Printer Friendly

An empirical investigation on omega optimised stock portfolio/Omega atzvilgiu optimizuoto akciju portfelio empiriniai tyrimai.

Ivadas

Rizikos valdymas, iskaitant ir investiciju portfelio rizikos valdyma, reikalauja nustatyti svarbiausius rizikos saltinius, priemones ar budus, kurie leistu maksimaliai pagerinti rizikos ir atlygio santyki. Jei investiciju portfelio graza ir nuostoliai butu pasiskirste pagal normaluji desni, efektyviuosius portfelius galetume sudaryti remdamiesi vien tik gerai zinomu Markovico (Harry M. Markowitz) vidurkiu ir dispersiju modeliu. Kad kainu pokyciai nera normaliai pasiskirste ir pasizymi asimetrija, ekscesu ir dideliais nuokrypiais, pirmasis pastebejo B. Mandelbrotas (B. Mandelbrot) dar 1969 m. Siandien neabejojama, kad ekstremalus pokyciai vertybiniu popieriu rinkose turi gerokai didesne tikimybe nei galima butu tiketis remiantis Gauso atsitiktiniu procesu. Nors akciju "negausiskumo" problema santykinai yra mazesne nei kredito vertybiniu popieriu, isvestiniu ir kitu finansiniu priemoniu, pasizyminciu "netiesiskomis" ismokomis, taciau grazu "negausiskumas" reiskia, kad reali akciju portfelio rizika, su kuria susiduria portfelio valdytojas, yra gerokai didesne nei rodo rizikai matuoti istoriskai placiai naudojamas grazu kintamumas (standartinis nuokrypis). Rizikos mato, padedancio geriau ivertinti rizika ir valdyti rizikos ir atlygio santyki, paieskos priverte is naujo perziureti rizikos apibrezima ir leme nauju portfelio formavimo ir optimizavimo metodu paieska. Salia tradicinio poziurio i rizikos ir atlygio santykio optimizavima atsirado naujas poziuris, kurio esme--tikimybiskai modeliuoti tiketina investiciju graza ir prisiimama rizika.

Isauges kasdienis rinku kintamumas ir dideli kainu svyravimai be abejones kelia investuotoju nerima, taciau investuotojus labiausiai gasdina negriztamu netekciu gresme. Naturalu, kad sis susirupinimas ypac isauga, kai finansu rinku augimo tendencijas keicia "lokiu" rinka, pasizyminti mazejanciomis kainomis. Simetriniai kintamumo matai "nediskriminuoja" netekimu rizikos, nors investuotojai vengia neigiamos rizikos ir mielai priima teigiama rizika.

Asimetrinio rizikos mato ideja nera nauja. Pries daugiau nei puse amziaus A. Rojus (Roy 1952) pasiule portfelio sudarymo koncepcija, paremta principu "pirmiausia--saugumas", kurios esme--portfelio pozicijoms taikyti tokius apribojimus, kurie sumazintu tikimybe, kad pelnas per ateinanti laikotarpi bus mazesnis uz kritini lygi, nustatyta is anksto. H. Markovicas savo darbuose svarste galimybe naudoti daline variacija kaip neigiamos rizikos mata. Investiciju valdymo bendrove "JP Morgan" 1994 m. viesai paskelbe savo rizikos valdymo sistema, paremta rizikos vertes (angl. value at risk, VaR) koncepcija. Rizikos verte yra didziausias tiketinas nuostolis per tam tikra laikotarpi esant tam tikram patikimumo lygmeniui. Bazelio banku prieziuros komitetui 2004 m. patvirtinus nauja banku kapitalo pakankamumo skaiciavimo metodika, rizikos verte tapo sektoriaus standartu. Nepaisant to, del dideliu trukumu sis matas nera placiai naudojamas optimizuojant investiciju portfelius. Artzner et al. (1999) irode, kad VaR rizikos matas gali neatitikti dvieju koherentinio (ang. coherent) mato savybiu--subadityvumumo ir monotoniskumo, jei kintamojo skirstinys nepriklauso elipsiniu skirstiniu seimai. Rizikos mato suderinamumas yra svarbus del keliu priezasciu: subadityvumumo ir monotoniskumo savybes garantuoja globaliai optimalaus sprendimo egzistavima. Subadityvumo savybes nebuvimas reiskia, kad dvieju investiciju bendra VaR rizika gali buti didesne uz ju atskirai paimta VaR rizika, t. y. diversifikuojant portfeli VaR isaugtu. Be jau isvardytu trukumu, VaR neivertina galimo netiketinu nuostoliu dydzio, t. y. neivertina rizikos, perzengiancios VaR lygi, situacijos, daznai pasitaikancios kylant neiprastam rinku kintamumui.

Rockafellar ir Uryasev (2000) pasiule naudoti alternatyvu procentilini rizikos mata--salygine rizikos verte (angl. Conditional value-at-risk, CVaR), leidziancia ivertinti nuostolius, kai sie perzengia VaR riba. Salygine rizikos verte tenkina koherentinio mato savybes (Pflug 2000), todel gali buti lengvai optimizuojama. Efektyviuju portfeliu kreive gaunama imant skirtingas tiketinos grazos reiksmes ir minimizuoj ant CVaR. Kai grazu skirstiniai yra normalieji, CVaR ir VaR matai yra ekvivalentus Rockafellar ir Uryasev (2002).

Maksimalaus praradimo mata pirmieji pasiule Grossman ir Zhou (1993). Maksimalus praradimas (angl. maximum drawdown) apibreziamas kaip portfelio arba pozicijos didziausios ir maziausios vertes skirtumas, susidares per pasirinkta laikotarpi. Kadangi praejusio laikotarpio maksimalaus praradimo verte priklauso tik nuo vieno kainu kritimo taskinio ivercio, sis matas nera labai patogus, kai norime palyginti skirtingu laikotarpiu rezultatus, gautus naudojant skirtingas portfeliu formavimo strategijas. Gerokai praktiskesnis praradimu matas--praradimu skirstinys, esant tam tikram patikimumo lygmeniui, zinomas kaip salygine praradimu verte (angl. Conditional Drawdown-atRisk, CDaR). Portfelio optimizavimo budus, naudojant salygine praradimu verte, istyre ir pasiule Chekhlov, Uryasev ir Zabarankin (2005).

Naturalu, kad vienas is pagrindiniu kritikos metodu, paremtu nuostoliu rizikos matais, argumentu yra tas, kad sie metodai pernelyg koncentruojasi i siekima isvengti galimu nuostoliu ir mazai demesio skiria grazos, atitinkancios rizika, uztikrinimui. Kad investuotojai butu patenkinti, nepakanka vien tik riboti nuostolius--investuotojai pageidauja gauti " asimetriska" graza, t. y. kad pelnas virsytu nuostolius (Avouyi-Dovi, Morin, Neto 2004). Keating ir Shadwick (2002b) pasiule nauja investiciju rezultatu vertinimo metoda, paremta klasikiniu tiketinu pelno ir nuostoliu principu,--omega (angl. Omega) rodikli. Sis rodiklis--tai tikimybes, kad graza virsys pasirinkta ribini dydi, ir tikimybes, kad graza bus mazesne uz pasirinkta ribini dydi, santykis. Aukstesnis omega rodiklis reiskia geresni investiciju rezultata. Skirtingai nei placiai naudojamas Sarpo (angl. Sharpe) rodiklis, kuris ivertina tik du pirmuosius skirstinio momentus, omega rodiklis ivertina visa tikimybini skirstini ir leidzia objektyviai ivertinti rezultatus ir tais atvejais, kai grazos pasizymi asimetrija ir sunkiais krastais. Omega rodikli paprasta naudoti vertinant praejusiu laikotarpiu rezultatus, taciau omega funkcija nera iskilioji, todel portfeli optimizuoti naudojant sia funkcija yra gana keblu. Mausser, Saunders ir Seco (2006) pasiule buda, kuris tam tikromis salygomis leidzia portfelio omega optimizavimo uzdavini isspresti tiesinio programavimo metodais, taciau bendruoju atveju toks metodas netinka. Kitais atvejais portfelis optimizuojamas pagal euristinius optimizavimo metodus (Gilli, Schumann 2010) ar kitus globalaus optimizavimo metodus (Kane et al. 2009).

