Printer Friendly

Analysis of ultimate limit state of spherical shell/Sferinio kevalo saugos ribinio buvio analize.

Ivadas

Darbe nagrinejami tampriojo leksto simetriskai apkrauto sferinio kevalo itempiu ir deformaciju buvio analizes uzdavinys ir ribines apkrovos nustatymo uzdavinys. Tampriojo kevalo analizes uzdavinys formuluojamas taip: nustatyti irazas ir poslinkius kevalo, veikiamo simetriskai pridetu zinomo didumo apkrovu, kai kevalo geometriniai ir medziagos fizikiniai parametrai (tamprumo modulis, Puasono koeficientas) zinomi. Uzdavinio matematinis modelis formuluojamas remiantis technine kevalu skaiciavimo teorija. Galioja ploksciuju pjuviu ir sluoksniu nespudumo vidurinio pavirsiaus normales kryptimis hipotezes. Nagrinejamas tiesinis analizes uzdavinys.

Kevalu skaiciavimas skaitiniais metodais susijes su vientisos konstrukcijos pakeitimu jos diskretiniu modeliu su baigtiniu laisvumo laipsniu skaiciumi. Siuo metu labiausiai paplites baigtiniu elementu metodas. Skiriamos trys pagrindines baigtiniu elementu metodo modifikacijos: pusiausvirieji elementai, poslinkiniai elementai ir misrus elementai (Fraeijs de Veubeke 2001).

Kevalo diskretizacijai taikomas pusiausviruju baigtiniu elementu metodas (Belytschko 1972; Gallagher 1972; Cyras, Kalanta 1974; Kalanta 1994), pagristas variaciniu Kastiljano principu. Ji taikant, galima atlikti tampriuju ir tampriuju plastiniu konstrukciju analize. Jis yra tikslesnis uz geometriskai darniu (poslinkiniu) elementu metoda, bet matematiniu poziuriu sudetingesnis ir, matyt, todel reciau taikomas. Taciau geresnis pusiausviruju elementu tikslumas sudaro galimybe naudoti retesni baigtiniu elementu tinkla ir taip sumazinti uzdaviniu apimti, o tai ypac aktualu sprendziant tampriuju-plastiniu konstrukciju analizes ir optimizavimo uzdavinius, kurie paprastai formuluojami kaip matematinio programavimo uzdaviniai.

Kevalo ribines apkrovos skaiciavimo uzdavinys pateikiamas statine formuluote, kurioje nezinomaisiais yra statiniai dydziai--apibendrintosios irazos ir apkrovos parametras. Taciau taikant dualumo teorija galima nustatyti ir kinematinius dydzius. Taikomas idealiai tampraus plastiskojo izotropinio kuno fizinis modelis. Irazu leistinumo salyga yra Hubero ir Mizeso plastiskumo kriterijus. Todel gaunamas netie sinis iskilojo matematinio programavimo uzdavinys, kurio diskretizacijai taikomas pusiausviruju baigtiniu elementu metodas.

1. Sferinio kevalo lygciu diskretizavimas

Konstrukcija skaidoma i skaiciuojamuosius elementus, sudaromas skaiciuojamasis tinklas. Parenkant skaiciuojamaji tinkla, butina atsizvelgti ne tik i geometrine konstrukcijos forma, bet ir i apkrovos paskirstyma. Tampriuosiuose plastiniuose kevaluose, kuriu analizei taikomas ir pusiausviruju elementu metodas, ieskomos funkcijos gali tureti trukiu. Norint padidinti skaiciavimo rezultatu tiksluma, i juos reikia atsizvelgti. Taciau tai galima padaryti tik elementu sujungimo pavirsiuose, t. y. skaiciavimo tinklo linijose. Sudarant toki konstrukcijos diskretini modeli reikia laikytis siu taisykliu:

a) skaiciuojamasis tinklas turi suskirstyti konstrukcija i sritis, kuriose fiziniai ir geometriniai parametrai, taip pat apkrovos intensyvumas yra nekintami;

b) skaiciuojamojo tinklo linijos turi uzkloti prognozuojamas plastiskosios suirties linijas ir apkrovos pasiskirstymo linijas, o koncentruotu jegu pridejimo vietos turi sutapti su sio tinklo susikirtimo taskais, t. y. pagrindiniais mazgais;

c) ispjovu krastai turi buti uzkloti skaiciuojamojo tinklo linijomis;

d) atskirai paremti, pavyzdziui, kolonomis, konstrukcijos mazgai turi sutapti su pagrindiniais mazgais.

