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Analysis of the historical and philosophical antecedents of "Duval's cognitive paradox"/Analisis de los antecedentes historico-filosoficos de la "paradoja cognitiva de Duval".

1. PREMISA

Los estudios de Raymond Duval abrieron, indudablemente, una nueva linea de investigacion internacional en Didactica de la Matematica, tanto teorica como practica; reconocer que uno de los mayores obstaculos en el aprendizaje de la Matematica esta relacionado con las caracteristicas especificas del unico instrumento posible de su denotacion, los sistemas semioticos, ha abierto caminos hasta hace algunos tiempos inexplorados. A partir de los '90, un gran numero de estudiosos de todo el mundo, cada vez con mayor profundidad, estan afrontando el tema. Afirmamos que en la actualidad este es uno de los temas de mayor difusion en el mundo, en ambito investigativo.

Precisamente por el hecho de que hoy es considerado un tema clasico, nos sentimos autorizados a abrir otra linea de investigacion en esta misma tematica, la linea historico-epistemologico-filosofico-critica, para encontrar una ascendencia consolidada e ilustre de las reflexiones del psicologo frances Raymond Duval.

Un "instrumento matematico", una vez consolidado, se hace "objeto matematico" de conocimiento e inicia, por tanto, una caracterizacion historica que lo teoriza al interior de un sistema que tiene como representantes diversos estudiosos; generalmente no especialistas del ambito, en nuestro caso no necesariamente didacticos, sino filosofos principalmente. Es esto lo que sucede con todos los "instrumentos matematicos", una vez que se convierten en objetos de la Matematica (Douady, 1986; Sfard, 1991).

Mas adelante aludiremos a la tematica introducida por Duval bajo la forma de paradoja cognitiva. Mostraremos y comentaremos, brevemente, sin ninguna intencion de exhaustividad, algunos precedentes: autores que han sostenido sustancialmente la misma tesis de este estudioso, en diversos ambitos, todos filosoficamente relevantes.

Debemos hacer notar que citaremos explicitamente investigadores contemporaneos que publicaron alguna frase analoga a la de Duval, no quienes, de alguna forma, afrontaron temas similares.

Nuestro objetivo no es delinear una posicion especificamente teorica relacionada con el tema que aparece en el titulo; nuestro objetivo es el de evidenciar como, en repetidas ocasiones, o tal vez siempre, las ideas que cambian el curso de los estudios relativos a una disciplina o a una teoria, tuvieron precedentes ilustres que es necesario tomar en consideracion para entender mejor y con mayor profundidad dichas ideas. Un estudio historico-filosofico de este tipo nos parece que reviste cierto interes en quien se ocupa profesionalmente de los temas en cuestion, en este caso de la Didactica de la Matematica en relacion con el uso de registros semioticos para el acceso a los objetos matematicos y proponerlos para el aprendizaje de los estudiantes.

Aceptamos la existencia de la paradoja cognitiva de Duval de la forma como el la presento hace 20 anos aunque, es evidente, que con el pasar del tiempo, los estudios de dicho autor, de otros, incluso nuestros, llevaron a reflexiones cada vez mas profundas y criticas. Por tanto, en este articulo se acepta y se examina la paradoja como se presento historicamente en 1993 Nuestro trabajo pretende realizar un analisis historico que, en un futuro, puede fungir como sustento para un analisis critico posterior. Si bien durante el curso del texto se realizaran referencias a la praxis didactica de ensenanza-aprendizaje--sin entrar en los detalles que amerita una reflexion al respecto--hacemos explicito que este estudio no pretende brindar una consecuencia didactica, sino que estara focalizado en un analisis historico.

2. RAYMOND DUVAL

Veamos como Raymond Duval enunciaba, hace 20 anos, su famosa paradoja cognitiva del pensamiento matematico, la cual tuvo una fuerte repercusion:

(...) por un lado, el aprendizaje de los objetos matematicos solo puede ser un aprendizaje conceptual y, por el otro, es solo a traves de representaciones semioticas que es posible una actividad sobre los objetos matematicos. Esta paradoja puede constituir un verdadero circulo vicioso para el aprendizaje. ?Como, sujetos en fase de aprendizaje, podrian no confundir los objetos matematicos con sus representaciones semioticas si ellos unicamente pueden tener relacion con las representaciones semioticas? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos matematicos, mas alla de cualquier representacion semiotica, hace la confusion casi inevitable. Y, por el contrario, ?como pueden los estudiantes adquirir el dominio de los tratamientos matematicos, necesariamente ligados a las representacion semioticas, si no tienen el domino conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es aun mas fuerte si se identifica actividad matematica con actividad conceptual y si se consideran las representaciones semioticas como secundarias o extrinsecas. (Duval, 1993, p. 38; la traduccion es nuestra, concordada con el Autor) (1)

En las ultimas lineas del texto de Duval ya se explica como debe entenderse la paradoja cognitiva: el docente propone al estudiante representaciones semioticas de un objeto matematico con la intencion que el estudiante lo construya cognitivamente; pero lo unico que puede hacer es proponerles representaciones semioticas dado que no existe forma alguna de mostrar, indicar (en el sentido etimologico de la palabra), dicho objeto; el estudiante entra, por tanto, concretamente en contacto con representaciones, no con el objeto, aprende a hacer referencia a dichas representaciones, no al objeto, y a manipularlas. Pareceria un itinerario destinado al fracaso cognitivo. Y, por el contrario, el estudiante, al final, aprende, construye, hace propio el objeto, en una situacion que tiene mucho de paradojica y que es de gran interes estudiar siempre mas en profundidad.

En la sistematizacion teorica de Duval, las representaciones semioticas de un objeto matematico deben ser interpretadas como una operacion explicita de designacion, distintas del objeto matematico (abstracto, ideal, que constituye un invariante de ellas) a la cual hacen referencia; del cual son, precisamente, representaciones.

Si se le pregunta a un nino pequeno: ?que es "el numero tres"?, el mostrara tres dedos, alzando la mano derecha. La pregunta tiene que ver con el objeto matematico "tres" pero tiene como respuesta una representacion semiotica de dicho objeto, normalmente solo una. Si se le plantea la misma pregunta a un nino que esta terminando la escuela primaria, el seguramente escribira con un lapiz en una hoja de papel la cifra 3. Cambia la representacion, pero el problema de la diferencia entre objeto matematico y su representacion permanece. Sin duda, la pregunta va mas alla de la capacidad de los sujetos: una pregunta con esta carga epistemologica no puede tener otra respuesta por parte de los ninos, y las cosas no cambian con el pasar del tiempo.

Si se pregunta a un joven de quince anos: ?que es una recta?, podemos tener como respuesta el dibujo de una mancha de grafito, derecha, mas o menos larga y delgada; o una ecuacion lineal del tipo ax+by+c = 0, escrita con un lapiz sobre una hoja de papel. En los dos casos se trata de representaciones semioticas del objeto matematico pedido, no es el objeto matematico al cual se hace referencia.

Si se pregunta a un estudiante de los ultimos anos de la secundaria: ?que es una derivada?, el escribira f '(x), ofreciendonos una representacion semiotica, cuando la pregunta hace referencia al objeto matematico "derivada". Y esta historia prosigue en la universidad, sin muchos cambios.

Solo un experto intentaria dar un respuesta epistemologicamente significativa a la pregunta planteada sobre un objeto matematico, mostrando dos (o mas) representaciones semioticas de este, reconociendo que una unica representacion semiotica del objeto matematico no permite agolpar todos los componentes conceptuales del objeto, o aquellos mas idoneos a la situacion (D'Amore, Fandino Pinilla e Iori, 2013). En otras palabras, no permite transformacion alguna (tratamiento o conversion) de la representacion, por tanto, no permite objetivacion alguna, que se tiene que entender aqui como la toma de conciencia sobre este (referido objeto), del cual no se era consciente antes de producir (por si mismos) una representacion (Duval, 1995).

Por otro lado, demasiadas representaciones tienden a confundir al aprendiz, puede ser que no todas sean relevantes conceptualmente hablando y, por tanto, no favorecer la construccion cognitiva del objeto (D'Amore et al., 2013). La multiplicidad de las representaciones y de sus transformaciones debe ser estudiada, monitoreada y calibrada con atencion en todo contexto o situacion. Esto requiere por parte del docente una formacion especifica, que no se adquiere espontaneamente, ni tan solo con la "experiencia". Una formacion que no se centre solo en los contenidos matematicos especificos a ensenar, en las actividades a desarrollar, en las situaciones o en los problemas a proponer, para introducir un determinado contenido y para afrontar un determinado examen, sino tambien, y basicamente, sobre la dimension epistemologica (que traduce la exigencia, transversal a todos los conocimientos, de no confundir los objetos con sus representaciones, y que se encuentra tambien en la Republica, VI, 509d-510b, de Platon) y sobre la dimension semiotica y cognitiva peculiar de la Matematica (para profundizar tales aspectos vease: Duval, 2009b, 2011, 2012).

La caracterizacion semio-cognitiva de los objetos matematicos que Duval (1995, 1998a, 1998b, 2006, 2009a, 2009b, 2011, 2012) propone, tiene como objetivo el de ofrecer diversos instrumentos para intervenir eficazmente en las dificultades que los estudiantes encuentran en la gestion de las representaciones semioticas de los objetos matematicos. Un objeto matematico no es otra cosa que el invariante (operatorio o logico-discursivo) de una multiplicidad de representaciones semioticas posibles (Duval, 1995, 2009b, 2011). Dicha caracterizacion no requiere hipotesis alguna sobre "existencia" o "pre-existencia", "construccion dentro de si" o "comprension en si" del objeto matematico; en otras palabras, ninguna interpretacion filosofica (de tipo realista o idealista, constructivista o platonica) puede ser deducida de la caracterizacion semio-cognitiva que Duval da de los objetos matematicos. El objeto de conocimiento emerge del reconocimiento de que dos o mas representaciones semioticas son representaciones de un "mismo objeto", aunque sus contenidos no tienen nada en comun. Sin embargo, como ya lo hemos enunciado, el objeto matematico se distingue de los objetos de las otras disciplinas cientificas por la modalidad de acceso, meramente semiotico, no perceptivo (directo o instrumental), es decir, el objeto matematico emerge meramente de la actividad especifica de produccion y de transformacion (tratamientos y conversiones) de signos oportunos (representaciones semioticas) dentro o entre particulares sistemas semioticos (registros de representacion). La falta de un doble acceso, semiotico o perceptivo (directo o instrumental), a los objetos matematicos lleva casi inevitablemente a confundir una cierta representacion de un determinado objeto matematico, R(O), con el mismo objeto O (Duval, 1993); obstaculizando asi, la construccion cognitiva del objeto, es decir, la gestion de las representaciones semioticas de las cuales el objeto matematico emerge como invariante.

Para la comprension de los procesos de aprendizaje de la Matematica, la cuestion relevante que Duval afronta no es si los objetos matematicos vienen antes o despues de la actividad matematica, antes o despues de las practicas institucionales o personales, o antes o despues de las representaciones semioticas, sino que es la siguiente: "?Como no confundir un objeto matematico con una representacion semiotica del objeto en cuestion, si no es posible acceder al objeto matematico sin producir (implicitamente o explicitamente) una representacion semiotica?" (Duval, 2006, p. 69).

Esta cuestion es ignorada por numerosos estudios de los aspectos semioticos y cognitivos de los procesos de aprendizaje, de todos aquello que asumen implicitamente que los procesos cognitivos de aprendizaje sean identicos en todo los campos del conocimiento: en Matematica como en Biologia, Fisica o Quimica, entre otros. El enfoque pragmatista de tradicion peirceana y el enfoque constructivista de tradicion piagetiana constituyen dos ejemplos.

Para la ensenanza-aprendizaje de la Matematica, por tanto, la cuestion de como se puede acceder a los objetos matematicos se vuelve crucial, y es relacionada estrechamente con aquella de los procesos semio-cognitivos, especificamente aquellos movilizados en Matematica, es decir, con la produccion o con la eleccion de representaciones semioticas en los oportunos registros y su movilizacion (implicita o explicita) en dos tipos de transformaciones: tratamiento (transformacion de una representacion a otra del mismo tipo, es decir, en el mismo registro semiotico, del mismo objeto) y de conversion (transformacion de una representacion semiotica en otra de tipo diferente, es decir, en otro registro, del mismo objeto). Esta en esto, precisamente, la construccion cognitiva del objeto matematico (D'Amore et al., 2013). De aqui la necesidad de tomar conciencia del fenomeno para poder reconocer, interpretar y afrontar las dificultades de comprension que el aprendizaje de la Matematica inevitablemente evidencia en todos los niveles escolares.

A nuestro criterio, Raymond Duval tenia razon cuando afirmaba: no existe noetica sin semiotica (1993). Hoy sabemos que debemos pasar a traves de varias representaciones semioticas para alcanzar la gradual y consciente construccion cognitiva del objeto, es decir, lograr que el aprendiz se de cuenta que, frente a un objeto O, existen varias representaciones semioticas [R.sub.i] (O) de O (i = 1, 2, 3, ...). El dia en el cual dominara dichas representaciones, las sabra usar en contextos oportunos y las podra transformar las unas en las otras, entonces podremos decir que el estudiante ha construido cognitivamente O. Esta es la propuesta filosofica-didactica de D'Amore (2003).

Pero, como ya hemos dicho, la posicion de Duval tiene analogas, ilustres y precedentes enunciaciones que mostraremos y analizaremos con el fin de evidenciar el hecho de que su posicion no es un unicum en la historia de lo que podemos llamar semiotica en el aprendizaje. En otras palabras, una posicion cercana a aquella de Duval se encuentra en varios pensadores antecedentes y contemporaneos, no necesariamente estudiosos de la Didactica.

3. LOS ANTECEDENTES FILOSOFICOS O SEMIOTICOS

La relacion entre conocimiento, lenguaje, mundo, nos lleva a un problema semantico milenario, a la problematica de explicar que es el significado, es decir, disponer de un marco teorico que muestre las relaciones entre palabras, ideas y cosas, problema que se inserta directamente en la Teoria del conocimiento, o Gnoseologia, y en aquella del ser, u Ontologia. De hecho, estamos en el punto de apoyo de toda theoresis filosofica. Aqui deberiamos, como consecuencia, describir todo el desarrollo del pensamiento humano. Sin embargo, nuestra intencion dista de querer ser exhaustivos en este aspecto, sino que procuraremos hacer referencia a lo que nos compete para nuestro estudio actual.

3.1. Platon (-427 - -347)

Se considera a Platon como un punto de referencia de toda la filosofia sucesiva. La teoria platonica del conocimiento y, en consecuencia, de la Pedagogia, se centra en la asuncion de que el alma humana tuvo una vida precedente, en el mundo de las ideas, o en el hiperuranio (literalmente: mas alla del cielo). Esta es una breve sintesis de la celebre teoria de la anamnesis: el conocimiento es recuerdo, recuperar lo que en un tiempo fue conocido por contacto directo. La directa consecuencia en el plano pedagogico es evidente: nada pasa del maestro al discipulo, lo que sucede es que el maestro suscita en el discipulo un proceso de reminiscencia, ayudandole a 'recordar'. Surge inmediatamente por tanto la idea de que quien aprende debe cumplir un proceso del todo interior, encontrando dentro de si el conocimiento, la verdad.

Ahora bien, pensemos en estos terminos la paradoja cognitiva de la cual nos estamos ocupando: ?como puede el aprendiz buscar dentro de si aquello que no conoce, dado que el no sabe que buscar? Todo lo que el maestro puede ofrecer no es obviamente el objeto matematico, sino una expresion (por ejemplo, linguistica) que tiene como objetivo denotarlo (D'Amore y Fandino Pinilla, 2012). Es asi como el estudiante recibe un denotans (una expresion) momentaneamente privado de su denotatum (el objeto al que la expresion se refiere), dado que el aun no tiene acceso al objeto matematico involucrado. Y, sin embargo, esta incitacion puede hacer que el estudiante 'excave' dentro de si en la busqueda de una imagen (un recuerdo) del ente adecuado que, segun Platon, el ya encontro indudablemente en el mundo de las ideas. De aqui derivan todas las teorias pedagogicas que asumen al aprendiz como parte activa, como sujeto y no como un objeto amorfo del proceso de aprendizaje (incluyendo metaforas como la lastra de marmol no esculpida o no cincelada, el vaso que debe ser llenado, entre tantas). Y esto vale tambien para otros autores que, a diferencia de Platon, no asumen la hipotesis ontologicamente drastica de la existencia de un oportuno sobre-mundo: para muchos otros autores, tambien en tiempos modernos, el proceso de aprendizaje se desarrolla totalmente "dentro" del aprendiz, y no es otorgado por el maestro. En el lado opuesto encontramos, notamos de paso, la teoria del trasiego que encuentra su maxima expresion en la pedagogia de los Jesuitas.

Por tanto, inferimos de aqui un modelo de la paradoja inicial: lo que transmigra del maestro al alumno es un signo linguistico considerado en si mismo, sin ninguna relacion con un objeto, una pura posibilidad de funcionar como signo o como representacion semiotica de un objeto matematico, para decirlo en terminos actuales, y aqui se desencadena el procedimiento de la mayeutica socratica, el educar como e-ducere 'portar afuera' (en sentido etimologico exacto), de las reminiscencias de la vida precedente, el objeto matematico, un recuerdo, como en el admirable y celebre apartado de la obra del Menon, muy bien conocido, en el cual Socrates induce al esclavo, quien ignora los fundamentos de la geometria, a re-descubrir, a recordar, una verdad geometrica.

Nuestra paradoja se resuelve, segun Platon, asumiendo que el alma del aprendiz, humana e inmortal, haya "visto" el objeto matematico en su vida precedente, antes de su nacimiento, que lo haya olvidado en el momento de su nacimiento y que pueda recordarlo en situaciones adecuadas.

Pero en Platon hay mucho mas. Tomamos de Republica, VI, 510c-511a (Platon, 1992):

Socrates: Pues veamos nuevamente; sera mas facil que entiendas si te digo esto antes. Creo que sabes que los que se ocupan de geometria y de calculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de angulos y cosas afines, segun lo investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahi en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a si mismos ni a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponian al examen.

Glaucon: Si, esto lo se.

S: Sabes, por consiguiente, que se sirven de figuras visibles y hacen discursos acerca de ellas, aunque no pensando en estas sino en aquellas cosas a las cuales estas se parecen, discurriendo en vista al Cuadrado en si y a la Diagonal en si, y no en vista de la que dibujan, y asi con lo demas.

De las y de estas cosas que dibujan se sirven como imagenes, buscando divisar aquellas cosas en si que no podrian divisar de otro modo que con el pensamiento.

G: Dices verdad.

S: A esto me referia como la especie inteligible. Pero en esta su primera seccion, el alma se ve forzada a servirse de supuestos en su busqueda, sin avanzar hacia un principio, por no poder remontarse mas alla de los supuestos. Y para eso usa como imagenes a los objetos que abajo eran imitados, y que habian sido conjeturados y estimados como claros respecto de los que eran sus imitaciones.

El matematico quiere comunicar el objeto matematico en si, pero se sirve de imagenes y a aquellas parece que hace referencia, pero las cosas no estan asi; usa estas imagenes para evocar ideas en si, el cuadrado en si, la diagonal en si, objetos que "no podria divisar de otro modo que con el pensamiento". Platon no tiene intencion de hacer un discurso didactico, sino en general matematico, y termina con capturar el sentido de la cosa desde un punto de vista mucho mas amplio.

3.2. Aristoteles (-384 - -322)

En los escritos de logica de Aristoteles encontramos el primer tratado dedicado al lenguaje, Sobre la interpretacion (De interpretatione, en latin; Peri hermeneias, en griego). Desde las primeras palabras, Aristoteles proporciona una teoria del significado:

Asi, pues, lo [que hay] en el sonido son simbolos de las afecciones [que hay] en el alma, y la escritura [es simbolo] de lo [que hay] en el sonido. Y, asi como las letras no son las mismas para todos, tampoco los sonidos son los mismos. Ahora bien, aquello de lo que esas cosas son signos primordialmente, las afecciones del alma [son] las mismas para todos, y aquello de lo que estas son semejanzas, las cosas, tambien [son] las misma. (Aristoteles, Sobre la interpretacion, 1)

Por tanto, las letras escritas son simbolos de los sonidos de la voz; los sonidos de la voz son simbolos de las afecciones del alma y las afecciones del alma son semblanzas o imagenes de las cosas (pragmata). Mientras las cosas y las afecciones del alma son las mismas para todos los seres humanos, las expresiones linguisticas que convencionalmente designan las afecciones del alma, no lo son. Asi, mientras existe una relacion convencional, arbitraria, entre las expresiones linguisticas y las afecciones del alma, entre estas ultimas y las cosas existe una relacion motivada, iconica, basada en una semejanza "natural". Las cosas se conocen a traves de las afecciones del alma, sin que exista conexion directa entre las cosas y las expresiones linguisticas que a esas reenvian. Las expresiones linguisticas, por tanto, son simbolos no de las cosas, sino de las 'afecciones del alma', conexas a dichas cosas.

