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Coherencia espacial de la luz en el espacio-fase: procedimientos no-paraxiales e implicaciones fisicas.

Introduccion

Dijo Dios: <<Haya luz>>, y hubo luz.

Genesis 1:3.

A pesar de los esfuerzos por comprender la naturaleza de la luz, realizados a lo largo de la historia de la humanidad, y de los logros tecnologicos alcanzados en ese constante ejercicio, este fenomeno fisico continua siendo un misterio, al menos en sus aspectos fundamentales. Hoy en dia no se requiere ser especialista para afirmar con la naturalidad que la luz es una onda electromagnetica. Sin embargo, para muchos es motivo de sorpresa percatarse de que tal afirmacion fue construida, por partes y enteramente, apenas en el siglo IX.

En 1801, Thomas Young sorprendio con los resultados de un experimento planteado hacia 1650 por el jesuita Francesco Maria Grimaldi para "obtener oscuridad sumando luz" (1, 2), poniendo en tela de juicio la conviccion, arraigada desde tiempos de Democrito de Abdera (~S. IV A.C.), que concebia la luz como un efluvio continuo de particulas materiales inconmensurables, y con base en la cual fueron formuladas las leyes mas antiguas de la optica (y quiza de las ciencias naturales en su conjunto) y sus principios fenomenologicos: la ley de reflexion, reportada en Los Elementos de Euclides (~300 A.C.), el principio de la menor distancia, formulado por Heron de Alejandria (~50), la ley de refraccion, sintetizada por Willebrod Snellius (1620) y el principio del menor tiempo, formulado por Pierre de Fermat (1657) (3). Mucho antes de la promulgacion de la ley de Snellius, Abu Ali Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitam (latinizado Alhazen) convencio al mundo, hacia el ano 1000, de que el mecanismo propuesto por Democrito para explicar por que podemos ver y que habia permanecido sin alteraciones hasta esa epoca, era incorrecto: la luz no es emitida sino solo detectada por los ojos; ademas, nombro las componentes oculares con los terminos que usamos actualmente. Al demostrar que era un fenomeno externo al ser humano, Alhazen indico tambien que la luz producida por cuerpos incandescentes, como las estrellas, las velas y las brasas, tenia la misma naturaleza, al igual que la luz reflejada por las superficies pulidas o la que atravesaba los cuerpos translucidos. Su obra cumbre la constituyen los siete volumenes titulados Kitab-al-Manazirn (Libro de Optica), escritos entre el 1015 y el 1021, traducidos al latin hacia el 1270 como Opticae thesaurus Alhazenis y considerados como el tratado de optica mas importante de la edad media, que consagro a Alhazen como el padre de la optica moderna (4).

En 1266, el Doctor Miravilis Roger Bacon reporto el metodo para fabricar lentes esfericas como las usadas en la actualidad, en su Opus Majus, y hacia 1590, el holandes Zacharias Janssen patento un juguete optico, consistente en un tubo con dos lentes, cada una fijada a uno de los extremos de un tubo, con la propiedad de hacer ver con claridad objetos que, por la distancia a la que estaban o por el tamano que tenian, no podian apreciarse cabalmente a simple vista. Ese instrumento fue decisivo para el desarrollo de la revolucion cientifica del siglo XVII, y constituyo el prototipo de los instrumentos opticos de uso visual, desarrollados hasta la actualidad. A inicios de 1610, Galileo Galilei bautizo con los nombres de amantes del dios Jupiter (Europa, Calixto, Ganimedes e Io) cuatro de los cuerpos celestes que orbitan alrededor del planeta Jupiter; una observacion que, si bien no brindo soporte directo a la teoria heliocentrica de Nicolas Copernico, mino el piso de la concepcion geocentrica resguardada por la Santa Inquisicion: la tierra no era el centro unico del universo. Anos despues, Sir Robert Hooke reprodujo en su Micrographia (1665) la primera imagen observada de la estructura regular de una delgada lamina de corcho, cuyos elementos bautizo celulas, termino indispensable hoy en dia para referirse a los atributos estructurales de los tejidos biologicos. Tanto Galileo como Hooke emplearon tubos de Janssen apropiados para la observacion de objetos distantes (telescopio) y de objetos pequenos (microscopio) respectivamente (5).

No obstante, tal eficacia no le impidio a Grimaldi reconocer el profundo misterio de la naturaleza de la luz: "Seamos honestos, nosotros no sabemos realmente nada sobre la naturaleza de la luz y es deshonesto emplear palabras rimbombantes carentes de sentido" escribio en su unica obra, publicada dos anos despues de su muerte (2). Tal sentencia, lejos de ser un reproche altanero, fue una humilde advertencia motivada por un descubrimiento que llamo diffractum, al cual llego buscando aislar un rayo de luz. La difraccion le demostro que su intento no era posible, le mostro que la luz podia cambiar de direccion por causas diferentes a la reflexion y a la refraccion, y lo llevo a intuir que la luz "saltem aliquando etiam undulatim" (a veces incluso tambien ondula). Experimentando con dos aberturas practicadas sobre una pantalla, Grimaldi concluyo que un cuerpo iluminado por dos haces de luz podia lucir mas oscuro que cuando se iluminaba con un unico haz. Pero su experimento debio ser refinado por Young, siglo y medio despues, para mostrar que efectivamente era posible obtener oscuridad sumando luz, comportamiento que Young denomino principio de interferencia (1).

Las reacciones frente al descubrimiento de la interferencia luminosa por Young fueron disimiles, en buena parte porque los arraigados efluvios de particulas contaban con el respaldo del genio de Sir Isaac Newton (Opticks, 1704). Fue necesario que la Academia Ciencias de Francia convocara un concurso para "resolver de una vez por todas la cuestion sobre la naturaleza de la luz" y, en 1818, declarara Memoire Courronne al trabajo presentado por Augustin-Jean Fresnel, que formalizaba las ideas de Grimaldi y de Young: la luz dejo de ser un efluvio de particulas y paso a ser una onda emparentada con las ondas mecanicas transversales. Mucho antes, Rene Descartes lo habia intuido (La Dioptrique, 1637): "... recordando la naturaleza que yo he atribuido a la luz, cuando dije que no es otra cosa que un cierto movimiento o una accion concebida en una materia muy sutil, la cual llena los poros de todos los cuerpos ... ", aceptando la hipotesis del eter, el 5 elemento del cosmos aristotelico.

Los indicios experimentales recogidos en los anos posteriores a 1818, particularmente la medicion de la velocidad de la luz (Fizeau y Foucault, 1849) y el efecto Faraday (Michel Faraday, 1845), que revelo la susceptibilidad de su polarizacion a campos magneticos intensos, indujeron a James Clerck Maxwell a postular que las ondas electromagneticas, predichas por las cuatro leyes de la electrodinamica que el habia sintetizado y mejorado (1865), no eran otra cosa que ondas de luz. Hubo que esperar hasta 1887 para que Heinrich Hertz mostrara experimentalmente la existencia fisica de tales ondas. Asi, el XIX fue el siglo de oro de la novedosa concepcion ondulatoria de la luz, "una ondulacion transversal del mismo medio que produce la electricidad y el magnetismo" en palabras de Maxwell, que hacen referencia directa a la version luminifera del eter. En su caracter de fenomeno ondulatorio, la luz deja de ser considerada como una composicion de particulas de materia.

Es llamativo que la hegemonia lograda por tal concepcion en el siglo XIX, cediera apenas comenzado el siglo XX. En efecto, la Teoria de Relatividad Especial de Albert Einstein (1905) (6) erradica al eter de la fisica, y adopta una implicacion del celebre experimento interferometrico, realizado por Albert Abraham Michelson y Edward William Morley (1887), como principio de la naturaleza: la velocidad de la luz es una constante universal, independiente del estado de movimiento de su fuente y de los observadores que la registran. Ese mismo ano (1905), Einstein restituye la concepcion corpuscular de la luz en su explicacion del efecto fotoelectrico (7), pero desde una perspectiva diferente: la luz esta efectivamente compuesta por quanta de energia electromagnetica, un termino que introdujo Max Planck en 1900, como parte de su estrategia para el calculo correcto de la distribucion espectral de la energia emitida por un cuerpo negro (8).

Es importante tener en cuenta que estos avances no descalificaron a la teoria electromagnetica de la luz, cuya vigencia actual se manifiesta en la idea generalizada, citada al comienzo de esta seccion, de que la luz es una onda electromagnetica; como tampoco la descalificaron avances posteriores, como el de la Teoria General de la relatividad que predijo la "caida libre" de la luz en campos gravitacionales intensos en virtud de su masa relativistica (comprobada por Sir Arthur Stanley Eddington en la observacion de un eclipse solar, en 1919); y como el efecto Compton, prueba experimental, aportada por Arthur Holy Compton (1922), de la capacidad de los quanta de colisionar con particulas elementales como los electrones, predicha por Einstein (8).

El recorrido anterior muestra las dimensiones del misterio que rodea a la naturaleza mas intima de la luz, indicando ademas que los claros avances en su conocimiento, lejos de disminuirlo parecen haberlo aumentado. Mas aun, el contexto conformado por la Electrodinamica, la Mecanica Cuantica y la Teoria de Relatividad no es el unico que senala comportamientos misteriosos de la luz. Esta disertacion se desarrolla en el marco de la Teoria de Coherencia Optica (9), la cual, desde una concepcion ondulatoria clasica, aborda el estudio de las condiciones que aseguran la interferencia de frentes de onda superpuestos, ya que esto no siempre ocurre. Dilucidarlas tomo algo mas de la primera mitad del Siglo XX. Max von Laue dio el primer paso claro en esta direccion (10), al comprender que tales condiciones, a las que se refirio con el termino koharenz (coherencia), estan intimamente relacionadas con las propiedades de correlacion de las perturbaciones que componen el campo optico. Sugirio ademas definir un grado de coherencia como descriptor de la capacidad de interferir de las ondas luminosas superpuestas. En la decada de 1930, estas ideas condujeron a P. H. Van Cittert y Frits Zernike a un celebre teorema, segun el cual el campo optico puede ganar coherencia solo con propagarse (11, 12).

El teorema de Van Cittert--Zernike constituyo la piedra angular de la Teoria de Coherencia de Segundo Orden, consolidada por Emil Wolf hacia 1955 (9). A pesar de la eficacia predictiva y explicativa de esta teoria, relacionada con las propiedades de correlacion del campo optico, su generalidad fue restringida, casi desde su nacimiento, por los resultados experimentales conocidos actualmente como efecto HBT. En 1956, los astronomos Robert Hanbury-Brown y Richard Twiss llevaron a cabo una observacion astronomica con un curioso esquema de deteccion: las senales provenientes de estrellas lejanas eran registradas por dos radio-telescopios independientes, y las foto-corrientes generadas eran luego correlacionadas mediante un sistema electronico (13). Dicha operacion es equivalente a realizar una correlacion entre las intensidades registradas por los telescopios, cuyo resultado es una cantidad de cuarto orden (intensidad al cuadrado), que presenta una modulacion cosenoidal similar a franjas de interferencia. Esta modulacion indica la existencia de correlaciones de orden superior al segundo (al menos de cuarto orden) en el campo optico, cuya descripcion supero la capacidad de la teoria de Wolf. A esto se sumo, pocos anos despues, el advenimiento del laser, cuyas emisiones tambien tienen propiedades de coherencia de orden superior.

Tanto el efecto HBT como el laser fueron entonces caracterizados como fenomenos no-clasicos, a pesar de los modelos semi-clasicos que se habian desarrollado para explicarlos (14, 15); y con tal fin se propuso una Teoria Cuantica de la Coherencia Optica (16). Sin embargo, la frontera entre el comportamiento clasico y el no-clasico de la coherencia optica no esta claramente definida, y se continua examinando en la actualidad desde novedosas perspectivas, aportadas por la representacion no-paraxial de espacio-fase paras el campo optico (17).

El principio de Huygens-Fresnel, que rige el comportamiento difractivo de la luz, fue formalizado en la Teoria de Difraccion de Kirchhoff (18) en terminos de una integral no lineal, cuya solucion exacta solo se ha calculado para casos muy simples, pues en la mayoria de situaciones de interes, sus soluciones analiticas o bien no existen o bien son inaccesibles. En contraste, su aproximacion paraxial, util cuando la distancia de propagacion de la luz es significativamente mayor que las dimensiones de las fuentes y de los sensores, es muy popular y es la base de una teoria lineal, llamada Optica de Fourier (19), soporte principal de la ingenieria optica. Estas restricciones han sido impuestas tambien a la Teoria de Coherencia de Segundo Orden. En efecto, el nucleo de esta teoria es una ecuacion integral, que llamaremos integral de Wolf, la cual describe la propagacion de la densidad espectral cruzada (9) (cantidad que representa las propiedades de correlacion del campo optico en un plano dado) de manera intimamente relacionada con la integral de difraccion Kirchhoff-Fresnel; de hecho, la integral de Wolf es no-lineal, de segundo orden, y tiene cuatro dimensiones cuando se refiere a campos emitidos por fuentes planas y registrados por detectores planos (9). Su aproximacion paraxial es la version lineal que se ha empleado en las multiples aplicaciones en las que esta integral se ha empleado.

A pesar de su utilidad, las aproximaciones paraxiales, tanto de la integral de difraccion de Kirchhoff-Fresnel como de la integral de Wolf, han restringido significativamente el conocimiento del comportamiento de la luz cuando se propaga, con amplias aperturas numericas, a distancias comparables con su longitud de onda. En este contexto, hemos realizado un aporte que permite superar tales restricciones en el caso de la integral de Wolf (20), hoy en dia quiza mas importante que la integral de difraccion de Kirchhoff-Fresnel. El primer paso consiste en expresar la integral de Wolf en el espaciofase (21) e introducir el novedoso concepto de soporte estructurado de coherencia espacial (22), muy diferente al concepto convencional de area de coherencia. Esto permite dar el segundo paso: separar la integral de Wolf en dos terminos, uno de ellos independiente del soporte estructurado y el otro enteramente referido a el.

Estos terminos tienen un significado fisico muy importante:

El primero se refiere a la distribucion de energia radiante emitida por la fuente, independientemente del estado de coherencia espacial del campo. En consecuencia es una cantidad positiva y registrable por detectores convencionales de modulo cuadrado.

* En contraste, el segundo se refiere a la energia moduladora debida precisamente al estado de coherencia espacial del campo, la cual toma valores positivos y negativos. Esta energia no es registrable de manera individual por los detectores convencionales, no solo a causa de sus valores negativos sino tambien porque su valor neto es nulo, lo cual garantiza el cumplimiento de la ley de conservacion de la energia radiante total del campo. Se identifica su presencia porque, al adicionarla a la energia radiante del campo en el plano de observacion, produce zonas de mayor y de menor intensidad que la distribucion de energia radiante, esto es, patrones de interferencia.

* En las siguientes secciones se muestra que esta estrategia conduce a un procedimiento de calculo no-paraxial de la integral de Wolf altamente eficiente, reportado por primera vez en (20), el cual ademas revela, o al menos predice, comportamientos novedosos de la luz cuando se propaga, con amplia apertura numerica, una distancia arbitraria desde la fuente. Quiza la prediccion de mayor impacto es la que indica que, a pesar del origen ondulatorio de la densidad espectral cruzada, su estructura se compone de dos conjuntos de fuentes puntuales de diferente naturaleza, de los cuales, el de las fuentes radiantes es necesariamente discreto (23). Estos descubrimientos recientes, de los que nos ocuparemos en detalle a continuacion, subrayan el profundo misterio que rodea la naturaleza intima de la luz, luego de al menos 24 siglos de reflexion sobre ella.

1. Integral de Wolf en la representacion de espacio-fase

La Figura 1 ilustra el esquema conceptual de la propagacion en espacio libre de un campo optico, de numero de onda k = 2 [pi]/[lambda], longitud de onda [lambda] y frecuencia V, en un estado arbitrario de coherencia espacial, desde su emision en el plano de apertura (PA) hasta su registro en el plano de observacion (PO), separados una distancia z entre ellos. Las coordenadas centro-diferencia (17) [[xi].sub.A],[[xi].sub.D]) identifican univocamente parejas de puntos con vector de separacion [[xi].sub.D], contenidas en el soporte estructurado de coherencia espacial centrado en en el [[xi].sub.A]. Tal soporte estructurado es la region alrededor de la posicion que contiene pares de radiadores elementales correlacionados, simetricamente dispuestos con respecto a [[xi].sub.A] en las posiciones [[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2 esto es, con vector de separacion [[xi].sub.D]). Similarmente, las coordenadas [r.sub.A],[r.sub.D]) identifican univocamente parajas de puntos en el PO, con vector de separacion [r.sub.D], contenidas en el soporte estructurado centrado en [r.sub.A]; dichos puntos se ubican simetricamente con respecto al centro del soporte, en las posiciones [r.sub.A] [+ o -] [r.sub.D]/2.

[FIGURA 1 OMITIR]

La integral de Wolf (una deduccion completa de esta formula se encuentra en (9))

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (1)

describe tal propagacion, donde W([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2, [[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]/2;v) y W([r.sub.A] + [r.sub.D] /2, [r.sub.a] - [r.sub.D]/2;v) representan las densidades espectrales cruzadas de dicho campo optico, referidas a los soportes estructurados centrados en [[xi].sub.A] en el PA y en [r.sub.A] en el PO respectivamente. Estas funciones determinan las propiedades de correlacion del campo en los respectivos soportes estructurados. Asi, la integral de Wolf indica que la densidad espectral cruzada en cada soporte estructurado del PO resulta de la superposicion de contribuciones de las densidades espectrales cruzadas en todos los soportes estructurados del PA, propagadas a lo largo de caminos opticos [s.sub.[+ o -]] = [valor absoluto de z+[r.sub.A] [+ o -] [r.sub.D]/2 - [[xi].sub.A] [- o +] [[xi].sub.D]/2] por onditas secundarias esfericas no isotropicas, es decir, afectadas por los factores de inclinacion [LAMBDA]([[??].sub.[+ o -]]), donde [[??].sub.[+ o -]] son los angulos tomados con respecto a la normal n a cada punto del PA (Figura 1a). Por simplicidad matematica y sin perdida de generalidad, supongamos que el PA es iluminado con una onda plana, de manera que

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (9).

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuacion (1) y evaluandola para [r.sub.D] = 0, se obtiene la potencia espectral del campo en el PO, la cual puede ser registrada mediante un detector de modulo cuadrado, instalado en dicho plano. Esta cantidad puede expresarse como (Figura 1b) (20)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (2)

con

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (3)

el espectro de potencia marginal no-paraxial y

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (4) ==

con [S.sub.0]([[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2;v) el espectro de potencia y ([[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2) = t([[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2) exp[i[fi])([[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2)] la transmision compleja en el PA. Ademas,

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con [alfa]([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2, [[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]/2;v) la fase de la densidad espectral cruzada, es el grado complejo de coherencia espacial (9) determinado por la correlacion entre las perturbaciones del campo en las posiciones [[xi].sub.A] [+ o -] [[xi].sub.D]/2, dentro del soporte estructurado de coherencia espacial centrado en [[xi].sub.A]. Este descriptor presenta las siguientes propiedades generales:

* [my]([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2, [[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]2;v) = [[my].sup.*] ([[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]/2, [[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]2;v),

simetria hermitica que implica simetria par para su magnitud e impar para su fase.

* [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

* Considerando que el soporte estructurado de coherencia espacial centrado en [[xi].sub.A] se inscribe en una circunferencia de radio [R.sub.D], la magnitud del grado complejo de coherencia espacial sera nula o tomara valores despreciables para [valor absoluto de [[xi].sub.A] > [R.sub.D]].

El espectro de potencia marginal no-paraxial tiene unidades de irradiancia/area y representa el aporte en irradiancia del soporte estructurado centrado en la posicion [[xi].sub.A] del PA al espectro de potencia del campo en cada punto [r.sub.A] del PO. De esta manera, las definiciones de soporte estructurado de coherencia espacial y de espectro de potencia marginal aseguran el acceso a soportes especificos tanto en el PA como en el PO, lo cual no es posible en la formulacion convencional de la Teoria de Coherencia se Segundo Orden. Asi, S([[xi].sub.A],[r.sub.A];v) constituye la representacion de espacio-fase para la propagacion del campo optico del PA al PO, y en aproximacion paraxial se reduce a una funcion de distribucion de Wigner (WDF) (17).

Aunque la ecuacion (3) no determina una trayectoria especifica para la propagacion de S([[xi].sub.A],[r.sub.A];v), las direcciones de sus puntos de emision y de registro son especificas, lo cual hace compatible al espectro de potencia marginal con la nocion de rayo. En otras palabras, resulta razonable pensar que tal aporte energetico es transportado a lo largo del segmento [[xi].sub.A] [flecha diestra] [r.sub.A] (Figura 1b), lo cual convierte al espectro de potencia marginal no-paraxial en un mapa de rayos en el espacio-fase, cada uno de los cuales propaga una contribucion energetica dada entre puntos especificos del PA y del PO. Es importante anotar que, como la ecuacion (3) se obtiene directamente de la ecuacion (1), no presenta restricciones en los tamanos de las areas iluminadas en tales planos, ni en las longitudes de los rayos que unen sus puntos, ni en sus angulos de inclinacion.

2. Capas de fuentes puntuales

La densidad espectral cruzada definida en la ecuacion (4) contiene la informacion de la potencia radiante, emitida en el centro de cada soporte estructurado de coherencia espacial en el PA S([[xi].sub.A]) = W ([[xi].sub.A], [[xi].sub.A];v) = [S.sub.0]([[xi].sub.A];v) [[valor absoluto de t([[xi].sub.A])].sup.2], asi como de la correlacion del campo en la region delimitada por dichos soportes, determinada por W([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2,[[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]/2;v) para [[xi].sub.D] [desigual a] 0. Por motivos algoritmicos, resulta util separar estos dos tipos de informacion en la ecuacion (3), lo cual puede realizarse insertando la funcion 1[equivalente a] [delta] ([[xi].sub.D])+ [1 - [delta] ([[xi].sub.D])] en el integrando de dicha ecuacion, con [delta] ([[xi].sub.D])la funcion delta de Dirac (17) (en este procedimiento no se tiene en cuenta las unidades de la funcion delta de Dirac, de manera que la funcion 1 es adimensional). Como resultado de ello, el espectro de potencia marginal no-paraxial puede expresarse como S([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) = [S.sub.rad]([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) + [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v),con

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5a)

la contribucion debida a la potencia radiante emitida en [[xi].sub.A], determinada por el termino [delta] ([[xi].sub.D]), y

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (5b)

la contribucion determinada por el termino 1 - [delta]([[xi].sub.D]), debida a las parejas correlacionadas pertenecientes al soporte estructurado centrado en [[xi].sub.A]. En las ecuaciones (5) es evidente que:

* [S.sub.rad] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) [mayor que o igual a] 0, es independiente del estado de coherencia espacial del campo y tiene una envolvente de tipo Lorentziano, que se esparce a medida que la luz se propaga, aumentando su ancho y disminuyendo su valor maximo como 1 [z.sup.2]. Dicha envolvente se ha denominado envolvente de difraccion de espacio libre (20).

* [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) toma valores positivos y negativos a causa de la funcion coseno de su integrando, la cual se obtiene al asociar los factores exponenciales que resultan de considerar los dos grados de libertad en orientacion para cada vector de separacion [[xi].sub.D] Esta cantidad esta intimamente relacionada con el estado de coherencia espacial del campo; en efecto, se anula si el campo es espacialmente incoherente. Debe tenerse en cuenta que [DELTA][fi]=[fi]([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2)- [fi]([[xi].sub.A] - [[xi].sub.D]/2) y [alfa]= [alfa]([[xi].sub.A] + [[xi].sub.D]/2, [[xi].sub.A]- [[xi].sub.D]/2;v)

De acuerdo con la ecuacion (2), el espectro de potencia del campo en el PO puede expresarse como

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la potencia radiante y la potencia moduladora (20) en cada posicion [r.sub.A]. En efecto, S([r.sub.A];v)> [S.sub.rad]([r.sub.A];v) en aquellas posiciones del PO donde [S.sub.vir] ([r.sub.A];v)> 0, mientras que S([r.sub.A];v) < [S.sub.rad] ([r.sub.A];v) donde [S.sub.vir] ([r.sub.A];v) < 0. En este ultimo caso, [S.sub.rad]([r.sub.A];v) [mayor que o igual a] [valor absoluto de [S.sub.vir] ([r.sub.A];v)] debe cumplirse, dado que S([r.sub.A];v) [mayor que o igual a] 0. Las variaciones del espectro de potencia en el PO causadas por la potencia moduladora generan, por lo tanto, los patrones de interferencia.

Por otra parte, la ley de conservacion de la energia total del campo toma la forma de la invariante de propagacion

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Por lo tanto, dicha ley implica [EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

es decir, i) el area bajo la envolvente de difraccion de espacio libre permanece normalizada a lo largo de la propagacion, lo que explica su esparcimiento simultaneo con la ley de decaimiento 1/[z.sup.2] o ley del inverso cuadrado (18) y ii) la energia moduladora total es nula, lo cual significa que su unica funcion es redistribuir la energia radiante en el patron de interferencia; en consecuencia, [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) constituye la componente virtual del espectro de potencia marginal, ya que, por sus propiedades, no es registrable independientemente por detectores de modulo cuadrado: su presencia se manifiesta en el patron de interferencia detectado, S([r.sub.A];v).

De acuerdo con los resultados anteriores, resulta razonable postular que tanto [S.sub.rad] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v)) como [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) son emitidas por fuentes puntuales situadas en [[xi].sub.A], pero de naturaleza fisica muy diferente: mientras la fuente de [S.sub.rad] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) es radiante, la fuente de [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) es virtual. En este punto es importante aclarar que (23):

* En las posiciones [[xi].sub.A] alrededor de las cuales no es posible disponer un soporte estructurado de coherencia espacial, ya por razones geometricas (como puede ocurrir justo en el borde de aberturas) o porque el campo es espacialmente incoherente, se tendra una fuente puntual radiante pura, de modo que S([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) = [S.sub.rad] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v).

* El punto medio entre parejas de fuentes puntuales radiantes consecutivas, correlacionadas en algun grado, es el centro [[xi].sub.A] del soporte estructurado al que pertenece tal pareja. En virtud de su correlacion, la pareja activara una fuente puntual virtual pura en tal punto, por lo que S([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) = [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v))

* Fuentes puntuales radiantes y virtuales que coinciden en las mismas posiciones [[xi].sub.A] constituyen fuentes puntuales duales, para las cuales S([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) = [S.sub.rad] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v) + [S.sub.vir] ([[xi].sub.A], [r.sub.A];v).

Como el analisis anterior es aplicable a todos los soportes estructurados de coherencia espacial que llenan el PA, se concluye que las fuentes puntuales radiantes y virtuales pueden disponerse en capas independientes, que se intercalan apropiadamente para caracterizar el campo optico (especificamente la densidad espectral cruzada) en el PA. La Figura 2 ilustra estas ideas en el caso unidimensional mas sencillo: tres fuentes puntuales radiantes identicas, espacialmente coherentes, colineales y equidistantes en el PA, que activan tres fuentes puntuales virtuales. De manera que la distribucion final consiste de cinco fuentes puntuales: dos radiantes puras (r) en los extremos del arreglo, dos virtuales puras (v) en los puntos medios entre radiantes consecutivas y una dual (d) en el punto medio del arreglo. Las fuentes radiantes consecutivas estan separadas 3[lambda], con [lambda] = 0.632[micron]m la longitud de onda del campo emitido, el cual se propaga una distancia de 10cm. Los cuadros a) y b) describen las contribuciones separadas de las capas radiante y virtual, y en cada una de ellas, las contribuciones de las respectivas fuentes puntuales. El perfil de la contribucion de cada fuente puntual radiante es la envolvente (Lorentziana) de difraccion de espacio libre. Las dos capas se intercalan apropiadamente para determinar el espectro de potencia marginal en el cuadro c). En el cuadro f) se muestran los perfiles de las potencias radiante y moduladora que llegan al PO y, al superponerse, conforman el patron de interferencia en e), que constituye el espectro de potencia registrado en dicho plano. Tal patron de interferencia consta de maximos principales, separados por maximos secundarios de mucha menos potencia, como corresponde a la interferencia de tres fuentes puntuales. Sin embargo, a pesar de que el patron es simetrico con respecto al maximo central, los maximos principales difieren tanto en altura como en ancho, lo cual se debe a los efectos de filtracion y modulacion de frecuencia espacial (frequency chirping) propio de la difraccion no-paraxial (20).

[FIGURA 2 OMITIR]

3. Implicaciones fisicas novedosas

Micro-difraccion

La representacion de espacio-fase del campo optico, basada en el espectro de potencia marginal, abre por primera vez un campo de estudio importante, denominado microdifraccion, que atane a la propagacion de la luz producida por fuentes de tamano comparable con la longitud de onda, a distancias en esta misma escala. La micro-difraccion es una herramienta promisoria para el diseno y desarrollo de sistemas opticos miniaturizados y compactos. Las Figuras 3 a 5 muestran los perfiles de las energias radiante (emitida por la capa de 10 fuentes puntuales radiantes, separadas consecutivamente b = 0.3[micron]m) y moduladora (emitida por la capa de fuentes puntuales virtuales), asi como los del espectro de potencia de un campo optico uniforme y espacialmente coherente, de [lambda] = 0.632[micron]m, difractado por una rendija de ancho L=2.7[micron]m y que se propaga a lo largo de las distancias 0.1[micron]m [menor que o igual a] z [menor que o igual a] 0.5[micron]m < [lambda] < L (Figura 3), b < 0.5[micron]m [menor que o igual a] z [menor que o igual a] 3.5[micron]m (Figura 4) y b < [lambda] < L [mucho menor que] 11.5[micron]m [menor que o igual a] z [menor que o igual a] 25.5[micron]m (Figura 5). Estos perfiles, calculados con las expresiones (2), (5a) y (5b), revelan aspectos interesantes de la micro-difraccion del campo optico. La Figura 3 indica que:

i) El modelo predice las distribuciones de potencia del campo en POs a distancias de propagacion menores que la longitud de onda, lo cual supera las restricciones o limitaciones de los procedimientos convencionales para tales distancias (18). De hecho, las envolventes (Lorentzianas) de difraccion de espacio libre, proporcionadas por cada fuente puntual radiante en z = 0.1, 0.2,0.3[micron]m (Figura 3 a), permiten individualizar las fuentes radiantes (sus maximos indican las posiciones de tales fuentes). Estos perfiles solo toman valores positivos, cuyo decaimiento obedece la ley 1/[z.sup.2].

ii) La existencia de energia moduladora a estas distancias de propagacion indica que las interacciones del campo, que dan lugar a los fenomenos de interferencia y difraccion, comienzan antes de que de que el campo se propague en la region de superposicion. Es importante notar que los valores positivos y negativos de la potencia moduladora no decaen de acuerdo con la ley l/[z.sup.2] (Figura 9b) al menos en estas distancias de propagacion.

iii) Debido a la energia moduladora, el espectro de potencia difiere de la distribucion de energia radiante en cada perfil. No obstante, el perfil para z = 0.1[micron]m (Figura 9c) permite individualizar el conjunto discreto de fuentes radiantes en la rendija. Ademas, los perfiles solo toman valores positivos y decaen de acuerdo con la ley 1/[z.sup.2], como era de esperar. Esto confirma la afirmacion de que la energia moduladora solo redistribuye la energia radiante sin cambiarle sus atributos fisicos.

[FIGURA 3 OMITIR]

Debido a su superposicion, las envolventes de difraccion de espacio libre individuales ya no son resolubles en los perfiles de la Figura 4a, de manera que el perfil total evoluciona hacia la forma de una Lorentziana individual a lo largo de la propagacion del campo. Los valores positivos de dicho perfil decaen siguiendo la ley 1/[z.sup.2]. Las oscilaciones de la energia moduladora disminuyen con la propagacion y sus valores tienden a concentrarse en la region central del patron (Figura 4b). El efecto de redistribucion de la energia radiante por la energia moduladora es significativo en el espectro de potencia de la Figura 4c, cuyos perfiles toman valores positivos que decaen segun la ley 1/[z.sup.2].

Los perfiles de energia radiante total de la Figura 5a son ya invariantes de propagacion y presentan la forma de una envolvente de difraccion de espacio libre individual, debido a que los perfiles aportados por cada fuente radiante a una distancia de propagacion especifica son identicos entre si y practicamente coinciden. Tal envolvente, que caracteriza la propagacion del campo en dominio de Fraunhofer-Fresnel (18), toma solo valores positivos que decaen siguiendo la ley 1/[z.sup.2].

Aunque los perfiles de la energia moduladora en la Figura 5b se esparcen sobre todo el PO, sus valores significativos se concentran alrededor del maximo principal, y decaen con la propagacion. Estos perfiles determinan la distribucion del espectro de potencia en el PO, la cual se aproxima a la forma de la funcion seno-circular al cuadrado, que caracteriza al patron de difraccion de Fraunhofer de un frente de onda plano, uniforme y espacialmente coherente por una rendija, a medida que la distancia de propagacion aumenta, como se ilustra en la Figura 5c. Es importante subrayar que este resultado se obtuvo considerando un conjunto de solo 10 fuentes puntuales radiantes identicas uniformemente distribuidas dentro de la rendija, y 17 fuentes puntuales virtuales, en lugar de un frente de onda continuo.

[FIGURA 4 OMITIR]

[FIGURA 5 OMITIR]

[FIGURA 6 OMITIR]

Surgen entonces dos preguntas fundamentales, a saber: i) ?es la discontinuidad del conjunto de fuentes puntuales radiantes una caracteristica fisica del campo optico? y si este es el caso, ii) ?cual es el criterio que permite predecir si una distribucion dada de fuentes puntuales radiantes conduce a un patron de interferencia o a uno de difraccion, particularmente en el dominio de Fraunhofer-Fresnel?

En el contexto de la primera pregunta debe tenerse en cuenta que, un frente de onda continuo se caracteriza porque la distancia entre cualquier pareja de fuentes puntuales radiantes consecutivas puede ser arbitrariamente pequena. Asi, la seleccion de un conjunto discreto de fuentes radiantes resulta exclusivamente del procedimiento de muestreo aplicado al frente de onda. Por su parte, la representacion de espacio-fase no-paraxial debe cumplir el requisito de que haya fuentes puntuales virtuales puras intercaladas entre las fuentes puntuales radiantes consecutivas. En consecuencia, la distancia entre parejas de fuentes radiantes consecutivas no puede ser arbitrariamente pequena. Tal exigencia implica, por lo tanto, la discontinuidad del conjunto de fuentes radiantes como un atributo estructural del campo optico, independiente y previo al procedimiento de muestreo aplicado al conjunto. En otras palabras, cualquier procedimiento de muestreo tiene que dar cuenta de la discontinuidad del conjunto de fuentes puntuales radiantes y de la presencia de fuentes puntuales virtuales puras, intercaladas entre las fuentes radiantes en el PA. Para comprobarlo, se comparan los patrones de Fraunhofer predichos por la representacion de espacio-fase no-paraxial con y sin fuentes virtuales puras. Esta comparacion se ilustra en la Figura 6 para una rendija de 10 [micron]m, que contiene 20 fuentes radiantes identicas y uniformemente distribuidas con un paso de 0.5263[micron]m, las cuales emiten luz espacialmente coherente de [lambda] = 0.632[micron]m que se difracta a lo largo de la distancia de propagacion 0.055 [micron]m [menor que o igual a] z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m.

[FIGURA 7 OMITIR]

En la fila superior, el frente de onda de segundo orden difractado por la rendija consta de 39 fuentes puntuales, de las cuales 2, ubicadas respectivamente en los bordes de la rendija, son radiantes puras, 19 son virtuales puras y 18 son duales. En esta configuracion, el conjunto de fuentes puntuales de la capa radiante es discreto. En la fila inferior, el frente de onda de segundo orden consta de 20 fuentes puntuales, puesto que se han suprimido las 19 fuentes virtuales puras presentes en la fila superior. Asi, el conjunto de fuentes puntuales radiantes considerado resulta de muestrear el continuo de la capa radiante. Los espectros de potencia marginal correspondientes se presentan en la columna a) y los espectros de potencia en POs en el dominio de Fraunhofer, en la columna b). Las contribuciones de las fuentes radiantes y virtuales a estos espectros de potencia se desglosan en la columna c). Los perfiles radiante (azul) y virtual proporcionados por las fuentes duales (verde) son los mismos en ambas figuras, pero el perfil aportado por las fuentes radiantes puras (rojo) en la fila superior no aparece en la inferior.

Bajo las mismas condiciones, la aproximacion paraxial para difraccion de Fraunhofer a distancia de propagacion z = [10.sup.3] [micron]m predice un patron de perfil seno-circular al cuadrado, muy aproximado al perfil exacto presentado en la fila superior columna b) de la Figura 6, pero difiere significativamente del perfil en la fila inferior de la misma columna. Teniendo en cuenta que ambos perfiles fueron calculados a partir del mismo modelo matematico, se concluye el perfil de la fila superior columna b) no solo es la mejor prediccion sino la prediccion exacta. En consecuencia, los perfiles de espectro de potencia que involucran fuentes virtuales puras se toman como figuras de merito para determinar el error cuadratico medio que cuantifica su comparacion con los perfiles de espectro de potencia en los que se han suprimido dichas fuentes. Las curvas de error cuadratico medio se muestran en la Figura 7 para a) z [menor que o igual a] [10.sup.2] [micron]m y b) Z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m.

En adicion a las claras diferencia morfologicas entre los perfiles de espectro de potencia comparados, las curvas de la Figura 7 muestran que el error cuadratico medio de la comparacion fluctua entre el 15% y el 35% para z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m y se estabiliza alrededor del 10% para [10.sup.2] [menor que o igual a] z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m, magnitudes significativas si se tiene en cuenta que las tolerancias experimentales usuales en difraccion no superan el 1%. Se concluye por lo tanto que el modelo sin fuentes virtuales puras no puede predecir acertadamente los patrones de espectro de potencia. En contraste, el modelo que incluye las fuentes virtuales puras parece ser el correcto y, por ende, el conjunto de fuentes puntuales de la capa radiante debe ser necesariamente discreto, independiente y previamente al procedimiento de muestreo empleado.

[FIGURA 8 OMITIR]

En otras palabras, la discontinuidad del conjunto de fuentes puntuales radiantes debe interpretarse como caracteristica fisica del campo optico, conclusion original y novedosa que, no obstante ser obtenida de una representacion de espacio-fase clasica sin apelar a los conceptos cuanticos usuales, contrasta con el modelo convencional de difraccion basado en frentes de onda continuos.

El mismo analisis es valido para los patrones de interferencia que se producen si la separacion entre las fuentes puntuales radiantes se incrementa apropiadamente, como se muestra en la Figura 8. En este caso, 10 fuentes radiantes identicas se distribuyen uniformemente dentro de la rendija de 10 [micron]m, configurando una rejilla de paso 1.1 [micron]m. La luz que emerge de la rejilla es espacialmente coherente, de [lambda] = 0.632[micron]m y se propaga una distancia 0.055[micron]m/[menor que o igual a] z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m.

La representacion de espacio-fase en la fila superior incluye las fuentes virtuales puras, mientras que en la fila inferior se han suprimido, como se advierte en los perfiles de las figuras en la columna c). En el primer caso, la rejilla selecciona las fuentes puntuales radiantes de un conjunto discreto, mientras que en el segundo lo hace de un continuo. Es importante notar que los espectros de potencia en la columna b) no solo difieren en el numero de maximos principales sino tambien en el de maximos secundarios entre maximos principales consecutivos. Se ha comprobado experimentalmente la regla de que el numero de maximos secundarios es N-2, con N el numero de rendijas de la rejilla (18). Asi, en el caso considerado deben aparecer 8 maximos secundarios entre maximos principales consecutivos, como ocurre en el perfil de la fila superior, columna b). En el perfil de la fila inferior de la misma columna solo aparecen 3.

[FIGURA 9 OMITIR]

Las curvas de error cuadratico medio en la Figura 9 cuantincan la comparacion entre los perfiles de espectro de potencia en las filas superior (figura de merito) e inferior de la columna b) de la Figura 8. Para distancias de propagacion [10.sup.2] [menor que o igual a] z [menor que o igual a] [10.sup.3] [micron]m, dicho error se estabiliza alrededor del 13%, pero fluctua entre el 8% y el 32 % para z < [10.sup.2] [micron]m, confirmando las afirmaciones concluidas en el caso de difraccion.

Tales resultados justifican la pertinencia de la segunda pregunta anteriormente formulada: ?cual es el criterio que permite predecir si una distribucion dada de fuentes puntuales radiantes conduce a un patron de interferencia o a uno de difraccion, particularmente en el dominio de Fraunhofer-Fresnel? Partamos de un ejemplo representativo de comparacion entre un patron tomado como figura de merito y patrones problema. La figura de merito esta constituida por el patron de difraccion no-paraxial en dominio de Fraunhofer-Fresnel, producido por una rendija de 100[micron]m de ancho, que confina 11 fuentes puntuales radiantes uniformemente distribuidas, emisoras de luz de [lambda], [mayor que o igual a] 10[micron], y 19 fuentes puntuales virtuales. El perfil de este patron es muy similar al de la funcion seno-circular al cuadrado predicho por la aproximacion paraxial.

Los patrones problema son producidos por arreglos de diferente numero N de fuentes puntuales radiantes, uniformemente distribuidas en la rendija, con una distancia b = 100[micron]m/(N - 1) entre fuentes consecutivas, las cuales emiten luz de la misma longitud de onda que la de la figura de merito. La comparacion se realiza calculando el error cuadratico medio entre los patrones considerados vs la razon b/[lambda]para cada valor de N, como se ilustra en la Figura 10, en la que la longitud de onda varia para barrer todo el dominio de la grafica. Los siguientes aspectos son evidentes en esta grafica:

i) Los perfiles de la Figura 10a presentan inflexiones o cambios bruscos de crecimiento cuando la razon Esto se debe a la filtracion realizada por la envolvente de difraccion de espacio libre (20) a medida que (b/[lambda]) tiende a 1, la cual suprime un maximo principal del patron cada vez que (b/[lambda]) toma un valor entero. El numero de maximos principales del patron entre dos valores enteros de (b/[lambda]) es el del entero mayor. Asi, para (b/[lambda]) [menor que o igual a] 1 el patron tendra un unico maximo principal, correspondiente al maximo central de difraccion. Esto significa que (b/[lambda]) = 1 es el limite que separa los comportamientos del arreglo de fuentes puntuales como rendija y como rejilla, es decir, para (b/[lambda]) [menor que o igual a] 1 el arreglo se comporta como una rendija de difraccion, mientras que para (b/[lambda])> 1 lo hara como rejilla de interferencia. Este comportamiento se mantiene por fuera del dominio de Fraunhofer-Fresnel.

[FIGURA 10 OMITIR]

ii) Dichos perfiles crecen monotonicamente para (b/[lambda]) > 1. Su valor para (b/[lambda]) = 2 no es inferior a 3.5%, pero decae bruscamente a valores menores que 0.3% cuando (b/[lambda]) = 1, manteniendose practicamente invariantes para (b/[lambda]) < 1, como se observa en mayor detalle en la Figura 10b. Estos porcentajes de error no solo confirman lo dicho en i) sino que tambien revelan la estabilidad del comportamiento cuando se cambian los parametros fisicos del arreglo (longitud de onda y distribucion de fuentes). Por lo tanto, es razonable tomar la expresion (b/[lambda]) [menor que o igual a] 1 como criterio general para identificar el comportamiento de un arreglo discreto de fuentes radiantes puntuales como una rendija de difraccion.

iii) El error cuadratico medio se reduce de manera no lineal con el incremento en el numero de fuentes puntuales radiantes, conservando sin embargo la morfologia de las curvas. En la region (b/[lambda]) [menor que o igual a] 1 la reduccion del error es menor, lo que significa que la ganancia de precision en el modelo de difraccion con el aumento del numero de fuentes radiantes no es significativa, como si podria serlo para el modelo de interferencia. Esta conclusion confirma la afirmacion de que pocas fuentes puntuales radiantes son suficientes en una representacion apropiada de espacio-fase para la difraccion.

[FIGURA 11 OMITIR]

Solo resta establecer el numero de fuentes del arreglo con paso b = [lambda] que reproducen el patron de difraccion con precision adecuada. La Figura 11 muestra la curva de error cuadratico medio que cuantifica la comparacion entre el perfil paraxial de difraccion por rendija, seno-circular al cuadrado para z = [10.sup.5] [micron]m y [lambda] = 632n m, empleado como figura de merito, y los perfiles no-paraxiales de espectro de potencia para la misma distancia de propagacion y longitud de onda, en funcion del numero de fuentes puntuales radiantes. La aproximacion monotonica de los perfiles no-paraxiales a la figura de merito cuando el numero de fuentes aumenta es evidente. La linea punteada indica que el error es menor que 0.2% para N > 30.

Por lo tanto, el criterio general para caracterizar un arreglo uniforme de N fuentes puntuales radiantes, de paso b y longitud a = (N - 1)b, como rendija de difraccion puede formalizarse asi: b [menor que o igual a] [lambda] y a > [lambda]. Para a > 15[lambda] el patron noparaxial difiere de la figura de merito por menos del 1%. Es oportuno anotar que el arreglo se comportara como una rejilla de interferencia para b > [lambda] y como una fuente radiante puntual aislada para a < [lambda].

Limite entre la optica clasica y la optica cuantica

La representacion no-paraxial de espacio-fase del campo optico, basada en el espectro de potencia marginal, sugiere una revision del limite entre la optica clasica y la optica cuantica, en el sentido de que dicha representacion revela i) atributos fisicos discretos de la luz, no referenciados anteriormente en la literatura especializada, y ii) correlatos clasicos de algunos comportamientos de la luz que se habian establecido como exclusivamente cuanticos. La discretizacion del conjunto de fuentes de la capa radiante es quiza el atributo fisico de mayor interes. Dicho atributo amerita un estudio futuro de mayor detalle, con el fin de establecer si corresponde a una cuantizacion espacial del campo, es decir, una cuantizacion en dominio diferente a la cuantizacion convencional.

[FIGURA 12 OMITIR]

Por otra parte, las analogias entre ciertas predicciones clasicas del modelo propuesto y las predicciones de la optica cuantica en relacion con interacciones no-locales, los estados gato de Schrodinger y comprimidos (squeezed) y la correlacion de orden superior, en particular, la de cuarto orden que se manifiesta en el efecto Hanbury-Brown y Twiss (HBT), han sido recientemente referenciadas (24, 25). Con el fin de ilustrar el alcance del modelo, se comentan algunas de estas analogias a continuacion, retomando para ello el experimento de Young con una pareja de fuentes radiantes espacialmente coherentes. Especificamente, se considera un experimento de Young cuya capa radiante contiene dos fuente puntuales separadas b = 5 [micron]m, emitiendo un campo optico de [lambda] = 0.632 [micron]m, mientras que su capa virtual contiene solo una fuente puntual (virtual pura), ubicada en el punto medio entre las fuentes radiantes. Su representacion de espacio fase se calcula a partir de las ecuaciones (2), (5a) y (5b).

La Figura 12 muestra los perfiles de energia moduladora emitida por la fuente puntual virtual en z = 0, esto es, en el mismo PA. Todos ellos constan de dos picos principales separados b = 5 [micron]m unidos por un vinculo oscilante de menor energia; ademas, ambos decaen monotonicamernte a cero para [valor absoluto de [x.sub.A]] > 2.5[micron]m. Los picos principales estan ubicados justamente en las posiciones de las fuentes puntuales radiantes, y su orientacion relativa esta asociada a la diferencia de fase [alfa] entre las emisiones de las fuentes radiantes, de modo que ambos picos de valor positivo en a) corresponden a [alfa] = 0,2[pi], el izquierdo positivo y el derecho negativo en b) indican que [alfa] = [pi]/2, ambos negativos en c) se debe a [alfa] = [pi], y finalmente, el izquierdo negativo y el derecho positivo corresponden a, [alfa] = 3[pi]/2. Esta energia moduladora describe la correlacion existente entre las fuentes puntuales radiantes justo en el PA, la cual disminuye cuando el grado complejo de coherencia del campo disminuye, desapareciendo cuando eventualmente su modulo se anula, esto es, cuando las fuentes radiantes son espacialmente incoherentes.

[FIGURA 13 OMITIR]

Es destacable que ello ocurra en el PA, es decir, mucho antes de que las emisiones de las fuentes radiantes entren en la zona de superposicion, donde se produce la interferencia. Tal comportamiento sugiere que la interaccion entre dichas emisiones debida al estado de coherencia espacial del campo comienza en el PA y, al parecer, es de tipo no-local (tengase en cuenta que, dependiendo del grado de coherencia del campo emitido, la separacion entre las fuentes podria ser de muchas longitudes de onda). Para analizarlo en mayor profundidad, se adelanta un estudio basado en la realizacion de experimentos de Young no-locales (por ejemplo, disponiendo el par de fuentes en planos fisicamente diferentes pero opticamente equivalentes), que a su vez podria acercar la formulacion clasica al problema cuantico de desigualdades de Bell desde una perspectiva novedosa.

Ahora bien, consideremos su espectro de potencia marginal y las distribuciones de potencia tanto en el PA como en el PO, descritos en la Figura 13. El espectro de potencia marginal en a) consta de tres lobulos: dos laterales que corresponden las envolventes (Lorentzianas) de difraccion de espacio libre, asociadas a la energia radiante emitida por las dos fuentes puntuales radiantes, y uno central (en el eje medio entre los laterales) que oscila entre valores positivos y negativos bajo una envolvente tambien de tipo Lorentziano, el cual corresponde a la energia moduladora emitida por la fuente puntual de la capa virtual, ubicada en el punto medio entre las fuentes radiantes. El perfil en b) es la distribucion de potencia en el PA, obtenida integrando el espectro de potencia marginal en a) a lo largo del eje [x.sub.A]; esta cantidad tiene el perfil de dos picos, tipo delta de Dirac, de valor positivo, ubicados en las posiciones de las fuentes puntuales radiantes, los cuales describen la potencia radiante emitida por dichas fuentes. El perfil en c) es el espectro de potencia en el PO, que muestra un sistema de franjas cosenoidales afectadas por modulacion de frecuencia espacial y bajo una envolvente Lorentziana; su frecuencia espacial en la zona media del patron esta intimamente relacionada con la distancia entre las fuentes puntuales en el PA; dichas oscilaciones (que dan lugar al patron de franjas) constituyen la potencia moduladora emitida por la fuente puntual virtual, cuyo perfil se muestra en d), de manera separada del de las envolventes de difraccion de espacio libre.

[FIGURA 14 OMITIR]

Por su parte, la Figura 14 ilustra la superposicion cuantica de dos estados coherentes unidimensionales, de coordenada y momento generalizados q y p respectivamente. Estos estados estan referidos a las posiciones generalizadas [+ o -] [q.sub.0] en el espacio-fase, de suerte que su superposicion es descrita por la funcion de distribucion de Wigner (WDF) (no-normalizada (26)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

esquematizada en a), los perfiles de cuyas marginales S (q) = [integral] W (q,p)dp y S (p) = [integral] W (q,P)dq se muestran en b) y c) respectivamente. Estas determinan las densidades de probabilidad de la coordenada y del momentum generalizados de la superposicion cuantica. En d) se muestran separadamente los perfiles de las densidades de probabilidad de los estados individuales y de pseudo-probabilidad de su superposicion cuantica, que componen la densidad de probabilidad del momentum generalizado en c).

En los diagramas de espacio-fase de las Figuras 13a y 14a:

* Los ejes de las variables espaciales [[xi].sub.A] y q, asi como los de las variables de fase [x.sub.A] y p (estrictamente, las coordenadas de fase son k[x.sub.A] [valor absolute de z y p][??]) son correspondientes.

* Los lobulos asociados a las fuentes puntuales radiantes del experimento de Young son correspondientes a los lobulos asociados a los estados coherentes, y el lobulo asociado a la fuente puntual virtual en el experimento de Young es correspondiente al lobulo asociado a la interaccion entre los estados coherentes superpuestos. En consecuencia, las distribuciones de energia radiante normalizadas son correspondientes a las densidades de probabilidad de los estados cuanticos superpuestos, mientras que la distribucion de energia moduladora es correspondiente a la densidad de pseudo-probabilidad asociada a la interaccion entre los estados cuanticos.

* La frecuencia de oscilacion de los modulos centrales depende esencialmente de la proximidad, esto es, de la separacion de las fuentes radiantes y de la distancia 2[q.sub.0] entre las posiciones generalizadas de los estados cuanticos coherentes.

* La principal diferencia morfologica entre dichos modulos correspondientes radica en sus envolventes: mientras los lobulos del experimento de Young tienen envolventes Lorentzianas a lo largo del eje de la variable de fase y son arbitrariamente estrechos a lo largo de la variable espacial, los de la superposicion cuantica de estados coherentes presentan envolventes Gaussianas a lo largo de ambos ejes, debidas al principio de incertidumbre (26).

Los perfiles de distribucion de potencia en el PA para el experimento de Young y de densidad de probabilidad para la coordenada generalizada de la superposicion cuantica, mostrados en las Figuras 13b y 14b, exhiben ambos dos picos, ubicados en las posiciones de las fuentes puntuales radiantes y de los estados superpuestos respectivamente. Es evidente que, mientras la envolvente Lorentziana del perfil clasico es arbitrariamente estrecha, la envolvente Gaussiana del perfil cuantico tiene un ancho determinado por el principio de incertidumbre. Estos atributos establecen la diferencia principal entre tales perfiles.

Los perfiles de espectro de potencia en el PO para el experimento de Young y de densidad de probabilidad para el momentum generalizado de la superposicion cuantica, mostrados en las Figuras 13c y 14d, son patrones de franjas definidos en regiones finitas de su correspondiente variable de fase, los cuales difieren esencialmente en la forma de su envolvente y en su frecuencia de oscilacion. Para el experimento de Young, la envolvente es Lorentziana y la frecuencia espacial esta modulada, mientras que para la superposicion cuantica la envolvente es Gaussiana y la frecuencia es unica. Sin embargo, la proximidad, mencionada anteriormente, es un atributo definitivo en la determinacion de la estructura de franjas de ambos patrones. Adicionalmente, los patrones resultan de la adicion de dos componentes correspondientes: el espectro de potencia en el PO, aportado por las dos fuentes radiantes, y la potencia moduladora aportada por la fuente puntual virtual, en el experimento de Young; y las densidades de probabilidad para el momentum generalizado, asociadas a los estados cuanticos individuales, asi como la densidad de pseudo-probabilidad para dicha variable, asociada a su superposicion, respectivamente.

Debe resaltarse que el origen tanto de la potencia moduladora como de la pseudo-probabilidad para el momentum generalizado son las correlaciones de las fuentes radiantes y de los estados cuanticos, respectivamente, las cuales constituyen el fundamento de sus estados de coherencia. Ademas, estas cantidades presentan un comportamiento oscilatorio similar, que define el patron de franjas del espectro de potencia en el PO para el experimento de Young y la densidad de probabilidad para el momentum generalizado de la superposicion cuantica respectivamente. Los valores positivos y negativos de tales oscilaciones les confiere, ademas, atributos correspondientes de virtualidad. En efecto, la potencia moduladora no puede ser registrada de manera individual mediante detectores convencionales de modulo cuadrado, como si ocurre con la potencia radiante; y no es posible obtener el perfil de pseudo-probabilidad de la superposicion cuantica, de manera independiente, a partir de un histograma de frecuencias experimental. Estas cantidades se manifiestan en la redistribucion de la energia radiante emitida por las fuentes radiantes puntuales en el experimento de Young, y de la densidad de probabilidad para el momentum generalizado de los estados cuanticos en su superposicion, cantidades que son determinables experimentalmente por deteccion convencional y por levantamiento experimental de histogramas de frecuencia respectivamente.

Teniendo en cuenta que la amplitud de cuadratura (26) de la superposicion cuantica de los dos estados coherentes es tanto + [q.sub.0] como tambien--[q.sub.0] (es decir, simultaneamente las coordenadas generalizadas que determinan las posiciones de ambos estados en el espacio-fase), dicha superposicion cuantica queda caracterizada como un estado gato de Schrodinger (26). Se ha considerado que tal estado no tiene correlato clasico, especificamente que no tiene relacion alguna con interferencia optica, debido a que la interferencia destructiva aniquila la amplitud del campo optico, mientras que la superposicion cuantica mantiene las amplitudes coherentes relativas a las coordenadas generalizadas [+ o -] [q.sub.0].

No obstante, las representaciones de espacio-fase analizadas proporcionan una nueva vision de este asunto: la descomposicion del espectro de potencia del experimento de Young, en terminos de las energias radiantes y moduladora para z [mayor que o igual a] 0 , indica que no solo es posible sino tambien necesario determinar la energia radiante a cualquier distancia de propagacion, particularmente en la zona de superposicion donde ocurre la interferencia. De hecho, no es posible determinar el patron de interferencia sin contar explicitamente con la potencia radiante, la cual ademas se manifestara sin modulaciones con solo reducir la coherencia espacial apropiadamente. Desde esta perspectiva, la interferencia se interpreta como una redistribucion de energia radiante debida a la adicion, punto a punto, de energias radiante y moduladora: la energia moduladora negativa causa un decremento local de la energia radiante (franja oscura), que va necesariamente acompanada de un incremento de la energia radiante por el mismo valor (franja brillante), en otro lugar del patron, lo cual satisface ademas la ley de conservacion de energia total del campo (18). Esta nueva vision aproxima conceptualmente la interferencia de Young al estado gato de una manera que no es posible lograr, considerando la interferencia destructiva como aniquilacion del campo.

Por supuesto que las analogias anteriores no significan en modo alguno que el espectro de potencia marginal del experimento de Young sea equivalente a la WDF de la superposicion cuantica de estados coherentes y, por lo tanto, que una de ellas pueda deducirse u obtenerse de la otra. Pero sugiere, por ejemplo, que el espectro de potencia marginal del experimento de Young si podria considerarse como contraparte clasica del estado gato de Schrodinger.

Conclusiones y perspectivas

La representacion de espacio-fase de campos opticos en estados de coherencia espacial arbitrarios permite describir su propagacion no-paraxial sin restricciones en distancia de propagacion, apertura numerica y tamano de areas iluminadas tanto en el plano de apertura como en el plano de observacion. Este resultado constituye un paso novedoso e importante en modelacion de campos opticos, ya que hasta ahora, esto habia sido posible solo de manera aproximada, en particular paraxialmente, debido a que las integrales de propagacion son no-lineales y, usualmente, no presentan solucion analitica. En general, dichas aproximaciones linearizan las integrales y conducen, en muchos casos, a soluciones analiticas, validas particularmente en el dominio de Fraunhofer-Fresnel, denominado tambien "campo lejano", es decir, a distancias de propagacion significativamente mayores que la longitud de onda empleada. En contraste, el procedimiento propuesto en este trabajo abre una nueva perspectiva de estudio, que denominamos micro-difraccion, al permitir la descripcion de la propagacion emitida por fuentes extendidas de tamano comparable con la longitud de onda a distancias tambien comparables con la longitud de onda. Dicho estudio es potencialmente util como soporte para el desarrollo de dispositivos a escalas micro- y meso-metricas.

Tal procedimiento tiene implicaciones fenomenologicas aun mas importantes. Modela el campo optico en terminos de conjuntos discretos e independientes de fuentes puntuales radiantes y virtuales, distribuidas en capas separadas. Muestra que el conjunto de fuentes de la capa radiante es necesariamente discreto, pero que el frente de onda de segundoorden, asociado a la propagacion de la densidad espectral cruzada del campo, puede configurarse como un continuo solo si las fuentes virtuales se intercalan en el conjunto de fuentes radiantes. Dicha estructura del campo optico no se habia reportado en la literatura especializada. Mas aun, la misma descripcion predice que una distribucion de fuentes puntuales radiantes se comportara como una abertura de difraccion si la separacion entre fuentes consecutivas es menor que la longitud de onda; de lo contrario, se comportara como una rejilla de interferencia; criterio que tambien se reporta por primera vez.

Estos resultados sugieren la revision del limite entre la optica clasica y la optica cuantica, puesto que revela contrapartes clasicas de atributos que se caracterizaron como exclusivamente cuanticos, como el estado gato de Schrodinger. Ademas, plantean nuevas preguntas sobre la estructura del campo optico, como por ejemplo, si el caracter discreto del conjunto de fuentes puntuales de la capa radiante constituye un tipo de cuantizacion espacial del campo.

Agradecimientos

Sinceros agradecimientos a los profesores Jorge Garcia (Universidad Nacional de Colombia Sede Medellin) y Herbert Vinck (Universidad Nacional de Colombia Sede Bogota), y a mis estudiantes Gustavo Canas, Hernan Munoz, Juan Gonzalez, David Vargas y Esteban Franco, por sus inspiradoras discusiones y apoyo en los calculos presentados.

Recibido: 6 de agosto de 2012

Aceptado para publicacion: 28 de febrero de 2013

Referencias

Young, T., The Bakerian lecture. Experiments and calculations relative to physical optics, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 94 (1804) 1-16.

Grimaldo, F. M., Physico-Mathesis de Lumine Coloribus et Iride, Bononiae: Ex Typographia Haeredi Victorij Benatij, 1665.

Iizuka, K., Engineering Optics, Springer Verlag, Berlin, 1985.

Sabra, A. I., The optics of ibn al-Haytham (2 Vols.), London, 1989.

Castaneda, R., Un faro en la oscuridad, Catedra abierta de Filosofia: Luces y Sombras en la Edad Media. Universidad de Antioquia, Abril de 2007.

Einstein, A., Zur Elektrodynamik bewegter Korper, Ann. Physik 17 (1905) 31.

Einstein, A., Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Ann. Physik 17 (1905) 17.

Eisberg, R y R. Resnick, Fisica Cuantica, Editorial Limusa, Mexico, 1978

Mandel, L. and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics, Cambridge University Press, Oxford, 1995.

von Laue, M., Die Entropie vonpartiell koharenten Strahlenbundeln, Ann. Physik 23 (1907) 1-43.

Van Cittert, P.H., Die wahrscheinliche Schwingungsverteilung in einer von einer Lichtquelle direkt oder mittels einer Linse beleuchteten Ebene, Physica 1 (1934) 201-210.

Zernike, F., The concept of Degree of Coherence and its application to optical problems. Physica 5 (1938) 785-795.

Hanbury-Brown R. and R. Twiss, Correlation between photons in two coherent beams of light, Nature 177 (1956) 27-29.

Svelto, O. and D.C. Hanna, Principles of lasers, Heyden, London, 1976.

Padula, S., HBT interferometry: historical perspective, Braz. J. Phys. 35 (2005) 70-99.

Glauber, R. J., The quantum theory of Optical Coherence, Phys. Rev. 130 (1963) 2529-2539.

Castaneda, R., The Optics of Spatial Coherence Wavelets. In Peter W. Hawkes, editor: Advances in Imaging and Electron Physics, Vol. 164, Burlington: Academic Press (2010) 29-255.

Born, M. and E. Wolf, Principles of Optics 6th ed, Pergamon Press, Oxford, 1993.

Goodman, J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968.

Castaneda, R. and J. Garcia-Sucerquia, Non-approximated numerical modelling of propagation of light in any state of spatial coherence, Opt. Express 19 (2011) 25022-25034.

Torre, A., Linear ray and wave optics in the phase-space, Elsevier, Amsterdam, 2005.

Castaneda, R., H. Munoz-Ossa and G. Canas-Cardona, The structured spatial coherence support, J. Mod. Opt. 58 (2011) 962-972.

Castaneda, R., G. Canas-Cardona and J. Garcia-Sucerquia, Radiant, virtual, and dual sources of optical fields in any state of spatial coherence, J. Opt. Soc. Am. A 27 (2010) 1322-1330.

Castaneda, R., G. Canas, and H. Vinck-Posada. Analogies between classical scalar wave fields in any state of spatial coherence and some quantum states of light. J. Opt. Soc. Am. A 29 (2012) 463-472.

Castaneda, R., G. Canas-Cardona, J. Gonzalez-Toro, H. Vinck-Posada.

Classical modelling of the fourth-order spatial coherence state of scalar wave-fields. 22nd Congress of the International Commission for Optics: Light for the Development of the World, edited by Ramon Rodriguez-Vera, Rufino Diaz-Uribe, Proc. of SPIE Vol. 8011 (2011) 80116F-1, 80116F-10.

Leonhardt, U., Measuring the quantum state of light, Cambridge University Press, 1997.

Roman Castaneda, Roman Castaneda Escuela de Fisica, Universidad Nacional de Colombia Sede Medellin, A.A. 3840, Medellin--Colombiarcastane@unal.edu.co

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Author:Castaneda, Roman
Publication:Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fisicas y Naturales
Date:Mar 1, 2013
Words:11837
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