tiene raiz unitaria.
b. Logaritmo de la Inflacion desestacionalizado (primera diferencia):

Null Hypothesis: D(LOG(INFLACION_SA)) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG = 11)

                                         t-Statistic   Prob. *

Augmented Dickey-Fuller test statistic    -8.051154    0.0000

Test critical values:    1% level         -3.503049
                         5% level         -2.893230
                        10% level         -2.583740

* MacKinnon (1996) one-sided p-values.


Al determinar la probabilidad con un nivel de significacion al 5%, observamos que no asumimos H0; en consecuencia, la serie no tiene raiz unitaria.
c. Logaritmo de las Tasas desestacionalizada:

Null Hypothesis: LOG(TASAS_SA) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG = 11)

                                         t-Statistic   Prob. *

Augmented Dickey-Fuller test statistic    -2.194851    0.2095

Test critical values:    1% level         -3.499167
                         5% level         -2.891550
                        10% level         -2.582846

* MacKinnon (1996) one-sided p-values.


Al determinar la probabilidad con un nivel de significacion al 5%, observamos que asumimos H0; en consecuencia, la serie tiene raiz unitaria.

Recibido: agosto 13 de 2010

Aceptado: octubre 21 de 2010

BIBLIOGRAFIA

Christiano, Lawrence; Eichenbaum, Martin y Evans, Charles. (1999). Monetary policy shocks: what have we learned and to what end? En: Handbook of macroeconomics, Elsevier, Vol. 1, pp. 65-148.

Schorfheide, Frank y Del Negro, Marco (2004). Priors from general equilibrium models for VARS. En International Economic Review, Vol. 45, No 2, pp. 643-673.

Geweke, John (1999). Using simulation methods for Bayesian econometric models: inference, development, and communication. En: Econometrics Review, Vol. 140, No 2, pp. 1-126.

King, Robert (2000). The new IS-LM model: language, logic and limits. En: Economic Quarterly, Vol.86, Federal Reserve Bank of Richmond, pp. 45-103.

Litterman, Robert (1985). Forecasting with Bayesian vector auto-regressions five years of experience. Federal Reserve Bank of Minneapolis, Working Paper, 274 p.

Perdomo, Mariela (2008). Modelo estocastico de equilibrio general (MEEG) para la construccion de densidades a priori de VAR bayesianos: una aplicacion a la economia venezolana. Trabajo de grado de para optar al titulo de Magister, en la Maestria en Modelos Aleatorios, Universidad Central de Venezuela, Caracas, 81 p.

Rotemberg, Julio (1982). Monopolistic price adjustment and agregate output. En: Review of Economic Studies, Vol. 49, No 4, pp. 517-531.

Sims, Christopher (2002). Solving linear rational expectations models. En: Computational Economics, Vol. 20, No 1, pp. 1-20.

Smets, Frank y Wouters, Raf (2003). An estimated dynamic stochastic general equilibrium model of the euro area. En: Journal of the European Economic Association, Vol. 1, No 5, pp. 1123-1175.

Taylor, John (1993). Discretion versus policy rules in practice. Stanford University, Stanford, CA 94305 USA, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, Vol. 39, pp. 195-214.

Woodford, Michael (2003). Interest and prices: foundations of a theory of monetary policy. Princenton University Press, 785 p.

Zellner, Arnold (1971). An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. Chicago, John Wiley y Sons INC., 431 p.

* Este articulo es producto del trabajo de investigacion realizado para optar al titulo de Magister en Modelos Aleatorios en la Universidad Central de Venezuela: "Modelo estocastico de equilibrio general (MEEG) para la construccion de densidades a priori de VAR bayesianos: una aplicacion a la economia venezolana", elaborado en el periodo marzo 2008- noviembre 2008. Las opiniones expresadas en este trabajo son responsabilidad exclusiva de los autores y no comprometen al Banco Central de Venezuela.

(1) Estos balances denotan la demanda de los hogares de saldos reales.

(2) Si el lector esta interesado puede obtener una descripcion detallada en Perdomo (2008).

Daniel Barraez Guzman, Doctor y Licenciado en Matematicas de la Universidad Central de Venezuela, con Postdoctorado en la Universite de Paris Sud, Francia. Profesor de la Escuela de Matematicas de la Universidad Central de Venezuela y Jefe del Dpto. de Modelos Economicos del Banco Central de Venezuela. Direccion postal: 1010, Esquina Las Carmelitas, Edificio Sede, piso 2, Departamento de Modelos Economicos, Caracas, Venezuela. Telefono: (58212) 8015490. Correo electronico: dbarraez@bcv.org.ve.