Pero, ?que son exactamente estas 'afecciones del alma', cuya comparticion es garantia de nuestro entendernos mutuamente? La expresion aristotelica es pathemata tes psiches. Ahora bien, pathema viene del verbo pascho, padecer, una de las categorias aristotelicas, en contraposicion de ago, actuar. Y es asi como nos encontramos frente a esquemas conceptuales recibidos del intelecto, que los acepta pasivamente. En este sentido estos son, por tanto, objetivos y por ende, a mayor razon, inter-subjetivos. Estos, a su vez, estan por los objetos, que son los mismos para todos. Entonces, la estructura explicativa del problema del significado es la siguiente: las afecciones del alma, es decir, los objetos mentales (conceptos, pensamientos o entidades mentales), son imagenes de cosas y nosotros expresamos los objetos mentales a traves de signos linguisticos, que no son los mismos para todos, y prueba de esto es la multitud de idiomas. Pero el compartir de los objetos mentales (notese que Aristoteles usa, para alma, psiches, que tambien podria ser correctamente traducido como 'mente') permite, por fin, compartir los significados.

?Como se presenta entonces nuestra paradoja? La situacion, aun en ausencia de la hipotesis del sobre-mundo, no presenta grandes diferencias con respecto a la de Platon: el maestro ofrece signos que, para el, son simbolos de objetos mentales; mientras que para el aprendiz son manchas de tinta o sonidos de la voz, por lo menos en un primer momento, entidades que no designan objeto mental alguno. El aprendiz, recordemoslo, tiene dentro de si los mismos objetos mentales del maestro, dado que son los mismos para todos, y, para entender, debe lograr determinar, dentro de si, cual precisamente, entre todos esos, es imagen de las cosas, o similar a ellas (hechos, acciones, practicas operativas, etc.) que el maestro le esta proporcionando.

En otras palabras, para el aprendiz A, una expresion linguistica L significa directamente el objeto mental O si y solo si O es el objeto mental al cual la expresion L esta ligada convencionalmente. L, ademas, significa indirectamente la cosa C si y solo si C reenvia al objeto mental O (aquel al cual la expresion L esta convencionalmente ligada) gracias a alguna relacion de semejanza entre O y C [para un analisis mas completo desde un punto de vista filosofico, se recomienda leer a Charles (2000)].

Las categorias de Aristoteles se pueden interpretar como esquemas conceptuales preformados por el intelecto. Esto muestra como las distinciones de Aristoteles establecen una interpretacion del significado de los "supuestos analiticos", distintos de las ideas platonicas. Para Aristoteles, solo las expresiones linguisticas, las palabras leidas o escuchadas, permiten recordar lo que ya conocemos (afecciones del alma). Asi, solo la escucha, la lectura, las palabras conocidas y recordadas, ademas de la experiencia adquirida, permiten al aprendiz reconocer lo que tiene la apariencia de mancha escrita, o de sonido de la voz, como simbolo de un objeto mental que el, aprendiz, ya posee. Se requiere, por tanto, por parte del alumno, del reconocimiento de una relacion convencional entre expresion linguistica que es transmitida del maestro a el, en cuanto transmisible, y el objeto mental, no transmitido ni transmisible, pero pre-existente en su mente. Lo que viaja, lo que aparece en el mundo es la expresion como objetivacion del pensamiento. En los dos extremos del viaje encontramos los dos objetos mentales: el objeto del maestro y el del estudiante, que se asumen a priori como identicos. El aprendizaje consiste entonces en el descubrimiento por parte del estudiante de dicha identidad, a traves del uso de expresiones que constituyen sus representaciones semioticas.

El aprendizaje debe, de todas formas, partir de cosas familiares o ya conocidas, de cosas observadas, o de expresiones o representaciones linguisticas o no linguisticas ya reconocidas como representaciones de objetos mentales. En otras palabras, el aprendiz debe conocer algo de todo aquello que se dispone a aprender. Para Aristoteles, como afirma Eikeland (2008): "Todos los estudiantes tienen necesidad de una forma de 'conocimiento tacito' o de una experiencia de la cual partir. Una particular forma de percepcion o de comprension es un pre-requisito y es presupuesta" (p. 257).

Para Aristoteles, nuestra paradoja se resuelve entonces presuponiendo la existencia de objetos mentales, los mismos para todos, a los cuales se puede acceder directamente a traves de las expresiones linguisticas que convencionalmente los designan, pero que es necesario adquirir antes, mediante la lectura o la escucha, ademas de considerar como medio la experiencia, sea cual sea su naturaleza.

3.3. La semantica estoica: Zenon de Cizio (-333 - -263), Cleante de Asso (-330 - -232), Crisippo de Soli (-280 - -208)

Poco tiempo despues de la muerte de Aristoteles, pero sobre presupuestos teoricos muy diferentes, nace una teoria semantica igualmente importante, destinada a tener una gran influencia posterior: el estoicismo. Esta se convertira en la filosofia griega mas apropiada a la mentalidad fuertemente practica de los romanos, impregnando de si misma la filosofia latina de la edad clasica, es decir, aquella que rige desde el siglo -I hasta los primeros siglos del imperio. La cultura latina privilegia los aspectos practicos, por lo cual el estoicismo se consolida prevalentemente en los aspectos morales, es decir, en el plano etico; sin embargo, la difusion de la parte teoretica fue muy poca, hecho del cual incluso hoy se evidencian las consecuencias: aun es poco conocida, fuera del estrecho circulo de los expertos. Para el estoicismo la Filosofia se articula en tres grandes campos: el de la logica, el de la fisica (la acepcion de este termino, en griego, es muy diferente de la nuestra de hoy en dia; esto porque physis significa 'naturaleza', podriamos interpretar 'fisica' como ciencia de la naturaleza en general) y el de la etica.

En relacion con nuestro argumento, hay que tomar en consideracion una teoria del significado, es decir, el asi llamado 'triangulo estoico' o triangulo semantico. Los Estoicos, asi como Aristoteles, se dan cuenta perfectamente que la relacion lenguaje/mundo necesita como minimo de otro elemento para explicar el concepto de 'significado'. En otros terminos, se debe partir de la constatacion de que el significado, o denotatum, no es directamente la cosa del mundo. Por ejemplo, tomando un ejemplo clasico de la semantica estoica, podemos suponer la siguiente situacion: cuando yo hablo con el barbaro, que no entiende mi idioma, y le digo "Ves a Dione que camina", el barbaro no me entiende. Sin embargo, el percibe mis palabras, porque no es sordo; e igualmente, puede ver "la cosa" porque, no siendo ciego, ve a su vez a Dione que camina delante de nosotros. Pero, aun asi el no me comprende. ?Que es lo que le falta? Para responder esta pregunta es necesario, en primer lugar, considerar el triangulo semantico. Tres son los elementos que entran en juego en una expresion linguistica y que constituyen, precisamente, el triangulo semantico: el significante (semainon), es decir, el aspecto fonetico o la expresion (palabra, frase) pronunciada, el significado (semainomenon), es decir, el contenido asociado a la expresion y el referente (tynchanon), es decir, la cosa o realidad concreta a la cual la expresion hace referencia (objeto material o evento).

Los Estoicos nos advierten que, de los tres terminos, dos son corporeos, el significante y el referente, mientras que el otro, el significado, no lo es. El significado no es ni una afeccion del alma en el sentido aristotelico, ni una idea en el sentido platonico; no es pensamiento ni algo puramente psicologico (porque en este caso seria corporeo), (2) asi como no es una entidad invariante entre comunidades linguisticas o entre culturas; en cuanto incorporeo, el significado es un estado de cosas, una forma de ser o de ver las cosas, una unidad cultural (Eco, 1984). El significado (semainomenon) asume asi la funcion de medio entre significante (semainon) y referente (tynchanon) y es condicion ineliminable de la comunicacion y de la comprension.

Como evidencia Umberto Eco (1986), Sesto Empirico (II s.) en su Adversus mathematicos (Contra los matematicos) identifica el semainomenon (significado) con el lekton, que es un asomaton (incorporeo), pero la relacion aparece, por el contrario, mas articulada.

Traducir lekton en un idioma moderno es un asunto dificil; hay quienes lo identifican con un termino tecnico, otros afirman que lekton no era originariamente un termino tecnico porque indicaba la caracteristica principal de las cosas (pragmata) de ser usada en los discursos y de significar los sonidos emitidos (Versteegh, 1977).

Seneca (-4 - 65), precisamente en referencia al ejemplo anterior, elegido no por caso, trata de traducirlo al latin con dictum o effatum. Si lexis es expresion, lekton es lo analogo en forma pasiva, lo expresado, lo denotado. Pero, entre los lekta, los Estoicos distinguen, mas en particular, aquellos completos de aquellos incompletos. El lekton es llamado completo si transmite una informacion que pueda inequivocamente ser juzgada verdadera o falsa. El lekton es llamado, por el contrario, incompleto si expresa algo que debe ser integrado con alguna otra cosa para transmitir una informacion que pueda ser juzgada como verdadera o falsa. Por ejemplo, un predicado sin sujeto ("camina") expresa un lekton incompleto, mientras una proposicion ("Dione camina") expresa un lekton completo. Los lekta incompletos son por tanto partes de una proposicion (sujeto y predicado en nuestro ejemplo), entendidas no como entidades gramaticales sino como contenidos expresados o expresables, virtuales, es decir, considerados independientemente de sus relaciones con un determinado significante. Un lekton completo, en combinacion con un significante, constituye una proposicion que afirma algo plausible de ser juzgado verdadero o falso.

El barbaro, por tanto, percibe tanto la voz emitida como el evento fisico (un hombre, Dione, que camina), pero no reconoce la primera como expresion que reenvia a la segunda, es decir, como elemento portador de sentido, no conociendo la regla (o el codigo) que permite articular la voz emitida al evento fisico (como el humo al fuego, en algun caso), por tanto cuanto expresado o expresable, es decir, el lekton; no siendo este ultimo invariante respecto a las culturas.

Y es precisamente esto lo que le falta al barbaro para la comprension. El papel del lekton es fundamental, porque es precisamente asi que se determina la relacion funcional entre expresion y cosa, relacion virtual, no directa sino, precisamente, mediada.

Volvamos ahora a nuestro problema, dentro de este ulterior panorama explicativo. El aprendiz percibe a traves de los sentidos la voz emitida por el profesor, el objeto material o la cosa que el maestro exhibe (una representacion de un objeto matematico, para el maestro). El proceso de conocimiento, para los Estoicos, tiene origen precisamente de aqui, de la percepcion a traves de los sentidos. Esta ultima, una vez que se adquiere consciencia, se convierte en representacion (phantasia, una impresion en el alma). Una representacion es como la impresion de un sello en la cera, es el objeto mismo a producirla en el aprendiz; durante su formacion, el alma permanece pasiva y es a traves de la representacion que el objeto correspondiente se muestra al aprendiz. Despues que el objeto fue removido, permanece en el aprendiz la memoria del objeto.

Un gran numero de memorias de este tipo constituyen lo que los Estoicos llaman experiencia (empeiria). Los conceptos se forman en la fase sucesiva, a partir de las representaciones, y se forman espontaneamente (cuando representaciones similes se funden en nociones universales, sin una plena consciencia por parte del aprendiz) o conscientemente (a traves de una actividad reflexiva que permita al aprendiz individuar semejanzas y analogias entre las representaciones, y combinarlas en conceptos o conocimientos). Segun Ciceron (-106 - -43) (Academica, II, 47), Zenon comparaba la percepcion a una mano abierta, el ascenso a una mano semi-cerrada, la comprension (katalepsis) a la mano completamente cerrada (el puno) y el conocimiento (scientia) al puno cerrado con fuerza por la otra mano. El conocimiento, segun esta vision, es por tanto katalepsis perfecta [para un estudio mas profundo y general ver (Stockl, 1887)].

El aprendiz recibe, por tanto, del maestro el signo material (lo que para el maestro constituye una representacion del objeto matematico). De otra parte, una vez que esto es impreso en su mente, el mismo aprendiz debe encontrar, siempre en su mente, precisamente la representacion de dicho objeto matematico que pueda ser puesta en correspondencia con aquel signo preciso que le fue ofrecido y, asi, con el objeto matematico al cual el maestro intenta, desea, referirse.

Solo la determinacion del oportuno lekton podra coronar con exito el proceso de aprendizaje. En otras palabras, el fin, el ubi consistam del aprendizaje se alimenta, asume sustancia concreta, precisamente en el descubrimiento de la relacion entre R(O) y O.

Sin duda alguna, la posicion aqui descrita parece anticipar la frase de Duval que reportamos al inicio de este articulo.

3.4. Agustin de Hipona (354-430)

Agustin de Tagaste o de Hipona, segun se elija la ciudad de su nacimiento o la ciudad de su muerte para completar su toponimo, es indudablemente un personaje emblematico de inicios del Medioevo. Muy bien conocido como teologo, un poco menos como matematico aunque existen estudios sobre ello (Bagni, 2012; Carruccio, 1964; D'Amore e Matteuzzi, 1976), es un referente para los estudios sobre la semiotica (ver por ejemplo, D'Amore et al., 2013).

El fue quien unifico dos teorias precedentes y en contraposicion, aquella del lenguaje y aquella del signo. El signo es un dato sensorial:

Signum est enim res, praeter speciem quam ingerit sensibus, aliud aliquid ex se faciens in cogitationem venire; sicut vestigio viso, transisse animal cuius vestigium est, cogitamus; et fumo viso, ignem subesse cognoscimus; et voce animantis audita, affectionem animi eius advertimus, et tuba sonante milites vel progredi se vel regredi, et si quid aliud pugna postulat, oportere noverunt. (3) (Agustin, De doctrina cristiana, II, 1.1)

Pero eso, para la mente de quien lo percibe, indica siempre alguna cosa. Existen por tanto un vehiculo del signo (algo) y un referente (otro algo); el interprete, a veces no mencionado, es presupuesto en todo modelo de signo; no constituye por tanto un ulterior, tercer elemento de la relacion entre signos, en la tradicion que distingue sistematicamente sentido y referente, como lo plantearon en su hipotesis los Estoicos (Noth, 1995).

Agustin proporciona una definicion de signo: "Dicimus enim et signa universaliter omnia quae significant aliquid, ubi etiam verba esse invenimus" (4) (Agustin, De Magistro, I, 4.9).

La inclusion de las palabras dentro de los signos es una novedad y es necesario buscar otra definicion en otro texto: "(Verbum est) uniuscuiuisque rei signum, quod ab audiente possit intellegi, a loquente prolatum" [(Palabra es) un signo de algo que puede ser comprendido por quien escucha cuando es pronunciado por quien habla] (Agustin, De dialectica, cap. V).

En este mismo texto, Agustin distingue cuatros componentes de la palabra: (1) el verbum, la palabra dicha, el significante; (2) la dictio, es decir, la palabra dicha por alguien para significar algo, por tanto una combinacion de significante y significado; (3) el dicibile, lo que de la palabra se entiende y es contenido en la mente; (4) la res (cosa), a lo que refiere la palabra a traves de los sentidos o del intelecto, o que no es accesible a los sentidos.

Para Agustin, no se pasa del signo al significado, sino de un signo a otro signo, dado que un signo no puede, por su naturaleza, hacer evidente un significado. Aun mas, esto vale en la relacion entre signo S y objeto O: es necesario conocer el objeto O para poder reconocer que aquel determinado signo S es signo de un determinado objeto S(O). El conocimiento de O permite reconocer S como S(O), pero S, por si solo, sin el previo conocimiento de O, no permite entender que S es signo de O.

Esto trae como consecuencia una jerarquia de importancia en el aprendizaje: primero se aprenden las cosas y solo despues los signos de las cosas.

Cum enim mihi signum datur, si nescientem me invenit cuius rei signum sit, docere me nihil potest: si vero scientem, quid disco per signum? (5) (Agustin, De Magistro, 10, 115)

El signo puede indicarnos donde debemos dirigirnos para poder ver (funcion deictica o ostensiva) y, por tanto, para aprender (funcion cognitiva), o puede tener una funcion evocativa, es decir, traer a la mente un concepto, un significado, o una imagen (Agustin, De Magistro, 10, 168); esto tiene entonces en origen como primaria una funcion ostensiva. El signo es por tanto utilizado en funcion del objeto.

Reportamos en seguida un apartado de la obra De Magistro que contiene la cita precedentemente hecha en su contexto mas general.

10.33. Pero si lo consideras con mas detencion, no hallaras tal vez nada que se aprenda por sus signos. Cuando alguno me muestra un signo, si ignoro lo que significa, no me puede ensenar nada; pero si lo se, ?que es lo que aprendo por el signo? La palabra no me muestra lo que significa cuando leo: Y sus sarabarae (cofias) no fueron deterioradas. Porque si este nombre (sarabarae) representa ciertos adornos de la cabeza, ?acaso, al oirlo, he aprendido que es cabeza o que es adorno? Yo los habia conocidos antes, y no tuve conocimiento de ellos al ser nombrados por otros, sino al ser vistos por mi. En efecto, la primera vez que estas dos silabas caput (cabeza) hirieron mis oidos, ignore tanto lo que significaban como al oir o leer por primera vez el nombre "sarabarae". Mas al decir muchas veces cabeza, notando y advirtiendo cuando se decia, descubri que este era el nombre de una cosa que la vista me habia hecho conocer perfectamente. Antes de este descubrimiento, la tal palabra era para mi solamente un sonido; supe que era un signo cuando descubri de que cosa era signo; esto, como he dicho, no lo habia aprendido significandoseme, sino viendola yo. Asi pues, mejor se aprende el signo una vez conocida la cosa que al reves.

10.34. Para que mas claramente entiendas esto, suponte que nosotros oimos ahora por vez primera la palabra "cabeza", y que, ignorando si esta voz es solamente un sonido o si tambien significa algo, preguntamos que es una cabeza (recuerda que no queremos conocer la cosa significada, sino su signo, y no tenemos su conocimiento mientras ignoramos de que es signo). Ahora bien, si a nuestra pregunta se responde senalando la cosa con el dedo, una vez vista aprendemos el signo que habiamos oido solamente, pero que no habiamos conocido. Ahora bien, como en este signo hay dos cosas, el sonido y la significacion, no percibimos el sonido por medio del signo, sino por el oido herido por el; y percibimos la significacion despues de ver la cosa significada. Porque la accion de senalar con el dedo no puede significar otra cosa que aquello a que el dedo apunta; y apunta no al signo, sino al miembro que se llama cabeza. Por lo tanto, no puedo yo conocer por la accion del dedo la cosa que conocia, ni el signo, al cual no apunta el dedo. Pero no me cuido mucho de la direccion del dedo porque mas bien me parece signo de la demostracion que de las cosas que se demuestran, como sucede con el adverbio "he aqui"; pues con este adverbio solemos extender el dedo, no sea que un signo no vaya a ser bastante. Y principalmente me esfuerzo en persuadirte--si soy capaz--de que no aprendemos nada por medio de los signos que se llaman "palabra". Como ya he dicho, no es el signo el que nos hace conocer la cosa, antes bien, el conocimiento de ella nos ensena el valor de la palabra, es decir, el significado que entrana el sonido.

(Traduccion tomada de: es.scribd.com/doc/59573973/San-Agustin-DeMagister-El-Maestro)

Consideramos que Agustin constituye un precedente ilustre, mas aun, un explicito precedente para nuestra 'paradoja cognitiva', sobre el cual debemos obligatoriamente reflexionar.

La teoria de Agustin resulta comparable con la constatacion de Duval: el signo no es en si portador de un objeto, y no puede por tanto sostener algun evento transactivo. Yo en cuanto maestro, puedo al maximo alcanzar al estudiante el signo o, para decirlo utilizando las palabras de Duval, puedo ofrecerle la representacion semiotica del objeto; pero no puedo consignarle el objeto.

Agustin desarrolla esta tesis en funcion platonica, en apoyo de la teoria del anamnesis; Duval, menos estrechamente adherente a la tesis platonica, sostiene sin embargo, igualmente, que solo quien ha ya construido el objeto, o de cualquier forma esta en grado de construirlo dentro de si, esta en grado de decodificar el signo recibido, en cuanto que capta aquel al cual el signo mismo alude.

Con el signo de raiz cuadrada yo no enseno nada a quien no sepa comprender que es la raiz cuadrada. El signo de por si es un objeto concreto, o un acontecimiento fisico que esta en el mundo, una mancha de tinta sobre un papel, o una onda acustica en el espacio: si nos limitamos a esta evidencia fisica, no hay diferencia alguna con cualquier otro objeto. La nocion de convertirse plenamente en signo se da en el momento en el cual se reconoce lo que representa, en su aludir a otro, diferente de si. Pero si el receptor no posee el elemento de destinacion, el quid al cual el signo se dirige, entonces el no tendra a disposicion realmente un signo, sino una presencia fisica que se evidencia en una cosa, simple contenido perceptivo; y no podra obtener de esto ningun incremento de conocimiento. En este sentido, la teoria agustiniana nos manifiesta como uno de los antecedentes que mejor se puede comparar con la paradoja cognitiva de Duval.

3.5. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

De la gran produccion de Gottfried Wilhelm Leibniz, cuyo legado se compone de mas de 150.000 paginas, consideraremos aqui un ensayo, dedicado completamente al problema semantico. Se trata de Dialogus, editado por primera vez por Erdmann en 1840. (6) Leibniz imagina un dialogo entre dos personajes, a quienes llama simplemente A y B, el primero de los cuales representa el papel de guia y expresa las ideas del mismo Leibniz. Inicia con la consideracion de una verdad geometrica simple. A pide entonces a B: Hoccine verum esseputas, etiamsi a te non cogitetur (?Consideras que esto sea verdadero aunque no sea pensado por ti?). Y B responde: Imo, antequam vel Geometrae id demonstrassent, vel homines observassent (Pero ciertamente, esto era verdadero aun antes de que los geometras lo demostrasen, o los hombres lo hubiesen observado).

Este es un importante aspecto. Aqui se asume que las verdades matematicas son ab aeterno, y no dependen de la produccion humana. Podriamos definir esta posicion como realista, o tambien platonica, en antitesis con las posiciones constructivistas, es decir de aquellos que consideran, por el contrario, que el objeto matematico es producto de la mente del matematico [pensemos, por ejemplo, al intuicionismo de Luitzen Brouwer (1881-1966) o de Arend Heyting (1898-1980)]. (7) La cuestion de la existencia en Matematica, que no podemos ciertamente afrontar aqui, es, sin embargo, un presupuesto que debemos tener presente para entender nuestra paradoja cognitiva.

Adherir a la primera o a la segunda hipotesis tiene consecuencias de gran relevancia: una cosa es suponer que O, el objeto matematico, existe en si mismo; otra cosa diferente es suponer que O deba ser construido.

Forzamos un poco las cosas buscando un ejemplo dentro de una situacion de aprendizaje; aspecto que, en realidad, no se cita en ningun momento en Leibniz. Lo hacemos solo para articular el pensamiento de Leibniz con nuestro objetivo de encontrar precedentes a la paradoja de Duval. No esta dicho que, empezando con el tener en cuenta R(O), que es todo lo que recibe, el alumno este siempre en grado de construir cognitivamente dicho objeto O cuya existencia cognitiva, por tanto, no es de hecho garantizada (Duval, 1993).

Leibniz prosigue intimidando cada vez mas a su interlocutor que, considerando verdadero incluso lo que no ha sido pensado, es llevado a colocar la verdad, y por tanto el significado, en las cosas. De aqui se desprende la contradiccion por la cual deberian existir cosas falsas, puesto que no todo aquello que decimos es verdadero. Esta es la clasica aporia en la cual se cae al reducir el significado a la cosa. Leibniz se gana de aqui la atribucion de la verdad a las proposiciones en cuanto posibles, asi que, segun como se piense de una o de otra forma, su pensamiento sera falso o verdadero:

Vides ergo veritatem esse propositionum seu cogitationum, sed possibilium, ita ut saltem certum sit, si quis hoc aut contrario modo cogitet, cogitationem eius veram aut falsam fore. (8) (Leibniz, 1840, p. 76)

El paso sucesivo es la confrontacion del nominalismo o, de cualquier forma, de las teorias convencionalistas del lenguaje: el criterio de verdad se funda en lo real.

Contra la famosa objecion anonima, que Leibniz imagina fue avanzada por Thomas Hobbes (1588-1679), que el lenguaje esta basado en convenciones, y que la eleccion de las palabras es arbitraria, Leibniz se la jugo bien al notar que, no obstante la diferencia de los signos usados, "es identica la geometria de los griegos, de los latinos y de los alemanes". Debemos notar que los pensamientos pueden producirse sin vocablos, pero no sin otros signos. Leibniz desafia su interlocutor: "Tenta quaeso an ullum Arithmeticum calculum instituere possis sine signis numeralibus" (9.10)

La tesis final a la cual Leibniz llega es que el signo (o caracter), aunque no debe "semejar" a la cosa, presenta, con respecto a la cosa, a lo real, o respecto al concepto que este designa, un isomorfismo estructural (una iconicidad diagramatica, en terminos de Peirce) que no depende de las convenciones o de la eleccion de los signos. Asi, los matematicos pueden llegar a resultados invariantes, aun usando sistemas posicionales diversos, por ejemplo, en base decimal o en base duodecimal; "a menos que los enunciados tengan que ver con los mismos caracteres". Y el ensayo termina precisamente con un ejemplo matematico. Consideremos [a.sup.2]. Podemos asumir que a sea igual a b+c, y entonces tenemos que a2 es equivalente a [b.sup.2] + [c.sup.2] + 2bc, o que a sea igual a d-e, y entonces tendremos que el cuadrado de a es [d.sup.2] + [e.sup.2]-2de. Es facil para Leibniz mostrar, con algunas igualdades, como el objeto matematico, aun representado con signos diferentes, es en definitiva el mismo.

Segun Leibniz esta es, por tanto, la via para salir de la paradoja: reconocer la invariancia de las propiedades del objeto matematico respecto a la arbitrariedad de los signos utilizados, que tambien se encuentran en los estudios de Duval (1995, 1998a, 1998b, 2009a). Entonces, el punto es pasar de la representacion semiotica privada, personal, que se coloca segun Leibniz en la mente del sujeto, a una representacion "objetiva" o, por lo menos, "inter-subjetiva". Este pasaje sera explicitado mejor por Frege, como veremos a continuacion, y forma parte de las conquistas didacticas actuales, no solo en el campo investigativo (D'Amore et al., 2013).

3.6. Gottlob Frege (1848-1925)

De la vasta produccion de Gottlob Frege conviene hacer enfasis en el ensayo Uber Sinn und Bedeutung, que podriamos traducir como Sobre Sentido y Referencia, aunque no faltan alternativas. (11) Se trata del escrito que probablemente ha influenciado fuertemente en las teorias modernas y contemporaneas del significado. En Frege (1892), el significado de un concepto se establece usando los terminos: signo, sentido y referencia. Por lo tanto, si dos terminos distintos denotan un mismo objeto, esto no implica que tengan el mismo significado, ya que este tambien consiste en el modo de denotar y en el uso de denotacion. La distincion fundamental sobre la cual Frege basa sus argumentos es aquella entre 'sentido' y 'referencia', precisamente, es decir, entre intension y extension, o connotacion y denotacion, distincion conocida desde los inicios; por ejemplo, ciertamente ya Aristoteles la conocia, pero nunca estuvo analizada de forma sistematica, con la excepcion de varios escritos de Leibniz, pero que quedaron ineditos.

Tomemos el termino "triangulo" (en el sentido comun de uso en Geometria, palabra en la cual se evidencia la presencia de tres angulos) y el termino "trilatero" (una linea poligonal cerrada de tres lados, palabra en la cual se evidencia la presencia de tres lados). Dado que un triangulo debe ser necesariamente trilatero, y viceversa, decimos en acuerdo con Frege que los dos terminos denotan el mismo objeto pero tienen sentidos diferentes. Se podria caer en la tentacion de rendir un tributo a la navaja de Occam, y eliminar el sentido: en fondo, por lo que respecta a la Matematica, lo que nos interesa parece ser, en primer lugar, el significado (el conjunto de signo, sentido, referencia). Y, de hecho, gran parte de las teorias formales basan su semantica en la extension, y renuncian, o tratan de renunciar, a la intension.

Sin embargo, las cosas no son tan simples como parece. El concepto de identidad canonizado por Leibniz se basa en la mutua 'sustituibilidad' en todos los contextos: "Eadem sunt quae mutui substitui possunt salva veritate" (12) (Leibniz, Die Philosophische Schriften. VII, p. 219) (vease Bagni, 2006). Por tanto, si demostre que A = B, puedo reemplazar el primero (A) con el segundo (B), sin modificar el valor de verdad del enunciado.

Pero volvamos a nuestro ejemplo: habiendo acordado que 'triangulo' y 'trilatero' son el mismo objeto, podemos concluir que todo predicado que vale para el primero vale tambien para el segundo, y viceversa. Sin embargo, consideramos el enunciado siguiente:

1) Con un simple razonamiento podemos convencernos de que todo triangulo es un trilatero.

Ahora, sobre la base del principio expuesto lineas arriba, sustituimos 'trilatero' con 'triangulo' en 1). Tendremos:

2) Con un simple razonamiento podemos convencernos de que todo triangulo es un triangulo.

Mientras que 1) nos parece un enunciado matematicamente sensato, y ademas simple, 2) no nos comunica ninguna verdad geometrica.

Por tanto, atencion: la identidad del denotatum de dos terminos no permite su sustituibilidad real en todos los contextos, solo en aquellos puramente extensionales, en una acepcion que puede ser definida rigurosamente.

El discurso nos podria llevar lejos. Pero nuestra intencion es, por el contrario, volver a nuestra paradoja cognitiva; y hacernos la pregunta: cuando el maestro propone una expresion linguistica, ?que es lo que recibe el estudiante, el simple sentido o el significado, de lo que Duval llama 'representacion semiotica'? O, mejor aun, ?parcialmente los dos? Es sensato pensar que, cada vez, se pueden presentar todos los casos posibles.

Veamos un ejemplo. Quiero ensenar un teorema de geometria plana. Pido al estudiante considerar el triangulo ABC y hacer una figura que lo represente. ?Que estoy comunicando? De aqui se entiende que prevalece el Sinn, el sentido: el estudiante reconoce la caracteristica intrinseca que califica el objeto, que en nuestro caso es la de tener tres angulos, caracteristica que es suficiente para determinar la pertenencia del objeto a una precisa clase y no a otra. Despues le pido prolongar la base BC. Inmediatamente su atencion recae en el objeto, cuyo icono esta bajo su mirada: aqui prevalece el Bedeutung, la referencia, el denotatum. Las propiedades del objeto, la de ser un segmento, el poder ser pensado como un conjunto de puntos mas que numerable, el hecho de considerar solo lo largo sin el ancho, etcetera, pasan a un segundo plano. No es que el objeto no tenga estas propiedades, ni que el estudiante las ignore: simplemente, salen del campo de la representacion semiotica. Estas seran recuperadas, tal vez, a continuacion, cuando se pide continuar la demostracion o en sucesivas ocasiones.

Haciendo un salto en el tiempo de varios siglos, de otro lado, precisamente los estudios pioneros de Duval han permitido distinguir en cada representacion semiotica [R.sub.i] (O), de un objeto matematico O, las caracteristicas de O que R; (O) logra representar a diferencia de otras R.(O), i [desigual a] j (D'Amore, 2000).

3.7. Edmund Husserl (1859-1938)

La solucion semantica propuesta por Edmund Husserl, en particular en Prolegomenos (Husserl, 1900) y en la Primera investigacion logica, Expresion y significacion (Husserl, 1901), resulta la mas articulada y sofisticada de todas las que hasta ahora hemos visto.

"Todo signo es signo de algo, pero no todo signo tiene un 'significado', un 'sentido' que el signo expresa" (Husserl, 1970). Inicia asi su analisis del lenguaje, de la afirmacion que algunos signos, ademas de indicar algo, expresan un significado (tales son, en particular, todas las expresiones linguisticas), mientras otros signos (notas, marcas, etc.) indican algo sin expresar significado. Los primeros los llama expresiones, mientras los segundos indices (o indicaciones).

Un signo de tipo 'expresion' esta, por tanto, asociado a un modelo triadico: expresion (el vehiculo del signo), significado (el sentido) y cosa (el referente). Un signo de tipo 'indice' es, por el contrario, asociado a un modelo diadico: indice (el vehiculo del signo) y cosa (el referente).

Asi, mientras una expresion tiene un significado e indica algo a traves de su significado, un indice indica algo sin tener de por si un significado. La relacion con el referente, en este ultimo caso, es directa y de tipo psicologico, en el sentido que la conviccion de la existencia de una cosa motiva la conviccion de otra; la relacion entre una expresion y su referente, por el contrario, esta mediada por el significado y no es una cuestion de conviccion (para mayores detalles vease Mensch, 2001).

En el caso de la expresion, Husserl distingue en particular tres ingredientes de la significacion (Noth, 1995): (1) un "acto de conferir significado" o "intencion significante", por parte del productor de la expresion, a la cual corresponde un "acto de llenado de significado" por parte del interprete; (2) el contenido o significado de estos actos; (3) el objeto significado de la expresion. El significado es en todo caso una entidad ideal, fuera de la mente humana, pero asociada a la consciencia humana a traves del acto intencional de significacion. Solamente el acto intencional de la conciencia confiere significado al signo (North, 1995). Por tanto, mientras la expresion presupone siempre un acto intencional de significacion, el indice no; sin embargo, en el caso del indice, "nosotros generalmente sentimos la conexion" del vehiculo del signo con el objeto simultaneamente presente (Husserl, 1970).

Es posible que en esto Husserl sienta la influencia de sus estudios matematicos. Husserl estudio bajo la direccion de Carl Weierstrass (1815-1897), junto con, notamos de paso, Georg Cantor (1845-1918) nada menos (y conocio muy bien la obra del amigo y colega sobre la teoria de los conjuntos trans- finitos).

Si yo escribo [a.sub.i] y [a.sub.j] ?que funcion expresiva tienen i y j? Por un lado, estos no nos dicen nada de las a' a la cuales hacen referencia, sin embargo, tienen caracter de individuacion. En primer lugar, nos dicen que el segundo objeto es distinto del primero. Pero tambien, si a continuacion volvemos a usar [a.sub.j], se entiende que no es un 'a' cualquiera con la condicion de que sea diferente de [a.sub.i], pero tambien que es la misma [a.sub.j] de antes. La conclusion es, por tanto, que la referencia al objeto existe, es decir, estamos frente a una denotacion (D'Amore y Fandino Pinilla, 2012). Por otro lado, el caracter descriptivo es nulo: Frege diria que falta el Sinn. El proceso expresivo parte de la Intencionalidad, del hacer referencia intencional a un objeto por parte de quien habla. Este es uno de los fundamentos de la fenomenologia husserliana: el pensamiento es direccional, puede centrarse en el objeto que desee. A este punto lo puede indicar o expresar o las dos cosas. De esta forma cumple un 'acto significante'. Aqui es relevante que, ademas del contenido linguistico en si, se proporciona una ulterior informacion, que consiste en la intencion de comunicar.

La originalidad del enfoque de Husserl respecto a todas las situaciones precedentes sera reconocida particularmente por Karl Buhler (1879-1963) con la llamada Kundgabe Theorie der Sprache, o teoria del completamiento: simplificando los pasajes, podriamos sinteticamente decir que el escuchante, o receptor, frente al acto significante, busca en si mismo un posible 'contenido llenante', es decir, una representacion que pueda colmar la forma que se dio en el acto comunicativo en si. De hecho, aqui tenemos una vision semantica que no se limita a ponerse de parte de quien habla, o a postular una improbable simetria entre los dos actores, sino que se coloca tambien en el polo opuesto del receptor, es decir, en nuestro caso, del estudiante. ?Y 'donde' busca el receptor? En su Erlebnis, es decir, en sus vivencias, en su experiencia, en su cognitivo, que no esta dicho que contemple aun el objeto tema del discurso del emisor. El modelo se complica, como deciamos, pero, precisamente es por este hecho que ofrece una explicacion mas profunda.

De nuevo, tornando a nuestra paradoja, se encuentra en forma mucho mas articulada el mismo proceso agustiniano: "Noli foras ire, in te ipsum rede" (13) (Agustin, De vera religione, XXXIX, 72). Recibido el acto linguistico, es decir, la representacion semiotica, es dentro de mi Erlebnis, o en la combinacion de componentes que extraigo de esta, que puedo construir el objeto, es decir, reconocer el "rellenado" adecuado para que el sentido (14) sea conferido, y el proceso alcance el exito.

3.8. Ludwig Wittgenstein (1889-1951)

En el ambito de la Filosofia del lenguaje del siglo pasado, sin duda Wittgenstein representa un punto de imprescindible discontinuidad. Imprescindible, porque cada una de las sucesivas tomas de posicion sobre el problema semantico, y por tanto, en cierta medida, sobre el argumento que nos interesa, nos lleva inevitablemente a Wittgenstein; pero, de otra parte, punto de discontinuidad porque el autor en cuestion no se deja enmarcar en ninguna corriente de pensamiento canonica.

Al aumentar la complejidad, que a esta altura es un hecho historiograficamente establecido, desde el punto de vista, de la Filosofia, que existe una brecha muy sensible entre un primero y un segundo Wittgenstein o, como se dice, entre el Wittgenstein del Tractatus y el Wittgenstein de las Investigaciones filosoficas. Y, aun, coexisten tanto sobre el primero como sobre el segundo, interpretaciones muy diferentes. Sin embargo, no pretendemos presentar o comentar su obra en pocas paginas, sino mostrar como ciertas posiciones de Wittgenstein puedan ser interpretadas en la direccion que caracteriza nuestro trabajo.

Es bien conocido que las Investigaciones filosoficas de Ludwig Wittgenstein inician con la refutacion de una propuesta que Agustin hace en las Confesiones a proposito de como un nino aprende el lenguaje. Wittgenstein acepta la idea agustiniana segun la cual, al inicio, las primeras aproximaciones al lenguaje objeto de aprendizaje son de tipo ostensivo (de parte del adulto que ensena) --imitativo (de parte del nino que aprende), basando los primeros exitos parciales del nino en una imagen de lenguaje que Agustin intenta proponer, haciendo presion en las palabras que el adulto usa en sentido ostensivo.

En estas palabras encontramos, asi lo considero, una determinada imagen de la naturaleza del lenguaje humano. Y precisamente esta: las palabras del lenguaje denominan objetos--las proposiciones son conexiones de dichas denominaciones.--En esta imagen del lenguaje encontramos la raiz de la idea: toda palabra tiene un significado. Este significado es asociado a la palabra. Es el objeto por el cual la palabra esta. (PI, I, parr. 1) (15)

Por tanto, Wittgenstein evidencia y arroja luz a dos puntos en la tesis de Agustin, haciendola propia por ahora y rediscutiendola con palabras propias: las palabras denominan objetos; las proposiciones son conexiones de dichas denominaciones.

Por tanto, las palabras son entonces por ahora nombres que indican objetos concretos; las proposiciones sirven para mostrar relaciones entre cosas, por tanto entre nombres (y es logicamente posible, sobre la base de la referencia a los "hechos" reales, inferir cuales proposiciones son verdaderas y cuales son falsas). (16)

El nino pareciera que aprende a causa de la ostension hecha por el adulto, asociando un nombre a una cosa concreta, por imitacion, repitiendo el sonido de la voz que escucho.

Aqui inicia la critica a la posicion de Agustin:

De una diferencia entre tipos de palabras Agustin no habla. Quien describe de esta forma el aprendizaje del lenguaje piensa, creo, basicamente a sustantivos como "mesa", "silla", "pan", y a nombres de persona, y solo en un segundo momento a los nombres de ciertas actividades y propiedades; y piensa a los restantes tipos de palabras como algo que se ajustaran por si mismo. (PI, I, parr. 1)

Para Agustin, la esencia del lenguaje esta en la nominalizacion inicial referida a objetos concretos, el resto vendra por si mismo espontaneamente (Spinicci, 2002), tesis que Wittgenstein considera, explicitamente, demasiado apresurada.

A este punto, Wittgenstein proporciona algunos ejemplos muy bien conocidos con los cuales quiere mostrar que el lenguaje es algo mas (el famoso ejemplo de "mando uno a hacer el mercado", puro experimento mental, en el cual Wittgenstein muestra que el lenguaje es en gran medida comunicativo y que la reaccion a cada una de las palabras contenidas en un mensaje provoca reacciones diversas por parte de quien las propone y quien las recibe, interpretandolas: "manzanas", "rojas", "cinco").

Para Agustin, por tanto, el lenguaje es hecho de nombres, cada uno de los cuales ilustra una realidad, mejor aun, cada objeto de dicha realidad; pero esta tesis no se sostiene en el momento de pruebas empiricas de la experiencia o en el uso concreto de los signos (orales, escritos), dado que es la pareja "palabra-- uso de dicha palabra en un cierto contexto" lo que determina el significado (que no es el significado banal ostensivo de denominacion).

Para Wittgenstein el lenguaje es parte de un actuar y puede ser entendido solo si se acoge en su valencia instrumental. Gracias al lenguaje hacemos muchas cosas diferentes y esta diversidad caracteriza tambien las formas linguisticas, incluso si permanece encubierta por debajo de la relativa igualdad exterior de las palabras. (Spinicci, 2002, p. 13)

Wittgenstein prosigue con otros ejemplos--experimentos mentales (que ciertos autores criticaron despues lo que desea llegar a evidenciar es que el "sentido" de las palabras de un lenguaje se define, es individuado, es compartido no solo por el nombre en si, sino tambien por el uso que se hace.

"El significado de una palabra esta en el uso que se hace de esta en el lenguaje" (PI, I, parr. 43).

"El significado de una palabra es el papel que dicha palabra juega en el calculo del lenguaje" (PG, p. 67). (17)

Pero en todo esto es importante no confundir "el portador de un nombre con el significado del nombre" (PI, I, parr. 40; PG, pp. 63-64). En las palabras de Duval: una representacion con lo que representa, un signo con lo que el signo reenvia.

En el ambito de esta aparente teoria del aprendizaje del lenguaje por parte de un nino, es necesario hacer referencia a la idea de "juego linguistico" (PI, I, parr. 7; Wittgenstein, 1958, pero recordemos que este 1958 significa 1933-1934).

Algunos de los estudiosos que hacen referencia a esta nocion la banalizan y otros la sobreestiman, segun nuestra opinion. Un "juego linguistico" no es otra cosa que una modalidad de uso de los signos que sea la mas banal, elemental y primitiva posible, ejemplificable en la de los ninos que estan iniciando a hacer uso de un lenguaje basado en la pareja de modalidades ostensiva-imitativa de la cual se ha hablado.

En otras palabras, incluso el signo mas simple (como un nombre) es un signo (un nombre) solo en un juego linguistico; el significado de un signo es precisamente el papel que ese tiene en un tal juego (PI, I, parr. 49, parr. 261; PG, p. 130). Y aqui Wittgenstein cita a Frege: "Esto es tambien lo que Frege quiso decir cuando dice que la palabra tiene significado solo como parte de una frase" (PI, I, parr. 49).

Wittgenstein (1958, p. 5) afirma ademas que comprender una frase significa comprender un lenguaje, el sistema de signos al cual pertenece el lenguaje. En particular, comprendemos una frase cuando somos capaces de sustituirla con otra frase que expresa la misma cosa en el mismo lenguaje o en un lenguaje diferente; o cuando podemos traducir una palabra en un gesto o un gesto en una palabra (PG, pp. 40-42).

Esto nos lleva inevitablemente a Duval (quien cita tanto a Frege como a de Saussure): una representacion semiotica de un objeto matematico se produce siempre al interior de un registro de representacion, y no es concebible fuera de este, asi como un signo funciona como signo solo al interior de un sistema semiotico, en oposicion a otros signos, independientemente de cualquier referencia al objeto. La comprension, es decir, la construccion cognitiva de un objeto matematico, es inseparable de la produccion o eleccion de representaciones semioticas adecuadas y de sus transformaciones mediante tratamientos o conversiones, por tanto es inseparable del reconocimiento de la correspondencia entre representaciones diferentes de un mismo objeto en el mismo registro o en registros diferentes.

En un juego linguistico, como dice el mismo Wittgenstein, se trata de reflexionar sobre una forma de lenguaje primitivo; cuando nos preocupamos de la verdad y la falsedad de las proposiciones, de la concordancia de estas con la realidad que nos circunda, es importante hacerlo en este tipo de situaciones, antes de que aparezcan complicados procesos de pensamiento que modifican el escenario en el cual estas proposiciones toman sentido, antes que aparezcan las nieblas mentales que oscurecen el uso del lenguaje; las formas complicadas de lenguaje se construiran despues precisamente a partir de aquellas formas primitivas (Wittgenstein, 1958, p. 17).

En cierto sentido la semejanza salta a la vista: aqui, de hecho, el concepto de juego linguistico se introduce explicitamente como una forma que permite reconocer en la simplicidad de una estructura poco articulada el juego de las acciones y reacciones de las cuales consta el lenguaje.

Ahora, esta simplicidad ha sido siempre reconectada con el problema del aprendizaje: cualquiera que sea la forma empirica en la cual el aprendizaje se realiza, es de todas formas razonable sostener que el nino aprende a hablar moviendo precisamente de los "juegos linguisticos", es decir, de situaciones en las cuales es facil identificar actividades y reacciones y, junto a estas, las reglas que las sostienen. (...)

El reenvio a la idea de juego no esta determinada unicamente por la relativa simplicidad de los ejemplos propuestos en contra de la complejidad del lenguaje cotidiano, sino tambien por la evidencia con la cual se muestran las reglas en los juegos. En esta perspectiva, el juego es en verdad ejemplar: los juegos constan siempre de reglas que debemos seguir, que deben ser aprehendidas y que en ocasiones deben ser rememoradas explicitamente durante las fases mas sugestivas del juego. (Spinicci, 2002, p. 39)

Y aqui Wittgenstein se aproxima a consideraciones sobre juegos especificos que creemos poder interpretar en la direccion que estamos persiguiendo y que resumimos asi: seria necesario conocer las reglas para poder jugar, es decir, para poder aprender seria necesario que alguien se las explicara al discente; una vez conocidas las reglas del juego, se juega, en otras palabras, se aprende; pero si ninguno explica las reglas, se corre el riesgo de jugar a un juego con reglas diversas, por tanto de aprender cosas diferentes de aquellas que se auspician.

?Como adviene el aprendizaje, si no por ostension e imitacion, siguiendo reglas la mayor parte de las veces no declaradas de un juego? Aqui, Wittgenstein comienza a examinar en profundidad el sentido de las "definiciones ostensivas" que para el estan en la base, pero que no regulan y que no son suficientes para regular el aprendizaje (PI, I, parr. 28-32).

La definicion del numero dos: Esto se llama 'dos'--y asi diciendo se indican dos nueces--es perfectamente exacta.--?Pero como es posible definir el dos de esta forma? A quien se le da la definicion no sabe que se quiere denominar con 'dos'; supondra que !tu denominas este grupo de nueces! --Puede suponerlo, pero tal vez no lo supone. Por el contrario, si queremos atribuir un nombre a este grupo de nueces, el otro podria pensarlo como un numeral. Y, de la misma, manera, a quien yo le doy una definicion ostensiva del nombre de una persona podria interpretarlo como el nombre de un color, como la designacion de una raza incluso con el nombre de un punto cardinal.

Esto quiere decir que la definicion ostensiva puede en cualquier caso ser interpretada en esta o en otras formas posibles. (PI, parr. 28)

La definicion ostensiva explica el uso--el significado--de la palabra cuando el papel total de la palabra en el lenguaje es ya claro. (PI, parr. 30)

Quien llega a una tierra extranjera en ocasiones aprende el idioma de los nativos del lugar mediante las definiciones ostensivas que ellos les dan; y generalmente debera adivinar como se deben interpretar estas definiciones y en ocasiones su adivinacion es correcta, en otras no. (PI, parr. 32)

La definicion ostensiva a la cual hace referencia Wittgenstein esta basada en primera instancia en un gesto, aquel hecho por quien ensena dirigiendose a quien esta aprendiendo, indicando un objeto; la definicion ostensiva puede servir para hacer aprender algo alrededor a la cosa concreta (nuez) o a algo abstracto (dos), como en nuestro caso. Estamos frente a una version de la paradoja cognitiva. Lo cual nos vuelve a enviar, a nosotros y a Wittgenstein, a Agustin: "Agustin describe el aprendizaje del lenguaje humano igual que si el nino arribase en tierra extranjera y no comprendiese el idioma del pais; en otras palabras: como si poseyese ya una lengua, pero no dicha lengua" (PI, I, parr. 32).

Pero Wittgenstein es aun mas radical dado que llega a afirmar que no se trata solo de la situacion paradoxal del aprender, sino que tambien involucra el ensenar: podemos significativamente indicar algo a alguien solo al interior de un juego linguistico, solo con reglas compartidas; ni siquiera la frase banal "Esto es ..." se puede decir dando un sentido a lo dicho, muchas cosas deberian ser ya conocidas y concordadas (PI, I, parr. 31). En otras palabras, la ensenanza ostensiva presupone un lenguaje que el aprendiz no conoce; de otra parte, el exito de la definicion ostensiva exige el dominio individual de un lenguaje (Williams, 1999): "Se debe ya conocer (o ser capaces de hacer) algo para ser capaces de pedir el nombre de una cosa" (PI, I, parr. 30).

Para Wittgenstein la ensenanza ostensiva debe por tanto estar acompanada de una ensenanza sobre el uso del signo. Pero, el uso del signo esta determinado por la practica en la cual el signo esta inmerso, por tanto presupone un contexto de dominio de un lenguaje (Williams, 1999).

Nos parece que las posiciones precedentemente ilustradas de Wittgenstein constituyen otro precedente de la paradoja cognitiva de Duval.

3.9. Luis Radford

Queremos aun recordar al lector que no es nuestra intencion dar una lista exhaustiva de todos los estudiosos que han afrontado las problematicas escondidas en aquella que hemos llamamos "paradoja cognitiva"; queremos solo mostrar algunos antecedentes historicos, evidenciando aquellos autores que, mas que otros, expresaron por escrito posiciones cercanas a aquellas descritas en la "paradoja".

Pero no queremos silenciar una posicion que no es precedente, sino sucesiva, dado que las palabras usadas por este autor, como veremos, son similares a aquellas usadas por Raymond Duval.

A modo de cierre, retomamos lo enunciado por Luis Radford: "El problema epistemologico se puede sintetizar en la siguiente pregunta: ?Como podemos llegar al conocimiento de estos objetos generales, dado que no tenemos acceso a estos objetos sino a traves de representaciones que nos hacemos de estos?" (Radford, 2005, p. 195).

Fuera de toda duda, la representacion de los objetos en Matematica privilegia el uso de signos especificos; pero los signos son artefactos, objetos a su vez "linguisticos" (en un sentido amplio), terminos que tienen como objetivo representar para indicar: "?Cuales son los medios para mostrar el objeto? Son aquellos que denomino medios semioticos de objetivacion. Son objetos, artefactos, terminos linguisticos, en general signos, que se utilizan para hacer visible una intencion y para conducir a termine una accion" (Radford, 2005, p. 203).

El significado de un objeto emerge, por tanto, de los medios semioticos de objetivacion, es decir, por signos, gestos, lenguajes, artefactos que permiten tomar conciencia subjetiva del objeto (Radford, 2003).

En la direccion de Radford (1997, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2013), especificamente socio-cultural, los objetos matematicos son considerados como "modelos fijos" de actividad, "fijos" no en naturaleza, no en la mente, sino en la practica social:

Desde el punto de vista de una antropologia epistemologica, la forma en la cual yo considero que el enigma de los objetos matematicos pueda ser resuelto es considerar los objetos matematicos como modelos fijos de actividades incorporados en el reino siempre mutable de la practica social mediata y reflexiva. (Radford, 2004, p. 21)

Y los signos estan siempre incorporados en sistemas semioticos culturales, sistemas historica y socialmente constituidos que incluyen las convicciones de una cultura y los modelos sociales de produccion de significado. Los signos no son, en cualquier caso, meros indicadores de actividad mental, sino que son parte constitutiva del pensar y el conocimiento es concebido como el producto de una praxis reflexiva cognitiva mediada. En dicho enfoque, por tanto, el conocimiento es una forma de reflexion codificada historica y culturalmente; los objetos de conocimiento son puras posibilidades que adquieren realidad solamente a traves de la actividad, confundiendose con esta. El aprendizaje, en cuanto proceso de objetivacion, se confunde o se identifica con el proceso social de progresiva y critica toma de consciencia de sistemas de ideas, significados culturales, formas de pensamiento, entre otros, incorporados en los medios semioticos de objetivacion.

CONCLUSION

La teoria y la practica se funden en una admirable vision unica y multiple, cuando se inspiran la una en la otra. Colaboran, una para proponer problemas a la otra, la otra para pedir organizaciones y definiciones que no pueden depender de toda la gama posible de casos posibles.

Una situacion que la practica nos permite cuestionar es la siguiente: es relevante analizar el momento en el que una docente de pre-escolar presenta a sus estudiantes un objeto de madera, pintado de rojo con la forma de un cubo, denominandolo "cubo" (por tanto: una representacion ostensiva y linguistica, una doble representacion semiotica); y al dia siguiente, al mostrar otro objeto de metal gris, brillante, con mayor volumen siempre en forma de cubo, llamandolo de nuevo 'cubo', se encontro frente a risas de ninos que consideraban que la maestra los estaba enganando. Para los ninos, cubo era la denominacion de aquel objeto, "el objeto de ayer, rojo y de madera".

?Como 'limpiar' un significado de todas las componentes indexales desviantes que todo objeto de la realidad concreta lleva consigo? ?De que sabor es una piramide? ?Que olor tiene una recta? ?Pesa mas un angulo o un numero primo? Lejos de ser preguntas ligeras, estas son preguntas embarazosas de cierto espesor.

Sabemos que la equivalencia semantica o aquella semiotica son conquistas que, enunciadas por Platon, solo ahora se comienzan a entender, pero estas equivalencias constituyen la base de la Matematica.

El estudiante indefenso, que tiene todo el derecho de ser ignorante en sentido etimologico, que debe construir cognitivamente los objetos de la Matematica, se ve obligado a confundir el objeto con su representacion semiotica. Hemos mostrado desde diferentes corrientes filosoficas que esto tiene una explicacion teorica y que no solo depende de la voluntad del individuo. Esta es una contribucion mas al conocimiento y, sobre todo, a la construccion del conocimiento.

Kant toca el problema pero no lo estudia en profundidad. Para el, el ser humano que construye conocimiento es un adulto culto que sabe y que desea construir conocimiento, un adulto culto que sabe y que desea saber mas; no examina el caso del joven, inmerso en una institucion, que parte de bases muy diferentes. Pero nosotros, hoy sabemos que el bagaje de conocimiento que se construye esta constituido por el objeto que el docente (o la institucion) propone y pretende que se conozca y se construya, con toda la complicacion semiotica que esto trae con si, el lenguaje tipico de la disciplina que juega un papel importante entre las teorias y las practicas.

Una buena dosis de referencias filosoficas que ilustran la problematica, lejos de ser un ejercicio esteril de estilo analitico, es, por el contrario, una base solida para fundamentar la cuestion.

Por otra lado, no somos los primeros en establecer relaciones entre lo que se conoce y lo que no se conoce: esta relacion es posible solo cuando lo que se ignora tenga al menos algo que ver con lo que constituye lo conocido; esta es una de las bases de la Doctae Ignorantiae de Nicola Cusano (1401 - 1464) (tomada en prestamo de Agustin, en realidad). En nuestra paradoja, si el objeto matematico es desconocido y de este se nos presenta una representacion semiotica en un determinado registro, lo que vemos, escuchamos, tocamos, olemos, probamos, es el objeto-representacion no el objeto matematico en si. Porque, precisamente, tenemos a disposicion otras representaciones semioticas que constituyen aquello que para Cusano seria lo que tiene "al menos algo que ver con lo que constituye lo conocido".

Y, dado que Husserl nos ha ensenado a valorizar la intencion comunicativa, todo esto se relaciona con ciertas consideraciones famosas de Lev Semenovich Vygotsky (1896-1934) para quien el desarrollo en general y el desarrollo cognitivo del joven son netamente influenciados por el ambiente social, es decir, por las interacciones semioticas entre seres humanos (entre las cuales el lenguaje es privilegiado) al interno del ambiente con funciones y resultados muy diversos entre las interacciones adulto-joven y entre coetaneos. El desarrollo cognitivo se describe en terminos de interacciones sociales, actividades mediadas e interiorizadas por formas culturales; el signo (linguistico) ejerce aqui como mediador entre el individuo y su contexto, ademas que hace de contenedor de significado; en particular, es un medio de transformacion de las funcion psiquicas del individuo; es esto precisamente lo que permite el pasaje de los objetos de conocimiento del plano social al plano individual. La produccion semiotica esta, sin embargo, limitada al lenguaje.

En resumen y para cerrar este analisis teorico, la paradoja permanece porque no puede ser de otra forma; porque es ella parte de la realidad cognitiva.

Autores

Bruno D'Amore. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, Bogota, Colombia y Universidad de Bologna, Italia. bruno.damore@unibo.it

Martha Isabel Fandino Pinilla. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, Bogota, Colombia y Universidad de Bologna, Italia. bruno.damore@unibo.it

Maura Iori. Universidad de Palermo, Italia. maura@iori-maura.191.it

Maurizio Matteuzzi. Universidad de Bologna, Italia. maurizio.matteuzzi@unibo.it

Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa (2015) 18 (2): 177-212. Recepcion: Marzo 29, 2013 / Aceptacion: Enero 16, 2015. DOI: 10.12802/relime.13.1822

AGRADECIMIENTOS

Los autores de este articulo expresen su agradecimiento a los tres revisores competentes anonimos quienes se mostraron generosos proponiendo modificaciones a las versiones precedentes.

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(1) El texto reportado es el que se encuentra en Duval (1993); siendo pasados mas de veinte anos, es obvio que todos nosotros y en particular el mismo autor identifiquen en dicho texto frases que podrian ser escritas de otra forma, incluso teniendo cuenta de los estudios criticos sucesivos llevados a cabo por el mismo Duval y por otros investigadores. Pero nuestro objetivo no es critico-analitico, queremos solo hacer una resena historica y por tanto debemos aceptar los textos por lo que son en origen y usar las fuentes de forma correcta, sin aportar modificaciones.

(2) En la fisica estoica, casi todo constituye una entidad material, incluso Dios, el alma y el pensamiento.

(3) Traduccion libre: Un signo es algo que, mas alla de su aspecto sensible, trae a la mente algo diferente de si, como la huella que deja un animal, el humo del cual se infiere la presencia del fuego, el lamento que indica dolor, o la trompeta que comunica ordenes a los soldados.

(4) Traduccion libre: Se definen genericamente signos todas las cosas que significan algo, y entre estos se encuentran tambien las palabras.

(5) Traduccion libre: Cuando, de hecho, me han dado un signo, si me encuentro en que no tengo conocimiento de la cosa de la cual es signo, no puede ensenarme nada; pero, si ya lo conozco, entonces ?que estoy aprendiendo mediante el signo?

(6) Erdmann lo titula: Dialogus de connexione inter res et verba, et veritatis realitate, mientras que el mismo Leibniz lo habia titulado simplemente: Dialogus. Leibniz nos proporciona tambien una fecha exacta, escribiendo debajo del titulo: "August, 1677"

(7) Actualmente, despues del segundo Wittgenstein, se tiende a distinguir entre posiciones realistas, precisamente, y pragmatistas (D'Amore, 2001; D'Amore e Fandino Pinilla, 2001; y otros).

(8) Traduccion libre: Asi, la verdad es una propiedad de las proposiciones o de los pensamientos pero en cuanto estos son posibles; entonces, por lo menos esto es cierto, que, si alguien piensa de una o de otra forma, su pensamiento resultara falso o verdadero.

(9) Traduccion libre: Prueba, si lo logras, !a hacer un calculo aritmetico sin signos numerales!

(10) En el margen de la hoja, Leibniz anota la celebre frase que el logico frances Louis Couturat (1868-1914) elegira como mote: "Cum Deus calculat [...] fit mundus" (Cuando Dios calcula se hace el mundo).

(11) La traduccion al espanol es Sobre Sentido y Referencia, terminos comunes en los trabajos de filosofia en castellano de esta obra (por ejemplo, vease: editor Jesus Mosterin, Editorial Critica Grijalbo Mondadori, Barcelona, 1996). Sin embargo, fue el mismo Frege a pronunciarse por la solucion Sentido y significado, en una letra personal (una de las tantas) a Giuseppe Peano (1858-1932); lo cual consideramos cierra la cuestion.

(12) Traduccion libre: Son iguales los que se pueden substituir mutuamente.

(13) Traduccion libre: No andar fuera, entra en ti mismo.

(14) Usamos aqui 'sentido' en la acepcion de Husserl, la cual es diversa de la acepcion que proporciona Frege.

(15) PI = Philosophical Investigations (Wittgenstein, 1953), parte I, seguida del numero de parrafo; Parte II, seguida del numero de pagina.

(16) La tentacion de decir algo mas en esta direccion, citando el Wittgenstein del Tractatus (1921/1922) es muy fuerte, pero nos llevaria demasiado lejos.

(17) PG = Philosophische Grammatik (Wittgenstein, 1913).
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Author:D'Amore, Bruno; Pinilla, Martha Isabel Fandino; Iori, Maura; Matteuzzi, Maurizio
Publication:Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa
Date:Jul 1, 2015
Words:14956
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