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CRISIPO DE SOLOS Y LOS INDEMOSTRABLES.

Chrysippus of Soli and the Indemonstrables

1. Introduccion

Crisipo de Solos ([phrase omitted] 280-206 A.C.): "El principal logico de la Stoa", segun Long y Sedley (Long y Sedley 1987, Vol. I, p. 188) (1), es senalado por la tradicion como el creador de la tesis de la existencia de al menos cinco esquemas argumentativos indemostrables en la dialectica (hoy logica), cuya propiedad central es la de ser irreductibles a ningun otro esquema, ni tampoco entre si, pero a los cuales todos los demas argumentos se pueden reducir. La interpretacion consensuada que se hace de dichos cinco esquemas es que se trata del establecimiento de las bases de un sistema de logica. Asi lo entienden, por ejemplo, B. Mates (2) (1985), Bochenski (1961) y Kneale y Kneale (2008). Kneale y Kneale, por ejemplo, afirman que Crisipo logro derivar formas complejas de argumentos a partir de cinco formas indemostrables (2008, p. 175). Mates, por su parte, expone que los estoicos concebian la dialectica proposicional como completa, esto es, como un sistema en que cualquier argumento sera considerado como valido si se lo puede probar teniendo como base algunos de los cinco esquemas no demostrables (Mates, p. 139) o, de otra manera, sera considerado valido si se lo puede reducir a alguno de los indemostrables. Lo mismo expone Bochenski en su texto de 1961, al referirse a la dicotomia demostrableno demostrable en los estoicos. Queda asi, a la vista, de manera preliminar, que los indemostrables estan comprometidos con la validez logica de un argumento y con la idea actual de sistema logico.

De acuerdo con esta tradicion, el concepto de indemostrable ([phrase omitted]) hace, pues, referencia a una propiedad de un sistema logico, esto es, a la naturaleza de la logica en cuanto conjunto interrelacionado de enunciados mediante conexiones demostrativas a partir de ciertos principios y reglas indemostrados (3). Sin embargo, no obstante haber consenso en la tradicion acerca de esta interpretacion, parece posible especular si esa es la unica forma de entender la tesis de Crisipo. Se examina, entonces, si el concepto de argumento indemostrable se agota en el de sistematicidad. Lo que se plantea aqui es que no solo se trata de la idea de que hay algunas estructuras inferencialmente validas que son basicas, capaces de estructurar todas las demas, sino que, ademas, la tesis de Crisipo parece contener la idea de que constituyen los indemostrables un expediente de justificacion de la deduccion, cuestion esta relevante en la filosofia de la logica actual.

Cuando se pregunta como es que confiamos y creemos en que un determinado argumento sea valido, de ordinario contamos con esta respuesta: es que dicho argumento responde a las leyes de la logica, deductiva, precisamente (4). La pregunta por la justificacion esta un paso mas atras de eso, es la pregunta por las razones que tenemos ahora para creer en la validez de las leyes y reglas de la logica. Susan Haack posiciona, al inicio de su articulo de 1996, la justificacion de la deduccion como una cuestion relevante en la filosofia de la logica:

A menudo es tomado por garantizado por los escritores quienes proponen -y, sobre esto, por quienes se oponen- la "justificacion" de la induccion, que la deduccion o bien no la necesita o bien facilmente puede ser provista de una justificacion". Y agrega inmediatamente: ... "Al contrario de la opinion comun problemas analogos a los que, notoriamente, aparecen en los ensayos de justificacion de la induccion, tambien aparecen en los ensayos por justificar la deduccion" (Haack 1996, p. 183) (5).

El problema de la justificacion de la deduccion (mucho menos estudiada que la justificacion de la induccion, como afirma Haack), en sus formulaciones actuales en filosofia de la logica, puede plantearse de muchos modos, por ejemplo (6):

* Si el argumento A esta justificado en cuanto lo aceptamos como valido merced a que tiene la forma valida A', ?que permite considerar valida a su vez A'?

De una manera analoga:

* Si, desde un punto de vista sintactico, en D = ([a.sub.1], [a.sub.2],... [a.sub.n-1], [a.sub.n]) se considera que [a.sub.n] ha sido derivadade ([a.sub.1]... [a.sub.n-1]) segun R, ?que permite considerer valida a R, que no sea circularmente, esto es, considerando que R es valida porque permite derivar [a.sub.n]?

* Pero ya encontramos en las fuentes antiguas, en Epicteto (50-138 DC), una expresion del problema de la justificacion de la deduccion: La razon ([phrase omitted]) es la que articula o estructura ([phrase omitted]) todo lo demas; pero, a ella misma, ?quien la articula? ([phrase omitted];) (Boeri y Salles 2014, p. 114) (7).

Pero no se trata tanto de preguntar que justifica la conclusion, pues una respuesta seria que lo hacen las premisas, lo cual tambien presenta muchos problemas (8). La pregunta es por la justificacion de la validez del argumento completo, por el "paso" de las premisas a la conclusion. Las respuestas son variadas, pero se pueden centrar en la siguiente taxonomia, entre otras posibles: (a) La deduccion no requiere justificacion debido a su propia naturaleza; (b) La deduccion si requiere justificacion, lo que abre a su vez la siguiente distincion basica: (b)1. Requiere justificacion y se justifica mediante la misma logica, por ejemplo, acudir a la tesis de las tablas de verdad, al teorema de correccion, el concepto de armonia de Dummett (1993), lo que se ha denominado hoy en dia, el problema del logocentrismo (R. Hanna 2006); (b)2. Requiere justificacion y ello ocurre apelando a la semantica y al convencionalismo; la validez se justifica en la analiticidad (9); (b)3. Requiere justificacion y ello ocurre mediante expedientes extralogicos, como son tesis epistemicas, intuitivas, cognitivas, por ejemplo.

En la segunda seccion siguiente se expone los 5 indemostrables y las reglas asociadas de reduccion en cuanto cumplen un rol sistematico. En la seccion tercera se examina en que sentido los indemostrables y otros componentes del sistema logico de Crisipo, el principio de condicional y lo cognitivo implicito, pueden ser entendidos, tambien, como justificatorios, y en que categoria taxonomica de justificacion, como la recien descrita, se pueden insertar.

2. El sistema de Crisipo y el analisis reductivo

Bonevac y Dever (2012, p. 185) aducen que la idea de validez logica estoica es imprecisa. Ello puede deberse a que hay mas de un criterio manejado por dicha escuela, como son la existencia de los indemostrables, el principio de condicionalizacion, el analisis reductivo a ciertas estructuras indemostrables. En lo que sigue nos centraremos preferentemente en este ultimo enfoque.

Como lo expone Mates (1985, p. 139), Sexto (160-210 D.C.) (10) (2000, L. II. 157) plantea, en su analisis del pirronismo, que los estoicos imaginaban muchos argumentos que eran indemostrables, pero que habia al menos cinco a los cuales se puede reducir todo argumento. Pero no solamente los indemostrables formaban parte fundamental del sistema sino que habia ciertas reglas, [phrase omitted] (o tambien llamados [phrase omitted], segun Bochenski 1961, p. 127) que permitian llevar a cabo las demostraciones a partir de los indemostrables. Dice Diogenes Laercio:

Hay ciertos argumentos indemostrables ([phrase omitted]) puesto que no requieren demostracion. Ellos son empleados en la construccion de cada argumento. El numero de ellos varia segun los autores, pero Crisipo ofrece cinco de ellos (Diogenes Laercio 180-240 D.C. / 2005, L. VII. 79).

El primer indemostrable tiene la siguiente forma, siempre en la exposicion de Diogenes Laercio (L. 7, de 79 a 81) y en la forma de expresion utilizada entonces: (i) Si lo primero entonces lo segundo; (ii) Lo primero; (iii) Lo segundo. Diogenes ofrece el siguiente ejemplo: "Quien divulgue los misterios a los iniciados es culpable de impiedad. El hierafante ciertamente revela los misterios a los no iniciados. Por tanto es culpable de impiedad" (Diogenes Laercio 2005, L. VII, 186).

El segundo indemostrable es: (i) Si lo primero entonces lo segundo; (ii) No lo segundo; (iii) No lo primero.

Tercer indemostrable: (i) No lo primero y lo segundo; (ii) Lo primero; (iii) No lo segundo. Hay que indicar aqui que este indemostrable es interpretable como el enunciado: (([sin correspondencia]p [ademas]q)[ademas]p) [vector][sin correspondencia]q (11) u y que puede tener otra forma, tambien logicamente verdadera.

Cuarto indemostrable: (i) Lo primero o lo segundo; (ii) Lo primero; (iii) No lo segundo.

Quinto indemostrable: (i) Lo primero o lo segundo; (ii) No lo segundo; (iii) Lo primero.

Sexto Empirico, en Contra los logicos, alude solamente a los tres primeros indemostrables a los que denomina formas simples, pues afirma que hay otros que son compuestos de los simples. En la formulacion del tercer indemostrable hay una sutil variacion respecto de la de Diogenes, aunque no tiene consecuencias respecto de su validez, y corresponde a la formalizacion indicada en la nota 3 a pie de pagina, esto es en la negacion de una conjuncion como primera premisa: "No: tanto es de dia como es de noche", [phrase omitted] (Sexto 1997, L. II, 226). Sin embargo, en los Esbozos Pirronicos, Sexto expone los 5 indemostrables de modo coincidente en su forma con la exposicion de Diogenes.

Galeno (S. II D.C.), al referirse a Crisipo, refiere tambien los 5 indemostrables. Segun el autor, los argumentos indemostrables son aquellos que tienen por primera premisa una premisa tropica, ([phrase omitted], quilla de un barco, esto es, elemento estructurador del conjunto), de la forma de una implicacion, conjuncion o conjuncion negada. Plantea solamente una diferencia en el quinto indemostrable en su formulacion respecto de la exposicion de Diogenes: (i) "O lo primero o lo segundo; (ii) No lo primero; (iii) Lo segundo" (Galeno, fragmento 371 acerca de Crisipo, en Crisipo de Solos 2006, p. 42 (12)). Se observa que (ii) y (iii) estan invertidos en las dos versiones.

Queda, pues, a la vista, que la logica estoica, especificamente en las formulaciones de Crisipo, dio con algunas formas de lo que hoy la logica reconoce como reglas fundamentales de la validez formal. Estan alli las reglas de la deduccion natural, de eliminacion del condicional (indemostrables 1 y 2), la eliminacion de la conjuncion (indemostrable 3) y las reglas de la eliminacion de la disyuncion (indemostrables 4 y 5). Asi, las formas de los indemostrables 4 y 5 admiten mas de una forma, esto es, dada la disyuncion, la segunda premisa puede ser la negacion del primer disyunto o del segundo disyunto; o la afirmacion del primer disyunto o la afirmacion del segundo disyunto, sin que estas variaciones signifiquen perder validez formal. De alli que la diferencia anotada mas arriba entre las formulaciones de Diogenes y Galeno en este punto no tengan mayor significado respecto de la deduccion (13). Al igual que Crisipo diferencio el cuarto y el quinto indemostrable, asi tambien hoy, la deduccion natural diferencia en dos las reglas para la eliminacion de la disyuncion (14).

El sistema logico de Crisipo trabaja no solamente sobre los cinco argumentos basicos indemostrables. Requiere, ademas, de otro expediente fundamental, que son reglas cuya naturaleza no es del todo clara, pues, por una parte parecen constituirse como metarreglas para realizar las inferencias pero tambien parecen cumplir con una funcion similar a los 5 indemostrables y que se analizara mas adelante. Entonces, cualquier argumento, si es que es valido, debe poder reducirse mediante un analisis a alguna de las cinco formas indemostrables.

Hay varios ejemplos en las fuentes, especialmente en Sexto, acerca de como se lleva a cabo este analisis reductivo a los 5 indemostrables.

Un primer ejemplo tratado por Sexto es el siguiente (15): se requiere decidir si el siguiente argumento es valido. Lo expresamos mediante su esquema (16): (i) Si 1 entonces si 1 entonces 2; (ii) pero 1, (iii) entonces 2. Si se logra reducirlo a algun o algunos indemostrables, el argumento es valido.

Argumento original (i),(ii),(iii) (17)

(i) 1 [vector] (1 [vector] 2) Prem.

(ii) 1 Prem.

(iii) 2 Concl.

Demostracion

(iv) 1 [vector] 2 1er Indem. en (i) , (ii)

(v) 2 1er Indem. en (ii) , (iv)

Lo anterior significa que el argumento inicial, que es complejo, puesto que en su primera premisa hay dos condicionales, es valido, dado que se lo ha demostrado apelando a la aplicacion dos veces consecutivas del primer indemostrable. Pero lo mismo puede decirse de otro modo, de un modo que revele el aspecto analitico del argumento. El argumento original, pues, es un complejo de dos argumentos, cada uno con la forma del primer indemostrable, lo que se puede graficar del siguiente modo:

Argumento original (i)-(ii)-(iii) reducido en A y B

[flecha inferior]

Indemostrable 1 (18) (i) 1 [vector] (1 [vector] 2)

(ii) 1 A

(iv) 1 [vector] 2

Indemostrable 1' (iv) 1 [vector] 2 B

(ii) 1

(v) 2 (19)

En relacion con esta reduccion, Sexto, en Contra los logicos II, 223, hace una taxonomia donde queda expuesto el sentido del analisis: hay argumentos indemostrables compuestos que son reductibles a los simples y estos no son reductibles a nada. La reduccion es necesaria para que pueda aceptarse que un argumento compuesto (no-simple), sea considerado como indemostrable (ver Mates 169). Pueden hacerse al respecto algunas observaciones atingentes a las facetas de los indemostrables, a los conceptos de deduccion implicados, a la idea de una estructura interna que se revelaria en la reduccion y, ligado a lo anterior, al concepto de validez logica (20).

En primer lugar, los indemostrables parecen tener dos facetas distintas, pero que confluyen a lo mismo. Si bien, en el ejemplo, el indemostrable 1 concurre en ciertos puntos de la prueba y son aplicados en cierta linea para producir otra nueva a modo de conclusion, y esa operacion pude repertirse varias veces, tambien el indemostrable corresponde al resultado, por decirlo asi, de esa demostracion, como un resultado de la reduccion. Asi, el indemostrable es a la vez regla de inferencia y resultado de esa aplicacion. Ambas facetas son equivalentes y no se contradicen; son dos modos en los que pueden ser considerados y entendidos los indemostrables. El indemostrable permite la deduccion y a la vez es resultado del analisis.

La segunda observacion tiene que ver con el concepto analitico de la deduccion estoica. De acuerdo con el proceso descrito, se podria afirmar que deducir aqui es descomponer el argumento en sus elementos simples irreductibles, los indemostrables. Asi, el argumento original es valido si existe para el al menos un indemostrable, aunque este aparezca mas de una vez en la demostracion. En el ejemplo anterior, el argumento original se descompone en A y B, y cada uno de ellos tiene la forma de un indemostrable, y, por tanto, hay deduccion y validez.

El tercer elemento que debe destacarse es el del significado de la reduccion o descomposicion. Parece ser que dicho proceso tiene por resultado indicar o hacer ver lo que sucede cuando se realiza una deduccion. Y lo que ocurre alli es que se muestra, o se deja en evidencia, por decirlo asi, la estructura intima del argumento original. Si se mira bien el asunto, no hay ninguna diferencia de fondo ni de resultados entre deducir la conclusion del argumento original, al estilo de lo que hoy se denomina deduccion natural (a partir de la obra de Gentzen), y lograr en la reduccion los indemostrables componentes finales del argumento. Lo que distingue la reduccion es su sentido: al reducir, se logra revelar de que esta compuesto el argumento si es que ha de ser valido. Y sus componentes finales no son sino alguno de los indemostrables. Se puede decir, entonces, sobre la base del ejemplo, que la deduccion es un proceso que se da por aplicacion de una o mas veces de uno o mas demostrables. En el ejemplo, se aplico dos veces el indemostrable 1. Asi la estructura interna del argumento original ejemplificado es la del indemostrable 1. Ese es su sentido.

Sin embargo, en cuarto lugar, los estoicos presentaron otro concepto de validez logica que esta vigente hasta ahora y que afirma que un argumento valido logicamente es aquel en que: "La negacion de la conclusion es incompatible con el conjunto de las premisas" (Mates 1985, p. 103). Y esa idea es la que efectivamente se verifica con la reduccion a indemostrables. Esta idea subyace en la logica hasta hoy y parece ser una de las piedras de tope de todo concepto de validez. En efecto, en la reduccion a indemostrables es esta idea sin duda la que justifica y respalda que haya validez; es mas, parece ser la idea que respalda la validez del indemostrable mismo.

Quinto, la descomposicion de un argumento original requiere al menos de las dos condiciones siguientes: a) que la conclusion del argumento original, en este caso "2" (ver ejemplo), que es lo que se quiere demostrar, debe aparecer en alguno de los indemostrables simples de la reduccion. En el caso del ejemplo, "2" aparece en en el argumento B. La segunda, b) condicion requiere introducir aqui un elemento nuevo que se analizara inmediatamente a continuacion: debe verificarse el "teorema" de Antipatro (muerto en 130 D.C. aprox.), segun el cual la conclusion de un argumento (1 [vector] 2, de A) debe aparecer en el conjunto premisas de B).

Ademas de los indemostrables, Sexto Empirico enuncia que hay en el sistema un teorema, [phrase omitted], atribuido a Antipatro de Tarso, cuya funcion parece indicar que se trata en realidad de una metarregla, puesto que describe y permite llevar a cabo el analisis descrito. Afirma Sexto:

Uno deberia observar que existe un teorema dialectico que ha sido transmitido para el analisis de los silogismos, como sigue: Si conocemos las premisas que implican una conclusion, conocemos tambien en realidad a esta conclusion entre las premisas, incluso si no esta explicitamente establecida (Sexto 1997, Contra los logicos, L.VIII, 231).

A continuacion de ese texto, Sexto explica, sobre la base del ejemplo, el mecanismo y rol del teorema. Este teorema es el que fundamenta la descomposicion del argumento complejo en dos versiones del primer indemostrable. Esta a la vista como ocurre ello: el punto central es que una vez que se ha obtenido la conclusion (iv), 1 [vector] 2 en el argumento A, esta conclusion es considerada en una segunda instancia como premisa del argumento B, para de alli derivar la conclusion, 2, obtenida en el argumento original. Sin el teorema de Antipater no habria encadenamiento, esto es el mecanismo de la deduccion.

Pero hay, ademas, un tercer elemento a considerar en el sistema, fuera de los indemostrables y del teorema: hay ciertas cuatro reglas basicas, [phrase omitted], cuya funcion parece ser similar a la del teorema, esto es, permitir la deduccion. Segun Diogenes Laercio, es Crisipo quien afirma que para la reduccion a los indemostrables de un cierto argumento compuesto se debe aplicar alguna de las cuatro reglas basicas, esto es, algun [phrase omitted] (Diogenes Laercio, L.7, 76-81). Segun Mates (1985, p. 133) el teorema no es sino una de las reglas basicas, especificamente la tercera y segun Long y Sedley (2012, p. 220), el teorema parece recoger y reemplazar en el analisis a los [phrase omitted] segundo, tercero y cuarto. Pero, ?cuales son estas reglas basicas? Las fuentes solamente respaldan la primera y la tercera. La primera esta enunciada en un texto de Apuleyo (125-170 D.C.), en Sobre la interpretacion, 191, 5-10 y es equiparada a la regla por imposible, aristotelica:

Hay ademas una regla comun a todos los indemostrables. Se llama "per impossible est" y es tomada por los estoicos como la primera regla basica; la definen como sigue: si de dos proposiciones se deduce una tercera, entonces de una de ellas junto con la contradictoria de la conclusion, se deduce la contradictoria de la otra (Long y Sedley 2012, p. 218, Vol I).

Si se expresara dicha regla basica en terminos de una regla estructural, se tendria:

a, b [??] c

a, [sin correspondencia]c [??] [sin correspondencia]b

No considerando las negaciones, el teorema de Antipatro parece enunciar en su maxima generalidad algo muy cercano a esta primera regla; la conclusion c esta incluida en las premisas del segundo argumento. Las tercera regla basica se encuentra en Alejandro de Afrodisia (S.II D.C.) acerca de los Primeros analiticos aristotelicos. Afirma alli el autor:

La asi llamada tercera regla basica es asi en esquema: cuando de dos proposiciones se deduce una tercera, y otras proposiciones son encontradas desde las cuales una de aquellas dos iniciales es deducida, la misma conclusion sera deducida de la otra inicial mas las proposiciones extras (Long y Sedley 2012, p. 218).

En terminos estructurales podemos expresarlo:

a, b [??] c z [??] a/z, b [??] c

En suma, tres son los elementos, pues, que constituyen, segun las investigaciones actuales sobre este tema de la historia de la logica, el sistema logico estoico, consensuadamente sustentado e impulsado por Crisipo de Solos: indemostrables, teorema dialectico, reglas basicas. Estos elementos muestras efectivamente lo que se quiere decir en la primera interpretacion de los 5 indemostrables, esto es, que se constituyen como los pilares de la operatividad de la logica. Y lo mismo puede decirse respecto de las reglas basicas, aunque de la aplicacion de estas ultimas haya muy poco registro al que echar mano para ejemplificar.

La concepcion reductiva de la deduccion puede expresarse mediante un principio, segun el cual un argumento valido es siempre descomponible en otros argumentos validos basicos que, en la logica actual, corresponde a las reglas validas de la deduccion. Esta aplicacion puede ilustrarse tambien en el contexto de la actual deduccion natural, incluso en ejemplos donde debe utilizarse la regla de introduccion de hipotesis y reglas que ya no corresponden a los 5 indemostrables. Por ejemplo:

Supongamos el argumento original y su descomposicion en los argumentos MP y Adicion (AD):

Se observan las dos restricciones fundamentales: la conclusion (iii) del argumento original es la conclusion de uno de los dos indemostrables; ademas, la conclusion del primer componente (MP) es premisa en el segundo (AD), lo cual es el teorema de Antipater. La estructura intima de (i)-(ii)-(iii) es MP y AD.

Un ejemplo donde aparece el teorema de la deduccion, TD, el MP y la introduccion de hipotesis (IH):

Igual que en el primer ejemplo, se observa el Teorema de Antipatro respecto de la conclusion y premisa r asi como la aparicion en TD de la conclusion del argumento original (i)-(ii)-(iii), p[vector]r. La estructura intima del argumento es IH-MP-TD

3. Los indemostrables de Crisipo y la justificacion de la deduccion

Mas, como preguntamos al inicio, ?es el rol sistematico el unico posible de considerar para los indemostrables y las reglas basicas? ?Hay en la logica estoica algun planteamiento acerca de la justificacion de la deduccion? ?Que justifica la aceptacion de la validez logica planteada por el sistema dialectico estoico?

Pero, antes de dar respuestas a dichas preguntas, y tratandose aqui de la logica antigua, cabe hacer una aclaracion de atingencia; se trata de la justificacion de la deduccion, de la validez, no de lo que los antiguos llamaban la demostracion o prueba. Aristoteles (2004), en los Segundos Analiticos, establecio las condiciones de la prueba, que son condiciones epistemologicas del conocimiento adquirido mediante argumentos, y no solamente las condiciones de validez del silogismo. Sexto, por su parte, establece cinco condiciones para que un argumento se constituya en la prueba, [phrase omitted], siendo la validez solamente una de esas condiciones. Dichos constrenimientos son epistemicos, tienen que ver con la verdad de las premisas y con la exigencia de que la conclusion no sea evidente (21). Asi, el problema de la justificacion, que se explora aqui, tiene que ver no con la prueba, como la entendia Aristoteles, sino con la validez formal del argumento, con lo que hoy se denomina consecuencia logica (22) (en terminos semanticos) o con la derivacion (en terminos sintacticos).

Las fuentes de la logica estoica y de Crisipo permiten especular que la justificacion de la deduccion es algo complejo, pues estaria contenida en el sistema al menos en tres aspectos: primero, en los indemostrables como expedientes justificatorios; segundo, en la cuestion de la base condicional (condicionalizacion) de los indemostrables (23); tercero, el principio de la incompatibilidad de la verdad de las premisas con la falsedad de la conclusion, y cuarto, en un acto que es extralogico, un acto cognitivo de aprehension directa de la validez de los indemostrables. Los tres primeros se inscriben en lo que autores contemporaneos definen como logocentrismo. El cuarto, en cambio, esta mas alla de eso, segun la taxonomia ensayada al final de la seccion 1.

3.1. Los indemostrables como factor justificatorio de la creencia deductiva. Los logicos y filosofos estoicos no plantearon la cuestion de la justificacion de manera directa sino que hay que rastrearla en los textos en que exponen su sistema. Los argumentos indemostrables, de acuerdo con lo expuesto, no parecen constituirse, ellos mismos, como justificacion de la deduccion. Ello queda de manifiesto en el rol que juegan en la demostracion, en la que se constituyen en las formas inferenciales mediante las cuales se produce la deduccion sin que ellas mismas puedan reducirse a ninguna otra forma mas basica. Pero, ademas, el sistema tambien esta constituido por los 4 zemas, que, como se vio, tambien son reglas inferenciales basicas, con lo que cabe afirmar que son los 5 indemostrables y los 4 zemas los que hay que considerar en su conjunto, pues no habria razones para elegir alguno de esos dos grupos por sobre el otro. Por otra parte, tenemos el teorema de Antipater, que aglutina a los zemas, con lo que ya hay tres conjuntos de inferencias basicas.

Cabe advertir una cierta ambiguedad en el rol de los tres elementos mencionados, pues, por un lado parecen ser los indemostrables aquellos elementos inferenciales a los cuales se reducen los argumentos reales, reduccion hecha por los zemas y, por otra parte, parecen ser los mismos indemostrables los que permiten la deduccion. Dada la escasez de claridad que puede obtenerse de las fuentes, dicha ambiguedad permanece. Ello puede constatarse en el ejemplo de deduccion analizado en la seccion anterior.

Segun lo anterior, si los indemostrables y los zemas fuesen la justificacion de la deduccion, ?que justifica a la regla basica indemostrable y a los zemas? Al fin y al cabo ambos tipos son inferencias, son reglas de la deduccion que inmediatamente levantan dicha pregunta, son reglas que son parte del funcionamiento del sistema, no algo exterior al mismo. Los indemostrables y los zemas son, pues, parte del aparato deductivo propiamente tal y, en tal sentido, no tendrian una funcion justificadora sin remitirse al infinito. Ademas, si la justificacion radica en la reduccion a indemostrables, entonces la justificacion coincidiria simplemente con el criterio de validez, lo cual conduciria a que lo que justifica la deduccion es la validez, lo cual es extrano, por redundancia.

Si se acepta el criterio justificatorio de la reduccion, dicho criterio es logocentrico, segun la taxonomia inicial, lo que significa que es circular, lo que conduce a pensar que los indemostrables y los zemas no parecen ser buenos candidatos a tener un rol justificatorio.

3.2. Pero, si los 5 indemostrables y los zemas no pueden justificar ?lo seria el principio de condicionalizacion presentado por Sexto?

Afirma Sexto, en Contra los logicos:

Y ellos dicen que el que un argumento conclusivo se lo juzga como conclusivo (24) cuando la conclusion se sigue de la conjuncion de las premisas. Por ejemplo, un argumento como el siguiente (cuando es de dia): "Si es de noche, esta oscuro; Es de noche; Luego esta oscuro", se dice que es conclusivo, aunque es falso, ya que su conclusion nos conduce a la falsedad. Pues, conjuntando las premisas de este modo: "Es de noche y si es de noche esta oscuro", construimos un condicional que tiene por antecedente a esta conjuncion y por consecuente a la conclusion: "Esta oscuro". Este condicional es verdadero pues nunca comienza con verdad y termina en falsedad (Sexto 1997, L.II (VIII), 415).

Es notable la distincion que hace aqui Sexto entre "verdadero" y valido". En efecto, cuando es de dia, y, cuando se esta profiriendo la conclusion "esta oscuro", esta es falsa. Sin embargo, Sexto plantea claramente que el argumento no obstante lo anterior es valido, pues "nunca" se dara la combinacion verdad-falsedad entre premisas y conclusion. Pero ese "nunca" no es aqui filonico, sino diodorico; nunca se dan las circunstancias facticas para que ello ocurra. Esto da que pensar; la cuestion de la formalidad de la validez logica, ?no descansa finalmente en la imposibilidad factica? Hoy esta posibilidad ha sido abandonada en la filosofia de la logica pero sin ofrecer algo de reemplazo (ver Mates 1985, pp.128 y ss.), que no sean las reglas estructurales que definen la validez en la filosofia actual de la logica.

Un poco mas adelante afirma Sexto:

Asi pues, un argumento es conclusivo fuerte cuando, luego que hemos combinado las premisas y construido el condicional que comienza con a la conjuncion de las premisas y termina por consecuente con la conclusion, se halla que el condicional es verdadero (Sexto 1997, L.II (VIII), 417).

Reafirma Sexto esta idea de la siguiente manera: "Y dicen que un argumento es valido siempre que hay un condicional verdadero que tiene por antecedente a la conjuncion de las premisas y por consecuente a la conclusion" (Sexto 1997, (VIII) II, 426).

En los Esquemas pirronicos, Sexto aclara y sintetiza la analogia entre argumento y condicional: "Pues se considera valida una prueba cuando la conclusion se sigue de la conjuncion de las premisas como un consecuente se sigue de un antecedente" (Sexto, Hip. Prronicas, L.II, 113).

?Puede considerarse justificatory de la deduccion al principio del condicional o es simplemente un criterio de validez? A primera vista pareciera que es lo primero, pues esta un escalon mas abajo que las reglas indemostrables. El condicional tautologico formado por las premisas y la conclusion es condicion de validez del argumento en cuestion; asi, se lo puede enunciar: [GAMMA][??] a si [GAMMA][vector] a (Hay que considerar que, segun el ejemplo de Sexto expresado mas arriba, el condicional en cuestion [GAMMA] [vector] a era considerado diodorico y el argumento es valido, entonces solo si realmente "es de dia", esto es, bajo esa condicion factica).

Segun el principio de condicionalizacion, entonces, respecto de cualquier indemostrable, se tiene que, por ejemplo: el primer indemostrable es valido si ((p[vector]q) [ademas]p) [vector]q es una tautologia, en terminos actuales, o es un condicional diodorico, segun Sexto. El segundo indemostrable es valido si ((p[vector]q) [ademas][sin correspondencia]q) [vector] [sin correspondencia]p es tautologico, y asi con los tres restantes indemostrables. Esto significa que podria entenderse que los indemostrables encuentran su justificacion en el principio de condicionalizacion. Si este principio es considerado metalogico, entonces podriamos considerarlo justificatory y encontrar en el un expediente de fundamentacion para la deduccion.

Sin embargo, Mates plantea que la condicionalizacion ni siquiera es un criterio de validez y menos justificatory, sino mas bien, y asi se lo interpreta hoy, es una caracteristica descriptiva de cierta propiedad de los argumentos validos. Pero, el mismo Mates afirma que, coincidentemente, el principio de condicionalizacion aparece en Sexto siempre en relacion con la busqueda de criterios de validez (por ejemplo, Sexto 1997, VIII, 415). Por ello, el problema al respecto no presenta la suficiente claridad. Se podria arriesgar la hipotesis de que si bien hoy la condicionalizacion no constituye criterio de validez si lo era para los estoicos. Los principios metalogicos de la logica parecen estar en el limite: pertenecen a la logica misma y estan mas alla. Esta es la razon por la cual S. Haack consideraria que la apelacion al principio de condicionalizacion es circular. Y esto debido a que finalmente la validez, por ejemplo, del modus ponens, descansaria a su vez en el significado de la constante logica condicional. Pero esta ha sido una discusion no finiquitada, pues tambien se ha planteado la alternativa inversa: que el significado del condicional proviene de su rol en la inferencia (25). Justamente el principio de condicionalizacion apela a una relacion entre verdad logica-validez que encontraria su base en que el condicional verdadero lo es en virtud de las tablas de verdad, lo cual es circular.

Postular que la deduccion se justifica por los indemostrables es inadecuado por circular y logocentrico. Pero, un paso mas atras, justificar los indemostrables por el principio de condicionalizacion parece de una circularidad mas debil y no logra mejorar las cosas.

3.3. El acto cognitivo de autoevidencia y los indemostrables. Los filosofos y logicos estoicosse acercaron a otro planteo acerca de la justificacion de la deduccion al afirmar de diversos modos la cuestion de la autoevidencia. En Epicteto, Sexto, Diogenes Laercio, Galeno se hallan tales expresiones que apuntan a lo mismo.

Epicteto, el esclavo liberto (50-138 D.C.), es, quizas, el unico autor con un registro explicito de la pregunta por la justificacion de la logica entre los estoicos: La logica es algo necesario. Es la razon el criterio que articula todo lo demas, pero surge la pregunta: ?que la articula a ella? La necesidad de la pregunta se funda en que, segun el autor, antes de hacer una medida, por ejemplo, debemos entender que es la medida. Lo mismo con la logica. Epicteto establece esta taxonomia basica: sera la misma razon o algo distinto y superior a ella lo que la justifica. La segunda alternativa nos remite al infinito (anatema para el pensamiento griego). En consecuencia, la logica debe articularse a si misma (Boeri y Salles 2014, p. 99). La validez deductiva, al menos en sus reglas mas basicas, debe autojustificarse, lo que hoy se traduce en algunas ocasiones en la idea de lo a priori. La respuesta de Epicteto da a entender otra cosa algo mas precisa: que la logica no requiere articulacion (justificacion) pues es ella misma, en su naturaleza, justificada. Pero esto no es sino equivalente a postular que la razon tiene una cierta fuerza cognitiva capaz de ver la validez en su inmediatez.

Aunque fuera de Epicteto no se encuentran formulaciones explicitas del asunto, esta idea de autojustificacion es la que parecen sustentar los filosofos antiguos. Esa seria, pues, la justificacion de los indemostrables, mas alla del principio de condicionalizacion.

Sexto Empirico establece el siguiente analisis del termino "indemostrable":

... El termino indemostrado, empecemos por el, tiene dos sentidos, y se los usa ambos para argumentos que no son demostrados, como para aquellos que no necesitan demostracion debido a que son en si mismos inmediatamente obvio que son validos. Y hemos indicado a menudo que a los argumentos con los que empieza la "primera Introduccion a los Silogismos" de Crisipo se les da este titulo en el segundo sentido" (Sexto, Contra los logicos, L.VIII, 223).

En esta cita se observa que el indemostrable no se refiere tanto a aquel argumento que por una razon u otra no ha estado sometido a una demostracion, lo que es una cuestion factica, sino que tiene que ver con aquel argumento respecto del cual, por su estructura, se podria decir, no cabe hacer una demostracion. Y la razon de esto ultimo no seria sino que el argumento se demuestra por si mismo. El termino indemostrable, [phrase omitted], que es un adjetivo masculino, como negacion de demostrable (cuyo origen es el vefbo mostrar, [phrase omitted]) indica una propiedad del argumento que hace que, por su propia evidencia, por una autoevidencia, aparece como ya demostrado (26). De acuerdo con lo anterior, en el pensamiento estoico estaria implicito que la justificacion de la deduccion, de la validez, tiene una cierta ambiguedad, pues es posible verla de dos maneras: por una parte parece manifiesto que la validez seria una propiedad del argumento mismo; es el el que es autoevidente, es el el que se demuestra a si mismo o no necesita demostracion. Pero, desde otro punto de vista, pareceria que la validez no podria ser radicada en la forma misma del argumento, no seria una propiedad del lenguaje sino que radicaria en un cierto acto cognitivo de aprehension de lo correcto del movimiento inferencial y ello ya no es propiedad de un objeto formal o linguistico sino que es una propiedad subjetiva. La validez, se podria decir, se produce como resultado de una capacidad o facultad del sujeto de aprehender la validez. Asi como Aristoteles hacia descansar en la facultad del vouc la capacidad de captar la verdad de un universal, los estoicos y los tratadistas antiguos vieron analogamente una cierta capacidad humana de comprender la validez argumental, aun cuando no hay expresiones que se refieran a una determinada facultad cognitiva especial para ello. En una mirada literal de las fuentes parece que los estoicos entendieron esto en terminos de propiedades del argumento indemostrable mismo. Sin embargo, expresiones del tipo advertir de inmediato, mostrarse de inmediato a la comprension, ser autoevidente, son vehiculos de una posible interpretacion cognitivista del asunto.

Diogenes Laercio (2005, L.VII. 79 y ss.) hace mencion a que los indemostrables lo son porque no necesitan demostracion. Ello implica que su validez se advierte de inmediato, o que dichos argumentos la mostrarian de inmediato a la comprension. Por otra parte, se encuentra tambien en Galeno una idea equivalente al referirse a los 5 indemostrables: "Aplican el termino silogismo indemostrado a unos silogismos que llevan a cabo la demostracion por su propia accion o que no necesitan ninguna informacion externa" (Mates 1985 p. 201). Galeno parece apuntar a que la indemostrabilidad de los 5 argumentos basicos de Crisipo esta en que se autodemuestran, esto es que lo hacen sin acudir a nada mas que a si mismos. La cita de Galeno parece conducir a esta pregunta: ?Se puede interpretar la afirmacion de que los indemostrables lo son porque no necesitan demostracion como equivalente a que son autoevidentemente demostrables, que se demuestran por si mismos? Parece algo contradictorio ser indemostrable y demostrarse a si mismo.

La cuestion, como se ha venido planteando en este articulo, consiste en sintesis en tratar de explorar que se entenderia por "entender de inmediato", en el giro de Diogenes que el indemostrable se entiende de inmediato. Se propone que es el enfoque cognitivista de la logica el que podria hacerse cargo de encontrar respuestas plausibles a ello. P. Thagard afirma que la ciencia cognitiva, acerca de la cuestion de la argumentacion, se pregunta: "?Por que las personas hacen las inferencias que hacen?" (Thagard 1996-2014, p. 4). Una respuesta desde fuera, no cognitiva, seria, porque usa las leyes de la logica; o porque ha aprendido, junto con el lenguaje, a usar ciertos patrones inferenciales. Pero, segun Thagard, cognitivamente los "patrones explicativos" son, por ejemplo, que el sujeto posee "representaciones" mentales que son equivalentes a los enunciados a nivel del lenguaje pero distintos en su naturaleza de estos. Los sujetos poseen facultades que contienen procedimientos logicos (deductivos y no deductivos) que operan esas representaciones. Ello produce las inferencias. Pero hay otras teorias como la que afirma que no razonamos por medio de reglas de la logica sino por medio de otros formatos, como son los modelos mentales, que no son representaciones linguisticas. En tal sentido, la validez de los indemostrables bien puede ser pensada no solo como propiedad de objetos argumentales sino como facultades de sujetos que captan esa validez. Interpretar la justificacion cognitivamente no parece tan descaminado. Por ejemplo, S. Bobzien (2002), justamente refiriendose a Crisipo, hace recaer la vision que el filosofo tenia sobre el problema del sorites y la vaguedad en lo que la autora denomina "impresion cognitiva". Esto esta relacionado con la teoria del conocimiento de los estoicos; el conocimiento se lleva a cabo por medio de impresiones en el sujeto. Una impresion cognitiva es aquella que se produce por lo que es y asi es impreso exactamente como es. El acento esta puesto en como el sujeto capta los matices que produce un argumento sorites, y lo mismo ocurriria con los indemostrables.

Cabe senalar el reciente trabajo de M. Lopez-Astorga (2016, 2017), quien correlaciona los indemostrables con la tesis de los modelos mentales en psicologia cognitiva. La pregunta que hace el autor es por que Crisipo considero que esos argumentos eran indemostrables cuando de hecho solamente el primero de ellos lo es (27). Una respuesta es, segun Lopez-Astorga, que Crisipo habria advertido que eran validos por si mismos, autoevidentes, u otro concepto analogo. Ahora bien, tal consideracion puede quedar expresada y justificada acudiendo a la tesis de los modelos mentales, de Ph. JohnsonLaird (1988, 1995), como lo hace Lopez-Astorga. Los estoicos habrian advertido un aspecto logico, cual es que los indemostrables representaban el razonamiento humano natural. Segun Johnson-Laird, el "razonamiento natural" de los sujetos se refiere al significado de los enunciados y no las estructuras sintacticas o formales de ellos (Johnson-Laird 1988, pp. 226 y ss.). El sujeto es capaz de hacer representaciones de lo que afirman los enunciados y construir modelos mentales sobre esas situaciones y, sobre esos mismos modelos obtener conclusiones atingentes a la situacion modelada. Si al sujeto se le informa, por ejemplo, que A esta a la izquierda de B y que este esta arriba de Z, el sujeto puede responder sobre la localizacion de Z en relacion con A modelando la situacion, sin acudir a representaciones preposicionales necesariamente:

Este modelo contiene, pues, tanto las premisas como la conclusion, esto es, se modela el argumento como tal. El modelo mental es un conjunto de tokens producto de una seleccion de la situacion: no todas las caracteristicas de una situacion son modelables, pues eso depende de para que se necesita el modelo. En el ejemplo, el color de A, B y Z no son relevantes. Ademas, hay mas de un modelo mental para cada situacion. El modelo, en muchas casos, pues, puede reemplazar al conjunto de enunciados.
A   B
    Z


El ejemplo anterior correspondia a situaciones visuespaciales, pero Johnson-Laird, en relacion con lo que atane aqui, senala modelos mentales atingentes a las constantes logicas, como lo resalta Lopez-Astorga. Asi, el primer indemostrable requiere modelar sobre la base del condicional p[vector]q. Los unicos tres escenarios modelables posibles del condicional, en que este es verdadero, son:
P      q
no p   q
np p   no q


Segun Lopez-Astorga, entonces: "El unico escenario en el cual la segunda premisa p es verdadera es el primero, en el cual q tambien lo es. Asi, el modus ponens parece ser absolutamente natural en la mente humana" (Lopez-Astorga 2017, p. 317). Esa naturalidad es la que Crisipo habria visto en sus 5 argumentos fundamentales. Y su justificacion seria, pues, no logocentrica.

Pero, aceptando lo anterior, ?como explicar esa naturalidad??Y hasta donde seguir preguntando por la justificacion? Tal vez una respuesta plausible pueda provenir de la propuesta que desarrolla R. Hanna (2006), quien postula una facultad de logizar como rasgo cognitivo fundamental, un "cognitivismo logico" (2006, p. XI), tanto o mas fundamental que el recordar, percibir o conceptualizar: la logica es construida cognitivamente por los animales racionales; los animales racionales poseen esencialmente una facultad para representar logicamente sus acciones y el mundo (Hanna 2006, p. XI). Pero, por tanto, se trata de una facultad "protologica", que no corresponde a ningun sistema en particular; se distingue asi de las teorias de la logica mental, iniciadas por Piaget. La protologica es una capacidad cognitiva especifica a un dominio, "rapida" (como un reflejo, con poco gasto cognitivo), pero que, a diferencia de otras capacidades cognitivas, no es encapsulada, esto es, es transversal, que conecta capacidades cognitivas entre si. La validez de los indemostrables, en una hipotesis sustentada en lo anterior, encontraria su justificacion no logocentrica en facultades cognitivas de tipo protologico; de alli su naturalidad.

4. Conclusion

Dado el tipo de fuentes de la logica estoica, acerca de la justificacion solamente caben las conjeturas. La posibilidad de la justificacion de la deduccion se revela en el pensamiento estoico como algo bastante complejo y no explicito, que no admite una sola perspectiva pero que permite algunas interpretaciones.

Si la postura logocentrica tiene alguna base como expediente justificador de la deduccion, entonces es muy probable que los estoicos consideraran que la validez de los indemostrables fuesen ellos mismos justificadores de la deduccion. Pero, desde un punto de vista no-logocentrico, la justificacion ahora de los propios indemostrables pareceria descansar en la autoevidencia, en algo mas alla de la propia logica, en lo que se capta por si mismo, sin mediar demostracion alguna.Y lo que se capta por si mismo corresponderia, hoy, a aquello que una cierta facultad cognitiva del sujeto respecto de la validez logica puede hacer.

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[Please note: Some non-Latin characters were omitted from this article]

Alejandro Ramirez Figueroa

Universidad de Chile

alramire@uchile.cl

(1) Galeno consideraba que habia dos grandes tipos de "silogismos" (que hoy traducimos por sistemas deductivos): el de Artistoteles y el de Crisipo, y que muchos aristotelicos de la epoca tenian por superior al de Crisipo (referido en Bochenski 1947, p. 15). Por su parte, Lukasiewicz (1934 / en 1986, p. 119), en su analisis comparativo entre la logica peripatetica y la de los estoicos, afirma: "Los estoicos han de contar con nuestro agradecimiento por haber echado los cimientos de esta admirable teoria". El pensamiento contemporaneo comenzo a preocuparse de la logica estoica ya antes de Lukasiewicz con el texto de E. Brehier (1919/2005); actualmente puede consultarse J. Gould (1970, 1974), J. Corcoran (1974), y mas recientemente los trabajos de J. Gourinat (2000), los textos sobre logica estoica reunidos por J. Brunschwig (2006) y los trabajos reunidos por Gourinat y Lemaire (2016).

(2) Mates (1985) defiende la idea de que este sistema no puede denominarselo axiomatico propiamente tal, como si lo entendia Lukasiewics. Como se vera mas adelante, en la seccion 2, ello se debe a que los estoicos no solamente llamaban "indemostrable" a ciertos esquemas basicos irreductibles sino que, tambien, a los compuestos de estos.

(3) Falguera y Martinez (1999, p. 58) definen: "Un sistema logico es, pues, un cuerpo teorico que consiste en un conjunto de esquemas logicos, algunos de los cuales se presentan como basicos y los demas como dserivados, que se toman como criterios de validez de determinado tipo de argumentos". En terminos algo distintos hoy la idea de sistema logico S se define como una estructura, con un lenguaje formal y una base deductiva; S = < L, D >.

(4) No se aborda aqui la justificacion de la correccion de sistemas no deductivos.

(5) Haack tambien analiza la postura de M. Dummett sobre la justificacion de la deduccion. Ver Haack 1996a.

(6) La pregunta por la justificacion de la deduccion (o de la logica sin mas, si se la entendiese, hoy algo estrechamente, como una teoria de la deduccion) tiene expresiones actuales como las siguientes: "?Como sabemos que una verdad logica lo es? ?Como sabemos que una regla de inferencia es valida?" (Martinez 2007, p. 83); de igual modo, aludiendo al Modus Ponens: "?En virtud de que estamos justificados en emplear esta regla de inferencia?" (Schechter y Enoch 2006, p. 687); o, "?Como yo justificaria mi creencia de que la logica clasica, por ejemplo, es correcta?" (Fisher 2008, p. 178); o, "?Como es posible para nosotros estar justificados sobre nuestras leyes logicas fundamentales?" (Boghossian 2000, p. 229); o, tambien: "A las reglas de inferencia se las considera el alfa y el omega de la logica (...) ?En que se basan las reglas de inferencia? ?De donde vienen?" (Hintikka y Sandu 2007, p. 15). Siguiendo a Hume, algunos autores (D. Bradley 2015) consideran la justificacion solamente como una cuestion epistemologica atingente a las inferencias no validas, justamente porque las validas no necesitarian justificacion dado que implican la consecuencia. Sin embargo, en la filosofia actual de la logica, la pregunta por la justificacion tambien aparece como un problema para la deduccion.

(7) El problema de la justificacion, pero en la epistemologia no en la filosofia de la logica, se encuentra claramente planteado en el trilema del esceptico Agripa, de una manera que pervive hasta hoy en la teoria del conocimiento (Ver Sexto (1933) 2000, I, 164). En terminos mas generales, el problema de la justificacion de X puede enunciarse como la necesidad de contar con buenas razones positivas para aceptar X. Tradicionalmente no se ha considerado que la deduccion tenga que tener justificacion alguna, puesto que se justifica a si misma. Pero ello implica aceptar que lo que justifica algo es solamente la razon logico-deductiva, cuestion que hoy la filosofia de la logica ha puesto en cuestion.

(8) Ver al respecto Haack 1996, p. 190.

(9) Ver sobre la justificacion el desarrollo que realiza M. Garcia-Carpintero (1993), quien concentra la cuestion en al menos tres enfoques: la concepcion cuantificacional de la justifuicacion, de Frege-Russell; el enfoque segun el cual la verdad logica y la consecuencia logica lo son por analiticidad y, finalmente, su defensa (contra la postura de J. Etchemendy) de que tales dos propiedades logicas se basan mas bien en la concepcion modelo-teoretica de la logica, cuyo origen es la idea de interpretacion de Tarski.

(10) Las principales fuentes para los indemostrables y para la obra de Crisipo son Sexto, Diogenes Laercio, Dionisio Thrax, Alejandro de Afrodisia, Ciceron, Galeno, Luciano, Gellio. Vease la referencia de B. Mates (1985) acerca de las diferentes expresiones en cada fuente. Por su parte, Diogenes Laercio (2005) ofrece, en L. VIII, 190 y ss., un listado de las obras de Crisipo, las que fueron muchas, pero de las cuales no se ha conservado ninguna.

(11) Tambien es formalizable como la tautologia: ([sin correspondencia](p [ademas]q)[ademas]p) [vector] [sin correspondencia]q. Esta es, en todo caso, la formulacion actual en la logica proposicional, no estrictamente la estoica. Ver B. Mates 1985, p. 124.

(12) Se advierte que hay un error en la edicion de Gredos (2006, p. 41), hablando de Galeno, en la formulacion del primer indemostrable: Dice: "Si lo primero, lo segundo. Lo segundo, luego lo primero", lo que manifiestamente es un error. Dado que Gredos no aclara ni hace notar el error al pie de pagina, puede suponerse que se trata de un error de la editorial.

(13) Bonevac y Dever (2012, p. 184) hacen ver que los 5 indemostrables, asi como otras reglas estoicas solo pueden hasta cierto punto corresponder con las actuales formalizaciones de la logica proposicional dado que los significados de las constantes logicas estoicas puede no coincidir del todo con las actuales. Ello ocurre con el condicional, que tenia para los estoico tres significados: el diodorico, el filonico y el de Crisipo). Tambien la disyuncion presenta diferencias de significado: la estoica no era binaria, pues segun Galeno una disyuncion debia tener a lo mas un disyunto verdadero, de lo contrario era una pseudo disyuncion.

(14) Sobre las reglas de la deduccion natural vease, por ejemplo, Manzano y Huertas 2004, p.143 y ss., o tambien, Lemmon 2002, cap. 1.

(15) Ver Sexto 1997, Contra los logicos, VIII, 230-233.

(16) Aunque los estoicos acostumbraban a tratar estos problemas no con sus esquemas, como se lo haria hoy, sino con los argumentos reales.

(17) Segun Sexto (1997, L.VIII 223), los estoicos llamaban indemostrables no solamente a los 5 basicos, sino que tambien a los compuestos de esos 5. Sin embargo, mas alla de los nombres, conceptualmente es consenso considerar como indemostrable a los 5 basicos, dado que los demas argumentos validos efectivamennte son reductibles a los 5, y estos 5 no son reductibles a ningun otro.

(18) Otros dos ejemplos de analisis y reduccion a alguno de los indemostrables son expuestos por Sexto en Contra los logicos L.VIII, 230-233 y L.VIII 234-241.

(19) Vease el analisis aclaratorio que lleva a cabo sobre esto Luis Vega (1986, p. 159 y ss., especificamente la nota 11).

(20) Hay buna correspondencia en esto con la idea aristotelica de conocimiento de algo por sus causas (Segundos analiticos, I, 2 71b 8-10; II, 8,93a, 4-5), en que las causas de algo deben ser finitas, por lo que debe llegarse a causas primeras incausadas que serian la base de las ciencias.

(21) Las cinco condiciones de Sexto son: 1) la prueba debe ser un argumento; 2) Debe ser conclusiva; 3) Tambien debe ser verdadera; 4) La conclusion debe ser no evidente; 5) La conclusion debe ser descubierta mediante el poder de las premisas (Sexto 1997, L.VIII 310, p. 403).

(22) Lo que los logicos medievales, como William Burleigh, teorizaron como consecuentia. Ver W. Burleigh 2009.

(23) Que los indemostrables cumplan una funcion epistemica de justificacion, ademas de ser parte del sistema deductivo mismo, lo insinuan Asmus y Restall 2012, p. 21. Estos modos indemostrables podrian ser usados para justificar posteriores argumentos.

(24) Bury, en Sexto 1935/1997, traduce [phrase omitted] como "argumento conclusivo", en tanto B. Mates lo hace como "argumento valido".

(25) Este debate se dio entre A. Prior y N. Belnap. Prior critica la tesis de que el significado de una constante logica pueda reducirse a reglas de inferencia, al uso que alli tenga la constante. Belnap critica a Prior y defiende que son las reglas las unicas que pueden cargar de significado a una constante. Vease Prior (2000) y Belnap (2000) en Bonnay y Cozic (2000).

(26) La traduccion al castellano de Mates (1985), pone "indemostrado", lo cual hace pensar mas bien en un argumento que, por razones facticas, aun no ha sido demostrado pero que podria serlo, lo cual no parece apuntar a la idea central del concepto estoico que mas bien se refiere a la indemostrabilidad. El termino [phrase omitted] es un adjetivo, que indica una propiedad. El problema es que, como para los estoicos [phrase omitted] es usado tanto para los 5 argumentos simples como para cualquiera que este compuesto de ellos, en este ultimo caso si cabria traducir el termino por "indemostrado". Se ha preferido aqui siempre "indemostrable", porque, al menos para este articulo, el asunto de la justificacion apunta siempre a los 5 basicos y no a cualquier compuesto de ellos.

(27) Por ejemplo, el segundo indemostrable, con las precauciones ya mencionadas, es: P[vector]q, [sin correspondencia]q /-p. Entonces: (i) p[vector]q premisa; (ii) [sin correspondencia]q premisa; (iii) p regla de introduccion de hipotesis; (iv) q MP, primer indemostrable (i),(iii); (v) q[ademas][sin correspondencia]q suma (ii) y (iv); (vi) [sin correspondencia]p (iii) y (v) reduccion al absurdo o prueba indirecta. El primer indemostrable es una regla primitiva; en cambio el segundo es derivado (i)-(vi), demostrado.
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Author:Ramirez Figueroa, Alejandro
Publication:Revista de Filosofia
Article Type:Ensayo critico
Date:Jan 1, 2018
Words:10782
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