Nepaisant didelio susidomejimo naujais rizikos matais, empiriniu studiju, kurios palygintu klasikinius optimizavimo metodus su naujais ir atsakytu i klausima, ar naujieji rizikos matai tinkami optimizuojant investiciju portfelius, nera daug. Todel siame darbe keliamas tikslas--atliekant modelio griztamaji patikrinima su istoriniais duomenimis, istirti pagrindines omega funkcijos atzvilgiu optimizuotu akciju portfeliu charakteristikas, gautus rezultatus palyginti su rezultatais, gautais pagal klasikinius portfelio optimizavimo metodus bei placiausiai taikomas ju modifikacijas, taip pat portfeliais sudarytas pagal "naivius" portfeliu sudarymo budus. Remiantis gautais rezultatais, pasiulyti konkrecius modelio igyvendinimo sprendimus.

1. Klasikine portfelio teorija ir jos kritika

Klasikines portfelio teorijos sukurimo data galima laikyti 1952 m., kai H. Markovicas isspausdino portfelio pasirinkimo teorija (Markowitz 1952). Optimalaus portfelio, vadinamo efektyviuoju portfeliu, parinkimo problema H. Markovicas formulavo kaip matematini optimizavimo uzdavini: maksimizuojamas portfelio grazos vidurkis, kai fiksuota dispersija:

max w' [mu] - [lambda]/2 w'[summation]w,

cia w--portfeli sudaranciu vertybiniu popieriu (poziciju) svoriu koeficientai; [mu]--vertybiniu popieriu grazu vidurkiai, [summation]--grazu kovariacine matrica; [lambda]--investuotojo tolerancijos rizikai koeficientas. Optimizuojant portfeli paprastai nustatoma viso investavimo salyga, t. y. kad svoriu suma butu lydi vienetui, o kai draudziamas nepadengtasis pardavimas, nustatoma papildoma [w.sub.i] [greater than or equal to] 0 salyga.

Remdamiesi H. Markovico portfelio teorija, investuotojai, rinkdamiesi investiciju portfeli, vadovaujasi tik dviem charakteristikomis: laukiama graza ir rizika, kuriai matuoti naudojama dispersija, t. y. daugiamate investiciju pasirinkimo problema, kai, esant neapibreztumui, is daugelio skirtingas charakteristikas turinciu turto rusiu reikia sudaryti investiciju portfeli, Markovicas supaprastino iki dvieju matmenu. Del to sis portfelio optimizavimo metodas daznai vadinamas vidurkiu ir dispersiju (MV) metodu. Portfelis laikomas MV optimaliu, jei, esant tam tiktam fiksuotam vidutiniam pajamingumui, minimizuojama rizika arba, esant tam tikrai fiksuotai rizikai, maksimizuojama laukiama graza. Optimaliu portfeliu aibe, sudaryta atsizvelgiant i skirtinga investuotoju tolerancija rizikai, vadinama efektyviuju portfeliu kreive.

Nepaisant dideles modelio sekmes akademiniuose sluoksniuose, praktinis sio modelio pritaikymas nebuvo labai sekmingas, nes buvo greitai pastebeta, kad MV portfeliai nepasizymi nei geru investiciju isskaidymu, nei stabilumu. MV portfelis yra ex ante optimalus, kai ivesties parametrai yra "zinomi". Kadangi "tikruju" parametru praktikoje nezinome, o naudojami ju iverciai dazniausiai pervertina "tikrasias" reiksmes arba ju tinkamai neivertina, "optimizuotas" portfelis gali buti daug blogesnis nei neoptimizuotas portfelis, sudarytas taikant "naivius" rizikos isskaidymo metodus, pvz., lesas portfelyje paskirstant vienodomis dalimis.

Naudodami momentu ivercius MV portfeliams sudaryti susiduriame su iverciu rizika, kurios saltinis yra skirtumai tarp iverciu ir tikruju parametru reiksmiu. Todel optimizuodami portfeli susiduriame jau ne su vienu, o su dviem rizikos saltiniais: i) rinku ir vertybiniu popieriu kainu nepastovumo rizika; ii) iverciu, arba klaidingu lukesciu, rizika. Parametru iverciu rizika ir reiksminga neigiama sios rizikos itaka MV portfelio optimizavimui yra gana gerai istyrineta ir aprasyta.

Optimizuojant MV neproporcingai dideli svoriai priskiriami vertybiniams popieriams, turintiems auksta laukiama pajaminguma, neigiama koreliacija ir maza dispersija, o neproporcingai mazi svoriu koeficientai priskiriami vertybiniams popieriams, turintiems maza laukiama pelninguma, teigiama koreliacija ir didele dispersija. Toks svoriu paskirstymas yra suprantamas, taciau labiausiai tiketina, kad butent sie vertybiniai popieriai tures didziausias iverciu paklaidas. Del sios priezasties MV optimizavima Michaud ivardijo kaip iverciu paklaidu maksimizavima (Michaud 1989).

Ypac smarkiai turto pasiskirstyma portfelyje veikia laukiamos grazos iverciu paklaidos (Merton 1980). MV portfelis ypac jautrus grazos pokyciams, kai draudziamas "nepadengtas" pardavimas--net labai nedidelis vieno vertybinio popieriaus grazos vidurkio padidejimas gali lemti, kad didele dalis vertybiniu popieriu bus "isstumti" is portfelio (Best, Grauer 1991).

Chopra ir Ziemba (1993), tyrinedami vidurkiu, dispersiju ir kovariaciju iverciu paklaidu santykine itaka MV portfeliams, nustate, kad vidurkiu paklaidos iki desimt kartu reiksmingesnes nei dispersiju paklaidos, o dispersiju paklaidos iki dvieju kartu reiksmingesnes nei kovariaciju paklaidos. Atsizvelgiant i tai, smarkiai isaugo susidomejimas minimalios dispersijos portfeliais, kuriems optimizuoti nereikalinga tiketinuju grazu prognoze, o uztenka tik kovariacines matricos. Deja, minimalios dispersijos portfeliai taip pat neisvengia dideles vertybiniu popieriu, pasizyminciu nedidele dispersija, koncentracijos (Clarke et al. 2011)

Dauguma pasiulytu MV optimizavimo problemos sprendimo budu vienaip ar kitaip yra susije su modelio ivesties parametru arba portfelio svoriu apribojimais (Frost, Savarino 1988; Jagannathan, Ma 2003). Akivaizdu, kad, ribojant maksimalius svorius, uzkertamas kelias nelogiskai didelei akciju koncentracijai ir uztikrinamas geresnis rizikos isskaidymas, taciau svoriu apribojimai reiskia, kad maziau remiamasi optimizavimo proceduromis ir rinkos "signalu" patikimumu, o daugiau--"naiviu" rizikos valdymu.

Dar viena problemos sprendimo buda pasiule Ledoit ir Wolf (2003, 2004). Jie pareiske, kad del gaunamu dideliu iverciu paklaidu niekam nederetu is akciju grazu imties gaunama kovariacine matrica S naudoti portfeliams optimizuoti. Vietoje to mokslininkai pasiule naudoti kovariacine matrica, "paslinkta link" (angl. shrunk) strukturizuotos kovariacines matricos, gautos naudojant placiai zinoma kapitalo ikainojimo modeli (CAPM). Ju argumentas tas, kad strukturizuota kovariacine matrica F, gaunama naudojant W. F. Sharpe supaprastintaji vienfaktori modeli, turi gerokai maziau parametru ir todel gali buti apskaiciuota su gerokai mazesne paklaida. Ju pasiulyta "paslinktoji" kovariacine matrica S gaunama taip:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

cia--[??] optimali "poslinkio" konstanta (angl. shrinkage constant), gaunama minimizuojant [??] vidutine kvadratine paklaida. Naudojant strukturizuota kovariacine matrica sumazinama ivercio paklaida, taciau atsiranda modelio specifikavimo arba "neteisingo" modelio paklaida (jei pasirinktas modelis neatitinka ar blogai atitina tikrove). Kaip strukturizuotos kovariacines matricos alternatyva Ledoit and Wolf pasiule taikyti vienodos koreliacijos modeli, kuriame visos vertybiniu popieriu porines koreliacijos pakeiciamos vienoda koreliacija, lygia vertybiniu popieriu koreliaciju vidurkiui (Ledoit, Wolf 2004).