Mariela Perdomo Leon, Magister en Modelos Aleatorios de la Universidad Central de Venezuela, Profesora en Matematicas egresada de la Universidad Pedagogica Experimental Libertador, Instituto Pedagogico de Caracas. Analista Economico en el Banco Central de Venezuela. Direccion postal: 1010, Esquina Las Carmelitas, Edificio Sede, piso 2, Oficina de Investigaciones Economicas, Caracas, Venezuela. Telefono: (58212)8018818. Correo electronico: mariperd@bcv.org.ve. Los programas computacionales para efectuar las estimaciones del modelo y los datos correspondientes, estan disponibles en la pagina web de la autora en http://www. redeconomia.org.ve.
Cuadro 1. Variables log-linealizadas y variables
observables.

  Variables
 del modelo     Nota-          Variables              Notacion
(log-lineali-   cion          observables
   zadas).

Producto        [??]    Incrementos logaritmicos   [DELTA] log X
                        del producto (1)

Inflacion       [??]    Incrementos logaritmicos   [DELTA] log
                        de la inflacion (2)        [P.sub.t]

Tasas de        [??]    Logaritmo de las           log
interes                 tasas anualizadas (3)      [R.sup.a.sub.t]

(1 y 2) Datos trimestrales, (3) datos anuales.

Fuente: adaptado de Schorfheide y del Negro (2004).

Cuadro 2. Modelos con las medias armonicas.

Modelos    [lambda]      Media armonica

Modelo 1     0,2      2,8267 x [10.sup.-28]
Modelo 2     0,4      5,7061 x [10.sup.-21]
Modelo 3     0,3      1,167 x [10.sup.-22]
Modelo 4     0,25     1,8307 x [10.sup.-23]
Modelo 5     0,45     3,9373 x [10.sup.-24]
Modelo 6     0,5      1,4738 x [10.sup.-24]

Fuente: elaboracion propia.

Cuadro 3. Ecm de las proyecciones del producto.

Pasos   BVAR-MEEGD       BVAR           VAR
                       Litterman    Frecuentista

1       0,002790683   0,000822775   0,000815536
2       0,000532552   0,001387553   0,001287144
3       0,001579257   0,001338943   0,000881544
4       0,000130717   6,00641E-05   3,07644E-05

Fuente: elaboracion propia.

Cuadro 4. Ecm de las proyecciones de la inflacion.

Pasos   BVAR-MEEGD       BVAR           VAR
                       Litterman    Frecuentista

1       0.000132466   0.000511253   0.000556081
2       1.12312E-05   0.000119504    0.00010753
3       0.000280285   0.00029206    0.000258868
4       4.41302E-05   8.27899E-05   8.50407E-05

Fuente: elaboracion propia.

Cuadro 5. Ecm de las proyecciones
de las tasas de interes.

Pasos   BVAR-MEEGD       BVAR           VAR
                       Litterman    Frecuentista

1       0.014753551   0.009776647   0.011169841
2       0.019278642   0.023830927   0.025326173
3       0.022126834   0.031663189   0.029906861
4       0.024469374   0.037530727   0.036952769

Fuente: Elaboracion propia

Cuadro 6. Distribucion a priori y a posteriori de los parametros
estructurales.

Parametros               Distribucion a priori         Distribucion a
                                                         posteriori

                    Densidad      Media   Desviacion        Moda
                                           Estandar

ln [gamma]           Normal        0.5       0.25           0.74
ln [pi] *            Normal        1.0       0.50           1.08
ln r *                Gamma        0.5       0.25           0.28
[kappa]               Gamma        0.3       0.15           0.26
[tau]                 Gamma        2.0       0.50           1.88
[[fi].sub.l]          Gamma        1.5       0.25           1.17
[[fi].sub.2]          Gamma       0.125      0.10           0.20
[[rho].sub.R]         Beta         0.5       0.20           0.56
[[rho].sub.g]         Beta         0.8       0.10           0.85
[[rho].sub.z]         Beta         0.3       0.10           0.35
[[sigma].sub.R]   Inversa Gamma   0.251     0.139           0.06
[[sigma].sub.g]   Inversa Gamma   0.63      0.323           0.11
[[sigma].sub.z]   Inversa Gamma   0.875      0.43           0.22

Fuente: Calculos de los autores.
COPYRIGHT 2010 Universidad de Medellin
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2010 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Guzman, Daniel Barraez; Leon, Mariela Perdomo
Publication:Revista Semestre Economico
Article Type:Report
Date:Jul 1, 2010
Words:7395
Previous Article:A influencia das politicas publicas quanto a aplicacao do imposto predial e territorial urbano progressivo no tempo como instrumento do estatuto da...
Next Article:Sueno y asignacion de tiempo entre los estudiantes universitarios: el caso de la Universidad del Atlantico.

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters