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Analisis del comportamiento de un ciclo tipo Carnot.

Analysis of the Behavior of a Carnot Type Cycle

INTRODUCCION

En el contexto de la Termodinamica Clasica de Equilibrio, el modelo mas simple de una maquina que transforma calor en trabajo es el conocido ciclo de Carnot. El comportamiento de la maquina termica, representada por este ciclo, se expresa por la relacion entre la cantidad eficiencia [eta], y la razon de las temperaturas de los almacenes de calor [epsilon] = [T.sub.2]/[T.sub.1], la eficiencia de Carnot [[eta].sub.C] = [[eta].sub.C] ([epsilon]), dada por,

[[eta].sub.C] [equivalente a] - [T.sub.2]/[T.sub.1]. (1)

Las temperaturas de los almacenes frio y caliente, respectivamente, son [T.sub.2] y [T.sub.1] (que se supone son las mismas que las temperaturas de trabajo de la maquina termica, ver figura 1), y [[eta].sub.C] constituye un limite fisico para cualquier maquina termica. El ciclo de Carnot paga el precio de ser el mas eficiente posible con tener una potencia nula, pues los procesos que lo componen son infinitamente lentos.

[FIGURA 1 OMITIR]

Un ciclo mas realista que el de Carnot es el ciclo modificado de la Figura 2, con potencia no nula, donde se toman en cuenta los procesos de transferencia de calor entre el sistema y sus alrededores, hallando el tiempo de duracion de dichos procesos, propuesto por Curzon y Ahlborn (1975). Al suponer una conductancia termica a, constante, y que la transferencia de calor se realiza como indica la ley de enfriamiento de Newton, para este ciclo se puede escribir,

dQ/dt = [(-1).sup.i-1][alfa]{[T.sub.i] - [T.sub.iw]); i = 1,2. (2)

La rapidez de transferencia de calor Q es dQ/dt, Ti es la temperatura de la fuente (caliente o fria) y [T.sub.iw] es la temperatura de trabajo de la maquina. Para el ciclo de Carnot se tiene [T.sub.2] = [T.sub.2w] y [T.sub.1] = [T.sub.1w].

[FIGURA 2 OMITIR]

Para el ciclo a potencia maxima, Curzon y Ahlborn obtuvieron una eficiencia como la hallada para plantas nucleo-electricas por Novikov (1957) y Chambadal (1957), conocida como eficiencia de Curzon-Alborn-Novikov-Chambadal, y que tambien es funcion de la razon de temperaturas [T.sub.2]/[T.sub.1], por lo que la eficiencia de Curzon-Ahlborn-Novikov-Chambadal es [[eta].sub.CAN]([epsilon]), y se encuentra como,

[[eta].sub.CAN] [equivalente a] 1 - [raiz cuadrada de ([T.sub.2]/[T.sub.1])]. (3)

A partir del trabajo de Curzon y Ahlborn, se desarrollo una nueva manera de analizar los sistemas termodinamicos, llamada Termodinamica de Tiempos Finitos. Siguiendo esta linea, Gutkowicz-Krusin et al (1978) propusieron tomar en cuenta la razon de compresion, y por otro lado Angulo Brown (1991b) propuso tomar en cuenta la produccion de entropia a traves de una funcion, llamada funcion ecologica, que representa la relacion entre potencia producida P y produccion de entropia [sigma],

E = P - [sigma]. (4)

En este contexto, en la mayoria de los trabajos, aun los mas recientes, se busca una funcion objetivo y la eficiencia obtenida a partir de ella, como funcion de algun parametro controlable. Asi, entre otros, Curzon y Ahlborn (1975), Gutkowicz-Krusin et al (1978), Agrawal et al (1994) y De Vos (1985) maximizaron la potencia de salida; Torres (1988), Angulo-Brown (1991a) y Bejan (1996) minimizaron la produccion de entropia; Angulo-Brown (1991b), Cheng y Chen (1997), Ladino-Luna y de la selva (2000) y Velasco et al (2000) maximizaron la funcion ecologica.

Se han analizado otros aspectos del funcionamiento de una maquina termica, por ejemplo, recientemente, Agnew y Ameli (2004), Ladino-Luna y Paez-Hernandez (2005), Chen et al (2005), Ust (2009) y Huang y Sun (2008) analizaron un ciclo de refrigeracion; Qin et al (2003), Ust et al (2005) y Ladino-Luna (2007) analizaron ciclos con irreversibilidades internas. Otros problemas diversos se abordan en Ladino-Luna (2005), Wang et al (2008) y Ladino-Luna (2008). Sin embargo, en ninguno de estos trabajos se hace un analisis de las regiones de existencia de las funciones objetivo, arriba indicadas.

En el presente trabajo, a partir de las expresiones para potencia de salida y funcion ecologica, halladas respectivamente en Gutkowicz-Krusin et al (1978), y Ladino-Luna y de la Selva (2000), con un gas ideal como substancia de trabajo, encerrado por un embolo movil en un cilindro, y la ley de transferencia de calor de Newton, con conductancia termica [alfa] constante, se analiza graficamente la manera como aparecen las curvas que representan el funcionamiento del ciclo de Curzon y Ahlborn, para maxima potencia y maxima funcion ecologica, en un plano de ciertas coordenadas. El trabajo tiene dos objetivos: mostrar uno de los aspectos de la llamada termodinamica de tiempos finitos y mostrar como aparecen las curvas que representan la potencia de salida, la funcion ecologica y la eficiencia, dado un modelo de maquina termica. Las graficas se obtienen utilizando el paquete llamado Scientific Work Place (SWP). Es posible construir estas graficas con otros paquetes computacionales, pero SWP tiene la ventaja de poder escribir las ecuaciones por graficar de manera natural, y al mismo tiempo realizar amplificaciones que muestren detalles ocultos de las figuras.

POTENCIA Y FUNCION ECOLOGICA

En los trabajos arriba citados se realiza la construccion de la funcion objetivo en terminos de dos variables. Asi, en el caso particular de Gutkowicz-Krusin et al (1978), Agrawal et al (1994) y Ladino-Luna y de la Selva (2000), la funcion objetivo se escribe, para el sistema gas + embolo, como

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], potencia de salida (5)

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII], funcion ecologica. (6)

Con el cambio de variables u = [T.sub.1w]/[T.sub.1] y z = [T.sub.2w]/[T.sub.1w], y con la relacion para procesos adiabaticos reversibles [TV.sup.[gamma]-1] = const., se tiene,

P = [alfa][T.sub.1] [(1 - z)(1 + [lambda] ln z) [(1/1 - u] + [z/uz - [epsilon]).sup.-1], potencia de salida, (7)

E = [alfa][T.sub.1](1 + [epsilon] - 2z)(1 + [lambda] ln z)[([1/1 - u] + [z/[zu-[epsilon]]).sup.-1], funcion ecologica. (8)

Se ha introducido el parametro [lambda] [equivalente a] (([gamma]-x)ln[([V.sub.3]/[V.sub.1])).sup.-1] para el caso de adiabatas no instantaneas. El problema mas simple es cuando [lambda] = 0, y corresponde al llamado ciclo endorreversible. Asi, las expresiones de la potencia y la funcion ecologica, para valores constantes de [alfa], [T.sub.1], [epsilon] y [lambda], son funcion de las variables u y z, esto es, P = P(u, z) y E = E(u, z) y a partir de las expresiones (7) y (8) se encuentra que existe una region de existencia para ellas en el plano (u, z).

Funcion potencia

En la figura 3 se ha graficado P/([alfa][T.sub.1]) a partir de (7), para las variables u y z, tomando como parametros constantes [epsilon] = 0.5 y [lambda] = 0. En el rectangulo [0,1]X[0,1], P tiene valores mayores que cero en el intervalo [epsilon] < z < x, y al ser cortada la superficie por un plano u = constante, se genera una curva con un extremo maximo, para la variable z. Esto equivale a proyectar la superficie sobre un plano (z, P). Tambien se observa una sub-region del rectangulo [0,1]X[0,1] donde P no es cero, con valores de z mayores a [epsilon], que se hace importante cerca del punto (1,1). Este comportamiento se observa con la relacion entre u y z, de modo que u = u(z) y P = P(u(z),z). Al maximizar P se obtiene la expresion analitica de la curva [P.sub.max] = [P.sub.max](u(z),z), donde se tiene que u = ([epsilon] + z)/(2z),

[P.sub.max] = [alfa][T.sub.1] [(z-[epsilon])(1 - z)(1 + [lambda]ln z)/4z]. (9)

Observese que la superficie es asintotica para el valor z = [epsilon], de manera que la region de existencia fisica para la potencia es solo la superficie que aparece a medida que se disminuye la escala de valores de P/([alfa][T.sub.1]).

[FIGURA 3 OMITIR]

Como P [mayor que o igual a] 0, z debe estar en el intervalo fisicamente posible [[epsilon], 1], esto es [epsilon] [menor que o igual a] z [menor que o igual a] 1; asi, [epsilon] [menor que o igual a] u [menor que o igual a] 1, es decir, la region fisicamente importante del plano (u, z) es el rectangulo [[epsilon], 1] x [[epsilon], x], como se observa en la figura 4. Bajo estas condiciones se cumple [P.sub.max] = [P.sub.max](u(z),z). Para adiabatas instantaneas en el ciclo se tiene [z.sub.0] = z([lambda] = 0) = [raiz cuadrada de ([epsilon])], por tanto,

[[eta].sub.max] = 1 - z([lambda] = 0, [epsilon]) = [[eta].sub.CAN], (10)

[FIGURA 4 OMITIR]

Funcion ecologica

Con las mismas suposiciones que para la potencia, se construye la produccion de entropia para tener la forma de la funcion ecologica, definida como E = P - [T.sub.2][sigma], para hallar la region en que se tendra un maximo de dicha funcion. Se conocen los calores absorbido y cedido por el sistema, entonces la produccion de entropia en el ciclo es [sigma] [equivalente a] [[DELTA]S/[t.sub.TOT]], de manera que la funcion ecologica se puede escribir como en (8). Las graficas de la figura 5 muestran el comportamiento de E(u, z), en forma semejante a P(u, z). Es importante observar que tambien existe una sub-region del rectangulo [0,1] x [0,1] fisicamente posible para los valores de u y z. Para hallar dicha sub-region se buscara primero u = u(z), de manera de obtener E = E(u(z), z).

Asi, puesto que E [mayor que o igual a] 0, para [lambda] = 0, se debe cumplir que [epsilon] [menor que o igual a] z [menor que o igual a] (1 + [epsilon])/2 y 2[epsilon]/(1 + [epsilon]) [menor que o igual a] u [menor que o igual a] 1 se encuentra que la sub-region de existencia fisica de la funcion ecologica es el rectangulo [[epsilon], (1 + [epsilon])/2]x[2[epsilon]/(1 + [epsilon]), 1], para las variables z y u, obteniendose las graficas de la figura 6, en donde la segunda grafica muestra como va emergiendo la funcion ecologica en su region de existencia fisica.

La maximizacion de E = E(u, z), permite obtener la expresion para la funcion ecologica maxima en funcion solo de z, de manera semejante a la potencia maxima, expresion (9), tambien para el valor u = ([epsilon]+ z)/(2z), como,

[E.sub.max] = [alfa][T.sub.1] [(z - [epsilon])(1 + [epsilon] - 2z)(1 + [lambda]ln z)/4z]. (11)

Se observa en las figura 4 y 6 que [P.sub.max] y [E.sub.max] son dos curva que coinciden en z = [epsilon], en donde [sigma] = 0, de manera que la figura 7 es una grafica que muestra la relacion entre estas tres cantidades, para valores dados de [epsilon]. El plano obtenido es para u = const. y [lambda] = 0. Se observa que E es maxima cuando al mismo tiempo se tiene una baja produccion de entropia y una alta potencia producida.

[FIGURA 6 OMITIR]

[FIGURA 7 OMITIR]

CONCLUSIONES

Como se observa, una vez que se construye la forma de la funcion a maximizar, la funcion objetivo, y halladas las relaciones entre las variables en las que se le quiere describir, es conveniente realizar un analisis desde el punto de vista del calculo, que permita establecer con claridad el dominio de existencia fisica de la funcion objetivo y de la eficiencia correspondiente, para modelar graficamente el funcionamiento de una maquina termica. A medida que uno reduce el intervalo de valores de dicha funcion, se puede observar con claridad la region de existencia fisica de dicha funcion, asi como la forma que adquiere para valores constantes dados de una de las variables introducidas, Asi, es posible obtener las graficas que usualmente se encuentran en la literatura, como la de la figura 7.

doi:10.1612/inf.tecnol.4376it.09

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece el apoyo del CONACYT (Mexico), a traves del convenio SNI-10171.

REFERENCIAS

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Delfino Ladino-Luna

Universidad Autonoma Metropolitana-Atzcapotzalco, Area de Fisica de Procesos Irreversibles, Dpto. de Ciencias Basicas, Av. San Pablo 180, Col. Reynosa, 02200, Atzcapotzalco, D. F.-Mexico

(e-mail: dll@correo.azc.uam.mx)

Recibido Oct. 26, 2009; Aceptado Ene. 08, 2010; Version Final recibida Feb. 12, 2010
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Author:Ladino-Luna, Delfino
Publication:Informacion Tecnologica
Date:Aug 1, 2010
Words:2755
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