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Comparacion de las cartas de control univariadas con transformacion en la medida de variabilidad.

Comparison of Univariate Control Charts with Transformation in Variability Measure

1. INTRODUCCION

En un proceso de produccion cuando se monitorean variables continuas es importante la deteccion de los cambios en la variabilidad de las medidas de localizacion y variabilidad aplicadas. Por lo general, en el caso univariado se utilizan las cartas de control Shewhart, CUSUM y EWMA, que se construyen asumiendo normalidad e independencia en la medida de localizacion y de variabilidad.

En caso de que este supuesto no se cumpla, se tendra una considerable disminucion en la sensibilidad de la carta de control para detectar senales de alarma. En este articulo se toman varias modificaciones de las cartas de control univariadas para monitorear la variabilidad, es el caso de las cartas CUSUM HV propuesta por los autores, EWMA transformacion logaritmica y S de Shewhart.

Estas modificaciones permitieron sensibilizar la carta de control para cambios pequenos en el proceso. Este trabajo para desarrollar las comparaciones de las cartas utilizo el programa de simulacion R, especificamente para cambios en la medida de variabilidad transformada. Como medida de comparacion se realizo un conteo de los puntos antes de la primera senal de alarma, calculando el ARL (longitud de corridas promedio) para detectar cual de las cartas propuestas es mas sensible a estos cambios.

2. DETECCION DE SENALES DE ALARMA

Por lo general en los procesos industriales las cartas Shewhart, CUSUM y EWMA son las que se consideran como las mas importantes para el monitoreo de las caracteristicas de calidad. Estas cartas se construyen basadas en el supuesto de normalidad e independencia en la medida de localizacion y de variabilidad. Estos supuestos que en algunos casos no se cumplen y especificamente cuando se toma como estadistico la desviacion estandar, lo que genera es un decremento en la senal de alarma dado que la carta de control carece de la sensibilidad en detectar situaciones fuera de control.

Una forma de detectar estos cambios es mediante el numero de longitud de corridas (RL), es decir medir el momento en que un subgrupo genera una senal fuera de control. Por lo que se evidencia que el RL es una variable aleatoria que al replicarse este experimento bajo las mismas condiciones, los valores obtenidos de RL son distintos a los calculados con anterioridad, por lo que es necesario evaluar entonces la longitud promedio de corrida (ARL) que es el valor utilizado para realizar las comparaciones en las cartas de control.

3. CRITERIOS DE COMPARACION

Uno de los criterios que es utilizado para determinar la capacidad para que una grafica detecte en el menor tiempo posible un cambio, es calculando la longitud promedio de corrida (ARL). En este caso se forma un valor inicial de ARL ajustando cada uno de las cartas que se someten a comparacion. Se realiza un incremento de la variabilidad del proceso para las cartas involucradas y se determina el RL, hasta detectar una senal de alarma, calculando los diversos valores de ARL. Estos cambios progresivos de la desviacion estandar [[sigma].sub.0] (generalmente estos valores se aumentan en porcentajes del cinco al diez por cien), aplicados para cada una de las cartas involucradas permiten de este modo obtener valores de ARL; escogiendo aquellas cartas que presenten el menor numero promedio de longitud de corridas (ARL). La carta de control que logre detectar con mayor rapidez el cambio producido en la desviacion estandar, es evidencia concreta de la sensibilidad de la carta bajo las condiciones planteadas en la simulacion.

4. CARTAS DE CONTROL UNIVARIADAS

4.1. Cartas de control univariadas de Shewhart

Vargas [4] y Herrera [5] construyen limites a tres desviaciones estandar de la media [[my].sub.s] [+ o -] 3[[sigma].sub.s]. Siendo [[my].sub.s] y [[sigma].sub.s] es la medida y la desviacion estandar de la estadistica S respectivamente. Si se asume normalidad entonces [bar.S]/[c.sub.4] estima el carta valor de [sigma], donde [c.sub.4] es una constante que depende del tamano de la muestra n, siendo [sigma] la desviacion estandar de una distribucion asumida. E(S) = [c.sub.4][sigma], se observa claramente que S no es un estimador insesgado de [sigma].

La desviacion estandar S es definida mediante [6],

[[sigma].sub.s] = [sigma] [raiz cuadrada de (1-[c.sub.4])]

[c.sub.4] = [[raiz cuadrada de (n-1)]] [[GAMMA](n/2)/[GAMMA](n-1/2)]

Los limites de control para la Fase II en las cartas S, son los siguientes,

UCL = [S.sub.0] + 3 [[S.sub.0]/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4]] = (1 + [3/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4])[S.sub.0]

LCL = [S.sub.0] + 3 [[S.sub.0]/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4]] = (1 + [3/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4])[S.sub.0]

UCL = [B.sub.6][sigma] LCL = [B.sub.5][sigma]

Las constantes para estos limites se calculan,

[B.sub.5] = 1 - [3/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4]]

[B.sub.6] = 1 - [3/[c.sub.4]] [raiz cuadrada de (1-[c.sup.2.sub.4]]

Donde los valores de K y [lambda] estan sujetos a las propiedades que se desean del valor de ARL Ajado, tanto para estados bajo control como estados fuera de control.

4.2. Cartas de control EWMA por transformacion logaritmica

Crowder y Hamilton [2] proponen obtener la estadistica EWMA para monitorear la dispersion aplicando la variable Y = ln([S.sup.2.sub.t]) donde [S.sup.2.sub.t] es la varianza de cada subgrupo. Por lo que el estadistico EWMA es,

[EWMA.sub.t] = max{(l - [lambda])[EWMA.sub.t-1] + [lambda][Y.sub.t], ln ([[sigma].sup.2.sub.0])}

Donde [EWMA.sub.0] = ([[sigma].sup.2.sub.0]) y [lambda] es una constante de suavizamiento que satisface 0 < [lambda] [menor que o igual a] 1. En la formula anterior de EWMA generalmente se asume que el valor de la varianza es [[sigma].sup.2.sub.0] = 1. Tambien se asume que los valores de (n-l)[S.sup.2.sub.t]/[[sigma].sup.2] son variables aleatorias independientes con distribucion chi- cuadrado [[ji al cuadrado].sub.n-1], o equivalentemente, los valores de [S.sup.2.sub.t] son independientes con distribucion Gamma [7] {(n - 1)/2, 2[[sigma].sup.2]/(n - 1)}, n es el tamano de la muestra y [[sigma].sup.2] es la varianza del proceso.

4.3. Cartas CUSUM HV

Supongase que se desea monitorear la [[sigma].sub.2] de una caracteristica de calidad tomando una muestra [X.sub.t,1],..., [X.sub.t,n] de n variables independientes normalmente distribuidas, donde [my] es la media y [[sigma].sub.0.sup.2] es la desviacion estandar objetivo del proceso bajo condiciones normales y t es el numero de subgrupos se asume que [[sigma].sub.0.sup.2] es conocido.

Sea [S.sup.2.sub.t] la varianza muestral de los t subgrupos, es decir [7],

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Donde [[bar.X].sub.t] es la media muestra del subgrupo t.

Es conocido que para monitorear la media de un proceso en una carta CUSUM bilateral [8], se utilizan las siguientes estadisticas,

[S.sup.+.sub.t] = max{0, [V.sub.t] - [k.sup.+] + [S.sup.+.sub.t-l]

[S.sup.-.sub.t] = max{0, - [V.sub.t] - [k.sup.-] + [S.sup.-.sub.t-l]

Con [S.sub.0.sup.+], [S.sub.0.sup.-] [mayor que o igual a] 0, los valores de [S.sub.t.sup.+] es usado para incrementos de la media del proceso.

En esta carta de control se emplea la transformacion [T.sub.t] = a + bln([S.sub.t.sup.2] + c) propuesta por Castagliola [3], en lugar de [V.sub.t].

El estadistico de control que se considera por su simplicidad es [9],

[S.sub.t] = max{0, [S.sub.t-l] + ([V.sub.t] - k)}

k es una constante que sensibiliza la Carta de control CUSUM, generalmente se toma como referencia el valor de 0.5. En la fase inicial se considera [S.sub.0] = 0 para la estandarizacion del estadistico, donde [S.sub.0] > 0, y los valores de a, b y c estan definidos como se presento la carta [S.sup.2] EWMA, es decir

a = A(n) - 2B(n)ln[[sigma].sub.0] b=B(n) c = C(n)[[sigma].sup.2.sub.0]

Siendo,

B(n) = 1/[raiz cuadrada de (ln([w.sup.2] + 1))]

A(n) = [B(n)/2] ln([w.sup.2] ([w.sup.2] + 1)/Var([S.sup.2]))

C(n) = [raiz cuadrada de (Var([S.sup.2]/w)] - E([S.sup.2])

El valor de w se define mediante la presente formulacion,

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Esta transformacion T = A(n) + B(n)ln([S.sup.2.sub.t] + C(n)} se aproxima a una distribucion normal estandar N(0,1), por lo tanto el primer valor de [S.sub.0] se define como,

[S.sub.0] = E[[V.sub.t]

Los nuevos estadisticos para la Carta CUSUM HV son en su orden,

[S.sup.+.sub.t] = max[0, [Z.sub.t] - [k.sup.+] + A(n) + B(n)ln {l + C(n)}]

[S.sup.+.sub.t] = max[0, - [Z.sub.t] - [k.sup.+] + A(n) + B(n)ln {l + C(n)}]

5. RESULTADOS OBTENIDOS

En la Tabla numero 1 se muestran los resultados de la simulacion de un cambio en la medida de variabilidad desde el 0% hasta el 23% de incremento. Observese que las propuestas de EWMA de Transformacion logaritmica y CUSUM HV presentan la mayor sensibilidad a los cambios pequenos de la medida de variabilidad.

6. CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos en este trabajo indican que la Carta CUSUM HV en el monitoreo de la dispersion es considerablemente mas sensible al incremento de la dispersion que los esquemas tradicionales R y S. En donde los parametros de la transformacion propuesta son sencillos de obtener por metodos numericos y permiten asumir un comportamiento aproximadamente normal estandar para la distribucion de una funcion de la varianza muestral.

Presenta ademas mayor sensibilidad en detectar senales de alarma que el esquema EWMA propuesto por Castagliola [3].

Por ejemplo, cuando el incremento es por lo menos 18% de la varianza objetivo, se presenta mayor eficiencia en la deteccion de senales fuera de control en la carta CUSUM HV con 14.24 que en la carta EWMA con transformacion logaritmica con 14.97 y la carta tradicional de Shewhart que tiene un RL de 30.10.

Se recomienda estudiar la sensibilidad de la Carta CUSUM HV cuando se apliquen limites de control de respuesta rapida FIR [10-11], asi como tambien cuando el incremento de la variabilidad se realice de manera continua.

AGRADECIMIENTOS

Agradecimientos a las universidades publicas: Universidad del Atlantico y Universidad de Cartagena.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] L. Alwan, Statistical process analysis, McGraw-Hill, 2000.

[2] S. W. Crowder y M. Hamilton, "An ewma for monitoring a process standard deviation", Journal of Quality, no. 24, 1992.

[3] P. A. Castagliola, "New ewma control chart for monitoring the process variance", Quality and Reliability Engineering International, no. 1, pp. 781-794, 2005.

[4] J. A. Vargas, Control Estadistico de Calidad, Unibiblos, 2007.

[5] R. J. Herrera, Seis Sigma Metodos Estadisticos y sus Aplicaciones, Ecoe Ediciones, 2006.

[6] D. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, 2001.

[7] F. Bacelli, G. Cohen, G.J. Olsder, J.P. Quadrat, C. Acosta, J. Mejia, J. Pignatello, V. Reo. "A compaction of control charting procedures for monitoring process dispersion", IIE Transactions, no. 31, pp. 569-579, 1999.

[8] D. Hawkins, A cusum for a scale parameter, Wiley, 1981.

[9] T. Chang, y F. Gan, "Accumulative sum control chart for monitoring process variance", Journal of Quality Technology, no. 27, pp. 109-119, 1995.

[10] J. F. Lawless, Statistical models and methods for lifetime data, John Wiley & Sons, 1982.

[11] N.L. Johson, N. Balakrishnan, "Continuous univariate distributions", Journal of Quality Technology, no. 13, pp. 228-231, 1994.

Roberto Jose Herrera Acosta *

Adel Alfonso Mendoza Mendoza **

Tomas Fontalvo Herrera ***

* Grupo de Estadistica Industrial, Universidad del Atlantico, Barranquilla, Kilometro 7 via Puerto Colombia, Colombia. robertoherrera@mail.uniatlantico.edu.co

** Grupo de 3i+D, Universidad del Atlantico, Barranquilla, Kilometro 7 via Puerto Colombia, Colombia. adelmendoza@mail.uniatlantico.edu.co

*** Grupo de Calidad y Productividad Organizacional Integral, Universidad de Cartagena, Calle 30 Numero 48-152 Cartagena de Indias. tfontalvo@unicartagena.edu.co

Fecha de recepcion: Agosto 30 de 2012 * Fecha de aceptacion: Octubre 3 de 2012
Tabla 1. Comparacion de las ARL

[delta]   S de Shewhart   EWMA transformacion   CUSUM HV
                              logaritmica

0.00         200.12             203.48           201.82
0.05         105.99              74.98           88.74
0.10          66.93              33.49           42.37
0.15          38.67              20.83           21.43
0.16          35.56              18.64           18.77
0.17          32.62              16.65           16.37
0.18          30.10              14.97           14.24
0.19          27.83              13.54           12.50
0.20          25.72              12.30           10.99
0.21          23.86              11.22            9.66
0.22          22.24              10.28            8.52
0.23          20.74              9.46             7.46
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Author:Herrera Acosta, Roberto Jose; Mendoza Mendoza, Adel Alfonso; Fontalvo Herrera, Tomas
Publication:Revista Ingeniare
Date:Dec 1, 2012
Words:2328
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