Sferiniai kevalai nagrinejami polineje koordinaciu sistemoje ([rho], [phi], z). Jos pradzia yra konstrukcijos centre. Uztenka istirti tik viena tokio kevalo spinduli, nes veikiant simetrinei apkrovai irazos ir poslinkiai nepriklauso nuo koordinates [phi]. Ziedinio kevalo elementai sujungiami krastiniais mazgais pagrindiniuose diskretinio modelio mazguose. Diskretizacijai naudojamas S. Kalantos sukurtas antrosios eiles ziedinis elementas (Kalanta 1994) su trimis mazginiais taskais, isdestytais viename spindulyje (1 pav.).

Veikiant simetrinei apkrovai, kevalo itempiu buvis aprasomas irazu vektorine funkcija

S ([rho]) [equivalent to] [[[M.sub.[rho]] ([rho]) [M.sub.[phi]] ([rho]) [N.sub.[rho]] ([rho]) [N.sub.[phi]] ([rho])].sup.T],

o isorine paskirstyta apkrova vektoriumi

P([rho]) [equivalent to] [[[p.sub.[rho]] ([rho]) [p.sub.n] ([rho])].sup.T]

Vektorine funkcija S([rho]) ir p([rho]) siejami diferencialinemis statikos lygtimis

-[N.sub.[rho]]/[rho] - [dN.sub.[rho]] ([rho])/d[rho] + [N.sub.[phi]]([rho])/[rho] = [p.sub.[rho]]([rho]) (1)

-[d.sup.2][M.sub.[rho]]([rho])/d[[rho].sup.2] - 2d[M.sub.[rho]]([rho])/[rho]d[rho] + d[M.sub.[phi]]([rho])/[rho]d[rho] - [N.sub.[rho]]([rho])/[R.sub.0] - [N.sub.[phi]]([rho])/[R.sub.0]

Ziedinis elementas nagrinejamas lokaliuju koordinaciu [phi] ir [xi] sistemoje. Jo mazgines irazos parodytos 2 pav. Rysys tarp globalines koordinates [[rho].sub.k] ir lokalines koordinates [[xi].sub.k] nusakomas priklausomybemis

[[xi].sub.k] = [[rho].sub.k] - [[rho].sub.k2]/[b.sub.k]; [[rho].sub.k] = [[rho].sub.k2] + [[xi].sub.k][b.sub.k],

cia [[rho].sub.k2]--antro mazgo koordinate globalioje koordinaciu sistemoje ([rho], [phi], z); 2[b.sub.k]--baigtinio elemento plotis. Lenkimo momentai elemente aprasomi antrojo laipsnio, o asines jegos--pirmojo laipsnio daugianariais:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (2)

Taigi elemento itempiu buvis aprasomas mazginiu irazu vektoriumi:

[S.sub.k] = [([M.sub.[rho]k1], [M.sub.[phi]k1], [N.sub.[rho]k1] [N.sub.[phi]k1], [M.sub.[rho]k2], [M.sub.[phi]k2], [M.sub.[rho]k3], [M.sub.[phi]k3], [N.sub.[rho]k3], [N.sub.[phi]k3]).sup.T].

Irazu interpoliavimo funkcijos (2) netenkina kevalo diferencialiniu pusiausvyros lygciu (1), todel kiekvienam elementui k = 1,2..,r butina sudaryti elemento vidines pusiausvyros lygtis. Taigi nagrinejamo kevalo diskretinio modelio pusiausvyros lygtis sudaro ne tik pagrindiniu mazgu, kuriuose sujungti elementai, pusiausvyros lygtys, bet ir elementu vidines pusiausvyros lygtys.

Funkcijas (2) irasant i lygtis (1) ir diferencijuojant gaunamos algebrines elemento pusiausvyros lygtys

[[A.sub.k] ([[xi].sub.k])] [S.sub.k] = [p.sub.k]. (3)

Siu lygciu algebrinis operatorius [[A.sub.k] ([[xi].sub.k]) pateiktas Kalantos (1994) darbe. Kadangi operatorius [[A.sub.k] ([[xi].sub.k])] priklauso nuo koordinates [[xi].sub.k] , tai elemento statikos lygtys isreiskiamos jo krastiniu mazgu pusiausvyros lygtimis

[[A.sub.ek]] [S.sub.k] = [F.sub.k], (4)

kurios sudaromos taikant Bubnovo ir Galiorkino kolokaciju metoda. Cia:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

kur itakiniu funkciju matrica

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Elemento pusiausvyros lygciu (4) matrica [[A.sub.ek] pateikta Kalantos (1994) darbe.

Diskretinio modelio mazgo j, kuriame sujungti elementai k ir l (3 pav.), statikos lygtys susideda is lenkimo momentu, asiniu ir skersiniu jegu pusiausvyros lygciu:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (5)

cia [F.sub.n,j] - ziede [[rho].sub.j] paskirstytos normalines apkrovos intensyvumas. Skersiniu jegu statikos lygtys sudaromos naudojant priklausomybe

[Q.sub.[rho],k] ([[xi].sub.k]) = 1/[[rho].sub.k] [[M.sub.[rho],k] ([[xi].sub.k])-[M.sub.[phi],k] ([[xi].sub.k]) + d[M.sub.[rho],k] ([[xi].sub.k])/d[[xi].sub.k]] [d[[xi].sub.k] ([[rho].sub.k])/d[[rho].sub.k]]

Sudarius lygtis (4) visiems elementams ir lygtis (5) visiems pagrindiniams mazgams, gaunama kevalo diskretinio modelio algebriniu pusiausvyros lygciu sistema

[A] S = F, (6)

cia S = [[[S.sub.1],[S.sub.2], ...,[S.sub.k], ...,[S.sub.r]].sup.T]--diskretinio modelio irazu vektorius, kuri sudaro visu elementu mazgines irazos.

Diskretinio modelio geometrines lygtys sudaromos taikant virtualiu jegu principa. Atsizvelgiant i fizines lygtis, tampriosios konstrukcijos poslinkiu u ir deformaciju [THETA]=[D]S darna aprasoma tokia lygtimi

[D]S-[[A].sup.T] u = 0, (7)

cia [D]- kvazidiagonalioji pasidavumo matrica, kurios diagonaliaisiais blokais yra baigtiniu elementu pasidavumo matricos

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

cia [[H.sub.k] ([[xi].sub.k])] - k-tojo elemento irazu interpoliavimo matrica, sudaryta is irazu formos funkciju. Ji sieja elemento irazu funkcija [S.sub.k][[xi]] su mazginiu irazu vektoriumi [S.sub.k] priklausomybe [S.sub.k] ([xi]) = [[H.sub.k] ([xi])] [S.sub.k]; [[d.sub.k]]--kevalo be galo mazo elemento pasidavumo matrica. Ji yra tokia:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

cia [E.sub.k], [[upsilon].sub.k] - elemento k medziagos tamprumo modulis ir Puasono koeficientas; [t.sub.k] - elemento storis.

Tampriojo plastinio kevalo geometrines lygtys:

[D]S + [[THETA].sub.p] -[[A].sup.T] u = 0,

cia [[THETA].sub.p]--plastiniu deformaciju vektorius.

Kiekvieno konstrukcijos diskretinio modelio skaiciuojamojo pjuvio i irazu leistinumo salyga grindziama netiesine Hubero ir Mizeso takumo salyga (Atkociunas et al. 2009; Atkociunas 2011). Ji uzrasoma taip:

16/[t.sup.2] ([M.sup.2.sub.[rho]i] - [M.sub.[rho]i][M.sub.[phi]i] + [M.sup.2.sub.[phi]i]) + [N.sup.2.sub.[rho]i] - [N.sub.[rho]i] [N.sub.[phi]i] - [N.sup.2.sub.[phi]i] [less than or equal to] [N.sup.2.sub.0i]

arba matricine forma

[f.sub.i-] = [N.sup.2.sub.0i] - [S.sup.T.sub.i] [[[THETA].sub.i]][S.sub.i] [greater than or equal to] 0, (8)

visiems i = 1, 2, ..., s;

cia [N.sub.0i]--skaiciuojamojo pjuvio i ribine iraza, t. y. membranine ribine asine jega. Simetrine matrica

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

yra teigiamai apibrezta, todel salygos (8) yra iskilos zemyn. Hubero ir Mizeso salyga yra homogenine, todel ja galima taikyti ne tik analizes ir ribines pusiausvyros uzdaviniams, bet ir konstrukcijos parametru optimizavimo uzdaviniams.

Tarus, kad idealiai tampriai plastinei sistemai galioja holonominis desnis, plastines deformacijos [[THETA].sub.pi] skaiciuojamos pagal priklausomybe

[[THETA].sub.pi] = 2[[lambda].sub.i] [[[THETA].sub.i]] [S.sub.i], [[lambda].sub.i] [greater than or equal to] 0, i = 1,2, ..., s. (9)

cia [[lambda].sub.i]--proporcingumo daugiklis. Irazu vektoriu [S.sub.i] isreiskus tampriuju [S.sub.ei] ir liekamuju [S.sub.ri] irazu suma ([S.sub.i] = [S.sub.ei] + [S.sub.ri]), konstrukcijos stiprumo salygos gali buti aprasomos visuma nelygybiu:

[f.sub.i] [equivalent to] [N.sup.2.sub.0i] - [([S.sub.ei] + [S.sub.ri]).sup.T] [[[THETA].sub.i]] ([S.sub.ei] + [S.sub.ri]) [greater than or equal to] 0,

sudaromu visiems baigtiniu elementu mazgams i = 1,2, ..., s.

2. Matematiniai uzdaviniu modeliai

Tampriojo sferinio kevalo poslinkiu ir irazu analizes uzdavinio matematinio modelis

[A][S.sub.e] = F, (10)

[D][S.sub.e] - [[A].sup.T] [u.sub.e] = 0. (11)

Matematiniame modelyje statikos lygciu skaicius lygus m, o geometriniu lygciu skaicius--n. Jame nezinomieji yra n-matis irazu vektorius [S.sub.e] ir m-matis poslinkiu vektorius [u.sub.e]. Todel lygciu sistema (10)-(11) vienareiksmiskai nustato konstrukcijos itemptaji ir deformuotaji buvi. Pagrindiniu lygciu pusiausviraisiais baigtiniais elementais sistema tampa jungiamaja grandimi ir tampriai plastiniams kevalams skaiciuoti (Kalanta 1996; Venskus et al. 2010; Pham 2003; Atkociunas 2011).

Tampriosios irazos ir poslinkiai gaunami is lygciu sistemos (10)-(11). Pradzioje eliminuojant irazas

[S.sub.e] = [[D].sup.-1] [[A].sup.T] [u.sub.e],

pusiausvyros lygtis (10) isreiskiama nezinomaisiais poslinkiais

[A][[D].sup.-1] [[A].sup.T] [u.sub.e] = F arba [K] [u.sub.e] = F. (12)

Matrica [K]= [A][[D].sup.-1][[A].sup.T] vadinama diskretinio modelio standumo matrica. Sprendziant lygciu sistema (12) nustatomi poslinkiai

[u.sub.e] = [[K].sup.-1] F. (13)

Tada irazos skaiciuojamos pagal sia formule:

[S.sub.e] = [[D].sup.-1][[A].sup.T][([A][[D].sup.-1][[A].sup.T]).sup.-1] F = [[alpha]]F, (14)

cia [[alpha]] = [[D].sup.-1] [[A].sup.T] [([A][[D].sup.-1][[A].sup.T]).sup.-1] irazu infliuentine matrica.

Konstrukcijos ribines apkrovos parametro F skaiciavimo uzdavinyje isoriniu jegu vektoriaus F apkrovos aprasomos priklausomybe =F [eta]F. Tuomet kevalo ribines apkrovos parametro F nustatymo uzdavinio matematinis modelis:

F [right arrow] max, (15)

[S.sup.T.sub.i] [[[THETA].sub.i]] [S.sub.i] [less than or equal to] [N.sup.2.sub.0i], i = 1,2, ...,s; (16) [A]S-[eta]F = 0.

Jis atitinka zinoma A. Gvozdevo teorema. Jeigu tampriosios irazos Se zinomos, galima naudoti kita ribines pusiausvyros uzdavinio modifikacija:

F [right arrow] max, (17)

kai

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII] (18)

Siuose matematiniuose modeliuose ieskomieji dydziai yra irazu vektoriai [S.sub.i], [S.sub.ri] ir ribines apkrovos parametras F, o visi kiti dydziai yra zinomi. Kadangi stiprumo salygos yra netiesines ir iskilosios, tai matematiniai modeliai (15)-(16) ir (17)-(18) yra netiesiniai iskilojo matematinio programavimo uzdaviniai.

3. Skaiciavimo rezultatai

1 uzdavinys. Nagrinejamas standziai itvirtintas kevalas, veikiamas normalines simetriskai paskirstytos apkrovos intensyvumo p = 1kN/[m.sup.2] jo kreivumo spindulys [R.sub.0] = 1m (4 pav.); medziaga izotropine.

Pirmiausia patikrinama, ar skaiciuojamasis kevalas yra lekstas. Sferinio kevalo geometriniai parametrai susieti su lygtimi

4[f.sup.2] - 8[R.sub.0]f + [L.sup.2] = 0 .

Is cia nustatomas pakylos aukstis

[f.sub.1,2] = (8[R.sub.0] [+ or -] [sqruare root of (64[R.sup.2.sub.0] - 16[L.sup.2])]/ 8 [approximately equal to] 0,0461[R.sub.0].

Santykis f/L = 0,0768 < 1/5 rodo, kad kevalas yra lekstas.

Tampriosios irazos [S.sub.e] ir poslinkiai [u.sub.e] apskaiciuojami pagal (10)-(11) matematini modeli. Del asines simetrijos ir kevalo lekstumo nagrinejama tik jo segmento projekcija (5 pav.), kur sesi baigtiniai elementai sudaro sferinio kevalo matematini modeli. 5 pav. parodytos pagrindiniu mazgu poslinkiu ir irazu reiksmes. Poslinkiu reiksmes iki daugiklio p[R.sub.0]/E, o irazu reiksmes--iki daugiklio p[R.sub.0]. Elementu sujungimo mazguose irazu [M.sub.[phi]] ir [N.sub.[phi]] funkcijos turi nedideliu trukiu, todel siu funkciju reiksmes pagrindiniuose mazguose galima aproksimuoti ju aritmetiniu vidurkiu. Matyti, kad lenkimo momentai [M.sub.[phi]] ir [M.sub.[rho]] yra labai nedideli, palyginti su asinemis jegomis [N.sub.[phi]] ir [N.sub.[rho]].

Skaiciuojant toki pat kevala ir suskaidant i devynis ziedinius baigtinius elementus, irazu reiksmes sutampa. Tai leidzia daryti isvada, kad pats elementas ir elementu skaiciavimo rezultatai yra gana tikslus. Sukurtas elementas efektyviai gali buti panaudotas ir tampriesiems plastiniams kevalams analizuoti bei optimizuoti (Kalanta 1995).

2 uzdavinys. Nagrinejamas standziai itvirtintas kevalas, veikiamas normalines simetriskai paskirstytos apkrovos intensyvumo p = const. Kevalo kreivumo spindulys [R.sub.0] = 1m (6 pav.), ribine asine jega [N.sub.0] = const. Reikia nustatyti ribines apkrovos intensyvuma p ir ji atitinkancias irazu reiksmes.

