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Aplicacion del modelo de fractura fractal de Balankin al modelo fractal de la actividad volcanica.

APPLICATION OF BALANKIN FRACTAL FRACTURE MODEL TO THE FRACTAL VOLCANIC ACTIVITY MODEL

INTRODUCCION

La metodologia SFT parte del analisis que Brown (1989) hace de la fragmentacion, como un proceso secuencial, basado en dos supuestos: a) la suma de las masa de todos los productos en un tiempo t debe siempre ser igual a la masa inicial M, segun el principio de conservacion de la masa. b) la distribucion de las masas debe ser fractal. Tanto Brown (1989), como Wohletz et al. (1989) dedujeron la distribucion de Weibull a partir de principios fisicos generales, sin incluir un modelo especifico de mecanismo de fractura, dando origen a la SFT (Sequential Fragmentation and Transport). Dado el caracter fractal de las subpoblaciones, resultantes al aplicar SFT, se supone que estas reflejan el proceso de fractura a niveles microscopicos.

A pesar de lo exitoso del modelo, queda el interrogante de que tan pequenas pueden ser las particulas y aun ser SFT valida. Una interrogante similar puede hacerse a la definicion de la nueva dimension fractal hecha en Brenes (2013), o al modelo fractal propuesto en Brenes & Alvarado (2013).

En Balankin (1997), aplicando principios fisicos a la naturaleza fractal de la fractura a nivel micro, se deduce que el factor de intensidad de esfuerzos puede estar elevado a dos exponentes diferentes, [alfa] y [beta], segun el tamano de la particula en cuestion. Ambos exponentes estan en funcion de una dimension topologica y un coeficiente de Hurst apropiados.

La respuesta a esas interrogantes es que la SFT vale desde un nivel microscopico, ya que, como se mostrara en este trabajo, la propuesta de Balankin (1997) se fundira de manera coherente con la SFT (Brown, 1989) y con la del modelo fractal de fractura propuesto en Brenes (2013) y Brenes & Alvarado (2013). Esta fusion permite obtener informacion mas detallada del proceso eruptivo, y una explicacion teorica plausible de dos valores experimentales de H, que se han conjeturado como universales. El trabajo se divide en 5 partes: a) una revision de los procesos fundamentales involucrados en la eyeccion de fragmentos, b) una presentacion somera del modelo fractal de fractura de Balankin, c) una descripcion de como el modelo de Balankin se incorpora en el modelo fractal, d) el analisis de resultados intermedios y su comparacion con valores citados en la literatura, incluyendo una breve aplicacion al caso de la erupcion de 1723 del Irazu, y e) una revision de los dos valores universales de H y su interpretacion a la luz de la union aqui presentada.

REVISION RAPIDA DEL PROCESO ERUPTIVO

Un elemento fundamental del proceso eruptivo es el proceso de nucleacion de las vesiculas del magma, y su crecimiento conforme el magma se descompresiona al ir ascendiendo, y el rompimiento efusivo o explosivo de las mismas. Dado que las vesiculas son fracturas que van creciendo, se analizara el proceso iniciando en los campos de esfuerzo producidos por las fracturas mas pequenas.

De manera breve, se parte de que el contacto entre el magma ascendente y las fuentes de agua superficiales dan como resultado un intercambio calorico que involucra el area expuesta del material, dando como resultado una pelicula de vapor de agua, tanto por la ebullicion como por la coalescencia de pequenas burbujas presentes en el magma. De no producirse esa pelicula, la transferencia de energia del magma al agua se incrementa en uno o dos ordenes de magnitud (Fiedler et al., 1980). Un posible mecanismo de fractura propone que el vapor sobrecalentado alcanza una temperatura maxima (Wohletz, 1986), causando que el volumen aumente, acelerando violentamente el magma hasta que se fragmenta. Tambien puede darse que el vapor atrapado en el magma de origen a un efecto boyante que haga ascender al magma. Al subir las presiones a que esta sometido disminuyen, promoviendo la ebullicion del agua en pequenas cantidades de vapor que constituyen la tipica actividad freatomagmatica. Por ultimo, es posible que por influencia de ondas de choque (de origen sismico) la pelicula de vapor colapse en cuestion de nanosegundos (Zimanowski et al, 1997, Zimanowski, 1998), generando esfuerzos termicos en la roca circundante causando una fracturacion.

Aunque las fracturas no pueden abrirse en materiales bajo compresion, si lo pueden hacer si el material esta en equilibrio en compresion, y al ascender las presiones externas disminuyen, resultando menores que las internas, dando como resultado un campo efectivo de tension.

MODELO DE FRACTURA FRACTAL DE BALANKIN

El analisis que aqui se presenta es a nivel macroscopico, y se lleva a cabo con la teoria del continuo, que no considera el caracter molecular del material, por lo se pueden tomar las derivadas espaciales en cualquier punto del material. Esa aproximacion deja de ser aplicable a niveles moleculares, en donde se debe incluir las fluctuaciones de ese campo, asi como el hecho de que ninguna fractura puede ser una linea recta matematica.

Nos concentraremos en fracturas de Modo 1 (Swedlow, 1965) pues es el dominante (Yavari, 2000), En este caso los esfuerzos de tension se deben a que la nucleacion inicial se produce a altas presiones exteriores, las que van disminuyendo conforme el magma asciende. En materiales como el granito y otras rocas cristalinas bajo confinamiento, un aumento en la presion conlleva a un cambio en los procesos de micro-fracturacion (Escartin et al., 1997; Velde et al., 1993). A presiones bajas, el proceso dominante es el de fracturas bajo tension (Modo I), paralelas a la direccion del esfuerzo principal. Conforme aumenta la presion, las fracturas bajo tension son remplazadas por fracturas en cortante (Modos II, III). Este cambio del proceso a micro-escala esta asociado a una disminucion de la friccion interna. Asi mismo, un aumento de presion causa que la fracturacion intergranular sea remplazada progresivamente por colapso de poros.

A ese nivel, Campos et al. (2005) establecen que el esfuerzo en el extremo de una fractura esta dado por [[sigma].sub.ij] = Kf [(r/l[omicron]).sup.-[alfa]], donde lo es una dimension caracteristica. El exponente [alfa] asociado al esfuerzo en la vecindad de la fractura esta dado por [alfa] = [Hd - (d - 1)]/ 2H, donde d es la dimension del problema elastico considerado, H es el exponente de la rugosidad de la fractura (tambien conocido como exponente de Hurst), y [K.sub.f] es el factor fractal de intensidad del esfuerzo. Esta relacion se obtuvo analizando fracturas auto afines, de manera que el caso de la mecanica de fracturas, lineales y elasticas se vuelve un caso especial aplicable a longitudes mayores que la longitud de correlacion (Balankin, 1997).

La relacion para el exponente a encontrada por Balankin (1997), es valida en el ambito [l.sub.[omicron]] < r < [[xi].sub.C], en donde r se mide a partir del extremo de la fractura, lo es una funcion de las caracteristicas micro-mecanicas del material y [[xi].sub.C] esta relacionada con la forma geometrica del material que se fracciona. Valores tipicos de [l.sub.[omicron]] ~ [10.sup.-8] m para materiales quebradizos, equivalente a [fi] [aproximadamente igual a] 8, y [[xi].sub.C] [aproximadamente igual a] [10.sup.-2] m, que corresponden a granos de [fi] [aproximadamente igual a] -3, permiten aplicar la teoria a las erupciones del Volcan Irazu.

Para r > [[xi].sub.C] Balankin propone otra relacion de potencia dada por [[sigma].sub.ij] = [K.sub.f] [(r/[l.sub.[omicron]]).sup.-[beta]] donde el exponente [beta] = (2H -1)/2H.

INCLUSION DE BALANKIN EN EL MODELO FRACTAL

Las condiciones de presion y temperatura durante una erupcion, tanto del magma como del conducto, son imposibles de conocerse directamente, impidiendo tener una idea aproximada del ambito en que [alfa] aplica. Por ello, se puede suponer, como ruta alterna, que la relacion es valida durante una erupcion, y que los valores de d y H serian los del modelo fractal propuesto en Brenes & Alvarado (2013). El razonamiento seria el siguiente: a) Cada evento eruptivo da origen a particulas de tamano variable en proporciones determinadas, debido a las condiciones mecanicas y termodinamicas existentes durante la erupcion. b) Las particulas son agrupadas, con ayuda de la SFT, en subpoblaciones que comparten, por medio de un valor definido de dispersion [gamma] < 0, una dimension fractal especifica D = -3[gamma], que podemos asociar a la existente durante el proceso de fragmentacion. c) La propuesta de la nueva dimension fractal [D.sub.1] = 3(1+[gamma]), para [gamma] > 0, asociada a procesos de coalescencia de vesiculas permite la definicion de un modelo fractal que sistematiza ambos casos al proponer un coeficiente de rugosidad o de Hurst, H = 1 - [valor absoluto de [gamma]].

Justificacion del cambio de la dimension topologica d a la dimension fractal

El modelo de Balankin incluye tanto el coeficiente de Hurst como la dimension topologica d del problema elastico, igual a 2 si analizamos un problema superficial, y a 3 si es volumetrico, algo que se considera puede verse desde otra optica. Empezamos considerando a una fractura como una distorsion local de un arreglo ordenado de particulas, con su propia simetria, como es el caso de los cristales. La simetria particular resultante sera producto de la auto-organizacion de las particulas causado por fuerzas moleculares no isotropicas, y por consideraciones energeticas, que se vuelven evidentes al tratar con un numero relativamente grande de particulas. De hecho, estas ideas subyacen a la propuesta de Griffith (Swedlow, 1965) al analizar una fractura como un proceso de equilibrio cuasiestacionario. Por lo tanto, se propone que la dimension d del modelo de Balankin debiera ser la dimension fractal de la fractura misma, porque la fractura es un proceso auto-organizado en que la dimension y su entorno se afectan mutuamente. Este argumento es concordante con la propuesta de Lu et al. (2005), done una caida subita de la dimension fractal es un posible precursor de una falla catastrofica. De hecho, para ser congruentes, la fractura existira cuando las minifracturas se unan en una sola, y se fracture completamente la particula. Esto seria analogo al caso de una cadena de eslabones que se rompe por el eslabon mas debil, lo que explica la deduccion de la funcion de Weisbull, y lo correcto de usar el valor de [gamma], obtenido por SFT, en nuestro analisis.

El caso de la dimension [D.sub.1], requiere un analisis aparte por corresponder a una fragmentacion secundaria, es decir, al rompimiento de las vesiculas que quedan expuestas cuando se fragmenta el magma vesicular. O bien, al caso de coalescencia, cuando las vesiculas se unen por efecto del crecimiento de las vesiculas dentro de la particula. La dimension fractal [D.sub.1] incluye entonces efectos como el causado por la tension superficial del magma al unirse dos vesiculas y cambiar su presion interna (amplian su volumen sin cambiar la masa de los volatiles). Ademas incluye la energia involucrada por la compresibilidad del material, las variaciones en la forma del campo de esfuerzos en el extremo de la fractura, etc. Esta aproximacion al problema esta en linea con los trabajos de de Dreuzy et al. (2000) al redefinir el volumen excluido como el parametro para percolacion, que se mantiene invariante de escala hasta la percolacion total. La idea del volumen excluido consiste en considerar que el grado de traslape de las burbujas, de diversos tamanos, se puede tratar estadisticamente, y determinar asi la eficiencia con que esas burbujas pueden conectarse. Ademas, de Dreuzy et al. (2000) mostraron que usando distribuciones de ley de potencias es posible variar el umbral de percolacion en un ambito mayor al esperado. En el Apendice se muestra como esta solucion es compatible con una redefinicion del factor de intensidad de esfuerzos Kf sin que pierda su caracter fractal.

La inclusion en el mismo exponente a, tanto de la dimension fractal d como del coeficiente de rugosidad, puede ponerse a prueba en las deducciones que se hagan, y en su concordancia con los resultados experimentales.

Modelo fractal completo

Las ideas desarrolladas lineas arriba pueden sistematizarse en el modelo que se presenta a continuacion. Para ayudar a su compresion, se hara uso del fractal de Cantor, muy utilizado en el proceso de fracturas (Fig. 1)

Se parte de la expresion para el exponente [alfa] = (dH - (d-1))/2H deducida por Balankin (1997). Los casos limite de d=3 ([alfa] = (3H - 2)/2H) y d=2 ([alfa] = (2H -1)/2H) pueden ser tambien deducidos por conservacion de la energia (ecuaciones 32 y 11, Yavari et al., 2002), para el caso especifico de regimen persistente.

Se propone que el paso de d=3 a d=2, no se lleva a cabo de manera discreta sino continua, y que debe usarse d = D = -3[gamma] para [gamma] < 0. Igualmente se propone que la expresion [alfa] = (dH - (d-1))/2H tambien vale para [gamma] [mayor que o igual a] 0, con el apropiado cambio de d = D = 3(1 + [gamma]), dado que la coalescencia de vesiculas se da via la fracturacion del material que las divide. La propuesta de que el exponente [alfa] depende de [gamma] es otra manera de decir que depende de la longitud de la fractura en todo momento, como se ha sospechado desde hace un tiempo. La ecuacion (3.28) de Wnuk & Yavari (2008) precisamente cuantifica como esa dependencia varia conforme la fractura crece. En otras palabras, la propuesta de volver d una funcion de [gamma] es una manera de incluir el efecto de "Mirror-Mist-Hackle".

[FIGURA 1 OMITIR]

De esta manera, el nivel inicial (en la figura 1 seria el de 64 fracturas) estaria definido por un conjunto de microfracturas muy pequenas, que permite iniciar con d=3 en el modelo de Balankin para a. Por coalescencia de fracturas se evolucionaria al siguiente nivel (con 32 fracturas), con una nueva dimension d = -3[[gamma].sub.1] < 3. Una nueva coalescencia llevara al siguiente nivel (16 fracturas) con d = -3[[gamma].sub.2] < -3[[gamma].sub.1], y asi sucesivamente hasta alcanzar la coalescencia total (en la que la particula se fractura en dos partes independientes) asociada a d = -3[[gamma].sub.final]. El valor de [[gamma].sub.final] sera el obtenido al aplicar SFT a las granulometrias.

Cada paso es energeticamente mas estable, lo que esta de acuerdo con la suposicion de que se va creando una zona de distorsion plastica que va liberando esfuerzos. Dado el caracter auto-afin de la fractura es razonable establecer que la relacion final de D = -3[gamma] es valida para los procesos previos, con un valor de [gamma] diferente para cada uno de ellos. Esta idea esta en linea con la observacion de Balankin (1996) de que existen, cerca del extremo de la factura, dos tipos diferentes de comportamiento: quebradizo y ductil, y con la observacion de que H < [H.sup.*] (definido en el original) corresponde a [D.sub.B] > [D.sup.*.sub.B], correspondiente a la dimension fractal. Aplicando H = 1 - [valor absoluto de [gamma]] y D = -3[gamma] encontramos que H < [H.sup.*] implica [gamma] < [[gamma].sup.*] que lleva a [D.sub.B] = -3[gamma] > -3[[gamma].sup.*] = [D.sup.*.sub.B]. Una deduccion equivalente puede hacerse a partir de Wohletz et al. (1983), pues para el regimen persistente, el valor de [gamma] aumenta conforme las particulas van disminuyendo de tamano debido a la fragmentacion. Asi, para [[fi].sub.2] > [[fi].sub.1] se tiene que [[gamma].sub.2] > [[gamma].sub.1], que implica [H.sub.1] < [H.sub.2] y por lo tanto [D.sub.2] < [D.sub.1] como se propuso.

Una deduccion similar puede establecerse para cuando el resultado final este dado por D = 3(1+ [[gamma].sub.final]) en el ambito [gamma] [mayor que o igual a] 0. Desde el punto de vista energetico, la sucesion de y para cada proceso lleva a niveles energeticamente mas estables, pues los volatiles atrapados en las vesiculas se irian liberando. En ambos casos el punto [gamma] = 0, correspondiente al caso de deformacion lineal, aparece como limite.

Por lo tanto, en un grafico de [alfa] vs [gamma], la curva de a para el ambito -1 [mayor que o igual a] [gamma] [mayor que o igual a] 0 (con D=-3[gamma]), y para el ambito [gamma][mayor que o igual a]0 (con D=3(1+[gamma])) juegan el mismo rol que las curvas que dividen dos fases diferentes (liquido y gas, por ejemplo), pues la variable [gamma] es continua. El valor especifico de [gamma] = [[gamma].sub.final] obtenido de SFT dependera de la distribucion inicial de fracturas.

Los resultados del calculo de los exponentes [alfa] y [beta], utilizando el valor de H = 1 - [valor absoluto de [gamma]], D = -3[gamma] y [D.sub.1] = 3(1 + [gamma]), se muestran sistematizados en los cuadros 1 y 2.

Por la definicion de a, esta debe ser positiva para que tenga sentido fisico, pues el esfuerzo debe tender a 0 para distancias apreciables a partir del extremo de la fractura. Los valores de [D.sub.0] y [H.sub.0] = (d-1)/d se calcularon con el [[gamma].sub.0] evaluado a partir de la condicion limite [alfa] = 0. Para cumplir la condicion de persistencia (H [mayor que o igual a] 1/2) se debe tener d [mayor que o igual a] 2. Similarmente, [beta] > 0 para que la fractura tenga sentido fisico. Notese que [beta] = 0 lleva a H = 1/2, por lo que [beta] > 0 implica persistencia (H > 1/2). Experimentalmente se ha encontrado que el esfuerzo [[sigma].sub.ij] puede aumentar a distancias pequenas (Balankin, 1996), para eventualmente tender a cero al aumentar la distancia.

ANALISIS

Analisis general

En el modelo propuesto en Brenes & Alvarado (2013), el ambito [gamma] [epsilon] (-1,1) se dividio en 2 casos especificos: uno de fractura (-1 < [gamma] [menor que o igual a] 0), y otro de coalescencia de vesiculas (0 [menor que o igual a] y < 1). Cada uno a su vez fue dividido segun si presentaba caracteristicas de antipersistencia (ambitos -1 < [gamma] [menor que o igual a] -0,5 y 0,5 [menor que o igual a] [gamma] < 1), y de persistencia (ambitos -0,5 [menor que o igual a] [gamma] < 0 y 0 [menor que o igual a] [gamma] [menor que o igual a] 0,5), basados en el coeficiente de Hurst. Balankin (1997), procede de manera similar al utilizar la relacion de ley de potencia r-a, con la condicion [alfa] [mayor que o igual a] 0. El ambito correspondiente a -0,5 [menor que o igual a] [gamma] < 0,5 lo asocia a fracturas en materiales quebradizos, y el resto a fracturas en un material ductil.

En el modelo fractal el ambito [gamma] [epsilon] (-1, -0,5) es asociado a un regimen antipersistente (0 [menor que o igual a] H < 0,5). Segun Wohletz (1989), corresponde a procesos magmaticos, en tanto que Balankin lo asocia a materiales ductiles, ambas posiciones concuerdan con las innumerables bombas piroclasticas deformadas que se observan en este tipo de actividades.

Para el ambito [gamma] [epsilon] (-0,5, 0,5), el modelo fractal lo asocia, debido al caracter persistente del fenomeno, a procesos hidrovolcanicos. Balankin (1997), por su parte, lo asocia al caracter quebradizo de los materiales involucrados.

El modelo fractal propone H = 1 - [valor absoluto de [gamma]], sin hacer distincion entre los mecanismos de fractura y coalescencia de vesiculas, pues las vesiculas coalescen cuando los extremos de las fracturas vecinas se unen. Balankin (1997) igualmente encuentra un exponente [alfa] = [Hd - (d - 1)]/ 2H que no distingue entre los posibles mecanismos de fractura.

Cambio de fase geometrico

Se deduce entonces que el pase de un regimen anti-persistente a uno persistente conlleva un cambio en las propiedades reologicas, justamente lo que Gaonac'h et al. (2007) proponen. Segun ellos, la vesicularidad vuelve el material mas susceptible a fragmentacion secundaria, volviendolo mas fragil, llevandolo a un cambio de fase geometrico. Esta apreciacion esta en concordancia con lo medular de la propuesta del modelo fractal: a) el parametro [gamma] propuesto por SFT tiene una base fisica, b) existe una sola relacion de H con [gamma]: H = 1 - [valor absoluto de [gamma]], c) la dimension fractal [D.sub.1] = 3(1 + [gamma]) resulta mayor que la dimension Euclideana debido a que el entero n (de relacion de Mandelbrot D + H = n + 1), vale 0 (geometricamente la dimension de un punto) para fracturas primarias, y 1 (una linea) para fracturas secundarias.

En el modelo fractal, la division natural entre la fragmentacion primaria y la fragmentacion secundaria lo constituye [gamma] = 0, que corresponde a H = 1, y que constituye segun Balankin al caso de una fractura ideal, en un regimen elastico. En el caso de la erupcion volcanica se interpreta de dos maneras diferentes: a) para el caso de [gamma] < 0, estariamos hablando del interface entre la particula y el vapor de agua, es decir, la superficie externa de la particula; b) para [gamma] > 0 estamos tratando de vesiculas muy cercanas a la superficie que van fragmentando pasivamente, como se encontro en el caso del Irazu con [gamma] [aproximadamente igual a] 0,01, que corresponden a magma efusivo (Brenes & Alvarado, 2013).

?Son el modelo de fractura fractal y el de Balankin compatibles?

La relacion del exponente [alfa] propuesta por Balankin tanto con D como con H, se obtuvo por argumentos fisicos aplicados al proceso microscopico de fragmentacion (nivel local del proceso). Las relaciones de D y H con la variable [gamma], para el caso de SFT, se derivaron a partir de principios generales (nivel global del proceso). Una prediccion confiable sobre como se comportara el material volcanico en el proceso de fractura debe partir de la premisa que los efectos macroscopicos estan predeterminados por procesos a nivel microscopico, y por la inter-relacion de procesos a nano-, micro- y macro-escalas. En la figura 2 se presenta evidencia experimental de 4 subpoblaciones con una [gamma] > 0 asociada a una fragmentacion secundaria originada en la subpoblacion de tamano inmediatamente mayor. Independientemente de las diferentes condiciones termodinamicas que les dieron origen, se obtiene la misma probabilidad del [aproximadamente igual a] 6 % de fragmentarse. El hecho de que se pueda definir un solo porcentaje respecto a la energia total esta en acuerdo con la hipotesis de que la disipacion de energia es proporcional a la superficie de los fragmentos. Tambien esta en acuerdo con la propuesta de Carpinteri et al. (2004) de que la friccion, mas que el dano interno, son la causa predominante de disipacion de energia. Por lo tanto, ?que tan razonables sean los resultados al substituir las relaciones de D y H de SFT en el [alfa] propuesto por Balankin (1997)?, se vuelve una prueba muy estricta de la coherencia total del modelo fractal propuesto.

[FIGURA 2 OMITIR]

Denominaremos [alfa]- al exponente [alfa] (para [gamma] [menor que o igual a] 0) calculado a partir de D= -3[gamma], y [[alfa].sup.+] al calculado (para [gamma] [mayor que o igual a] 0) a partir de D= 3(1 + [gamma]). No se hace esta distincion para el exponente p por depender exclusivamente del [valor absoluto de [gamma]]. En lo que sigue supondremos que el valor de [K.sub.f] es el mismo para todos los casos, y que las relaciones de [[sigma].sub.ij] valen para (r/ [l.sub.[omicron]]) > 1.

Para facilitar el analisis siguiente, en la figura 3 se muestran los graficos de [[alfa].sup.+], [[alfa].sup.-] y [beta] con respecto a la dispersion [gamma].

Caso de exsolucion

Aunque para [gamma] = 0 la curva de [alfa]- tiene el mismo valor de 0,5 que la de [[alfa].sup.+], no hay una solucion de continuidad, pues la primera tiene una pendiente de -1/2, en tanto la segunda de -1. Esto lo interpretamos como que se refieren a dos mecanismos diferentes, como se propone en el modelo fractal: fragmentacion primaria el primero, en tanto, que exsolucion por fragmentacion secundaria el segundo. La coincidencia de [[alfa].sup.+] y [beta] en el limite elastico [gamma] = 0 se interpreta como la posibilidad de que una fractura interna pueda ir creciendo en una forma afectada por el resto de la particula, y eventualmente fragmentar la particula. De esta manera, la factura interna afecta el tamano de la misma, y por lo tanto, el [gamma] < 0 asociado.

[FIGURA 3 OMITIR]

Para el ambito 0 < [gamma] < 0,5, se obtiene [[alfa].sup.+] < [beta] que implica [sigma]([[alfa].sup.+]) >> [sigma]([beta]) . El esfuerzo para el regimen [r.sup.-[alfa]] sera entonces el predominante para el ambito 0 < [gamma] [menor que o igual a] [[gamma].sub.max] = 0,263. Este valor maximo equivale a [D.sub.max] = 3(1 + [[gamma].sub.max]) = 3,79, muy cercano al valor de D maximo en que se pueda dar una exsolucion del 100%, en el caso monodisperso donde todas las vesiculas basicas tienen el mismo tamano (Kaminski & Jaupart, 1998). A pesar de la critica de Goanoc'h et al (2007), sobre lo apropiado que pueda ser el termino "dimension fractal", en el trabajo de Kaminsky & Jaupart (1998), proponen la relacion D = 3[B.sub.3f], donde [B.sub.3f] es el indice de fragmentacion en 3 dimensiones. En el presente caso, se ha calculado D = 3,79 lo que implica [B.sub.3f] = 1,263, que compara bastante bien con el valor experimental aproximado de 1,1 [+ o -] 0,1.

Vemos entonces que el modelo fractal aplicado al modelo de Balankin predice correctamente la existencia de un proceso de exsolucion.

Fragmentacion por colision

La curva de [alfa]- se continua con la de [beta] (para [gamma] [mayor que o igual a] 0) tanto en el valor de 0,5, como en la misma pendiente de -1/2 para [gamma] = 0, el limite elastico, lo que sugiere que las fracturas asociadas a [gamma] < 0 se deben al mecanismo [[sigma].sub.ij] = [K.sub.f] [(r/[l.sub.[omicron]]).sup.-[alfa]], que es valido para [l.sub.0] < r < [[xi].sub.C]. En tanto, para [gamma] > 0 el mecanismo predominante esta definido por [[sigma].sub.ij] = [K.sub.f] [(r/[l.sub.[omicron]]).sup.-[beta]] , valido para [[xi].sub.C] < r. En aquellos fragmentos de tamano mayor a [[xi].sub.C] pueden darse fracturas con [gamma] en el ambito (-0,5, +0,5), asociado a un regimen persistente, como lo predice el modelo fractal.

Para el ambito 0 < [gamma] < 0,5, se obtiene [alfa]+ < [beta] que implica [sigma]([alfa]+) [mucho mayor que] [sigma]([beta]) . Para el ambito 0,263 < [gamma] < 0,5 el unico mecanismo posible sera el asociado a [r.sup.-[beta]], lo que sugiere que valores de 0,263 < [gamma] solo pueden darse en fragmentos de diametro mayor a 1 cm. Por lo tanto, la union de SFT con Balankin predice la posibilidad de que fracturas internas eventualmente lleven a que la particula se fragmente de manera menos violenta, por colisiones

Caso freatomagmatico

Para el ambito -0,5< [gamma] < 0 se encuentra que [alfa]- >[beta] lo que implica [sigma]([alfa]-) << [sigma]([beta]), o sea, el esfuerzo asociado al mecanismo [r.sup.-[alfa]] es menor que el esfuerzo asociado al mecanismo [r.sup.-[beta]], que seria el dominante. En este regimen persistente, a partir de [alfa] [mayor que o igual a] 0 se deduce un ambito de [gamma] de ([[gamma].sub.min] = -0,577, 0), que concuerda muy bien con los limites experimentales reportados por Wohletz et al. (1989) para el caso freatomagmatico: (-0,53,0), obtenidos a partir de SFT aplicado a granulometrias de diversos volcanes. Es importante indicar que se tiene [gamma]min < -0,53 ; lo que confirma su caracter de limite minimo. Sin embargo, fragmentos de tamano menor a [aproximadamente igual a] 1 cm ([[xi].sub.C]) solo pueden mostrar fracturas asociadas a [r.sup.-[alfa]], y serian las unicas que mostrarian -0,577 < [gamma] < -0,5.

El caso en que los coeficientes [K.sub.f] asociados a los exponentes [alfa] y [beta] sean diferentes es visto en el apendice.

