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Aplicacion de la metodologia GARCH al precio de cierre en la Bolsa de Valores de Lima.

APPLICATION OF GARCH METHODOLOGY TO THE CLOSING PRICE ON THE LIMA STOCK EXCHANGE

I. SITUACION PROBLEMATICA

En economia se habla de sucesos condicionados o de generacion de expectativas a partir de los movimientos relativos que se han producido en el pasado. Lo usual es relacionar lo anterior, con las fuertes ondas en la evolucion de las variables que, despues de un gran sobresalto que dura mas o menos dias, tienden a retomar una senda de evolucion tranquila.

En la teoria clasica de series temporales, el desarrollo estadistico se realiza a partir de un proceso estocastico estacionario; es decir de un proceso con: media constante, varianza constante y correlacion entre dos observaciones distintas igual a la de otras dos cualquiera separadas por la misma distancia o mismo numero de periodos (Anderson, 1999).

II. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACION

Engle (1982) es el autor de una primera aproximacion a la va-rianza condicional. Despues de esto hay una amplia familia de sofisticaciones del modelo inicial que tienen nombres de modelos GARCH, IGARCH, EARCH, TARCH, SWARCH, QS-ARCH, APARCH, FACTOR-ARCH.

El aspecto volatil esta ligado con la medida del riesgo y los premios que busca un inversionista para los riesgos en sus activos. La modelacion de pronosticos volatiles es en otras palabras la estructura de la covarianza del retorno de un activo.

El hecho que la volatilidad en los retornos fluctua a lo largo del tiempo, es una realidad desde hace mucho tiempo. Originalmente pertenecio al estudio de distribuciones leptocurticas. Estos retornos han sido investigados por una serie de economistas en forma independiente.

En los trabajos de Mandelbrot (1963) y Mandelbrot y Taylor (1967) se aplico la teoria de Pareto con la finalidad de caracterizar estas distribuciones de retorno. Rachev y Mittnik (2000) discuten estas distribuciones y su uso en la economia y las finanzas.

Las observaciones de serie de tiempos han sido modeladas usando la metodologia ARCH. El presente trabajo realiza su generalizacion usando GARCH.

III. VOLATILIDAD

La volatilidad es una medida de la velocidad del mercado, que tan rapido se ajustan los precios de los activos financieros ante determinados hechos. Los mercados que se mueven despacio son mercados denominados de baja volatilidad, los mercados que se mueven rapidos son mercados denominados de alta volatilidad (Hamilton, 1994).

Muchos estudios realizados con referencia a los retornos de los activos, han mostrado evidencia de presencia de una volatilidad no constante en el tiempo. Al estudiar la relacion dinamica entre las volatilidades de los rendimientos de los titulos se debe tener en cuenta la volatilidad y la covarian-za asimetrica. El comportamiento asimetrico de la volatilidad hace referencia a la evidencia empirica segun la cual un shock negativo sobre los rendimientos (caida inesperada del precio) conlleva a un aumento de la volatilidad mayor que un shock positivo sobre los rendimientos (aumento inesperado del precio) de la misma magnitud.

Cuando se refiere a volatilidad es importante distinguir entre dos formas de volatilidad: la volatilidad homocedastica y la volatilidad heterocedastica.La volatilidad homocedastica se refiere a la volatilidad que seria calculada como parametro de una funcion de distribucion de los rendimientos de un activo en el que se parte de la hipotesis de que la varianza de estos rendimientos no depende del tiempo sino que se mantiene constante.Por otro lado, la volatilidad heterocedastica se calcula tomando como punto de partida la hipotesis de desviacion tipica no constante en el tiempo, es un parametro modelado por si mismo (Nelson, 1991).

Es frecuente que en economia se hable de sucesos que esten condicionados con movimientos que se produjeron en el pasado, de manera especial en los mercados financieros con la estabilidad o inestabilidad de los mismos. Entonces es logico definir a este tipo de variables que su comportamiento actual responde a una expectativa generada en el momento precedente, es decir al valor de volatilidad del periodo anterior.

La diferencia entre un suceso condicional y no condicional es que la expectativa condicional se refiere a una expectativa hacia el futuro pero sujeta a la informacion acumulada hasta el tiempo t. La no condicional no modifica el conjunto de informacion.

Las investigaciones en volatilidad fueron iniciadas por Robert Engle en 1982, quien propuso un proceso de volatilidad con varianza condicional en funcion del tiempo. Este proceso es denominado ARCH, acronimo de Autorregresivo con Hete- rocedasticidad Condicional (del ingles AutoregressiveConditionallyHeteroskedastic).

IV. MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCASTICA

Un proceso estocastico univariante [a.sub.t] sigue un modelo ARCH si ya solo si

[a.sub.t] = [a.sub.t][e.sub.t]

Con[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1]

[[omega].sub.0] > 0, [w.sub.1] > 0, [w.sub.1] < 1

Los modelos ARCH relajan la hipotesis de la normalidad, y permiten que se tengan procesos de ruido blanco formados por variables dependientes. Es una clase de modelos con la propiedad:

[a.sub.t] = [[sigma].sub.t][e.sub.t], [e.sub.t] ~ N(0, 1)

Donde [[sigma].sub.t] y [e.sub.t] son dos procesos estacionarios independientes entre si. El proceso [e.sub.t] es de ruido blanco normalizado, con media cero y varianza unitaria. El proceso [[sigma].sub.t] es un proceso con estructura, con funcion al tiempo de los valores previos a t. La condicion de independencia entre si garantiza que la serie [a.sub.t] tenga media marginal igual a cero:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Y tambien la media condicional nula, ya que:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Como el proceso [a.sub.t] es estacionario, tendra una varianza marginal contante [[sigma].sup.2]:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Una varianza condicional que no es constante:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

El proceso [[sigma].sup.2.sub.t] se interpreta como la varianza condicionada de la serie en cada instante, que varia en el tiempo con una estructura estacionaria.

Como [[sigma].sub.t] y [e.sub.t] son dos procesos estacionarios independientes entre si; es garantia que [a.sub.t] carece de autocorrelacion, y forma un ruido blanco. Las autocovarianzas de la serie [a.sub.t] son nulas:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

En contraste con las hipotesis de ARIMA, la serie [[sigma].sup.2.sub.t] no es de variables independientes

Los modelos ARCH generalizan las hipotesis de un ruido blanco, permitiendo dependencia, al hacer que la varianza condicional no sea constante.

La evidencia empirica muestra que un modelo ARCH de alto grado, se encuentra muy relacionada con la presencia dinamica de la varianza condicional. Esto es, realizar muchas evaluaciones para estimar los parametros.

En 1986, Bollerslev propuso el modelo Generalizado Autorregresivo con Heterocedasticidad Condicional o GARCH, como una solucion natural a los modelos ARCH de alto orden. Este modelo esta basado en un ARCH de orden infinito. Reduciendose de esta manera, el numero de evaluaciones para la estimacion de los parametros.

Engle propuso un modelo para el proceso [[sigma].sup.2.sub.t],

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [p.suma de (i = 1)][[omega].sub.i][a.sup.2.sub.t-1]

Con[[omega].sub.0] > 0 y [[omega].sub.i] [mayor que o igual a] 0, I = 1, ..., p

Considerando ARCH de primer orden un modelo ARCH (1), se tiene que:

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [p.suma de (i = 1)][[omega].sub.i][a.sup.2.sub.t-1] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1]

Para el caso de varianza no condicional de [a.sub.t] se tiene:

[[sigma].sup.2.sub.a] = E([a.sup.2.sub.t]) = E([[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1]) = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][[sigma].sup.2.sub.a]

[[sigma].sup.2.sub.a] = [[omega].sub.0]/1 - [[omega].sub.1]

Con[[omega].sub.1] < 1 (Box, Jenkins y Reinsel, 2008).

En un proceso ARCH (p), se tiene que:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

El modelo ARCH (1) establece una dependencia con AR (1), al plantearse un proceso estocastico de los cuadrados de las observaciones, como un ruido blanco [v.sub.t]:

[v.sub.t] = [a.sup.2.sub.t] - [[sigma].sup.2.sub.t]

Con media cero,

E([v.sub.t]) = E([a.sup.2.sub.t]) - E([[sigma].sup.2.sub.t]) = 0

La varianza es una constante,

var([v.sub.t]) = E [([a.sup.2.sub.t] - [[sigma].sup.2.sub.t]).sup.2] = E([a.sup.4.sub.t]) + E([[sigma].sup.4.sub.t]) - 2E([a.sup.2.sub.t][[sigma].sup.2.sub.t]))

Se observa que:

El proceso [v.sub.t] es de ruido blanco con media cero y varianza marginal constante.

Sea:

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1] = -[v.sub.t] + [a.sup.2.sub.t]

Luego:

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1] + [v.sub.t]

Existe una dependencia similar al proceso AR (1) de los cuadrados.

V. FAMILIA GARCH

En los modelos GARCH, la varianza condicional es una funcion lineal de las tempranas varianzas condicionales calculadas.

En la generalizacion de ARCH o GARCH, introducida por Bollerslev, se asume que el proceso [[sigma].sup.2.sub.t] corresponde:

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [p.suma de (i=1)][[omega].sub.i][a.sup.2.sub.t-1] + [q.suma de (i=1)][[beta].sub.i][[sigma].sup.2.sub.t-1]

Con[[beta].sub.i] [mayor que o igual a] 0, i = l, ..., q.

GARCH se ha hecho popular y aceptado en el mundo de los pronosticos financieros, por los siguientes argumentos:

Esta muy relacionado con los procesos ARMA; lo que sugiere que detras de la teoria de GARCH, se encuentra ARMA.

Es practico efectuar un simple ajuste a los datos del mundo real, con solo GARCH (1, 1).

El modelo GARCH (1,1) para una serie de retornos

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Para el caso de varianza no condicional de [a.sub.t] se tiene:

[[sigma].sup.2.sub.a] = [[omega].sub.0]/1 - [[omega].sub.1] - [[beta].sub.1], Siempre y cuando

[[omega].sub.1] + [[beta].sub.1] < 1.

El modelo de Nelson (1991), modelo Exponencial GARCH o EGARCH, modela el logaritmo de la va-rianza condicional como:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Una modificacion de GARCH se debe a Glosten, Jagannathan y Runkle (1993), el GJR o TARCH (Threshold ARCH) que modela la varianza condicional para responder a los cambios de signos:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII]

Donde I{[a.sub.t] > 0} es 1 si es verdad que se cumple {[a.sub.t-1] > 0}.

Los modelos GARCH, capturan importantes caracteristicas de una serie de tiempos en finanzas. De acuerdo a Engle (2004) una de las caracteristicas en los rendimientos financieros de los activos de riesgo, corresponde a las colas pesadas (exceso de curtosis), y la otra corresponde a volatilidad agrupada o cluster de volatilidad de Mikosch, 2001; que traduce que a grandes cambios tienden a seguir grandes cambios; y pequenos cambios tienden a seguir pequenos cambios.

VI. DISCUSION

Los 5 anos de Precios de Cierre Diario de la empresa en estudio, totalizan 1241 datos, como se presenta en la figura 1. Se observa que esta serie de tiempos es no estacionaria.

El proceso conocido como Analisis y Estimacion, determina si los datos son heterocedasticos, estima los parametros del modelo y desarrolla finalmente un analisis de post-estimacion.

Si se dispone de la serie de tiempos, se denomina serie Precio, y se convierte a una serie Retorno o la variable Rentabilidad, usando la forma continua o periodica. La forma continua es de acuerdo a la ecuacion:

[y.sub.t] = log[P.sub.t+2]/[P.sub.t] = log[P.sub.t+1] - log[P.sub.t]

El metodo continuo es el mas utilizado en las series de tiempo financieras.

[FIGURA 1 OMITIR]

El proceso conocido como Analisis y Estimacion, determina si los datos son heterocedasticos, estima los parametros del modelo y desarrolla finalmente un analisis de post-estimacion.

Si se dispone de la serie de tiempos, se denomina serie Precio, y se convierte a una serie Retorno o la variable Rentabilidad, usando la forma continua o periodica. La forma continua es de acuerdo a la ecuacion:

[y.sub.t] = log[P.sub.t+2]/[P.sub.t] = log[P.sub.t+1] - log[P.sub.t]

El metodo continuo es el mas utilizado en las series de tiempo financieras.

La transformacion Precio a Retorno, tiene como finalidad generar una data estable para la modelacion GARCH.

En la figura 2, se presenta la serie de Retorno ajustada en forma continua, esta es de tipo estacionaria, que es supuesto tipico en los modelos GARCH. La transformacion Precio a Retorno, tiene como finalidad generar una data estable para la modelacion GARCH.

Se observa que la Rentabilidad para los periodos estables oscila en la banda de [+ o -] 3%; y los periodos en los cuales la volatilidad claramente se sale de dicho rango y oscila hasta en [+ o -] 15% .

En la figura 3, se observa que el valor del rendimiento promedio es casi cero, es decir que en el mercado peruano para la empresa en estudio, se mueve en torno a cero, por lo que en promedio no hay ni perdidas ni ganancias.

Una simple observacion de la grafica se puede afirmar a priori que en el centro de la densidad de probabilidades es menor con relacion a la normal, en tanto que los extremos de la distribucion particularmente a la izquierda, se concentra una densidad de probabilidades mayor en relacion tambien a lo normal.

[FIGURA 2 OMITIR]

[FIGURA 3 OMITIR]

La ausencia de la normalidad se demuestra por la curtosis que es de 9.179783, muy superior a 3 que es una distribucion estandar; el valor de la asimetria es -0.113223 es levemente inferior a la distribucion normal que es 0; indicando una cola izquierda mayor que la normal. Finalmente el estadistico Jarque-Bera alcanza un valor de 1975.785, muy alto. Todo ello nos lleva a rechazar la hipotesis de normalidad.

La distribucion de la Rentabilidad o de Retornos posee leptokurtosis.

Un analisis de estacionariedad conlleva a realizar una prueba estadistica para determinar la existencia de Raices Unitarias mediante el test Dickey-Fuller Ampliado o DFA. Desde la tabla 1 se observa que al 1%, 5% y 10% de confianza se rechaza la hipotesis nula, por lo tanto no existe evidencia estadistica que la serie de Rentabilidad es estacionaria. Tambien se observa que en el test Durbin-Watson o DW, los rezagos incorporados en el test DFA eliminaron correctamente posibles problemas de au-tocorrelacion en los residuos.

[FIGURA 4 OMITIR]

El chequeo de la correlacion se consigue evaluando la correlacion entre un rango de desplazamientos o Lag. Se observa en la figura 4 la funcion de la autocorrelacion o ACF. En la grafica se encuentra que para el Lag igual a cero es 1. Los limites de ACF se encuentran entre -0.0568 y 0.0568.

[FIGURA 5 OMITIR]

Similarmente el chequeo de la correlacion se consigue evaluando la correlacion parcial entre un rango de desplazamientos o Lag. Se observa en la figura 5 la funcion de la autocorrelacion parcial o PACF. En la grafica se encuentra que para el Lag igual a cero es 1. Los limites de PACF se encuentran entre -0.0568 y 0.0568.

En la figura 6 se presenta la correlacion del cuadrado de la serie Retorno. Se observa que existe la posibilidad un proceso de varianza cerrado a la no estacionalidad.

[FIGURA 6 OMITIR]

Para cuantificar la correlacion se utiliza como prueba de hipotesis, el test de Q Ljung-Box-Pierce y el de ARCH Engle.

El valor de la hipotesis H es 0 cuando no hay significancia en la correlacion (no rechaza la hipotesis nula); si H es 1 cuando hay significancia en la correlacion (se rechaza la hipotesis nula).

Se observa en el test Q que no hay correlacion significante para valores de Lag a un nivel de 0.05 de significancia.
0 0.2092 13.2654 18.3070

0 0.4243 15.3819 24.9958

0 0.2350 24.1719 31.4104


Sin embargo si hay significancia en la correlacion cuando se trata de la serie de los cuadrado del Retorno.
1.0000 0.0000 92.4556 18.3070

1.0000 0 116.9525 24.9958

1.0000 0 220.0407 31.4104


El test ARCH de Engle, muestra la evidencia de la significancia en el efecto GARCH; es decir la heterocedasticidad.
1.0000 0.0000 69.7312 18.3070

1.0000 0.0000 79.2135 24.9958

1.0000 0 151.9035 31.4104


El modelo GARCH (1, 1) para la serie de retornos [y.sub.t] es:

[y.sub.t] = [delta] + [a.sub.t]

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1] + [[beta].sub.1][[sigma].sup.2.sub.t-1]

Usando los valores obtenidos:

[delta] = C = -0.00073447

[[omega].sub.0] = K = 4,6307 x [l0.sup.-5], [[omega].sub.1] = 0.075535, [[beta].sub.1] = 0.87995

Se obtiene la estimacion:

[y.sub.t] = -0.00073447 + [a.sub.t]

[[sigma].sup.2.sub.t] = 4.6307 x [10.sup.-5] + 0,075535[a.sup.2.sub.t-1] + 0.87995[[sigma].sup.2.sub.t-1]

Siendo el valor de log verosimilitud LLF = 2582.61.

Las relaciones derivadas desde el ajuste del modelo, residuales o innovaciones, las desviaciones estandares condicionales y el retorno observado son presentados en la figura 7. Se observa que el hecho de ser la suma de los coeficientes menor que 1, es una condicion de ser cerrada a la condicion de la no estacionariedad:

[[omega].sub.1] + [[beta].sub.1] = 0,955535 < 1

Las innovaciones o residuales son las diferencias entre los Retornos y el ajuste del modelo. Las desviaciones estandar corresponden [[sigma].sub.t]. En la figura 7 se muestra la volatilidad conglomerada o cluster del Retorno.

[FIGURA 7 OMITIR]

Las relaciones derivadas desde el ajuste del modelo, residuales o innovaciones, las desviaciones estandares condicionales y el retorno observado son presentados en la figura 7. Se observa que el hecho de ser la suma de los coeficientes menor que 1, es una condicion de ser cerrada a la condicion de la no estacionariedad:

[[omega].sub.1] + [[beta].sub.1] = 0.955535 < 1

Las innovaciones o residuales son las diferencias entre los Retornos y el ajuste del modelo. Las desviaciones estandar corresponden [[sigma].sub.t]. En la grafica se muestra la volatilidad conglomerada o cluster del Retorno.

Desde la expresion [[sigma].sub.t] = [[sigma].sub.t][[elemento de].sub.t], se obtiene [[elemento de].sub.t] como la relacion de las innovaciones con respecto a la desviacion estandar condicional [[elemento de].sub.t] = [a.sub.t]/[[sigma].sub.t]. Estas innovaciones denominadas estandarizadas se presentan en la figura 8. Se observa que los cluster son pequenos y estables.

[FIGURA 8 OMITIR]

En la figura 9, se presenta la funcion ACF para el cuadrado de las innovaciones estandarizadas. Se observa la presencia de la heterocedasticidad en los retornos.

[FIGURA 9 OMITIR]

Comparando desde el test Q y el de ARCH con los resultados de la Pre-Estimacion; se observa que desde el cuadrado de las innovaciones estandarizadas, en el test Q que no hay correlacion significante para valores de Lag a un nivel de 0.05 de significancia (salvo el caso de Lag20).
0 0.3608 10.9581 18.3070

0 0.6208 12.7604 24.9958

1.0000 0.0184 35.3361 31.4104


En el caso del test de Engle, se tiene que no hay correlacion significante para valores de Lag a un nivel de 0.05 de significancia.

A partir del modelo por defecto GARCH (1, 1), en esta seccion se plantean otros modelos alternativos de GARCH.

Para la seleccion y analisis de los modelos, esta seccion hace uso de las siguientes herramientas:

* Pruebas del ratio de verosimilitud.

* Criterios de Informacion de Akaike y el Bayesiano.

Un criterio alternativo para encontrar el ajuste de un modelo que minimiza los errores residuales, corresponde a los metodos de la Maxima Verosimilitud o ML (MaximumLikelihood). En estos metodos se encuentran los parametros, maximizando la probabilidad de la ocurrencia de la data observada.
Standard     T
Parameter:   Value         Error         Statistic

C            -0.00078447   0.00084482    -0.9286
K            4.6307e-005   6.1091e-006   7.5799
GARCH(1)     0.87995       0.012415      70.8786
ARCH(l)      0.075585      0.0088177     8.5719

LLF = 2.5826e+003


El modelo GARCH (2, 1) para la serie de retornos [y.sub.t] es:

[y.sub.t] = [delta] + [a.sub.t]

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub,t-1] + [[beta].sub.1][[sigma].sup.2.sub.t-1] + [[beta].sub.2][[sigma].sup.2.sub.t-2]

En el caso del modelo GARCH (2, 1):

[y.sub.t] = -0.00082608 + [a.sub.t]

[[sigma].sup.2.sub.t] = 5.5046 x [10.sup.-5] + 0.089422[a.sup.2.sub.t-1] + 0.60004[[sigma].sup.2.sub.t-1] + 0.25692[[sigma].sup.2.sub.t-2]
Parameter   Value         Error         Statistic

C           -0.00082608   0.00085196    -0.9696
K           5.5046e-005   1.1605e-005   4.7433
GARCH(1)    0.60004       0.2277        2.6353
GARCH(2)    0.25692       0.20543       1.2507
ARCH(1)     0.089422      0.016587      5.3912

LLF = 2.5836e+003


Desde la tabla 2, se presenta el resumen de los valores LLF para el modelo por defecto y una alternativa. El modelo GARCH (2, 1) es mas preciso con valor de 2583.6.

Efectuando la prueba del ratio de verosimilitud o LRT (Likelihood Ratio Test); donde GARCH (1, 1) sirve como hipotesis nula y GARCH (2, 1) como una hipotesis alternativa, se determina:

0 0.16888 1.8929 3.8415

Se encuentra que H = 0, indica que existe insuficiente evidencia estadistica para utilizar el modelo GARCH (2, 1). En otras palabras el modelo GARCH (1, 1) explica adecuadamente la variabilidad en la serie de retornos, cuando se le compara con un modelo mas elaborado como es el modelo GARCH (2, 1). Esta prueba esta realizada con un nivel de significancia de a = 0.5; pValue 0.16888 por el que se rechaza la hipotesis nula; Criticalvalue es el valor critico de la distribucion de chi-cuadrado; y Ratio es evaluado por la expresion:

Ratio = 2(ILF21 - LLF11)

Donde:

LLF21 = LLF de GARCH (2, 1), LLF11 = LLF de GARCH (1, 1)

Una de las formas para la seleccion de un modelo, es mediante el uso del Criterio de Informacion; tales como AIC propuesto por Akaike o el Bayesiano (BIC) de Schwarz.

Para efectuar los criterios AIC y BIC es necesario conocer el numero de parametros o coeficientes de cada modelo: GARCH (2, 1) posee 5 argumentos: r = p + q + 2 (los dos coeficientes son por C y K); en cambio GARCH (1, 1) posee solo 4 coeficientes.

Los criterios corresponden a las siguientes expresiones:

AIC = (-2UF) + (2r)

BIC = (-2LLF)+ (r.log(Num.observaciones))

Desde la tabla 3 que contiene los criterios de informacion expuetos, el criterio AIC favorece tanto al modelo GARCH (2, 1) como GARCH (1, 1) por el valor menor, que para el caso son iguales; y el criterio BIC favorece al modelo GARCH (1, 1).

La modelacion con ARCH y GARCH, se compone de dos ecuaciones: una para la media condicional y otra para la varianza condicional.

La ecuacion de la media: [y.sub.t] = [delta] + [a.sub.t] + A[R.sub.1][y.sub.t-1]

La ecuacion de la varianza para el proceso ARCH

(1): [[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.t] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1]

La ecuacion de la varianza para el proceso GARCH

(1, 1): [[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1] + [[beta].sub.1][[sigma].sup.2.sub.t-1]

La ecuacion de la varianza para el proceso GARCH (p, q):

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [p.suma de (i = 1)][[omega].sub.i][a.sup.2.sub.t-i] + [q.suma de (i = 1)][[beta].sub.i][[sigma].sup.2.sub.t-i]

Desde la tabla 4, se descarta GARCH (2, 1) y GARCH (2, 2) por tener coeficientes negativos.

Desde la tabla 5, se encuentra que GARCH (1, 1)posee menores valores en AIC y BIC.

El modelo GARCH (1, 1) queda definido por:

[y.sub.t] = -0.000790 + [a.sub.t] + 0.030652[y.sub.t-1]

[[sigma].sup.2.sub.t] = 4.68 x [10.sup.-5] + 0.07443[a.sup.2t.sub.] + O.88OllO[[sigma].sup.2.sub.t-1]

Los mercados financieros tienen como caracteristica que ante malas noticias se producen caidas en las cotizaciones que tienen una volatilidad mayor que cuando se producen subidas en las cotizaciones por buenas noticias, en tal caso las volatilidades son de menor magnitud.

Estos casos denominados de volatilidad simetrica, fueron el origen de los modelos TARCH y EGARCH. La ecuacion de la media para el proceso TARCH (1, 1):

[y.sub.t] = delta + [a.sub.t] + [AR.sub.1][y.sub.t-1]

La ecuacion de la varianza para el proceso TARCH (1,1):

[[sigma].sup.2.sub.t] = [[omega].sub.0] + [[omega].sub.1][a.sup.2.sub.t-1] + [[beta].sub.1] [[sigma].sup.2.sub.t-1] + [y.sub.1][a.sup.2.sub.t-1] [d.sub.t-1]

El modelo TARCH (1, 1), tiene como AIC el valor de -4.174201 y BIC el valor -4.149397. El criterio de informacion de Akaike para GARCH (1, 1) con valor de -4.162552, luego se decide al TARCH (1, 1).

El modelo TARCH (1, 1) esta representado como: La ecuacion de la media

[y.sub.t] = -5.37 x [10.sup.-5] + [a.sub.t] + 0.020683[y.sub.t-1]

La ecuacion de la varianza para el proceso:

[[sigma].sup.2.sub.t] = 3.96 x [10.sup.-5] + 0.101464[a.sup.2.sub.t-1] + 0.895361[[sigma].sup.2.sub.t-1] - 0.073233 [a.sup.2.sub.t-1][d.sub.t-1]

El modelo EGARCH (1, 1) se encuentra que la ecuacion de la media es cero, de la misma forma su R-squared y su ajustado no tienen significacion. Luego no se considera para el analisis este modelo.

El modelo CGARCH (1, 1), tiene como AIC el valor de -4.172131 y BIC el valor -4.139058. El criterio de informacion de Akaike para TARCH (1, 1) es con valor de -4.174201. El menor AIC es de TARCH (1, 1).

[m.sub.t] = 0.000978+ 0.977213([m.sub.t-1] - 0.000978) + 0.026958([a.sup.2.sub.t-1] - [[sigma].sup.2.sub.t-1])

[[sigma].sup.2.sub.t] - [m.sub.t] = -0.033338([a.sup.2.sub.t-1] - [m.sub.t-1]) + 0.49598O([[sigma].sup.2.sub.t-1] - [m.sub.t-1])

En la figura 10 presenta la grafica de la desviacion condicional de la regresion de TARCH (1, 1).

[FIGURA 10 OMITIR]

El resultado de los analisis y regresiones tratados en este trabajo, lleva a la conclusion de que el modelo mas adecuado para la estimacion y prediccion de la volatilidad de los precios de cierre de la empresa del estudio es el modelo TARCH (1, 1), toda vez que es quien ofrece mejores respuestas en todos los horizontes.

VIII. CONCLUSIONES

1. Se utilizaron los modelos de la familia ARCH, en el contexto de la prediccion de la volatilidad.

2. La serie de Rendimiento evidenciaron un exceso de curtosis, validando que las distribuciones de colas pesadas, son parte de los precios de cierre analizados.

3. Se detectaron cluster de volatilidad, razon para que la familia ARCH sea la mas adecuada a utilizar.

4. El analisis siguiere que la volatilidad es heterocedastica.

5. El resultado de los analisis y regresiones realizadas, conlleva a la conclusion de que el modelo mas adecuado para la estimacion y prediccion de la volatilidad del Rendimiento es el modelo TARCH (1, 1), ya que es quien ofrece mejores predicciones en el horizonte.