Ribines apkrovos parametro p skaiciavimo uzdavinys sprendziamas pagal (15)-(16) matematini modeli. Naudojamas diskretinis modelis su sesiais elementais (6 pav.). Stiprumo salygos tikrinamos visuose elementu mazguose. Taigi bendras skaiciuojamuju pjuviu skaicius s = 18. Issprendus netiesinio programavimo uzdavini nustatyta, kad ribines apkrovos intensyvumas p=2,568[N.sub.0]/[R.sub.0]. Kevalo plastini irima atitinkancios irazu diagramos pavaizduotos 7 pav. Lenkimo momentu [M.sub.[rho]] ir [M.sub.[phi]] reiksmes pateiktos iki daugiklio [N.sub.0] [R.sub.0], o asiniu jegu [N.sub.[phi]] ir [N.sub.[rho]]--iki daugiklio [N.sub.0]. Matyti, kad lenkimo momentai [M.sub.[phi]] ir [M.sub.[rho]] yra labai nedideli, palyginti su asinemis jegomis [N.sub.[phi]] ir [N.sub.[rho]].

Takumo salygos lygybemis tampa skaiciuojamuosiuose pjuviuose 2, 3, 5-10, 12,13 ir 15-18. Taciau tik trylika is ju galima priskirti aktyviems apribojimams, nes plastinio tekejimo deformacijos pasireiskia tik pjuviu 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15-18 aplinkoje. Irazu pasiskirstymo pobudis standzioje kevalo srityje gali buti ne vienintelis, todel ju priskyrimas tikrosioms yra salyginis.

Parametras p=2,568[N.sub.0]/[R.sub.0] apskaiciuotas kevalo sesiu baigtiniu elementu diskretiniam modeliui. Toks diskretizacijos laipsnis pusiausviriesiems baigtiniams elementams visiskai pakankamas, nes imant devynis baigtinius elementus, gaunama ta pati parametro reiksme p=2,568 [N.sub.0]/[R.sub.0]

Isvados

1. Darbe aprasytas ziedinis pusiausvirasis baigtinis elementas veiksmingai gali buti naudojamas tiek tampriesiems, tiek tampriesiems plastiniams sferiniams kevalams analizuoti, ribiniam buviui nustatyti bei optimizavimo uzdaviniams formuluoti ir ju skaitiniams sprendiniams nustatyti.

2. Naudojant pusiausviruosius baigtinius elementus, rezultatu tikslumas yra geresnis, palyginti su poslinkiniais (geometriskai darniais) elementais. Tai leidzia sumazinti uzdavinio apimti mazinant baigtiniu elementu skaiciu, o tai labai svarbu sprendziant netiesinio programavimo uzdavinius.

Caption: Fig. 1. Discretization of the flat spherical shell by circular elements with three nodal points./ 1 pav. Sferinio kevalo diskretizacija ziediniais elementais su trimis mazgais

Caption: Fig 2. The nodal internal forces of a shell element./ 2 pav. Kevalo elemento mazgu irazos

Caption: Fig 3. Forces acting on the main node of the shell./ 3 pav. Kevalo pagrindini mazga veikiancios jegos

Caption: Fig. 4. A computational scheme of an elastic spherical shell./ 4 pav. Tampriojo sferinio kevalo skaiciuojamoji schema

Caption: Fig. 5. Displacement and internal forces of shell (up to the factors p[R.sub.0]/E and p[R.sub.0])./ 5 pav. Kevalo poslinkiu ir irazu reiksmes (iki daugikliu p[R.sub.0]/E ir p[R.sub.0])

Caption: Fig. 6. A computational scheme of an elastic-plastic spherical shell./ 6 pav. Tampriojo plastinio sferinio kevalo skaiciuojamoji schema

Caption: Fig. 7. Displacement and internal forces of shell (up to the factors p[R.sub.0]/ E and p[R.sub.0])./ 7 pav. Kevalo irazu diagramos plastiskai yrant (iki daugikliu [N.sub.0]/[R.sub.0] ir [N.sub.0])

doi:10.3846/2029882X.2013.818192

Literatura

Atkociunas, J. 2011. Optimal shakedown design of elastic-plastic structures. Vilnius: Technika. 300 p.