Comprobacion con la erupcion de 1723 del Irazu

La erupcion de ano 1723 del volcan Irazu (Cartago, Costa Rica) fue estudiada en detalle por Alvarado & Schminke (2013), Brenes & Alvarado (2013), y Brenes (2013).

La propuesta de SFT (Wohletz et al., 1989) muestra que conforme variamos [gamma] de -1 a -0,5, las curvas de dM/d[fi] versus [fi], para valores de [gamma] crecientes, llevan hacia tefras mas finas, al punto de que para [gamma] = -0,5 se asocia un modo de [fi] = 9, equivalente a 2 X [10.sup.-6] m, el limite inferior para que [alfa] sea valido. Esta puede ser la causa por la que las explosiones estrombolianas no muestran un [gamma] > -0,5.

La erupcion de 1723 del Irazu muestra dos instancias en que [gamma] < [[gamma].sub.max], asociados a diametros de fragmento menores al limite de [10.sup.-3] - [10.sup.-2] m indicado por Balankin (1997), y otro con [gamma] [aproximadamente igual a] 0,5 [mucho mayor que] [[gamma].sub.max], pero para particulas de mayor tamano, volviendose un ejemplo de que es necesario indicar el tamano de la muestra cuando se analizan fracturas, como lo propone Balankin (Cuadro 3).

Otra prueba experimental de lo apropiado que es este modelo se obtiene al graficar el coeficiente de Hurst de todas las subpoblaciones de 1723 contra el modo (Fig. 4). Como el coeficiente a depende de la dimension fractal D, hay dos posibles expresiones: D= -3[gamma], asociada a fracturas superficiales con [gamma] [mayor que o igual a] -0,577 (H- [mayor que o igual a] 0,423, D [menor que o igual a] 1,732) y D= 3(1+[gamma]), asociada a coalescencia de vesiculas con [gamma] [menor que o igual a] 0,263 ([H+ [mayor que o igual a] 0,737, D [menor que o igual a] 3,789)

En el grafico se pueden establecer zonas muy bien definidas:

a) un grupo de puntos con [H.sup.+] [aproximadamente igual a] 1, sin ninguna relacion con el modo, todos relacionados con coalescencia. Estos puntos se pueden asociar a un magma efusivo, segun Karpinski & Jaupart (1999), y a que el magma en estado fluido puede romperse en fragmentos de tamano variable, que rapidamente se solidifican. Los valores de [H.sup.+] para [fi] [aproximadamente igual a] -6, como se indico en Brenes & Alvarado (2013), son sospechosos por estar muy cerca del limite superior de las muestras;

b) dos zonas limitadas por [fi] [aproximadamente igual a] 0, que es el tamano maximo en que el exponente [alfa] de Balankin es valido ([10.sup.-3] m), mas alla del cual solo el exponente [beta] de Balankin es valido. Este limite lo habia tambien propuesto Wohletz et al (1983) como el que divide la fragmentacion magmatica de la hidrovolcanica.

c) La zona [fi] < 0, correspondiente a aquella en que solo el exponente [beta] es valido, en la que la mayoria de los [H.sup.-] son menores a 0,5, por lo que se deben asociar a un regimen magmatico (en nuestro caso estromboliano) anti-persistente, y en la que los [fi] cubren el ambito de 0 a -6.

d) La zona [fi] > 0, en la que tanto el coeficiente [beta] como el coeficiente [alfa] tienen validez. La mayoria de los puntos cumplen con [H.sup.-] < 0,4, son asociados a un regimen anti-persistente (estromboliano en nuestro caso), y sus correspondientes valores de [fi] cubren el ambito 0 a 5. Por el contrario, solo hay un punto ([fi] = 2,2 ; d = 0,2 mm) con practicamente limite minimo para persistencia ([H.sup.-] = 0,423), correspondiente a la subpoblacion 2 de Ira1/20, y otro ([fi] = 0,2 ; d) con el limite minimo de [H.sup.+] = 0,737. Se observan tambien dos puntos con un [H.sup.-] [aproximadamente igual a] 0,7 para [fi] [aproximadamente igual a] 0 que sugieren un proceso de coalescencia muy cercano a la superficie que no permite al SFT distinguir entre ambos.

EXPONENTES UNIVERSALES

Al analizar fractalmente las fracturas en forma experimental en rocas y otros materiales, repetidamente se han encontrado dos dimensiones fractales con valores de [aproximadamente igual a] 0,5 y [aproximadamente igual a] 0,8, lo que ha generado conjeturas sobre si son valores universales, esto es, que no dependen del material. Nukala et al. (2006) contiene una serie de referencias sobre experiencias en ceramica, roca, vidrio y metal con dimensiones fractales cercanas a 0,8 que sugieren su caracter universal. Modelajes computacionales, como los de Hansen & Schmittbuhl (2003), han buscado dar una explicacion a esa independencia del material usando analogias. En los parrafos siguientes presentamos una manera simple, basada en la union de SFT y Balankin aqui propuesta, de deducir ambos valores a partir de principios generales.

[FIGURA 4 OMITIR]

En Ponson (2006), se reporta un valor de 0,76 [+ o -] 0,03 independiente de material y de velocidad de crecimiento en un rango que varia de ultra-lento (picometros por segundo) hasta rapido (metros por segundo), que se asocia a una ruptura transgranular. Tambien indica que para arenisca porosa (3% a 26%) obtiene un coeficiente de rugosidad de 0,40 [+ o -] 0,03, perpendicularmente a la direccion de crecimiento de la fractura, que asocia a crecimiento intragranular. Advierte, sin embargo, que el modo de fractura en ceramica vidriosa (glass ceramics) con baja porosidad es transgranular, en tanto, que con alta porosidad es intergranular, sin afectar el valor del coeficiente de rugosidad.

Por su parte, Bouchaud et al. (2002) proponen un mecanismo diferente de fragmentacion y comentan otras 4 posibles explicaciones. No obstante, en ningun momento ponen en duda la existencia de los 2 valores: [aproximadamente igual a] 0,5 y [aproximadamente igual a] 0,8. Voss (1985) indica que el valor de H [aproximadamente igual a] 0,8 es una buena escogencia para muchos fenomenos naturales.

Yavari et al. (2002), en su estudio sobre las fracturas auto-afines, indica claramente que para ese caso, las singularidades aparecen por incluir condiciones de orden local, y llama la atencion que para H [mayor que o igual a] 1/2 en la mayoria de los materiales utilizados en la ingenieria se encuentra valores de H [aproximadamente igual a] 0,7.

Los valores de [H.sub.0] (Cuadro 1) se acercan a [H.sub.2] [aproximadamente igual a] 0,45, asociado a fracturas lentas, y a [H.sub.1] [aproximadamente igual a] 0,84 asociado a fracturas rapidas (Balankin, 1997). Esta ultima asociacion es razonable pues corresponderia a la coalescencia de vesiculas por la interaccion de los campos de esfuerzos de los extremos de dos fracturas vecinas, que facilita la union.

Por lo anterior proponemos que los valores de H mencionados en la literatura corresponden a los [H.sub.0] obtenidos de [alfa] = 0, asociados a la extincion de los esfuerzos de fractura.

?Por que solo dos valores?

Los argumentos presentados justifican la existencia de dos valores de [gamma], como casos limites asociados a la extincion de esfuerzos, que son ambos corroborados con medidas en fracturas en rocas. Sin embargo, experimentalmente la metodologia SFT da como resultado un amplio ambito de dispersiones [gamma]. Surge entonces la interrogante de como ese amplio ambito tiende a solo dos valores universales. Si bien los [gamma] del SFT estan relacionados con el tamano final, no podemos dejar de lado que ese tamano fue producto de fracturas que eventualmente dejaron de existir al convertirse en parte de la superficie exterior de las particulas. Tales fracturas fueron producto, como ya se menciono, de esfuerzos causados por la rapida descompresion de los fragmentos al ascender el magma, en los que el Modo I eventualmente se vuelve el predominante. Un buen analisis de este proceso se encuentra en Fowler et al. (2009). Se propone, por lo tanto, que los valores de [gamma], correspondientes a [alfa] = 0, son los que persisten ya que en los fragmentos aun calientes, las fracturas continuan creciendo hasta que el esfuerzo en sus extremos se anula. (Kaminsky & Jaupart, 1987; Giachetti et al., 2010). Como resultado, los valores de [gamma] se acercan a [[gamma].sub.min] para el caso de fracturas superficiales, y a [[gamma].sub.max] para fragmentaciones secundarias. En resumen, los datos obtenidos por SFT concuerdan completamente con las obtenidas a partir de la propuesta de Balankin.

COMPROBACION POR RENORMALIZACION

La propuesta aqui presentada puede comprobarse en su totalidad con la ayuda de la teoria de renormalizacion.

Consideremos un cubo de arista h al que cada lado se divide por la mitad, obteniendose asi 8 cubos de arista (h/2). Se denominara p = [p.sub.f] la probabilidad de que un cubo sea dividido en 8 cubos mas pequenos. Es posible demostrar que el proceso tiene una dimension fractal D = 3 log 8[p.sub.f]/log 8, (Turcotte, 1986), Por renormalizacion se puede mostrar que la D es independiente de la manera en que se fragmenta el cubo. Dado el caracter fractal del proceso de fractura es razonable igualar D = -3[gamma][[gamma].sub.f], obtenida de SFT, a la dimension fractal D obtenida a partir de la division del cubo, obteniendose [[gamma].sub.f] = -log 8[p.sub.f]/log 8.

Consideraremos la coalescencia como un proceso de fragmentacion que se desarrolla hacia atras en el tiempo, y como los razonamientos que llevan a la relacion [gamma] = log 8p /log 8 son aun aplicables, usaremos p = [p.sub.C] y 1/8 en lugar de 8, pues ahora en lugar de la transicion h [flecha diestra] h/2 tendremos h [flecha diestra] 2h. Por lo tanto [gamma]1 = log ([p.sub.C]/8)/log (1/8) = 1 - log [p.sub.C]/log8. Del modelo fractal [[gamma].sub.1] = 1 + [[gamma].sup.+], donde [[gamma].sup.+] > 0 es el valor obtenido de SFT, se deduce [[gamma].sup.+] = - log [p.sub.C]/log 8.

Para el modo de fragmentacion la persistencia se asocia con 0,35 [mayor que o igual a] p [mayor que o igual a] 0,125, lo que sugiere la necesidad de un agente externo para que se de el proceso. La anti persistencia, por su parte, cubre el ambito mayor de 1 [mayor que o igual a] p [mayor que o igual a] 0,35 sugerente de que la fragmentacion es posible por si misma, como sucede con las erupciones estrombolianas. Al acercase [gamma] a -1 la probabilidad se acerca a 1, o sea es explosiva tal y como lo propone SFT. Una mas reciente sugerencia en esa misma direccion se encuentra en Cimarelli et al. (2012).

Para el caso de coalescencia, valores de [gamma] = 0,01 a 0,02 encontrados en el Irazu, y que se asocian a procesos efusivos (piscinas de lava, sensu Brenes, 2013), corresponden a una probabilidad igual a 1. En este modo la situacion es lo opuesto: el mayor ambito de 1 [mayor que o igual a] p [mayor que o igual a] 0,35 requiere de un agente externo, al estar asociado a persistencia, coherente con su asociacion a una exsolucion. De la figura 4 puede obtenerse mayor informacion con ayuda de Hernandez (2003).

Analisis de fragmentacion secundaria

En Brenes & Alvarado (2013) se mostro que la coalescencia de vesiculas podia ser analizada a partir de una nueva dimension fractal [D.sub.1] = 3(1 + [[gamma].sup.+]) en linea con la dimension D = 3 + C propuesta por Kaminsky & Jaupart. (1986), quienes proponen que la fragmentacion de magma vesiculado deja expuestas vesiculas que eventualmente terminan rompiendose. Es de esperarse entonces, que el tamano de las particulas que exsolven sea menor que el de la particula madre.

Prueba critica

La prueba critica de la union de SFT con el modelo de Balankin, desarrollada en este trabajo, consiste en comprobar si la relacion [p.sub.C] = 1 - [p.sub.f] se cumple a partir de valores experimentales de [gamma] obtenidos de las granulometrias de la erupcion de 1723. La escogencia de esta igualdad de probabilidades se hizo siguiendo el esquema siguiente: si el cubo original contiene masa (columna Hay) y al medio entra una "pared" de vacio el cubo se fragmento (con una probabilidad [P.sub.f]); si el cubo original esta vacio (columna Hay) y al medio hay una pared de material y se le saca (columna Sale) las dos vesiculas sufrieron coalescencia con una probabilidad [P.sub.C]. Los otros dos casos, por ser opuestos, tienen, respectivamente, probabilidades de 1- [P.sub.f] y 1 - [P.sub.C] respectivamente. Por ultimo, como el fenomeno involucra a los dos materiales simultaneamente, consideramos que [P.sub.C] = 1 - [P.sub.f]. En otras palabras, la probabilidad de que se pueda tener una coalescencia completa ([P.sub.C]) es igual a la probabilidad de que la particula no se fragmente en el proceso (1 - [P.sub.f]) (Cuadro 4).

En la cuadro 5 se presentan la fraccion calculada por SFT de esa sub-poblacion, el respectivo valor de [[gamma].sup.-], la probabilidad de fragmentacion calculada a partir de [[gamma].sup.-], la [[gamma].sup.+] observada, la [P.sub.C] calculada a partir de la [[gamma].sup.+] observada, y su fraccion respectiva (Fig. 5). Se observa que para los 4 casos de [[gamma].sup.+] < 0,5 (todos en regimen persistente) los valores calculados son cercanos a los observados, y que la particula original es siempre de tamano mayor que la que exsolve.

CONCLUSIONES

La SFT fue desarrollada por Wohletz et al. (1989) sin considerar explicitamente un mecanismo de fractura especifico, por lo que incluye solo efectos globales, a nivel macroscopico. La SFT fue ampliada en Brenes (2013) recurriendo al coeficiente de rugosidad o de Hurst, calculado a partir de la relacion de Mandelbrot, a partir de un modelo de dos fases: una fragmentacion primaria y una secundaria, incluyendo asi la exsolucion como un fenomeno mas a ser tratado por la SFT. Los valores de fragmentacion obtenidos por SFT son analizados por medio del coeficiente de Hurst, hallandose que se pueden proponer dos fases en una erupcion: la persistente, y la anti-persistente, a las que puede asociarse una relacion lineal entre el coeficiente de fragmentacion y la moda

En el presente trabajo, la SFT ha sido ampliada para incluir el modelo de fragmentacion propuesto por Balankin, lo que permite derivar de consideraciones totalmente geometricas el valor limite de [gamma] = -0,57 que experimentalmente divide los procesos estrombolianos de los freatomagmaticos. Igualmente se ha deducido el valor de D = 3,79 propuesto por Kaminsky & Jaupart (1999) como aquel en que se da el 100% de exsolucion, obtenida a partir de un modelo particular. Se muestra de esta manera presenta una explicacion de por que ambos valores, H = 0,76 [+ o -] 0,03 y H = 0,40 [+ o -] 0,03 son universales.

La teoria de re-normalizacion se uso como base para deducir una relacion lineal entre dos probabilidades que se constituye en una prueba critica de todo el modelo propuesto, lo que se comprueba correctamente para 4 casos de fragmentacion fragmentaria y el par de valores universales. Se demuestra de esta manera que el parametro y es mas general de lo esperado.

[FIGURA 5 OMITIR]

AGRADECIMIENTOS

Agradecemos al Dr. A. Balankin quien encontro este trabajo "muy interesante" y aconsejo su publicacion, al Dr Guillermo Alvarado por un muy completo trabajo de edicion. Igualmente se agradece a los dos arbitros anonimos quienes dedicaron tiempo para revisarlo.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

BALANKIN, A., 1996: Mechanics of self-affine cracks: the concept of equivalent traction, path integrals and energy release rate.--Rev. Mexicana de Fisica, 42(2): 161-171.

BALANKIN, A., 1997: Physics of fracture and mechanics of self-affine cracks.--Eng. Frac. Mech. 57: 135-203.

BOUCHAUD, E., BOUCHAUD, J.P., FISHER, D. S., RAMANATHAN, S. & RICE, J.R., 2008: Can crack front waves explain the roughness of cracks ?.--J. Mech. Phys. Sol. 50:1703-1725

BRENES, J., 2013: Aplicacion de la teoria de fragmentacion/transporte secuencial a los depositos de las erupciones 1723 y 1963-65 del Irazu, Costa Rica. Caso dispersion negativa.--Rev. Geol. Amer. Central, 48: 63-85.

BRENES, J., & ALVARADO, G., 2013: Aplicacion de la teoria de fragmentacion/transporte secuencial a los depositos de las erupciones 1723 y 1963-65 del Irazu, Costa Rica. Caso dispersion positive y modelo fractal.--Rev. Geol. Amer. Central, 48: 87-98.

BROWN, W.K., 1989: A theory of sequential fragmentation and its astronomical applications.--J. Astrophys. Astr. 10: 89-112.

CAMPOS, I., BALANKIN, A., BAUTISTA, O. & RAMIREZ, G., 2005: Self-affine cracks in a brittle porous material.--Theor. App. Frac. Mech. 44: 187-191.

CAREY, R.J., HOUGHTON B.F. & THORDARSON, T., 2009: Abrupt shifts between wet and dry phases of the 1875 eruption of Askja Volcano: Microscopic evidence for macroscopic dynamics.--J. Volcan. Geother. R. 184: 256-270.

CARPINTERI, A., LACIDOGNA, G. & PUGNO, N., 2004: Scaling of energy dissipation in crushing and fragmentation: a fractal and statistical analysis based on particle size distribution.--Int. J. Fracture, 129: 131-139.

CIMARELLI, C., DI TRAGLIA, F., VONA, A. & TADDEUCCI, J., 2012: Tephra architecture, pyroclast texture and magma rheology of mafic, ash-dominated eruptions: the violent strombolian phase of the Pleistocene Croscat (NE Spain) eruption.--Geophys. R. Abs. Vol. 14, EGU2012-3205, 2012

DE DREUZY, J. R., DAVY, P. & BOUR, O., 2000: Percolation parameter and percolation-threshold estimates for three-dimensional random ellipses with widely scattered distributions of eccentricity and size.--Phys. Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat. Interdiscip. Topics Nov;62 (5 Pt A): 5948-52.

ESCARTIN, J., HIRTH, G. & EVANS, B., 1997: Non dilatants brittle deformation of serpentinites: Implications for MohrCoulomb theory and the strength of fault.J. Geophys. Res. 102(B2): 2897-213.

FIEDLER, A., FROHLICH, G., MULLER, G., BENZ, R., BURGER, M., SCHWALBE, W., & UNGER, H., 1980: Theoretische und experimentelle Untersuchungen zur Dampfexplosion. IKE 2 BMFT RS 206, 72.

FOWLER, A. C., SCHEU, B., LEE, W. T. & MCGUINNESS, M.J., 2009: A theoretical model of the explosive fragmentation of vesicular magma.--Royal Society A: Mathematical, Physical Engineering Sc. 466, 2115, 731

GAONAC'H, H., LOVEJOY, S., CARRIERNUNES, M., SCHERTZER, D. & LEPINE, F., 2007: Percolating magmas in three dimensions.--Nonlin. Processes Geophys. 14: 743-755.

GIACHETTI, T., DRUITT, T.H., BURGISSER, A., ARBARET, L. & GALVEN, C., 2010: Bubble nucleation, growth and coalescence during the 1997 vulcanian explosions of Soufriere Hills Volcano, Montserrat.--J. Geother. Volcan. Res. 193: 215-231.

HANSEN, A. & SCHMITTBUHL, J., 2003: Origin of the universal roughness exponent of brittle fracture surfaces: stress-weighted percolation in the damage zone.--Phys. Rev. Lett. 90: 045504-1-045504-4

HERNANDEZ, G., 2003: Two-dimensional model for binary fragmentation process with random system of forces, random stopping and material resistance.--Physica, A 323:1-8.

KAMINSKI, E. & JAUPART, C., 1997: Expansion and quenching of vesicular magma fragments in plinian eruptions.--J. Geophys. Res. 102: 12,187-12,203.

KAMINSKI, E. & JAUPART, C., 1998: The size distribution of pyroclasts and the fragmentation sequence in explosive volcanic eruptions.- J. Geophys. Res. 103: 29,759-29,779.

LU, C; MAI; Y.-W., & XIE, H., 2005. A sudden drop of fractal dimension: a likely precursor of catastrophic failure in disordered media.--Phil Mag Lett 85(1): 33-40.

NUKALA, P.K.V.V., SIMUNOVTC, S. & MILLS, R. T., 2006: Statistical physics of fracture: scientific discovery through high-performance computing.--J. Phys.: Conference Series, 46: 278-291.

PONSON, L. 2007: Crack propagation in disordered materials How to decipher fracture surfaces.--Ann. Phys. Fr. 32: 1-120

SWEDLOW, J. 1965. On Griffith's theory of fracture.--Int. J. Fracture Mechanics, 1(3): 210-216.

TURCOTTE, D.L., 1986: Fractals and fragmentation.--J. Geophys. Res. 91: 1921-1926.

VELDE, B., MOORE, D., BADRI, A. & LEDESERT, B., 1993: Fractal analysis of fractures during brittle to ductile changes.--J. Geophys. Res. 98(B7): 113-121.

VOSS, R.F., 1985: Random fractals: characterization and measurement.--En: PUNN, R. & SKJELTORP, A. (eds): Scaling phenomena in disordered systems, Plenum, N.Y., 1-11.

WNUK, M. & YAVARI, A., 2008: Discrete fractal fracture mechanics.--Eng. fract. Mech. 75(5): 1127: 1142.

WOHLETZ, K. H., 1983: Mechanisms of hydrovolcanic pyro-clast formation: grain size, scanning electron micros-copy, and experimental results.--J. Volcan. Geotherm. Res. 17, 31-63.

WOHLETZ, K.H., 1986, Explosive magma-water interactions: Thermodynamics, explosion mechanisms, and field studies.--Bull. Volcanol. 48: 245-264.

WOHLETZ, K.H., SHERIDAN, M.F. & BROWN, K., 1989: Particle size distribution and the sequential fragmentation/ transport theory applied to volcanic ash.--J. Geophys. Res. 94: 15,703-15,721.

YAVARI, A., HOCKETT, K. & SARKANI, S., 2000: The fourth mode of fracture in fractal fracture mechanics.--Int. J. Fracture, 101: 365-384, 2000.

YAVARI, A, SARKANI, S. & MOYER, E.T., 2002: The mechanics of self-similar and self-affine fractal cracks.--Int. J. Fracture, 114: 1-27.

ZIMANOWSKI, B., BUTTNER, R., LORENZ, V., & HAFELE, H.G., 1997: Fragmentation of basaltic melt in the course of explosion volcanism,--J. Geophys. Res. 102: 803-814.

ZIMANOWSKI, B., 1998: Phreatomagmatic explosions.--En: FREUNDT, A. & ROSI, M. (eds): From magma to tephra: modeling physical processes of explosive volcanic eruptions.--Elsevier, Amsterdam, 25-53.

APENDICE

Como se ha indicado, el ambito -0,5 [menor que o igual a] [gamma] [menor que o igual a] 0, al igual que 0 [menor que o igual a] [gamma] [menor que o igual a] 0,5, es persistente, El valor de H es el mismo para un valor de [gamma] determinado en esos ambitos, sin importar el signo, y los exponentes [alfa] y [beta] tienden al mismo valor de 0,5 (propio de la teoria elastica continua) cuando [gamma] [flecha diestra] 0 para ambos casos: D, y [D.sub.1], lo que crea una cierta simetria alrededor del eje [gamma] = 0. Por lo tanto, para un [gamma] tal que [gamma] = [delta] para [gamma] > 0, y -[gamma] = [delta] para [gamma] < 0, podemos escribir

[[alfa].sub.1] = [[HD.sub.1] - ([D.sub.1] - 1)]/2H = [HD - (D - 1)]/2H + 3[delta](H - 1)/2H = [alfa] - 3[(1 - H).sup.2]/2H = [alfa] - [DELTA]

donde 0 [menor que o igual a] [DELTA] [menor que o igual a] 0,75, pues 0,5 [menor que o igual a] H [menor que o igual a] 1. Para el caso limite H = 1 se obtiene [alfa]1 = [alfa] como debiera pues estamos ante una fractura ideal. Recordando que [[sigma].sub.ij] = [K.sub.f] [(r/[l.sub.[omicron]]).sup.-[alfa]] y [[sigma].sup.1.sub.ij] = [K.sup.1.sub.f] [(r/[l.sub.[omicron]]).sup.-[alfa].sub.1] se obtiene [[sigma].sup.1.sub.ij] = [[K.sup.1.sub.f]/[K.sub.f]] [[r/[l.sub.[omicron]]].sup.[DELTA]] [[sigma].sub.ij]. El coeficiente [[r/[l.sub.[omicron]]].sup.[DELTA]] vale para r [menor que o igual a] [l.sub.[omicron]]. Por ende, la definicion de [D.sub.1] permite mantener el caracter fractal del tensor de esfuerzos [[sigma].sub.ij] tanto en una fractura superficial, como en el caso de vesiculas, y ambas estan relacionadas entre si como se espera pues el material es el mismo, y solo han cambiado las condiciones en que se dan las fracturas.

Por su parte, el exponente [beta] = (2H - 1)/2H aplica a dimensiones mayores a [l.sub.[omicron]], lo que puede explicar el por que es el mismo para [gamma] positivo y negativo, tal como es el caso para A. Este tipo de situaciones, denominada cross-over, en que el exponente fractal cambia de valor al cambiar la escala en que es medido no es excepcional a este caso. Aqui estariamos refiriendonos al material mas alejado del extremo de la fractura, que no esta muy disturbado por una sola fractura, pero si es afectado por el campo de esfuerzos promedio de varias de ellas, reflejado en el H.

Jose Brenes-Andre

Red Ciudadana de Estaciones Meteorologicas. Apdo.290-3015 San Rafael de Heredia Jbrenes54@gmail.com

(Recibido: 20/08/2013; aceptado: 22/01/2014)
Cuadro 1

Calculo del exponente [alfa] propuesto por Balankin (1996)
utilizando el valor de [gamma] de SFT.

[gamma]          D               H

Negativa     -3[gamma]      1 + [gamma]
Positiva   3(1 + [gamma])   1 - [gamma]

[gamma]                            A

Negativa         [1 - 3[[gamma].sup.2]]/2(1 + [gamma])
Positiva   [1 - 3[gamma] - 3[[gamma].sup.2]]/2(1 - [gamma])


[gamma]    [[gamma].sub.0]   [D.sub.0]   [H.sub.0]

Negativa       -0,577          1,732       0,423
Positiva        0,263          3,791       0,737

Cuadro 2

Calculo del exponente [beta] propuesto por Balankin (1996)
utilizando el valor de [gamma] de SFT.

[gamma]          D               H

Negativa     -3[gamma]      1 + [gamma]
Positiva   3(1 + [gamma])   1 - [gamma]

[gamma]                [beta]               [gamma]0   D0    H0

Negativa   [1 + 2[gamma]]/2(1 + [gamma])      -0,5     1,5   0,5
Positiva    [1 - 2[gamma]]/2(1--[gamma])      0,5      4,5   0,5

Cuadro 3

Discriminacion por tamano de la aplicacion de los exponentes [alfa]
y [beta] segun lo propone Balankin.

                  Diametro
Muestra    Phi      (mm)     [gamma]

Ira1/2    -1,76      3        0,25
Ira1/4    0,20      0,5       0,23
Ira1/4    -3,27      10       0,49

Cuadro 4

Probabilidad de coalescencia

Prob   Sale     Hay    Entra    Prob

1-Pf   Vacio   Masa    Vacio     Pf
Pc     Masa    Vacio   Masa    1 - Pc

Cuadro 5

Calculo de las probabilidades de fragmentacion Pf y de coalescencia
Pc deducidas de la re-normalizacion.

Muestra   Fraccion   [[gamma].sup.-]    Pf

Ira1/2      0,54          -0,52        0,369
Ira1/4      0,71          -0,81        0,674
Ira1/4      0,21          -0,70        0,536
Ira1/12     0,72          -0,93        0,865
Valor                    -0,577        0,415

Muestra   [[gamma].sup.+]    Pc     Fraccion

Ira1/2         0,25         0,595     0,04
Ira1/4         0,49         0,361     0,06
Ira1/4         0,23         0,620     0,01
Ira1/12        0,93         0,145     0,03
Valor          0,263        0,579
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Title Annotation:Balankin, Alexander
Author:Brenes-Andre, Jose
Publication:Revista Geologica de America Central
Date:Jun 1, 2014
Words:9398
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