DeMiguel et al. (2009b), isplete savo ankstesne studija (DeMiguel, Garlappi, Uppal 2009a) ir "perzaide" MV optimizavimu pagristu strategiju varzytuves, pripazino Ledoit ir Wolf metodo pranasuma, lyginat ji su 1/N strategija.

2. Portfelio optimizavimas omega funkcijos atzvilgiu

MV portfelio teorija tinkamiausia, kai rizika galima adekvaciai ismatuoti naudojant standartini nuokrypi arba santykini Sarpo rodikli, t. y. tuomet, kai vertybiniu popieriu graza turi normaluji skirstini (arba investuotoju naudingumo funkcija yra kvadratine). Praktikoje vertybiniu popieriu grazos pasizymi asimetrija ir sunkiais krastais, todel, remiantis iprasta logika, galima teigti, kad investuotojai, kai kitos salygos nekinta, pirmenybe turetu teikti vertybiniams popieriams, turintiems teigiama asimetrija, ir vengti arba reikalauti papildomo atlygio uz vertybinius popierius, turincius neigiama asimetrija. Kad investuotojai galetu tinkamai "ikainoti" siuos "naujus" rizikos veiksnius, jiems reikalingas atitinkamas rizikos matas.

Keating ir Shadwick (2002a, 2002b) pasiulytas naujas omega rodiklis yra ekvivalentiskas suminiam skirstiniui: jis ivertina visus aukstesniosios eiles momentus, ji naudojant nereikia remtis prielaidomis apie investuotoju tolerancija rizikai ar ju naudingumo funkcijas, ir todel, pasak siu mokslininku, tai yra universalus rodiklis, padedantis objektyviai ivertinti investiciju rezultata.

Omega rodiklis apibreziamas taip:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

cia [tau]--pasirenkamoji slenkstine grazos verte; [R.sub.min] ir [R.sub.max]--atitinkamai maziausia ir didziausia grazu sekos reiksmes. Kai t reiksme artimesne [R.sub.min] reiksmei, BCU plotas yra didesnis nei LAB plotas ir omega reiksme yra didele, ir atvirksciai. Skaiciuojant omega rodikli atsizvelgiama i slenkstini grazos lygi, kurio atzvilgiu rezultatas bus vertinamas kaip pelnas ar nuostolis, taigi jei t vertinsime kaip investuotojo reikalaujama grazos norma, omega rodiklis parodys, kiek rezultatas virsijo investuotojo lukescius. Atitinkamai didesnis omega rodiklis reiskia geresni veiklos rezultata--graza (1 pav.).

Optimizuodami portfeli omega funkcijos atzvilgiu renkames poziciju svorius, kurie maksimizuoja tiketino pelno ir tiketinu nuostoliu santyki. Formaliai omega optimizavimo uzdavini galima uzrasyti taip:

[MATHEMATICAL EXPRESSION NOT REPRODUCIBLE IN ASCII]

Bendruoju atveju omega funkcijos optimizavimas ir panasus (CVaR, CDaR funkciju) optimizavimo uzdaviniai smarkiai skiriasi nuo tradicinio vidurkiu dispersiju optimizavimo, naudojant tiketinosios grazos vektorius ir kovariaciju matricas. Sprendziant toki uzdavini, optimizavimas grindziamas stochastiniais scenarijais, t. y. baigtine scenariju aibe S, kurioje kiekvienas scenarijus--tai viena visu nagrinejimu poziciju (akciju) galimo pokycio realizacija. Kiekvienas scenarijus turi savo tikimybe [p.sub.i], o bendra scenariju tikimybiu suma lygi 1.

Scenarijai, kuriais modeliuojamos busimos akciju grazos, gali buti kuriami taikant imitacinio modeliavimo ir Monte Karlo metodus arba paprasciausiu atveju istorinius praejusiu laikotarpiu duomenis, galima laikyti scenarijais. Kaip rodo ivairios studijos, remiantis vien istoriniais duomenimis susiduriama su vadinamuoju modelio pertekliniu priderinimu (angl. over-fitting), t. y. modelis gerai atitinka sudarymo arba testavimo imties laikotarpi, taciau pasizymi menka prognozavimo galia uz sio laikotarpio ribu. Teoriskai geresnis budas--taikant imitavimo metodus sukurti daugiau grazas generuojanti procesa atitinkanciu scenariju, taciau is tiesu sis procesas nera zinomas (jei apskritai toks egzistuoja) ir daznai geriausia, ko galima tiketis, kad praeities scenarijai isliks aktualus ir ateityje bent jau kuri laika.

Omega funkcija nera iskiloji ir gali tureti daug lokaliuju minimumu, todel bendruoju atveju tradiciniai optimizavimo metodai cia netinka. Tokiems uzdaviniams spresti turi buti taikomi euristiniai optimizavimo metodai. Papildomas tokiu metodu taikymo privalumas--optimizavimo uzdavinys gali buti nesunkai ispleciamas taikant papildomus ribojimus, pvz., svoriu kardinalumo ir pan.

Portfeliu optimizavimas omega funkcijos atzvilgiu siame darbe buvo atliekamas naudojant genetini diferencines evoliucijos (angl. Differential evolution) algoritma, igyvendinta DEoptim pakete R aplinkoje (Ardia et al. 2011).

Nepaisant to, kad naujasis rodiklis "konceptualiai" atrodo labai patraukliai, atsakymo i klausima apie sio optimizavimo metodo privalumus, lyginant ji su tradiciniais optimizavimo budais, autoriaus ziniomis, yra labai nedaug, o palyginti nedaug atliktu tyrimu labiau orientuoti i optimizavimo metodu ivertinima. Atliktu tyrimu apzvalga pateikiama 1 lenteleje.

3. Vienodu svoriu portfelis

Vienodu svoriu, arba tiesiog 1/N, portfelis (kai portfeli sudaranciu akciju yra n, kiekvieno ju svoris yra 1/n), lyginant ivairias portfeliu optimizavimo strategijas, daznai naudojamas kaip kontrolinis portfelis. Studijos parode, kad naivieji 1/N portfeliai, daznai pranoksta MV atzvilgiu optimizuotus portfelius, kai strategiju rezultatai vertinami naudojant naujus duomenis, nepatenkancius i optimizuoti naudota duomenu imti (DeMiguel, Garlappi, Uppal 2009a; Duchin, Levy 2009).

Ypac svarbus DeMiguel, Garlappi ir Uppal atlikta tyrimas: jie ivertino 14 portfelio optimizavimo modeliu, naudodami 7 skirtingus duomenu rinkinius, ir nustate, kad ne vienas is 14 modeliu nesugebejo sistemingai aplenkti 1/N strategijos. Ju isvadoje skelbiama, kad MV paremtos optimizavimo strategijos dar turi buti gerokai tobulinamos, kad ju skelbtas pranasumas is tiesu butu realizuotas uz imties ribu. Nors velesniame savo darbe DeMiguel et al. (2009b) pripazino Ledoit ir Wolf metodo pranasuma, 1/N strategija ir toliau islieka megstamu "etalonu", su kurio lyginami ivairus portfeliu sudarymo ir optimizavimo budai.

1/N strategija, priskiriama rizika grindziamu portfelio formavimo metodu grupei, is tiesu nera tokia jau "naivi". Ji atitinka priesinimosi rinkos tendencijoms strategiju grupe, kuriu principas--parduoti kainoms kylant, t. y. brangiai, ir pirkti kainoms krintant, t. y. pigiai. Akciju kainoms augant, auga ju lyginamoji dalis portfelyje, kainoms krintant svoris krinta, todel, norint islaikyti vienodus svorius, portfelio sudetis turi buti nuolat perskirstoma parduodant "laimetojus" ir perkant "pralaimetojus".

Naturalu, kad 1/N strategija nesiremia jokiais ivesties parametrais, taciau labai priklauso nuo pagrindines pasirenkamo turto imties. Zinoma, ne viena strategija negali visuomet buti 100 proc. teisinga, taciau galima pagristai tiketis, kad naudodami papildoma informacija ir taikydami optimizavimo metodus turime gauti geresnius rezultatus nei naudodami 1/N strategija, kuri nesiremia visiskai jokiais duomenimis.

4. Portfelio apyvarta ir vertybiniu popieriu pirkimo ir pardavimo sanaudos

Vertybiniu popieriu portfelis gali buti valdomas aktyviai arba pasyviai. Del mazesnes apyvartos pasyvaus portfelio valdymo (valdymo sanaudos--platesne savoka, apimanti investiciju valdytoju atlygi ir kitas sanaudas, taciau siame darbe vertinamos tik sanaudos, susijusios su vertybiniu popieriu pirkimu ir pardavimu) sanaudos yra gerokai mazesnes nei aktyvaus, kad padengtu papildomas sandoriu sanaudas ir uztikrintu savo pranasuma, aktyviai valdomi portfeliai turi uzdirbti papildoma graza (investuotoju zargonu--vadinama alfa).

Igyvendindami portfelio strategija portfelio svorius turime p erskirstyti del dvieju priezasciu: 1) keiciantis modelio parametrams keiciasi optimalus portfelio svoriai; 2) keiciantis portfelyje esanciu akciju rinkos kainoms, faktiniai svoriai nukrypsta nuo teoriniu, ir siekdami panaikinti si skirtuma turime perskirstyti portfelio pozicijas. Del antrosios priezasties turime reguliariai perskirstyti svorius net ir tuomet, kai optimalus modelio svoriai nekinta, pvz., noredami islaikyti vienodu svoriu portfeli.

Kadangi portfelio apyvarta ir sandoriu sanaudos tiesiogiai veikia portfelio grynaja graza, portfelio optimizavimo strategijos, pasizymincios stabilumu ir nedidelemis apyvartomis, turi geroka pranasuma palyginti su kitomis strategijomis, pvz., 1/N strategija, pasizyminti nedidelemis apyvartomis, nes svorius reikia koreguoti tik del kainu pokycio.

Portfelio apyvarta iprasta skaiciuoti dviem budais: Jungtineje Karalysteje ir Europoje visa portfelio apyvarta per vienerius metus iprasta vertinti kaip 200 proc. apyvarta, t. y. simtaprocentini portfeli sudaranciu vertybiniu popieriu pardavima ir simtaprocentini pirkima. JAV visas portfelio pasikeitimas vertinamas kaip 100 proc. apyvarta. Abu apyvartos ivertinimo budai, priklausomai nuo vertinamos situacijos, gali buti logiski: kalbant apie portfelio verte 100 proc. rodiklis atrodo logiskas, nes bendra portfelio verte nepakito, taciau, vertinant portfelio apyvartos islaidas, logiskesne yra 200 proc. deklaruota apyvarta, nes islaidos patiriamos tiek perkant, tiek parduodant vertybinius popierius. Siame straipsnyje taikoma Europoje iprasta apyvartos deklaravimo metodika: visas investiciju portfelio pasikeitimas reiskia 200 proc. apyvarta.

Siame darbe portfelio apyvarta skaiciuojama taikant iprasta metodika (DeMiguel, Garlappi, Uppal 2009a; Gilli, Schumann et al. 2011). Vidutine portfelio apyvarta gaunama taip:

Apyvarta = 1/T [T.summation over (t=1)][N.summation over (n=1)][absolute value of [x.sub.n,i] - [x.sub.n,i-1]],

cia [x.sub.n,t]--portfelio i-tosios pozicijos svoris po portfelio perskirstymo; [x.sub.n,t-1]--portfelio i-tosios pozicijos svoris pries perskirstyma. Kadangi graza ir rizika iprasta pateikti naudojant metinius duomenis, tai ir apyvartos rodiklis atitinkamai perskaiciuojamas ji dauginant is 12.

Apskaiciuoti portfelio grynaja graza, gauta atemus su portfelio perskirstymu susijusias sanaudas, yra sudetingiau. Prekiaujant vertybiniais popieriais patiriama tiesioginiu ir netiesioginiu islaidu. Tiesioginems islaidoms priskiriamas komisinis atlyginimas ir panasios islaidos, netiesioginems pirkimo ir pardavimo kainu skirtumas, siejamas su vertybiniu popieriu likvidumu, ir sanaudos, susijusios su "poveikiu rinkai", t. y. poveikiu kainoms. Teoriskai iprasta prielaida, kad galima neribotai isigyti ar parduoti vertybiniu popieriu neveikiant ju kainos, realiame pasaulyje mazai tiketina, ypac parduodant didelius akciju paketus. Sanaudos taip pat gali buti proporcines, t. y. priklausancios nuo sandorio sumos, ir fiksuotos, t. y. nuo sandorio sumos nepriklausancios.

Modeliuojant sandoriu sanaudas paprasciau taikyti proporciniu apyvartos sanaudu metoda. Darant prielaida, kad kiekvieno sandorio proporciniu sanaudu "tarifas" yra lygus c, portfelio vertes, atskaicius sanaudas, dinamika galime aprasyti taip:

[W.sub.i+1] = [W.sub.t](1 + [R.sub.t+1])(1 - c [N.summation over (n=1)][absolute value of [x.sub.n,i+1]

cia R--portfelio bendroji graza. Tuomet portfelio grynoji graza, atskaicius apyvartos sanaudas, yra lygi:

[W.sub.t]/[W.sub.t-1] - 1.

Vertinant tiriamu strategiju grynaji rezultata, remiantis Carhart (1997) studija, buvo santykiskai "nustatytas" 1 proc. proporcinis apyvartos tarifas, t. y. modeliuojama, kad 100 proc. portfelio apyvarta portfelio grynasias pajamas sumazina 1 proc., arba, kitaip tariant, portfeliui reikia pasiekti 1 proc. alfa, kad padengtu 100 proc. isaugusia apyvarta (issamia studiju, susijusiu su sandoriu sanaudomis,

apzvalga galima rasti (Kasten (2007) atliktoje studijoje).

Nepaisant to, kad pasirinktas 1 proc. proporcinis apyvartos tarifas yra konservatyvus, jis yra du kartus didesnis nei DeMiguel, Garlappi ir Uppal (2009a) studijoje naudotas 0,5 proc. tarifas. Perkant ir parduodant didelius akciju paketus, realios portfelio islaidos gali buti gerokai didesnes (ir atitinkamai mazesne grynoji portfelio graza) del netiesioginiu "poveikio rinkai" sanaudu, todel dideli portfelio pokyciai nepageidaujami.

5. Tyrimo metodika ir modeliu efektyvumo ivertinimas

Omega portfelio efektyvumas vertintas lyginant jo rezultatus su kitais budais optimizuotu portfeliu rezultatais. Is viso darbe lyginami astuoni portfeliai (strategijos): vienodu svoriu portfelis (EQW); klasikiniai H. Markovico maziausios dispersijos ir liestines tasko arba maksimalaus Sarpo rodiklio portfeliai (atitinkamai C.MV ir C.TG); liestines tasko portfeliai optimizuoti naudojant Ledoit ir Wolf pasiulytas vienodu koreliaciju ir "paslinkta" kovariacines matricas (atitinkamai LWCC.TG ir LW1F.TG), maziausios salygines rizikos vertes ir maksimalios grazos--rizikos santykio salygines rizikos vertes portfeliai (minCVaR ir maxCVaR) ir omega portfelis (Omega).

Tyrimui paimti Dow Jones Industrial Average indeksa sudaranciu bendroviu akciju menesiniai grazu duomenys, apimantys 1998-01-01-2013-04-30 laikotarpi (is viso 30 akciju ir 184 laikotarpiai).

Tiriamu portfelio optimizavimo strategiju rezultatai graza ir kiti rodikliai, buvo ivertinti naudojant mokslinese studijose daznai taikoma slankiojo imties "lango" metoda (DeMiguel, Garlappi, Uppal 2009a; Gilli, Schumann et al. 2011). Pirmiausia pasirenkama vieno testavimo laikotarpio trukme; siame darbe M = 36 men. Remiantis pirmojo testavimo laikotarpio grazu sekomis apskaiciuojami optimizavimo modeliui igyvendinti reikalingi parametrai ir optimizavus proceduras gaunami optimalus svoriai. Naudojant gautus svorius apskaiciuojama kito menesio, t. y. t = M + 1 portfelio graza. Procesas tesiamas pridedant viena nauja laikotarpi ir atmetant viena veliausia laikotarpi tol, kol baigiasi visas duomenu laikotarpis. Atlikus si griztama'i patikrinima naudojant slanku'i "langa" gaunama portfelio T-M laikotarpiu grazu seka, apskaiciuota uz portfelio sudarymo imties ribu, t. y. apskaiciuota su duomenimis, neitrauktais i optimizuojant portfeli naudotu duomenu imti. Gauta 148 laikotarpiu grazu seka, apimanti 2001-01-2013-04 laikotarpi.

Aprasyta procedura taikoma kiekvienai tiriamai strategijai.

Galiausiai gautos portfeliu grazu sekos buvo ivertintos ivairiais aspektais, iskaitant bendra graza, rizika, portfelio apyvarta, reikalinga konkreciai strategijai igyvendinti, portfelio koncentracija ir grynaja graza, gauta atemus sanaudas, patirtas perskirstant portfeliu svorius. Portfeliu rezultatams ivertinti is viso naudota 18 rodikliu. Be iprastu rizikos rodikliu--standartinio nuokrypio ir Sarpo rodiklio, pateikiami maksimalaus praradimo ir vidutinio praradimo rodikliai, taip pat maksimali ir minimali metine graza, gauta per nagrinejama laikotarpi. Vertinant portfelio apyvarta, pateikiama vidutine metine apyvarta ir bendra, t. y. viso laikotarpio, apyvarta.

Portfelio koncentracijai ivertinti naudojamas Gini koeficientas, skaiciuojamas pagal italu statistiko Corrado Gini sukurta metoda. Koeficientas kinta nuo 0 iki 1, jei Gini koeficiento reiksme yra 1. Tai rodo visiska portfelio koncentracija (portfeli sudaro tik viena pozicija), o gerai isskaidyto vienodu svoriu portfelio Gini koeficientas lygus 0. Gini koeficienta galima isreiksti procentais, ji dauginat is 100. Rezultatu lenteleje pateikiamos minimalios, maksimalios ir vidutines Gini koeficiento reiksmes, gautos per visa tiriama laikotarpi. Be to, pateikiamos ir vienos bei triju didziausiu kiekvieno portfelio poziciju reiksmes (atitinkamai Top1H ir Top3H).

Galiausiai pateikiama portfelio grynoji metine graza ir grynoji verte, gaunamos atskaicius proporcinius apyvartos mokescius (TC), taip pat ir Sarpo rodiklis, apskaiciuotas naudojant grynaja graza.

Is 2 lenteleje pateiktu duomenu matyti, kad, vertinant portfeliu pasiekta bendraja verte, Omega portfelis nusileido tik LWCC.TG ir nedaug C.TG portfeliams bei aplenke kitus portfelius, iskaitant EQW. Taciau ryskus omega portfelio trukumas--didziausia apyvarta, lyginant su kitais portfeliais. Ivertinus apyvartos sanaudas, omega portfelis atsidure trecioje vietoje, o lyderiu, kaip ir galima buvo tiketis, tapo EQW portfelis, pasizymintis minimalia apyvarta. Grynoji portfeliu vertes dinamika pateikiama 2 pav.

Taciau portfelio apyvarta galima lengvai kontroliuoti keiciant portfelio poziciju perskirstymo politika. Paprastai fondu valdytojai portfeliu pozicijas perskirsto arba laikydamiesi tam tikro nustatyto periodiskumo, arba kai portfelio svoriai "nukrypsta" uz nustatytos leidziamosios slenkstines ribos, arba tam tikru periodiskumu, jei tuo metu svoriai yra perzenge nustatyta "slenksti". Toki portfelio valdyma galima pavadinti taktiniu, kai, siekiant tam tikru taktiniu tikslu, pvz., sumazinti sandoriu sanaudas, leidziama nukrypti nuo pagrindines strategijos--optimaliu svoriu. Portfelio perskirstymo periodiskumas gali buti keiciamas ir del kitu priezasciu, pavyzdziui siekiant sumazinti mokamus mokescius (Lietuvoje pagal iki 2014 m. galiojusius istatymus, pardavus vienerius metus islaikytus vertybinius popierius, nereikejo moketi kapitalo prieaugio mokescio, todel butu nelogiska pabrangusias akcijas parduoti anksciau nei praejus vieneriu metu laikotarpiui).

3-5 lentelese pateikiami rezultatai, gauti, kai portfeliu svoriai perskirstomi atitinkamai karta per ketvirti, karta per pusmeti ir karta per metus.

Is pateiktu rezultatu matyti, kad sumazinus apyvarta ir apyvartos sanaudas, omega portfelio grynoji verte pralenkia EQW ir kitu portfeliu vertes, taciau labai atsilieka nuo LWCC.TG portfelio vertes.

Staigmena galima pavadinti maxCVaR portfelio rezultata, gauta portfelio svorius perskirstant tik karta per metus: iki tol ypatingu rezultatyvumu neissiskyres portfelis atsidure antroje vietoje. Nenuoseklus rezultatas neleidzia daryti apibendrinimu, todel si rezultata reiketu patvirtinti papildomais tyrimais.

Stebint 2-5 pav. pateikta portfeliu verciu dinamika, galima pastebeti, kad, nepaisant bendru tendenciju, ju reakcijos i rinkos pokycius mastas yra nevienodas, pvz., akciju kainoms krintant, didziausia vertes nuosmuki patiria 1/N portfelis. Tokia elgsena galima sekmingai isnaudoti derinant kelias portfelio strategijas.

Isvados

Gauti tyrimo rezultatai is esmes patvirtina kitu mokslininkiu skelbtus rezultatus, kad, naudojant reguliarizuotus kovariacines matricos ivercius, labai pagerinami portfelio rezultatai, gaunami uz imties, kuri buvo naudojama optimizuojant portfelio parametrus, ribu.

Akivaizdus LWCC.TG portfelio pranasumas, deja, dar karta patvirtina daznai issakoma minti, kad "geriau buti apytikriai teisiam nei tiksliai neteisiam". Vienoda vidutine rinkos koreliacija paremto modelio nesugebejo aplenkti sudetingesni modeliai.

Omega funkcijos atzvilgiu optimizuotas portfelis is esmes atitiko lukescius--jis pralenke EQW portfeli ir prilygo LW1F.TG portfeliui. Taip pat galima pabrezti stabiluma, kuriuo pasizymejo omega portfelis. Be to, optimizuojant omega, panaudotas pats paprasciausias "istorinis" scenarijus, todel galima pagristai tiketis, kad, naudojant sudetingesnius scenariju sudarymo algoritmus, imanoma gauti geresnius rezultatus.

Praktikoje gana daznai naudojama ir mokslineje literaturoje pavyzdziu pateikiama 1/N portfelio isskaidymo strategija is tiesu nera pats geriausias budas valdyti investicijas.

Caption: Fig. 1. Total distribution of returns and the Omega function.

1 pav. Grazu suminis skirstinys ir omega rodiklis.

Caption: Fig. 2. Net value index of portfolios (2001 01 = LTL 1); weights are redistributed on a monthly basis.

2 pav. Portfeliu grynosios vertes indeksas (2001 01 = 1 Lt); svoriai perskirstomi kiekviena menesi.

Caption: Fig. 3. Net value index of portfolios (2001 01 = LTL 1); weights are redistributed on a quarterly basis.