Recibido: 14/09/12

Aceptado: 12/12/12

IX. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] ANDERSON, D., SWEENEY, D., WILLIAMS, T. (1999). "Estadistica para Administracion y Economia", International Thompson Editores.

[2] BOLLERSLEV, T., "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", JOURNAL OF ECONOMETRICS, 31, 1986.

[3] BOLLERSLEV, T., "Glossary to ARCH (GARCH)", CREATES, RESEARCH PAPER 2008-49, 2008.

[4] box, g., jenkins, g., reinsel, g. (2008). Time Series Analysis: Forecasting and Control. New Jersey: john wiley& sons, fourth edition.

[5] engle, r. (1982). Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Va-riance of U.K. Inflation, econometrica, 50.

[6] glosten, l., jagannathan, r. y runkle, d. (1993), "On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Normal Excees Return on Stocks", journal of finance, 48.

[7] hamilton, j., "Time Series Analysis", princeton university press, 1994.

[8] NELSON, D., "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach", ECONO-METRICA, 59, 1991.

Eduardo RaffoLecca (1) Luis RaezGuevara (2) Carlos Quispe Atuncar (3)

(1) Ingeniero Industrial. Profesor del Departamento Academico de Ingenieria de Sistemas e Informatica, UNMSM.

E-mail: eraffolecca@yahoo.es

(2) Ingeniero Industrial. Profesor del Departamento Academico de Diseno y Tecnologia Industrial, UNMSM.

E-mail: eraezg@unmsm.edu.pe

(3) Ingeniero Industrial. Profesor del Departamento Academico de Ingenieria de Sistemas e Informatica, UNMSM.

E-mail: cquispea@unmsm.edu.pe
Tabla 1. Test de Dickey-Fuller Ampliado

Estadistico         Con           Tendencia         Ninguno
                intercepto      Con intercepto

1% valor        -3.435415         -3.965470        -2.566830
critico

5% valor        -2.863664         -3.413442        -1.941079
critico

10% valor       -2.567951         -3.128762        -1.616527
critico

DW               1.997195           1.997098        1.997185

Tabla 2. Aplicacion del LRT

Modelo        LLF

GARCH(1, 1)  2582.6
GARCH(2, 1)  2583.6

Tabla 3. Criterios de Informacion

Modelo              AIC                 BIC

GARCH(1, 1)  -5157.212312029322  -5134.808702191154
GARCH(2, 1)  -5157.105193880294  -5129.100681582584

Tabla 4. Coeficientes para los modelos ARCH/GARCH

Modelo          Ecuacion de la media
                    C           AR1

ARCH(1)         -0.000857     0.035817
GARCH(1,1)      -0.000790     0.030652
GARCH(1,2)      -0.000833     0.025771
GARCH(2,1)      -0.000943     0.016163
GARCH(2,2)      -0.000925     0.031865

Modelo          Ecuacion de la varianza
                    C            A1

ARCH(1)         0.000827      0.188837
GARCH(1,1)      0.0000468     0.074435
GARCH(1,2)      0.0000552     0.087968
GARCH(2,1)      0.0000288     0.133247
GARCH(2,2)      0.000007      0.137566

Modelo          Ecuacion de la varianza
                   G1           A2         G2

ARCH(1)
GARCH(1,1)      0.880110
GARCH(1,2)      0.593334                 0.26429
GARCH(2,1)      0.92460      -0.8733
GARCH(2,2)      1.475202     -0.1249    -0.49584

Tabla 5. Coeficientes de Akaike y Schwarz

Modelo           Coeficientes
                AIC           BIC

ARCH(1)      -4.103162     -4.086626
GARCH(1,1)   -4.162552     -4.141882
GARCH(1,2)   -4.162507     -4.137702
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Author:Raffo Lecca, Eduardo; Raez Guevara, Luis; Quispe Atuncar, Carlos
Publication:Industrial data
Date:Jul 1, 2012
Words:5389
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