Atkociunas, J.; Cizas, A. E. 2009. Netampriu konstrukciju mechanika [Mechanics of inelastic structures]. Vilnius: Technika. 268 p. http://dx.doi.org/10.3846/1077-S

Belytschko, T. 1972. Plane stress shakedown analysis by finite elements, International Journal of Mechanics Sciences 14: 619-625. http://dx.doi.org/10.1016/0020-7403(72)90061-6

Cyras, A.; Kalanta, S. 1974. Optimal design of cylindrical shells by the finite element technique, Mechanics Research Communication 1(3): 125-130. http://dx.doi.org/10.1016/0093-6413(74)90002-0

Fraeijs de Veubeke, B. M. 2001. Displacement and equilibrium models in the finite element method, International Journal of Numerical Methods in Engineering 52: 287-342.

Gallagher, R. H. 1975. Finite element analysis: fundamentals. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc. 420 p.

Kalanta, S. 1994. Tampriosios plokstes ir kevalai [Elastic plates and shells], is R. Karkauskas, A. Krutinis, J. Atkociunas, S. Kalanta, J. Nagevicius. Statybines mechanikos uzdaviniu sprendimas kompiuteriais [Computer-aided solution of structural mechanics problem]. Vilnius: Mokslo ir enciklopediju leidykla, 163-218.

Kalanta, S. 1995. Ravnovesnye konechnye elementy v raschetakh uprugikh konstruktsij [Tampriu konstrukciju skaiciavimas pusiausviraisiais baigtiniais elementais], Statyba 1(1): 25-47.

Kalanta, S. 1996. Ravnovesnye konechno-elementnye postanovki zadach rascheta i optimizatsii predelnoj nagruzki [Ribines apkrovos analizes ir optimizacijos uzdaviniu formuluotes, panaudojant pusiausviruosius baigtinius elementus], Statyba 3(7): 6-22.

Pham, D. C. 2003. Plastic collapse of a circular plate under cycling load, International Journal of Plasticity 19: 547-559. http://dx.doi.org/10.1016/S0749-6419(01)00078-X

Venskus, A.; Kalanta, S.; Atkociunas, J.; Ulitinas, T. 2010. Integrated load optimization of elastic-plastic axisymmetric plates at shakedown, Journal of Civil Engineering and Management: International Research and Achievements 16(2): 203-208.

Tomas Ulitinas, Stanislovas Kalanta, Juozas Atkociunas

Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, 10223 Vilnius, Lietuva

Iteikta 2012 12 10; priimta 2013 06 31

Corresponding address: T. Ulitinas E-mail: tomas.ulitinas@vgtu.lt

Tomas ULITINAS. A PhD student at the Department of Structural Mechanics of Vilnius Gediminas Technical University. Research interests: shakedown theory of elastic-plastic structures, the structural optimization and the methods of mathematical programming in structural mechanics.

Stanislovas KALANTA. Dr, Associate Professor at the Department of Structural Mechanics of Vilnius Gediminas Technical University. Research interests: finite element method, the analysis and optimization of elastic and elastic-plastic structures.

Juozas ATKOCIUNAS. Dr Habil, Associate Professor, the head of the Department of Structural Mechanics of Vilnius Gediminas Technical University. Research interests: computational mechanics, shakedown theory of elastic-plastic structures, the structural optimization and the methods of mathematical programming in structural mechanics.

----------

Please note: Illustration(s) are not available due to copyright restrictions.
COPYRIGHT 2013 Vilnius Gediminas Technical University
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2013 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Ulitinas, Tomas; Kalanta, Stanislovas; Atkociunas, Juozas
Publication:Engineering Structures and Technologies
Article Type:Report
Date:Jun 1, 2013
Words:3053
Previous Article:Influence of temperature on the effect of plastification in concrete mixtures/Temperaturos poveikis betono misinio plastifikavimo efekto trukmei.
Next Article:Experimental analysis on flexural behaviour of concrete beams with GFRP reinforcement/Lenkiamuju elementu, armuotu stiklo pluosto armatura, elgsenos...
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2020 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters