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Como hacer metafisica a partir de la logica.

Historicamente ciertos descubrimientos logico-matematicos han tenido gran influencia sobre la filosofia. El primer caso de este tipo se produjo en la antigua Grecia, cuando Hipaso de Metaponto descubrio que [raiz cuadrada de 2] es irracional; esto implica que la razon entre la diagonal y el lado del cuadrado no puede expresarse como la razon entre dos enteros porque en el cuadrado de lado 1 esa razon es [raiz cuadrada de 2/1] = [raiz cuadrada de 2], segun se deduce del teorema de Pitagoras. El descubrimiento provoco una crisis entre los filosofos pitagoricos, que creian que todas las relaciones del universo podian representarse como relaciones entre numeros.

Otro caso es el famoso teorema de incompletitud de Godel de 1931; se considera que ese teorema refuta la version mas generalizada de una tesis fundamental del positivismo logico, a saber, que todas las verdades no empiricas son verdaderas solo en virtud de convenciones linguisticas (cf. Raatikainen 2005).

Vamos a examinar aqui las implicaciones metafisicas de ciertos hechos logicomatematicos. Algunos de estos hechos fueron descubiertos a finales del siglo XIX o en la primera mitad del XX; otros se conocen desde antiguo pero sus consecuencias metafisicas no se han estudiado hasta el siglo XX.

Este articulo pretende ser divulgativo, en el se han evitado todos los tecnicismos prescindibles asi como aquellos desarrollos que hubieran exigido demasiados tecnicismos; su lectura no requiere ningun conocimiento especializado previo. Eso y la limitacion de espacio condicionan significativamente la presentacion del material. Los argumentos que se presentan no pretenden ser concluyentes; tampoco pretenden simplemente aplicar la logica formal para formalizar argumentos metafisicos;lo que pretenden es mas bien ilustrar como resulta posible argumentar en metafisica utilizando descubrimientos realizados en diversos campos de la logica matematica.

1. El argumento de las paradojas contra el platonismo

El Platonismo, en su concepcion mas usual, entiende que los objetos logicomatematicos existen objetiva e intemporalmente con independencia de toda mente que pudiera conocerlos o construirlos. Uno de los creadores de la moderna teoria de conjuntos, el matematico Paul Bernays (1994), afirmo en 1934:
   Algunos matematicos y filosofos interpretan los metodos del
   platonismo en el sentido de un realismo de los conceptos,
   postulando la existencia de un mundo de objetos ideales que
   contendria a todos los objetos y relaciones de las matematicas. Es
   este platonismo absoluto el que las paradojas han hecho
   insostenible, especialmente las paradojas relacionadas con la
   paradoja de Russell-Zermelo. (La traduccion es mia)


La paradoja de Russell-Zermelo es la siguiente. Definimos asi el conjunto R:
   para todo conjunto x, x es elemento de R si y solo si x no es
   elemento de x Como eso vale para todo conjunto x, vale tambien para
   R, y entonces tenemos: R es elemento de R si y solo si R no es
   elemento de R


Esto es una contradiccion. Es evidente que la contradiccion surge porque consideramos que el mismo conjunto R que estamos definiendo es uno de los conjuntos x a los que nos referimos en la definicion. Esto sugiere que cuando en la definicion de R decimos para todo conjunto x, en realidad no nos podemos estar refiriendo al mismo R que estamos definiendo, porque ese R todavia no esta dado, esta todavia en construccion. Parece que los conjuntos se distribuyen en una jerarquia de niveles de construccion, por ejemplo:

conjuntos de individuos;

conjuntos de conjuntos de individuos;

conjuntos de conjuntos de conjuntos de individuos; etc.

De modo que en cada nivel de construccion hay conjuntos que ya estan dados y otros que todavia no lo estan: cuando estamos construyendo R, R todavia no esta dado y por eso en su definicion no podemos referirnos a el mismo.

La tesis de que no podemos referirnos simultaneamente a la totalidad del universo matematico se desprende de un principio de la teoria de modelos usual, que afirma que solo un conjunto no vacio es un posible universo de discurso, es decir un posible ambito de referencia. La teoria de modelos es la teoria logico-matematica que estudia las propiedades semanticas de los lenguajes logicos formales. La tesis de que las paradojas sugieren que no podemos referirnos a la totalidad del universo matematico fue defendida ya por Michael Dummett (1981). Rayo y Uzquiano (2006) ofrece una buena perspectiva sobre el estado de la discusion.

Pero si los objetos matematicos -y entre ellos los conjuntos- existen desde siempre en un mundo objetivo con independencia de las construcciones que nosotros hagamos de ellos, como afirma el Platonismo, no se entiende bien por que no estan todos los conjuntos dados de una vez y por que no nos podemos referir de una vez a todos ellos al construir R. La tesis, sugerida por las paradojas, de que el universo logico-matematico no esta nunca totalmente dado es una de las claves metafisicas fundamentales que parecen desprenderse solo de hechos logicos. La volveremos a encontrar.

2. El argumento de Godel contra el materialismo

2.1. Una version informal del teorema de Godel de 1931

El teorema de incompletitud de Godel de 1931 (Godel 1989) es uno de los resultados mas importantes de las matematicas del siglo XX y, sin duda, el de mayor importancia para la filosofia, en campos como la teoria del conocimiento o la filosofia de la mente. La que sigue es una version muy debil del teorema, que ademas asume la tesis de Church-Turing.

Teorema: no existe un programa de ordenador capaz de generar todas las verdades matematicas en una lengua como el castellano sin generar ninguna falsedad.

Demostracion.

Si un programa no genera falsedad, lo llamamos correcto. Si genera todas las verdades matematicas, lo llamamos completo. Escogemos como lengua el castellano. Entonces el enunciado del teorema se puede expresar asi:

no existe un programa correcto y completo para el castellano

Primero hay que advertir que, dado un programa P cualquiera que genere secuencias de simbolos, la cuestion de si P generara una secuencia particular S es una cuestion matematica. Tomamos entonces un programa P cualquiera para demostrar que no es a la vez correcto y completo para el castellano. Para eso planteamos ahora una cuestion matematica: si P genera o no la siguiente secuencia de simbolos, a la que llamamos G (por Godel):

P no genera esta secuencia de simbolos

Debe quedar claro que G habla la secuencia de simbolos a la que llamamos G.O bien P genera G o bien no lo hace.

Supongamos que P genera G: entonces G es falsa, de modo que P genera una falsedad matematica y no es correcto.

Supongamos que P no genera G: entonces G es verdadera, con lo que hay una verdad matematica que P no genera y no es completo.

Por lo tanto, o P no es correcto o P no es completo. Es evidente que podemos repetir esta prueba para cualquier P y cualquier lengua en la que se pueda expresar G.

2.2. La Gibbs Lecture. 1951

En 1951 Godel dio una conferencia, llamada la Gibbs Lecture (Godel 1994). En ella, basandose en una version de su teorema, argumenta contra la posibilidad del intento materialista de reducir tanto el mundo ideal de las verdades matematicas como el mundo mental al cerebro. Godel asume tres cosas en su argumento:

1a. Su teorema.

2a. Que la inteligencia humana es correcta en ultima instancia.

3a. Que el cerebro es funcionalmente un ordenador.

A partir de ahi argumenta que o bien no es posible reducir los objetos ideales a objetos mentales o bien no es posible reducir estos ultimos a estructuras o acontecimientos cerebrales.Es decir, que no son posibles estas dos reducciones:

1. De los objetos ideales (verdades matematicas) a los objetos mentales (objetos de la inteligencia humana)

2. De los objetos mentales a objetos materiales (cerebro/ordenador) Godel argumenta que si la inteligencia humana fuera solo el funcionamiento de un cerebro/ordenador (por la segunda reduccion) y ademas pudiera conocer todas las verdades matematicas (por la primera reduccion), habria un ordenador correcto capaz de generar todas las verdades matematicas, lo que contradiria su teorema de 1931.

Para Godel, esto hace improbable el proyecto materialista de reducir tanto los objetos ideales como la mente humana al cerebro. Godel, que era un platonista, creia que ninguna de las dos reducciones es posible. Aunque se inclinaba por pensar que la inteligencia humana puede conocer en principio todas las verdades matematicas (y, por tanto, no es un ordenador), opinaba que los objetos matematicos poseen una existencia objetiva independiente de la mente humana.

3. El segundo teorema de Godel y los limites de la inteligencia artificial

Godel, en el mismo articulo de 1931 en el que demostro el teorema de incompletitud del que hemos ofrecido antes una version informal, obtuvo un resultado que suele llamarse segundo teorema de Godel. Una version informal de este segundo teorema podria ser:
   ningun programa consistente capaz de tratar la aritmetica elemental
   demuestra su propia consistencia.


Un programa es consistente si y solo si no genera un enunciado y su negacion, es decir, si no es contradictorio. Este resultado puede usarse para argumentar contra la posibilidad de un ordenador que reproduzca fielmente la inteligencia logico-matematica humana, entendida esta en un sentido amplio. Para proceder es primero necesario asumir que 'inteligencia logico-matematica humana' designa algo bien definido; si no fuese asi, la cuestion de si esa inteligencia puede ser reproducida en un ordenador careceria de sentido. La cuestion se plantea porque, en general, tendemos a creer que todos los seres humanos, en cuanto seres racionales, compartimos una misma razon logico-matematica (a pesar de que la habilidad logico-matematica de unos sea muy diferente de la de otros), de modo que cabe pensar que esa razon es algo bien definido.

Supongamos que la inteligencia logico-matematica humana puede ser reproducida en un programa de ordenador. Llamemoslo H. Con seguridad esa inteligencia incluye la aritmetica elemental y probablemente una de nuestras convicciones logico-matematicas es que nuestra inteligencia logico-matematica es consistente: casi nadie cree posible que nuestras matematicas demuestren algun dia una contradiccion.

Por tanto, si H existe, H probablemente demostrara su propia consistencia y entonces, por el segundo teorema de Godel, sera inconsistente. Esto implica que probablemente, si H existe, nuestra inteligencia logico-matematica es inconsistente y esto ultimo resulta dificil de aceptar. El argumento sugiere, pues, que si existe algo bien definido a lo que podamos llamar 'inteligencia logico matematica humana', esta no puede ser reproducida en un ordenador. Sin embargo, segun J. R. Lucas (1961, nota 9), Hilary Putnam sugiere una conclusion diferente: nuestra creencia en la consistencia de nuestra razon puede ser un indicio de que en realidad somos inconsistentes.

Naturalmente, si el cerebro es funcionalmente un ordenador, esto implica que la inteligencia logico-matematica humana no se reduce al funcionamiento del cerebro humano, de manera que este argumento puede convertirse en un argumento contra el materialismo. Hay dos objeciones mas o menos evidentes que pueden plantearse contra la tesis de que el cerebro sea funcionalmente equivalente a un ordenador y, por tanto, contra la posibilidad de convertir el argumento anterior en un argumento contra el materialismo:

1. El cerebro esta en interaccion con el mundo exterior y su comportamiento depende de esta interaccion, en cambio los ordenadores estan totalmente determinados por su diseno interno.

2. El cerebro podria utilizar para procesar informacion sucesos cuanticos y los sucesos cuanticos podrian no ser reproducibles en un ordenador convencional. Esta es la tesis que propuso el celebre fisico britanico Roger Penrose (1991).

La primera objecion encuentra el siguiente problema: si la inteligencia logico-matematica humana se reduce al comportamiento del cerebro humano y el entorno fisico que el cerebro humano necesita para desarrollarla es finito, entonces cerebro y entorno pueden ser reproducidos ambos conjuntamente en un ordenador convencional (de enorme tamano, probablemente) y entonces estamos expuestos de nuevo a los problemas que se derivan del segundo teorema de Godel. Parece muy improbable que el cerebro humano, si es que en el reside nuestra inteligencia logico-matematica, necesite interaccionar con un entorno fisico infinito para desarrollarla.

La segunda objecion encuentra este problema: no esta claro que los fenomenos caracteristicos del mundo cuantico sean independientes de la conciencia humana, en concreto, de la mente del observador; algunos interpretes de la fisica cuantica, como el premio nobel de Fisica Eugene Wigner, han sostenido que esos fenomenos surgen en la interaccion entre el mundo fisico y la mente del observador. Wigner (1970) escribio que no era posible formular las leyes (de la mecanica cuantica) de manera totalmente consistente sin hacer referencia a la conciencia. (Parentesis mio).

Wigner se refiere a una parte de la teoria cuantica -al colapso de la funcion de onda-, que resulta dificil de explicar sin echar mano del papel de la conciencia del observador. Los sistemas cuanticos pueden estar en una superposicion de estados hasta que un observador realiza una medicion: en ese momento salen de la superposicion y aparecen en un estado concreto y en esto consiste el colapso de la funcion de onda. Este colapso resulta tan dificil de explicar sin el recurso a la conciencia del observador que los fisicos que quieren evitarlo se ven obligados a postular teorias tan exoticas como la teoria de los muchos mundos, segun la cual cada vez que una funcion de onda se colapsa el mundo se divide en una pluralidad de universos.

El mismo Werner Heisenberg--que propuso en 1927 el principio de incertidumbre, el principio que subyace a estos fenomenos cuanticos--sugirio en algunos de sus escritos que la mecanica cuantica no puede explicarse sin la intervencion del observador (Heisenberg 1985):
   En la medida en que en nuestro tiempo puede hablarse de una imagen
   de la Naturaleza propia de la ciencia natural exacta, la imagen no
   lo es en ultimo analisis de la Naturaleza en si; se trata de una
   imagen de nuestra relacion con la Naturaleza. (...). La ciencia
   natural no es ya un espectador situado ante la Naturaleza, antes se
   reconoce a si misma como parte de la interaccion de hombre y
   Naturaleza. (...). La imagen del Universo propia de la ciencia
   natural no es pues ya la que corresponde a una ciencia cuyo objeto
   es la Naturaleza.


Si eso fuese asi, al reducir la inteligencia humana a un cerebro con sucesos cuanticos incluidos, tal vez no estariamos reduciendola a algo puramente material.

4. El argumento de las paradojas contra el materialismo

Vamos a ver ahora como la paradoja del Mentiroso puede usarse para argumentar contra el materialismo. Hay que tener en cuenta que aqui, igual que en los demas apartados, se trata solo de un argumento, no lo presentamos como una demostracion.

Consideramos la oracion M

este juicio es falso

Debe quedar claro que la oracion M pretende referirse a si misma. Calculamos y vemos que no podemos atribuirle ningun valor de verdad sin contradiccion: si M es verdadero, debe ser verdad lo que dice y entonces es falso; si M es falso, resulta que eso es precisamente lo que M dice, de modo que M es verdadero. Nos vemos obligados a reconocer que M no es verdadero ni falso; decimos entonces que, aunque se trata de una oracion con la estructura sintactica de las oraciones que usualmente expresan enunciados o proposiciones, M no expresa una proposicion; si la expresara tendria un valor de verdad porque toda proposicion es verdadera o falsa -esta afirmacion se llama principio de bivalencia-. Llamaremos paradojicas a las oraciones que no expresan proposiciones. Este curso de razonamiento ha sido defendido convincentemente entre otros por S. Kripke (1975), H. Gaifman (1992, 2000) y L. Goldstein (1992, 2000), y hasta ahora parece capaz de superar las objeciones que otros han planteado.

Parece obvio que lo que hace que M provoque una paradoja es que su caracter autorreferente da lugar a una circularidad en la determinacion de su valor de verdad (esto no implica que la autorreferencia sea la causa de todas las paradojas). Para verlo mejor, conviene considerar esta otra oracion a la que llamaremos V:

este juicio es verdadero

Al hacer los calculos, se comprueba que no llegamos a ninguna contradiccion suponiendo que V es verdadero y tampoco suponiendo que es falso, de modo que es imposible atribuirle un valor de verdad concreto; solemos considerar que V es semejante a M y que carece de valor de verdad. Es instructivo comparar V con este juicio, al que llamaremos N:

la nieve es blanca

Para saber si N es verdadero, vamos y miramos la nieve. Pero para saber si V es verdadero tenemos que decidir precisamente si V es verdadero o no, con lo que estamos en un circulo vicioso. La leccion que parece deducirse es que un juicio no puede referirse a si mismo porque no esta dado para si mismo, no es un dato para si mismo. Parece que a los juicios hay que distribuirlos en niveles logicos para que hablen de cosas previamente dadas. Asi:

la nieve es banca habla de la nieve;

'la nieve es blanca es verdadero' habla del juicio la nieve es blanca;

" 'la nieve es blanca es verdadero' es verdadero" habla del juicio 'la nieve es blanca es verdadero';etc.

Ahora bien, parece claramente imposible dar lugar a una paradoja al referirnos a algo que existe objetivamente, que esta objetivamente dado para cualquier pensamiento, como lo estan los objetos materiales. Por tanto, si los juicios fuesen objetos materiales -por ejemplo, estructuras neuronales- deberian poder referirse a si mismos sin problemas logicos y las paradojas como la del Mentiroso no existirian.

Otra forma de plantear el argumento es la siguiente. Suponga el lector que X es su nombre y considere esta oracion, a la que llamaremos H:

X no sabe que este juicio es verdadero

Vamos a demostrar que H es una oracion paradojica, que no es verdadera ni falsa. Si fuese falsa, X (es decir, el lector) sabria que es verdadera; pero nadie puede saber que una oracion falsa es verdadera, puede como mucho creerlo. Luego H no puede ser falsa.

Si H no fuese paradojica, de ahi se deduciria que es verdadera; pero entonces X (es decir, el lector) podria deducirlo igualmente y sabria que H es verdadera, con lo que H seria automaticamente falsa y estariamos de nuevo en una contradiccion. Por tanto, H es paradojica.

Ahora bien, si X (es decir, el lector) fuese un objeto material y su conocimiento fuese solo un proceso material objetivamente dado, deberia resultarnos imposible construir una paradoja refiriendonos a el, como hemos hecho por medio de H.

Lo que este razonamiento sugiere es que las cosas materiales estan siempre objetivamente dadas para cualquier pensamiento pero el pensamiento no esta siempre objetivamente dado para si mismo; por ejemplo, mientras pensamos que la nieve es blanca, no podemos pensar a la vez que pensamos que la nieve es blanca; no parece posible que un acto de pensamiento sea su propio objeto; esto explicaria los problemas que plantean las oraciones autorreferentes (cf. Luna 2008). Segun este planteamiento, el pensamiento, puesto que no esta siempre objetivamente dado para el pensamiento, dificilmente podria ser una cosa material.

Algo semejante ocurria con la paradoja de Russell-Zermelo y los objetos ideales: si los objetos ideales existiesen en un mundo platonico deberian estar siempre dados para el pensamiento; vimos, sin embargo, que parece que, cuando definimos el conjunto R, el mismo conjunto R no nos esta dado.

Desde una cierta interpretacion de la fisica cuantica se podria argumentar que no es cierto que todos los objetos fisicos esten objetivamente dados al pensamiento: los objetos sometidos a fenomenos cuanticos podrian no estarlo; de hecho el principio de incertidumbre de Heisenberg prohibe que todas las propiedades de un objeto fisico -por ejemplo, la posicion y el impulso de una particula--nos esten dadas simultaneamente. El problema es que para argumentar asi es necesario admitir que la particula en cuestion tiene objetivamente una posicion y un impulso definidos, aunque a nosotros nos resulte imposible medirlos; y parece que esta posicion solo puede adoptarse si se admite que la incertidumbre cuantica resulta de una interaccion entre el mundo fisico y el observador, esto es, que no pertenece al mundo fisico en si mismo. Ahora bien, si se admite esto, lo que llamamos mundo fisico en fisica cuantica podria no ser ya algo puramente material, sino mas bien el resultado de la interaccion entre la conciencia del observador y el objeto observado.

5. LA PARADOJA DE BENA[R.sub.D]ETE Y EL COMIENZO DEL TIEMPO

Ofrecemos a continuacion un argumento contra la posibilidad de un tiempo sin un primer instante. El argumento esta basado en una version de la paradoja de Benardete (1964), un filosofo estadounidense contemporaneo y ha sido planteado antes por el autor en (Luna 2009). Es posible ofrecer una formulacion informal mediante la siguiente version de la paradoja.

Supongamos que hay una cadena infinita de unidades de tiempo hacia el pasado. Supongamos ademas que en cada unidad de tiempo suena un gong y que en cada tanido esta presente una misma persona P. Suponemos finalmente que cada tanido es tan fuerte que deja sordo a P para siempre si P no ha quedado antes sordo por un tanido anterior. Podemos demostrar que P esta sordo y que no esta sordo. Demostramos que P esta sordo en cualquier dia D del tiempo: supongamos que P no esta sordo en D; entonces tampoco lo estaba el dia anterior a D; entonces el tanido del dia anterior lo dejo sordo; entonces esta sordo en D: contradiccion; luego P esta sordo desde siempre. Pero, como P esta sordo desde siempre no ha podido oir ningun tanido; por tanto, P no esta sordo. Esta contradiccion demuestra que la situacion es imposible. Parece que lo unico que podria ser imposible en esta situacion es la existencia de un pasado sin primer instante; y, en efecto, la contradiccion desaparece si existe un primer dia del tiempo: P se habria quedado sordo en ese primer dia.

Damos a continuacion una version mas formal del argumento.

Supongamos que existe una serie S de unidades de tiempo [t.sub.n] sin una primera unidad. Cada elemento [t.sub.n] de S puede estar determinado de diversa manera; para simplificar asumamos que cada [t.sub.n] de S puede estar en el estado 1 o en el estado 0.

Escojamos un elemento cualquiera to de S. Demostramos que la siguiente ley L determina efectivamente el estado de to:

L) para todo [t.sub.n], [t.sub.n] esta en 1 si y solo todos los instantes anteriores a [t.sub.n] estan en 0.

Lo unico necesario para que el estado de [t.sub.0] quede determinado por L es que, cuando L tenga que determinar ese estado, este previamente determinado si todos los elementos anteriores a [t.sub.0] estuvieron en 0 o no; ahora bien, cuando L determina el estado de [t.sub.0] los estados de los elementos anteriores a [t.sub.0] son acontecimientos pasados en el tiempo, de modo que estan definitivamente determinados: por el principio de tercio excluso, o bien estuvieron todos en el estado 0 y entonces el estado de [t.sub.0] queda determinado en 1, o bien alguno estuvo en estado 1 y entonces [t.sub.n] estara en el estado 0. Si los estados de los elementos anteriores a [t.sub.0] no estuvieran determinados, no existirian y entonces [t.sub.0] no existiria; pero hemos supuesto que existe puesto que hemos supuesto que existe la serie S de la que [t.sub.0] es un elemento. Por tanto, L determina efectivamente el estado de [t.sub.0].

Demostramos igualmente que L no determina el estado de [t.sub.0].

Supongamos que L determina el estado de [t.sub.0]. Supongamos que L pone a [t.sub.0] en 1; entonces L pone a todos los elementos anteriores en 0; en concreto pone al elemento [t.sub.-1], inmediatamente anterior a [t.sub.0], en 0; pero tambien pone en 0 a todos los elementos anteriores a [t.sub.-1], luego pone a [t.sub.-1] en 1. Contradiccion. Luego L no pone a [t.sub.0] en 1 sino en 0. Pero, como [t.sub.0] era un elemento cualquiera de S, L pone en 0 a todos los elementos de S. Ahora bien, si el estado de [t.sub.0] es 0, hay algun elemento anterior a [t.sub.0] al que L pone en 1, contra lo que acabamos de demostrar. Contradiccion. Luego L no determina el estado de [t.sub.0].

Entonces L a la vez determina y no determina el estado de [t.sub.0]. Para evitar la contradiccion, hay que admitir que existe un primer elemento de S.

Si existe un primer elemento de S, como no tiene elementos anteriores, L determina que estara en 0; el segundo elemento estara en 1 y todos los siguientes estaran en 0. La existencia de un primer elemento evita la contradiccion. Lo que esto muestra es que nuestra concepcion habitual del tiempo, segun la cual el pasado esta definitivamente determinado, es incompatible con la ausencia de un primer instante.

6. Teoria de conjuntos y teologia

El creador de la disciplina logico-matematica conocida como teoria de conjuntos fue el matematico aleman Georg Cantor (1845-1918). Cantor concibio esta teoria como una manera de tratar matematicamente el infinito y llego a relacionarla con la teologia: Cantor descubrio que el universo matematico es "tan grande" que no cabe en un conjunto, es decir, que no forma una totalidad acabada, y a esa "magnitud" la llamo el infinito absoluto y la considero una forma de definir la infinitud de Dios.

Recientemente el logico Patrick Grim (2003) ha usado la teoria cantoriana de conjuntos para desarrollar un argumento contra la posibilidad de un ser omnisciente. Grim plantea su demostracion como un argumento contra la existencia de Dios, puesto que a Dios suele atribuirsele la omnisciencia.

La forma original del argumento se basa en el teorema de Cantor (1891), que afirma que los elementos de un conjunto C cualquiera no pueden emparejarse con los conjuntos de elementos de C. Pero la idea de Grim puede expresarse sin necesidad de utilizar el teorema de Cantor. En realidad, es una variante del argumento contra el Platonismo que hemos visto en el apartado 1.

En esencia Grim argumenta que si existiese un ser omnisciente -por ejemplo, Dios- todas las verdades matematicas y todos los objetos matematicos estarian dados de una vez por todas en su mente y entonces formarian una totalidad acabada, un conjunto, lo que no parece posible: vimos en el apartado 1 que no parece que todos los conjuntos puedan estar dados en una totalidad acabada y formar un conjunto. La siguiente formulacion es una version del argumento de Grim.

Supongamos que existe Dios y es omnisciente; entonces Dios conoce todos los objetos matematicos y, en concreto, todos los conjuntos; sea [C.sub.D] el conjunto de todos los conjuntos que Dios conoce y sea [R.sub.D] el conjunto de todos los elementos de [C.sub.D] que no son elementos de si mismos; de la definicion de [R.sub.D] se deduce que para todo conjunto x:

1. Para todo conjunto x es elemento de [R.sub.D] si y solo si x elemento de [C.sub.D] y x no es elemento de x

Como eso vale para todo conjunto x, vale tambien para [R.sub.D]:

2. [R.sub.D] es elemento de [R.sub.D] si y solo si [R.sub.D] es elemento de [C.sub.D] y [R.sub.D] no es elemento de [R.sub.D]

Para llegar a una contradiccion supongamos que [R.sub.D] es elemento de [C.sub.D]. Entonces los enunciados:

3. [R.sub.D] es elemento de [C.sub.D] y [R.sub.D] no es elemento de [R.sub.D] y

4. [R.sub.D] no es elemento de [R.sub.D] son equivalentes: son ambos verdaderos o ambos falsos. Podemos comprobar que 3 es el segundo miembro de 2. Entonces, como 3 es equivalente a 4, podemos sustituir 3 por 4 en 2 y tenemos que:

5. [R.sub.D] es elemento de [R.sub.D] si y solo si [R.sub.D] no es elemento de [R.sub.D] Y esto es una contradiccion. Por tanto, [R.sub.D] no es elemento de [C.sub.D]. Entonces [C.sub.D] el conjunto de todos los conjuntos que Dios conoce- no contiene todos los conjuntos; es decir, hay un conjunto que Dios no conoce, a saber, [R.sub.D].

Tradicionalmente la teologia ha utilizado dos vias para definir la naturaleza de Dios: la via excellentiae (o eminentiae)y la via negationis. La primera consiste en atribuir a Dios todas las perfecciones que encontramos en el mundo y en nosotros mismos pero llevadas a su grado maximo. La segunda consiste en negar de Dios cuanto encontramos en los seres fifnitos. La primera tiene un caracter mas racionalista y la segunda tiene un caracter mas mistico, porque, al negar de Dios, todo lo que encontramos en los seres finitos, subraya el caracter misterioso e incognoscible de Dios.

Lo que el argumento de Grim sugiere es que la via excellentiae no puede utilizarse para definir a Dios en el caso del conocimiento: el conocimiento -tal como lo encontramos en nosotros- no tiene un grado maximo, para cada grado de conocimiento realizado en una mente concreta, hay un grado superior que incluye el conocimiento de objetos que esa mente no conoce.

Tomas de Aquino propuso en el siglo XIII la teoria de la analogia para evitar que la via excellentiae condujese a una concepcion antropomorfica de Dios: Dios tiene las perfecciones humanas en grado sumo pero en Dios esas cualidades no son exactamente lo mismo que en el ser humano, estan relacionadas con las perfecciones del ser humano por via de analogia o proporcion: son el equivalente en Dios a lo que son en el hombre. Aplicando la doctrina de la analogia al conocimiento divino podemos conjeturar que la omnisciencia matematica de Dios no debe ser concebida, a la manera del conocimiento matematico humano, como un conocimiento de todos los objetos matematicos o de todas las verdades matematicas o de todos los hechos matematicos: el prefijo omni- de omnisciencia deberia ser entendido en el caso de la omnisciencia divina en un sentido analogico.

Es probable que esto conduzca legitimamente a la conclusion de que la omnisciencia divina es en ultima instancia incomprensible para el entendimiento humano. Esta conclusion puede utilizarse como un argumento contra la existencia de Dios: el concepto mismo de Dios es absurdo y lo absurdo no existe. O puede usarse como un argumento a favor de una interpretacion mistica de Dios: Dios es efectivamente incomprensible para la razon humana pero asi es como cabe esperar que sean las cosas si Dios existe.

7. Logica modal y teologia

En el siglo XI San Anselmo de Canterbury habia propuesto en el capitulo segundo de la obra conocida como Proslogion el siguiente argumento, que luego Kant denomino 'argumento ontologico':

1. Dios es, por definicion, el ser mas perfecto que podamos concebir.

2. Si Dios no existiera, podriamos concebir un ser mas perfecto que Dios, a saber, un ser que tuviese todas las perfecciones de Dios y ademas existiera.

3. Entonces el ser mas perfecto que podemos concebir no seria el ser mas perfecto que podemos concebir.

4. Luego Dios existe.

Santo Tomas de Aquino y Kant rechazaron este argumento. Santo Tomas dice que de la existencia del concepto de Dios en nuestro pensamiento no se sigue la existencia real de Dios y Kant dice que la existencia no anade ninguna perfeccion a la esencia de un ser (por tanto, rechaza el paso 2).

El desarrollo de la logica modal -que es la logica de lo necesario y lo contingente- con Leibniz y luego en el siglo XX ha permitido plantear una version modal del argumento, que parece evitar los inconvenientes del anterior. Esta version ha sido propuesta recientemente C. Hartshorne (1965) y A. Plantinga (1974) entre otros, y es famosa la elegante formalizacion logica que de ella hizo Godel. Hartshorne afirma que el mismo San Anselmo vislumbro ya esta version. La siguiente es una formulacion de entre varias posibles del argumento ontologico modal.

1. Dios, si existe, tiene todas las perfecciones (por definicion).

2. Si un ser existe, es mas perfecto si existe necesariamente que si existe contingentemente.

3. Luego, si Dios existe, existe necesariamente.

4. Pero esto implica que la existencia de Dios no es un asunto contingente; es decir:

si Dios existe, es necesario que exista;

si Dios no existe, es imposible que exista.

5. Por tanto, o es necesario que Dios exista o es imposible que Dios exista.

6. Pero no es imposible que Dios exista, porque el concepto de Dios no es contradictorio como el concepto de un circulo cuadrado.

7. Luego es necesario que Dios exista.

El paso 4 se basa en la idea intuitiva de que si una proposicion es necesaria si es verdadera, entonces es imposible si es falsa: la contingencia o no contingencia de una proposicion es independiente de su valor de verdad. Este principio es un poco mas fuerte que el axioma generalmente usado en las versiones mas formales del argumento, el axioma caracteristico del sistema modal S5. Preferimos usar aqui ese principio antes que ese axioma porque ese principio nos resulta suficientemente intuitivo y es menos tecnico.

El punto debil de este argumento esta probablemente en el paso 6: que el concepto de Dios no resulte contradictorio a simple vista no implica que sea posible la existencia de Dios; tampoco resulta contradictorio a simple vista el concepto de un triangulo cuyos angulos sumen 190 grados y, sin embargo, ese triangulo es imposible. Godel (1995), en su formulacion del argumento, ofrecio una fundamentacion de la posibilidad de Dios esencialmente asi:

1. Ser Dios -es decir, poseer todas las perfecciones- es necesariamente una perfeccion.

2. Hay imperfecciones que son necesariamente imperfecciones.

3. Una perfeccion que lo sea necesariamente no implica necesariamente ninguna propiedad que sea necesariamente una imperfeccion.

4. Por tanto, ser Dios no implica necesariamente ninguna propiedad que sea necesariamente una imperfeccion.

5. Una propiedad imposible (es decir, una propiedad que ningun ser pueda poseer) implica necesariamente cualquier otra.

6. Luego ser Dios no es una propiedad imposible.

El paso 3 se justifica por el significado que tiene en logica formal la expresion p implica necesariamente q. Esa expresion significa que no hay ningun mundo posible en que p sea verdadera y q falsa. Si p es imposible, no es verdadera en ningun mundo posible, luego no hay ningun mundo posible en el que p sea verdadera y q falsa.

Tal vez el punto debil de este segundo argumento este en la premisa que aparece en el paso 5: no resulta evidente que una perfeccion que lo sea necesariamente no implique necesariamente ninguna imperfeccion que lo sea necesariamente; si alguna de esas perfecciones resultase ser imposible, implicaria necesariamente cualquier propiedad, de modo que estamos suponiendo implicitamente que todas las perfecciones que lo son necesariamente son posibles y esto no resulta evidente: la omnisciencia es para muchos una propiedad que es necesariamente una perfeccion y, sin embargo, a la vista del argumento de Grim en el apartado anterior, parece una propiedad imposible, al menos en alguna de las maneras de concebirla.

Lo que el argumento ontologico modal probablemente nos ensena es que o Dios existe necesariamente o es imposible que Dios exista: tenemos que elegir entre su necesidad y su imposibilidad. La opinion de que es posible que Dios exista y tambien es posible que no exista parece dificil de mantener, al menos si definimos a Dios como un ser necesario.

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Author:Luna Cabanero, Laureano
Publication:Themata. Revista de Filosofia
Date:Jun 1, 2012
Words:6817
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