3 pav. Portfeliu grynosios vertes indeksas (2001 01 = 1 Lt); svoriai perskirstomi kiekviena ketvirti.

Caption: Fig. 4. Net value index of portfolios (2001 01 = LTL 1); weights are redistributed every six months.

4 pav. Portfeliu grynosios vertes indeksas (2001 01 = 1 Lt); svoriai perskirstomi kas pusmeti.

Caption: Fig. 5. Net value index of portfolios (2001 01 = LTL 1); weights are redistributed on an annual basis.

5 pav. Portfeliu grynosios vertes indeksas (2001 01 = 1 Lt); svoriai perskirstomi karta per metus.

http://dx.doi.org/10.3846/btp.2014.06

Literatura

Alexander, G. J.; Baptista, A. M.. 2006. Portfolio selection with a drawdown constraint, Journal of Banking & Finance 30(11): 3171-3189. http://dx.doi.org/10.1016/j.jbankfin.2005.12.006

Ardia, D.; Boudt, K.; Carl, P.; Mullen, K.; Peterson, B. 2011. Differential evolution with DEoptim: An application to nonconvex portfolio optimization, The R Journal 3(1): 27-34.

Artzner, P.; Delbaen, F.; Eber, J.-M.; Heath, D. 1999. Coherent measures of risk, Mathematical Finance (Blackwell Publishers Inc) 9(3): 203-228. http://dx.doi.org/10.1111/1467-9965.00068

Avouyi-Dovi, S.; Morin, S.; Neto, D. 2004. Optimal asset allocation with Omega function. Technical report, Banque de France.

Best, M. J.; Grauer, R. R. 1991. On the sensitivity of mean-variance-efficient portfolios to changes in asset means: some analytical and computational results, Review of Financial Studies (Soc. Financial Studies) 4(2): 315-342. http://dx.doi.org/10.1093/rfs/4.2.315

Carhart, M. M. 1997. On persistence in mutual fund performance, The Journal of Finance (Blackwell Publishing Ltd) 52(1): 57-82. http://dx.doi.org/10.1111/j.1540-6261.1997.tb03808.x

Chekhlov, A.; Uryasev, S.; Zabarankin, M. 2005. Drawdown measure in portfolio optimization, International Journal of Theoretical and Applied Finance 8(1): 13-58. http://dx.doi.org/10.1142/S0219024905002767

Chopra, V. K.; Ziemba, W. T. 1993. The effect of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice, The Journal of Portfolio Management (Institutional Investor Journals) 19(2): 6-11. http://dx.doi.org/10.3905/jpm.1993.409440

Clarke, R.; De Silva, H.; Thorley, S. 2011. Minimum variance portfolio composition, The Journal of Portfolio Management (Institutional Investor Journals) 37(2). http://dx.doi.org/10.3905/jpm.2011.37.2.031

DeMiguel, V.; Garlappi, L.; Nogales, F. J.; Uppal, R. 2009b. A generalized approach to portfolio optimization: improving performance by constraining portfolio norms, Management Science (INFORMS) 55(5): 798-812. http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.1080.0986

DeMiguel, V.; Garlappi, L.; Uppal, R. 2009a. Optimal versus naive diversification: how inefficient is the 1/N portfolio strategy?, Review of Financial Studies (Soc Financial Studies) 22(5): 1915-1953. http://dx.doi.org/10.1093/rfs/hhm075

Duchin, R.; Levy, H. 2009. Markowitz versus the Talmudic portfolio diversification strategies, The Journal of Portfolio Management 35(2): 71-74. http://dx.doi.org/10.3905/JPM.2009.35.2.071

Frost, P. A.; Savarino, J. E. 1988. For better performance: constrain portfolio weights, The Journal of Portfolio Management (Institutional Investor Journals) 15(1): 29-34. http://dx.doi.org/10.3905/jpm.1988.409181

Gilli, M.; Schumann, E.; Di Tollo, G.; Cabej, G. 2011. Constructing 130/30-portfolios with the omega ratio, Journal of Asset Management (Nature Publishing Group) 12(2): 94-108. http://dx.doi.org/10.1057/jam.2010.25

Gilli, M.; Schumann, E.; Di Tollo, G.; Cabej, G. 2008. Constructing long/short portfolios with the omega ratio, Swiss Finance Institute Research Paper 08-34.

Gilli, M.; Schumann, E. 2010. Distributed optimisation of a portfolio's Omega, Parallel Computing 36(7): 381-389. http://dx.doi.org/10.1016/j.parco.2009.10.001

Grossman, S. J.; Zhou, Z. 1993. Optimal investment strategies for controlling drawdowns, Mathematical Finance (Blackwell Publishing Ltd) 3(3): 241-276. http://dx.doi.org/10.1111/j.1467-9965.1993.tb00044.x

Hentati-Kaffel, R.; Prigent, J.-L. 2012. Structured portfolio analysis under SharpeOmega ratio. Universite Pantheon-Sorbonne (Paris 1), Centre d'Economie de la Sorbonne.

Jagannathan, R.; Ma, T. 2003. Risk reduction in large portfolios: why imposing the wrong constraints helps., The Journal of Finance (Wiley Online Library) 58(4): 1651-1684. http://dx.doi.org/10.1111/1540-6261.00580

Kane, S. J.; Bartholomew-Biggs, M. C.; Cross, M.; Dewar, M. 2009. Optimizing Omega, Journal of Global Optimization (Springer US) 45(1): 153-167. http://dx.doi.org/10.1007/s10898-008-9396-5

Kasten, G. W. 2007. High transaction costs from portfolio turnover negatively affect 401 (K) participants and increase plan sponsor fiduciary liability, Journal of Pension Benefits (Aspen Publishers, Inc.) 14(3): 50.

Keating, C.; Shadwick, W. F. 2002a. A universal performance measure, Journal of Performance Measurement (EDHEC) 6(3): 59-84.

Keating, C.; Shadwick, W. F. 2002b. An introduction to omega, AIMA Newsletter.

Ledoit, O.; Wolf, M. 2004. A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices, Journal of Multivariate Analysis (Elsevier) 88(2): 365-411. http://dx.doi.org/10.1016/S0047-259X(03)00096-4

Ledoit, O.; Wolf, M. 2003. Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection, Journal of Empirical Finance (Elsevier) 10(5): 603-621. http://dx.doi.org/10.1016/S0927-5398(03)00007-0

Markowitz, H. 1952. Portfolio selection, The Journal of Finance (Wiley Online Library) 7(1): 77-91.

Mausser, H.; Saunders, D.; Seco, L. 2006. Optimizing omega, Risk, 88-92.

Merton, R. C. 1980. On estimating the expected return on the market: an exploratory investigation, Journal of Financial Economics (Elsevier) 8(4): 323-361. http://dx.doi.org/10.1016/0304-405X(80)90007-0

Michaud, R. O. 1989. The Markowitz optimization enigma: is' optimized'optimal?, Financial Analysts Journal (JSTOR), 31-42. http://dx.doi.org/10.2469/faj.v45.n1.31

Pflug, G. Ch. 2000. Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk, Probabilistic Constrained Optimization, 272-281. Springer.

Rockafellar, R. T.; Uryasev, S. 2000. Optimization of conditional value-at-risk, Journal of Risk 2: 21-42.

Rockafellar, R. T.; Uryasev, S. 2002. Conditional value-at-risk for general loss distributions, Journal of Banking & Finance 26(7): 1443-1471. http://dx.doi.org/10.1016/S0378-4266(02)00271-6

Roy, A. D. 1952. Safety first and the holding of assets, Econometrica 20: 431-449. http://dx.doi.org/10.2307/1907413

Renaldas VILKANCAS is currently working as an Assistant at the Department of Finance Engineering of Vilnius Gediminas Technical University, Lithuania.

Renaldas Vilkancas

Vilnius Gediminas Technical University, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania

E-mail: Renaldas.Vilkancas@vgtu.lt

Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva

El. pastas Renaldas.Vilkancas@vgtu.lt

Received 12 July 2013; accepted 02 September 2013

Iteikta 2013-07-12; priimta 2013-09-02

Table 1. Overview of studies on optimisation of portfolio
with respect to the Omega function (compiled by the author)

1 lentele. Portfelio optimizavimo omega funkcijos
atzvilgiu atliktu tyrimu apzvalga (sudaryta autoriaus)

Autoriai      Trumpas studijos aprasymas, pagrindiniai rezultatai

Avouyi-Dovi   Duomenys: JAV, Anglijos ir Vokietijos akciju rinkos
et al.          indeksu savaitines grazos 1974-2003 m. laikotarpiu.
2004          Optimizavimo metodas: slenkstinis algoritmas
                (angl. Threshold accepting).
              Rezultatai: bendri pastebejimai, kad omega gali buti
                naudojamas optimizuojant investiciju portfelius.

Kane          Duomenys: dirbtiniai duomenys--trys akciju grazu sekos,
et al.          apimancios 50 dienu laikotarpi.
2009          Optimizavimo metodas: Nelder-Mead metodas ir MCS
                globalaus minimumo algoritmas.
              Rezultatai: bendri pastebejimai, kad omega portfeliai
                skiriasi nuo minimalios rizikos ar minimalaus
                praradimo portfeliu.

Gilli         Duomenys: vieneriu metu duomenys, apimantys kelis
et al.          simtus Europos akciniu bendroviu.
2010          Optimizavimo metodas: slenkstinis algoritmas.
              Rezultatai: pabreziama, kad pagrindinis tikslas--
                ivertinti optimizavimo algoritma, taciau ne
                portfelio sudarymo strategijas

Gilli         Duomenys: keliu simtu stambiausiu Europos akciniu
et al.          bendroviu akciju grazu duomenys, apimantys
2011            1998-2008 laikotarpi.
              Optimizavimo metodas: slenkstinis algoritmas.
              Aprasymas: 130/30 portfelio (t. y. portfelio,
                leidziancio skolintu vertybiniu popieriu pardavima)
                ir portfelio, draudziancio "skolintas pozicijas",
                optimizavimas atliekant klasikini vidurkiu ir
                dispersiju bei omega funkcijos optimizavima.
              Rezultatai: klasikinio ir omega optimizavimo
                rezultatai autoriu nera lyginami tiesiogiai,
                netiesiogiai--omega atzvilgiu optimizuotas portfelis
                nebuvo pranasesnis.
Hentati,      Aprasymas: baziniu (angl. plain vanilla)
Prigent         strukturizuotu produktu (akcijos ir pasirinkimo
2012            sandorio portfelio bei nerizikingos investicijos ir
                pasirinkimo sandorio portfelio) optimizavimas omega
                ir omega-sarpo funkcijos atzvilgiu.
              Rezultatai: strukturizuotu produktu ismokos
                funkcija nera iskiloji.

Table 2. Portfolio results with weights distributed on
a monthly basis (compiled by the author)

2 lentele. Portfeliu rezultatai, kai svoriai
perskirstomi kiekviena menesi (sudaryta autoriaus)

                                      EQW      C.MV      C.TG

Bendroji verte (indeksas), Lt       2,3245    1,8025    2,9505
Metine graza                        0,0708    0,0489    0,0917
Metinis standartinis nuokrypis      0,1636    0,1220    0,1319
Maksimalus praradimas               0,4800    0,3529    0,2965
Vidutinis praradimas                0,0886    0,0626    0,0687
Maksimali metine graza              0,5429    0,6280    0,6416
Minimali metine graza               -0,3021   -0,1977   -0,1677
sarpo rodiklis                      0,4327    0,4010    0,6950
Metine apyvarta (1 = 100 proc.)     0,5100    2,4830    3,2323
Bendra apyvarta (1 = 100 proc.)     6,6303    32,2795   42,0202
Minimalus Gini koeficientas         0,0000    0,7372    0,7788
Maksimalus. Gini koeficientas       0,0000    0,9416    0,9979
Vidutin. Gini koeficientas          0,0000    0,8477    0,9112
Top1H                               0,0333    0,5532    0,9694
Top3H                               0,1000    0,9386    1,0000
Grynoji graza, atskaicius 1 % TC    0,0657    0,0241    0,0594
sarpo rodiklis, atskaicius 1 % TC   0,4015    0,1975    0,4500
Grynoji verte, atskaicius 1 % TC    2,1752    1,3042    1,9336

                                    LWCC.TG   LW1F.TG   minCVaR

Bendroji verte (indeksas), Lt       3,1773    2,4664    2,1822
Metine graza                        0,0983    0,0759    0,0653
Metinis standartinis nuokrypis      0,1346    0,1286    0,1438
Maksimalus praradimas               0,3153    0,3332    0,3055
Vidutinis praradimas                0,0524    0,0687    0,0734
Maksimali metine graza              0,6182    0,6687    0,4656
Minimali metine graza               -0,1777   -0,1937   -0,1289
sarpo rodiklis                      0,7299    0,5908    0,4542
Metine apyvarta (1 = 100 proc.)     3,1425    3,2403    5,0688
Bendra apyvarta (1 = 100 proc.)     40,8522   42,1236   65,8942
Minimalus Gini koeficientas         0,6957    0,7137    0,7664
Maksimalus. Gini koeficientas       1,0000    0,9970    0,9530
Vidutin. Gini koeficientas          0,9070    0,8856    0,8766
Top1H                               1,0000    0,9572    0,6208
Top3H                               1,0000    1,0000    0,9748
Grynoji graza, atskaicius 1 % TC    0,0668    0,0435    0,0146
sarpo rodiklis, atskaicius 1 % TC   0,4965    0,3387    0,1017
Grynoji verte, atskaicius 1 % TC    2,1106    1,6156    1,1264

                                    maxCVaR    Omega

Bendroji verte (indeksas), Lt       2,4042    2,9152
Metine graza                        0,0737    0,0906
Metinis standartinis nuokrypis      0,1385    0,1340
Maksimalus praradimas               0,3348    0,2775
Vidutinis praradimas                0,0724    0,0575
Maksimali metine graza              0,6237    0,6778
Minimali metine graza               -0,2637   -0,1465
sarpo rodiklis                      0,5323    0,6762
Metine apyvarta (1 = 100 proc.)     3,9707    4,2429
Bendra apyvarta (1 = 100 proc.)     51,6189   55,1571
Minimalus Gini koeficientas         0,7517    0,7542
Maksimalus. Gini koeficientas       0,9858    1,0000
Vidutin. Gini koeficientas          0,9228    0,9129
Top1H                               0,8440    1,0000
Top3H                               1,0000    1,0000
Grynoji graza, atskaicius 1 % TC    0,0340    0,0482
sarpo rodiklis, atskaicius 1 % TC   0,2456    0,3596
Grynoji verte, atskaicius 1 % TC    1,4218    1,6726

Pastaba. Visu rodikliu reiksmes--proc., jei nenurodyta
kitaip, t. y. 0,0708 = 7,08 proc.

Table 3. Results of portfolios with weights redistributed on a
quarterly basis (source: compiled by the author)
3 lentele.

Portfeliu rezultatai, kai svoriai perskirstomi kiekviena ketvirti
(saltinis: sudaryta autoriaus)

                      EQW      C.MV      C.TG     LWCC.TG

Bendroji verte      2,3342    1,7200    2,4871    3,0528
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0711    0,0450    0,0767    0,0947
Metinis             0,1621    0,1189    0,1346    0,1363
  standartinis
  nuokypis
Maksimalus          0,4721    0,3565    0,3663    0,3539
  praradimas
Vidutinis           0,0876    0,0591    0,0717    0,0578
  praradimas
Maksimali           0,5512    0,5743    0,6007    0,5779
  metine graza
Minimali            -0,2963   -0,2156   -0,2415   -0,2265
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,4389    0,3782    0,5695    0,6948
Metine apyvarta     0,3039    1,4892    1,9763    1,9154
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     3,9507    19,3597   25,6915   24,8998
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,0000    0,7322    0,7745    0,7300
  koeficientas
Maksinalus Gini     0,1079    0,9436    0,9898    1,0000
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,0282    0,8499    0,9092    0,9087
  koeficientas
Top1H               0,0556    0,4793    0,8945    1,0000
Top3H               0,1386    0,9406    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0681    0,0301    0,0569    0,0756
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,4202    0,2529    0,4227    0,5543
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      2,2432    1,4164    1,9211    2,3811
  atskaicius
  1 % TC

                    LW1F.TG   minCVaR   maxCVaR    Omega

Bendroji verte      2,3147    2,1558    2,2580    2,9602
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0704    0,0643    0,0683    0,0920
Metinis             0,1290    0,1414    0,1433    0,1301
  standartinis
  nuokypis
Maksimalus          0,3838    0,3000    0,3928    0,3091
  praradimas
Vidutinis           0,0669    0,0825    0,0922    0,0648
  praradimas
Maksimali           0,6212    0,4651    0,5323    0,6268
  metine graza
Minimali            -0,2544   -0,1320   -0,3151   -0,1854
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,5458    0,4545    0,4764    0,7069
Metine apyvarta     1,9573    2,7280    2,1582    2,3147
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     25,4447   35,4637   28,0565   30,0906
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,7210    0,7671    0,7517    0,7542
  koeficientas
Maksinalus Gini     0,9948    0,9540    0,9859    0,9886
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,8858    0,8778    0,9237    0,9135
  koeficientas
Top1H               0,9249    0,6208    0,8437    0,8352
Top3H               1,0000    0,9786    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0508    0,0370    0,0467    0,0688
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,3941    0,2616    0,3258    0,5290
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      1,7939    1,5074    1,6987    2,1916
  atskaicius
  1 % TC

Table 4. Results of portfolios with weights redistributed
every six months (compiled by the author)

4 lentele. Portfeliu rezultatai, kai svoriai perskirstomi
kas pusmeti (sudaryta autoriaus)

                      EQW      C.MV      C.TG     LWCC.TG

Bendroji verte      2,2129    1,6479    2,4634    3,4624
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0665    0,0413    0,0758    0,1059
Metinis             0,1598    0,1215    0,1353    0,1358
  standartinis
  nuokrypis
Maksimalus          0,4744    0,3772    0,3949    0,3517
  praradimas
Vidutinis           0,0940    0,0602    0,0758    0,0724
  praradimas
Maksimali           0,5396    0,5477    0,6094    0,5838
  metine graza
Minimali            -0,2993   -0,2456   -0,2758   -0,2173
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,4162    0,3403    0,5603    0,7800
Metine apyvarta     0,1913    1,0474    1,4177    1,3455
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     2,4870    13,6163   18,4304   17,4915
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,0000    0,7376    0,7993    0,7373
  koeficientas
Maksimalus Gini     0,1234    0,9450    0,9886    0,9939
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,0464    0,8491    0,9073    0,9065
  koeficientas
Top1H               0,0526    0,4793    0,8350    0,9120
Top3H               0,1399    0,9428    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0646    0,0309    0,0617    0,0925
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,4042    0,2541    0,4556    0,6809
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      2,1582    1,4356    2,0438    2,9068
  atskaicius
  1 % TC

                    LW1F.TG   minCVaR   maxCVaR    Omega

Bendroji verte      2,8701    1,9871    2,3138    2,9335
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0892    0,0573    0,0704    0,0912
Metinis             0,1318    0,1404    0,1430    0,1354
  standartinis
  nuokrypis
Maksimalus          0,3766    0,3869    0,3809    0,3684
  praradimas
Vidutinis           0,0694    0,1014    0,0905    0,0703
  praradimas
Maksimali           0,5928    0,4731    0,4880    0,6047
  metine graza
Minimali            -0,2527   -0,2293   -0,3450   -0,2176
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,6772    0,4079    0,4921    0,6734
Metine apyvarta     1,3087    1,6962    1,6047    1,5815
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     17,0136   22,0507   20,8612   20,5592
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,7210    0,7619    0,7517    0,7519
  koeficientas
Maksimalus Gini     0,9939    0,9543    0,9859    0,9886
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,8839    0,8749    0,9231    0,9112
  koeficientas
Top1H               0,9119    0,5880    0,8451    0,8352
Top3H               1,0000    0,9808    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0762    0,0403    0,0543    0,0754
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,5779    0,2871    0,3799    0,5566
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      2,4183    1,5904    1,8719    2,3818
  atskaicius
  1 % TC

Table 5. Results of portfolios with weights redistributed
on an annual basis (source: compiled by the author)

5 lentele. Portfeliu rezultatai, kai svoriai perskirstomi
karta per metus (saltinis: sudaryta autoriaus)

Karta i metus         EQW      C.MV      C.TG     LWCC.TG

Bendroji verte      2,2334    1,8000    2,4785    3,3302
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0673    0,0488    0,0764    0,1025
Metinis             0,1575    0,1285    0,1398    0,1373
  standartinis
  nuokrypis
Maksimalus          0,4750    0,4018    0,4182    0,3948
  praradimas
Vidutine            0,0931    0,0598    0,0808    0,0782
  praradimas
Maksimali           0,5396    0,5477    0,6094    0,5838
  metine graza
Minimali            -0,3002   -0,2765   -0,3087   -0,2568
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,4273    0,3800    0,5464    0,7460
Metine apyvarta     0,1413    0,8027    0,8561    0,8632
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     1,8367    10,4349   11,1289   11,2218
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,0000    0,7472    0,7932    0,7290
  koeficientas
Maksimalus Gini     0,1688    0,9450    0,9830    0,9880
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,0675    0,8495    0,9054    0,9034
  koeficientas
Top1H               0,0620    0,4516    0,7641    0,8361
Top3H               0,1508    0,9428    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0659    0,0408    0,0678    0,0938
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,4184    0,3175    0,4852    0,6831
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      2,1932    1,6233    2,2212    2,9808
  atskaicius
  1 % TC

Karta i metus       LW1F.TG   minCVaR   maxCVaR    Omega

Bendroji verte      2,8313    1,8304    3,2702    2,8481
  (indeksas), Lt
Metine graza        0,0880    0,0502    0,1008    0,0886
Metinis             0,1345    0,1427    0,1508    0,1391
  standartinis
  nuokrypis
Maksimalus          0,4231    0,4943    0,3343    0,4142
  praradimas
Vidutine            0,0679    0,0766    0,0714    0,0774
  praradimas
Maksimali           0,5928    0,4731    0,4880    0,6047
  metine graza
Minimali            -0,3015   -0,3696   -0,2213   -0,2795
  metine graza
Sarpo rodiklis      0,6549    0,3522    0,6687    0,6368
Metine apyvarta     0,8496    1,1146    0,9986    1,0134
  (1 = 100 proc.)
Bendra apyvarta     11,0452   14,4896   12,9813   13,1739
  (1 = 100 proc.)
Minimalus Gini      0,7499    0,7774    0,8005    0,7949
  koeficientas
Maksimalus Gini     0,9668    0,9473    0,9870    0,9804
  koeficientas
Vidutinis Gini      0,8844    0,8720    0,9196    0,9109
  koeficientas
Top1H               0,7278    0,5880    0,8576    0,7173
Top3H               0,9579    0,9797    1,0000    1,0000
Grynoji graza,      0,0796    0,0391    0,0908    0,0784
  atskaicius
  1 % TC
Sarpo rodiklis,     0,5917    0,2740    0,6025    0,5639
  atskaicius
  1 % TC
Grynoji verte,      2,5384    1,5850    2,8755    2,5007
  atskaicius
  1 % TC


----------

Please note: Illustration(s) are not available due to copyright restrictions.
COPYRIGHT 2014 Vilnius Gediminas Technical University
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2014 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Vilkancas, Renaldas
Publication:Business: Theory and Practice
Article Type:Report
Geographic Code:4EXLT
Date:Mar 1, 2014
Words:7259
Previous Article:The European union and Turkey: a review of their commonalities and disparities using cluster analysis.
Next Article:Challenges of the European Union social market economy in the human resource management paradigm/Europos Sajungos socialines rinkos ekonomikos...
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2018 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters