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An Empirical Study of the Dynamic Correlation of Brazilian Stock Returns/Um Estudo Empirico da Dinamica da Correlacao do Retorno das Acoes do Brasil.

1. Introducao

A correlacao entre os retornos de ativos e um ponto importante para a mensuracao de risco quantitativo e controle de investimento em uma carteira. Intuitivamente, o risco de um portfolio de ativos mensurado por uma certa medida de risco tal como value at risk (VaR), compreende os componentes variancia e covariancia o que atribui um papel crucial para a correlacao em funcao de sua relacao direta com a covariancia.

A pioneira analise de Markowitz (1952) formalizou uma linha de pensamento que mostra a importancia da otimizacao para a alocacao de recursos em uma carteira de investimentos. Markowitz (1952), ressaltou que os precos dos ativos financeiros nao se movem de modo perfeito, o que caracteriza correlacao imperfeita entre os retornos. Nesta condicao, a variancia total de uma carteira e reduzida pelo fato de que a variacao no preco individual de um ativo ser compensada por variacoes complementares nos demais.

A diversificacao e uma maneira de diminuir a exposicao dos investidores ao risco idiossincratico que esta associado a volatilidade idiossincratica (1) de um determinado ativo e afeta decisoes relativas a gestao de carteiras, conforme destacou Angelidis (2010). Porem, estudos como Falkenstein (1996), Campbell et al. (2001), Xu and Malkiel (2003) ja mostraram que nem sempre os investidores sao capazes de diversificar completamente o risco idiossincratico.

Costa et al. (2016) encontraram tendencia negativa para a volatilidade idiossincratica de acoes brasileiras no periodo de 1996 a 2010. Se tudo o mais permanecer constante, a queda no risco idiossincratico aumentaria a correlacao entre o retorno de ativos conforme apontado por Campbell et al. (2001), Xu and Malkiel (2003), Kearney and Poti (2006) e Angelidis (2010). Porem, a simples correlacao de Pearson (2) utilizadas nestes estudos demanda cautela, pois ela e uma medida estatistica sujeita a erros de estimacao e que pode variar ao longo do tempo e em circunstancias diferentes. A correlacao e distorcida na presenca de caudas pesadas na distribuicao dos retornos, mostrando um grau de interdependencia maior do que a existente, especialmente em periodos de crises onde muitos ativos tendem a ter maior volatilidade, como mostraram Isogai et al. (2015). Alem disso, as saeries temporais financeiras apresentam propriedades peculiares (conhecidas como fatos estilizados (3)) que podem afetar a estimacao da correlacao entre o retorno dos ativos como mostrado por Fama (1965), Mandelbrot (1963) e Mantegna and Stanley (1999).

Dada a importancia da correlacao entre ativos para a diversificacao de carteiras, as imperfeicoes nas quais estao sujeitas as medidas lineares de correlacao e as conclusoes de Costa et al. (2016) sobre a tendencia de queda do risco idiossincratico no mercado acionario brasileiro, o presente estudo tem como objetivo contribuir para a pesquisa brasileira na medida em que examina empiricamente o comportamento da correlacao entre o retorno de acoes listadas na BMF& BOVESPA no periodo de 2000 a 2015. Para tanto, utilizamos modelos GARCH Multivariado introduzidos por Bollerslev (1990) para extrair a serie temporal das matrizes de correlacao condicional dos retornos das acoes. (4)

Com a serie temporal dos maiores autovalores das matrizes de correlacao condicional estimadas, aplicamos testes estatisticos (raiz unitaria, quebra estrutural e tendencia) para verificar a existencia de tendencia estocastica ou deterministica para a intensidade da correlacao entre os retornos das acoes representadas pelos autovalores. Nossos resultados confirmam que tanto em periodos de crises nacionais como turbulencias internacionais, ha intensificacao da correlacoo entre as acoes.

Ao contrario de outros estudos onde a tendencia no risco idiossincratico conduz movimentos na correlacao entre os retornos dos ativos, nao encontramos qualquer tendencia de longo prazo na serie temporal dos maiores autovalores das matrizes de correlacao condicional. Tais resultados podem estar relacionados a metodologia utilizada por tais estudos para obter a serie temporal das correlates como seria mostrado no decorrer do presente estudo.

O restante do artigo e organizado como segue: enquanto a secoo 2 discute a metodologia por meio da exposicoo da relacao entre correlacoo e risco idiossincratico alem de apresentar os modelos GARCH Multivariado, testes estatisticos utilizados e teoria de matrizes aleata rias e autovalores, a secoo 3 aponta os resultados encontrados e a secao 4 apresenta as consideracoes finais e propoe futuras pesquisas.

2. Metodologia

2.1 Risco de mercado, risco idiossincratico e correlacao

Considere o seguinte modelo de mercado que pode ser escrito como um versao simplificada de Sharpe (1964) e Lintner (1965):

[r.sub.i,t] = [[beta].sub.i][r.sub.m,t] + [[epsilon].sub.i,t] = [r.sub.m,t] + [[eta].sub.i,t] (1)

onde, [r.sub.i,t] e o excesso de retorno do ativo i em t sobre o ativo livre de risco, [r.sub.m,t] e o excesso de retorno da carteira de mercado, [[beta].sub.i] e o coeficiente beta do ativo, [[epsilon].sub.i,t] e o usual residuo idiossincratico do CAPM e [[eta].sub.i,t] e o excesso de retorno ajustado de mercado do ativo i. Campbell et al. (1997) classificam 1 como um modelo de mercado ajustado caso seja assumido que pi e igual a 1.

Considerando [w.sub.i,t] como o peso do ativo i na carteira de mercado em t e sua soma igual a 1, poder-sera computar a variancia media dos retornos de n acoes como:

[mathematical expression not reproducible] (2)

Note que a eliminacao de [[beta].sub.i] em 1 faz com que [r.sub.m,t] e [[epsilon].sub.i,t] sejam ortogonais. Sabendo que a media ponderada dos coeficientes [[beta].sub.i] e igual a 1, o ultimo termo do lado direito da equacao 2 e igual a zero e tem-se a decomposicoo de variancia proposta por Campbell et al. (2001), fazendo [VAR.sub.t] = [[SIGMA].sup.p.sub.i][w.sub.i,t]Var ([r.sub.i,t]):

[VAR.sub.t] = Var([r.sub.m,t]) + [n.summation over (i)] [w.sub.i,t]Var ([[eta].sub.i,t]) = [MKT.sub.t] + [FIRM.sub.t] (3)

Segundo Kearney and Poti (2006) apesar de ser intuitiva a conclusao de Campbell et al. (2001) de que uma tendencia de alta no risco idiossincratico sem qualquer alteracao no risco de mercado sugere uma queda na correlacao media entre os ativos de uma carteira, nao e trivial prever que o padrao na correlacao media pode subir quando, por exemplo, o risco idiossincratico medio e o risco de mercado variam na mesma direcao, mas em diferentes taxas. Para analisar todos os conjuntos de possiveis configuracoes do risco de mercado e o risco idiossincratio, Kearney and Poti (2006) reescreveram o termo MKT em 3 convertendo-o na notacao matricial abaixo:

[MKT.sub.t] = [w'.sub.t][H.sub.t][w.sub.t] (4)

onde [H.sub.t] = [D.sub.t][R.sub.t][D.sub.t] e [[[H.sub.t]].sub.i,j] = [h.sub.i,j,t].

Em 4, [R.sub.t] e uma matriz n x n de correlacoes, [D.sub.t] e uma matriz diagonal n x n com os elementos de sua diagonal principal representando os desvios padroes do excesso de retorno e [w.sub.t] e um vetor n x 1 de pesos. De 4 podemos reescrever:

[mathematical expression not reproducible] (5)

onde: [r.sub.t] = [summation][ summation] [w.sub.i,t][w.sub.j,t][r.sub.i,j,t]. Em 5, I e uma matriz identidade n x n, [r.sub.t] e o coeficiente de correlacao medio ponderado e i e um vetor unitario nx 1. A variancia da carteira, [MKT.sub.t], aumenta proporcionalmente com a correlacao media, [r.sub.t], se a matriz de desvio padrao, [D.sub.t], permanece constante. Usando 5, pode-se reescrever 3 para a decomposicao de variancia como em 6:

[VAR.sub.t] = [r.sub.t](i'[D.sub.t]I[D.sub.t]i)/n + [FIRM.sub.t] (6)

Portanto, conforme Kearney and Poti (2006), a equacao 6 nos diz que pelo menos para uma carteira de mercado igualmente ponderada ([w.sub.t] = 1/n i), pode-se interpretar a correlacao media como um parametro que para algum dado nivel de risco total medio, divide este em risco de mercado e risco idiossincratico.

Campbell et al. (2001), Kearney and Poti (2006) e Costa et al. (2016) fizeram uso de dados diarios ou semanais para obter estimativas mensais para [MKT.sub.t], [FIRM.sub.t] e [r.sub.t]. Porem, Kearney and Poti (2006) salientam que tal abordagem pode ser um complicador dado que a agregacao de dados diarios ou semanais em dados mensais de menor frequencia pode gerar problemas em caso de amostras pequenas.

Neste sentido, conforme Kearney and Poti (2006), o presente artigo aplica modelos GARCH multivariado em series temporais de retornos de acoes listadas na BMF&BOVESPA no periodo de 2000 a 2015 para avaliar o comportamento da correlacao condicional ao longo do tempo. Em busca de maior robustez nos resultados obtidos, varias especificacoes para esta abordagem econometrica sao propostas dentre elas, o modelo com melhor ajuste e escolhido para o estudo da dinamica da correlacoo condicional.

2.2 Modelo GARCH Multivariado

A capacidade de modelar a dinamica da densidade multivariada tem implicacoes importantes para a gestao de risco e carteiras, alem da tomada de decisoo em politica economica. Contudo, os modelos GARCH multivariado revelaram-se muito desafiadores desde a extensoo direta dos modelos GARCH univariados propostos por Bollerslev et al. (1988).

Considere o processo estocastico, [x.sub.t] {t = 1,2,...T} de retornos financeiros com dimensao N x 1 e vetor de media [[mu].sub.t] (5), dado o conjunto de informacoes [[zeta].sub.t-1]:

[x.sub.t]|[[zeta].sub.t-1] = [[mu].sub.t] + [[epsilon].sub.t], (7)

onde os residuos do processo soo modelados como:

[[epsilon].sub.t] = [H.sup.1/2.sub.t][z.sub.t], (8)

e [H.sup.1/2.sub.t] e uma matriz positiva definida N x N tal que [H.sub.t] e a matriz de covarioncia condicional de [x.sub.t], e [z.sub.t] um vetor aleatorio N x 1 independente e identicamente distribuido (i.i.d.) com os dois primeiros momentos centralizados:

E[[z.sub.t]] = 0, Var[[z.sub.t]] = [I.sub.N], (9)

com [I.sub.N] denotando a matriz identidade de ordem N. Assim, a matriz de covariancia condicional pode ser definida como:

[mathematical expression not reproducible]. (10)

A literatura sobre diferentes especificacoes de [H.sub.t] pode ser amplamente dividida em extensoes multivariadas diretas, modelos fatoriais e modelos de correlacao condicional. O usual trade-off da parametrizacao do modelo e dimensionalidade aplica-se aqui claramente, com modelos completamente parametrizados oferecendo uma dinamica mais risca ao custo de maior quantidade de parametros, tornando inviavel a modelagem quando temos muitos ativos. Tambem existe um trade-off, nao tao evidente, entre os modelos que permitem uma dinamica univariada flexivel (na dinamica do movimento e distribuicoes) ao custo de alguma dinamica multivariada. Nesta secao apresentaremos alguns destes modelos e os trade-offs entre eles. Uma revisao mais completa dos modelos GARCH multivariado e fornecida por Bauwens et al. (2006) assim como em Silvennoinen and Terasvirta (2009).

Os modelos de correlacao condicional sao basicamente uma decomposicao da matriz de covariancia condicional em desvios-padrao e correlacao condicional de modo que elas possam ser expressas de uma maneira que a dinamica univariada e multivariada seja separada, facilitando o processo de estimacao. Esta decomposicao surge ao custo de alguma estrutura dinamica bem como restricoes rigorosas sobre o tipo de distribuyo multivariada que pode usualmente ser decomposta da maneira proposta. No modelo Constant Conditional Correlation (CCC) de Bollerslev (1990), a matriz de covariancia pode ser decomposta em:

[H.sub.t] = [D.sub.t]R[D.sub.t] = [[rho].sub.ij][square root of ([h.sub.iit][h.sub.jjt])], (11)

onde [D.sub.t] = diag([square root of ([h.sub.11,t])], ..., [square root of ([h.sub.nn,t)]]) e R e matriz de correlacao condicional constante positiva definida. As variancias condicionais, e [h.sub.ii,t], que podem ser estimadas separadamente, sao escritas em forma vetorial baseadas em modelos GARCH(p,q): (6)

[h.sub.t] = [omega] + [p.summation over (i=1)] [A.sub.i][[epsilon].sub.t-i] + [q.summation over (i=1)] [B.sub.i][h.sub.t-i] (12)

onde [omega] [member of] [R.sup.n], [A.sub.i] e [B.sub.i] sao matrizes diagonais N x N e [??] denota o operador de Hadamard. As condicoes para a positividade da matriz de covariancia [H.sub.t] sao que R e positiva definida e os elementos de [omega] e os elementos da diagonal das matrizes [A.sub.i] e [B.sub.i] sejam positivos. No modelo CCC estendido (E-CCC) de Jeantheau (1998) a hipotese dos elementos na diagonal de [A.sub.i] e [B.sub.i] foi relaxada, permitindo as variancias e erros quadraticos passados das series afetarem a dinamica das variancias condicionais individuais e, assim, prover uma estrutura mais rica ainda que ao custo de mais parametros. A decomposicao em 11, permite o logaritmo da verossimilhanca em cada ponto do tempo ([LL.sub.t]), no caso de uma normal multivariada, ser expresso como:

[mathematical expression not reproducible] (13)

onde [z.sub.t] = [D.sup.-1.sub.t][[epsilon].sub.t]. Isto pode ser descrito como um termo ([D.sub.t]) para a soma das verossimilhancas do modelo GARCH univariado, um termo para a correlacao (R) e um termo para a covariancia que decorre da decomposicao.

Em funcao da restricao de correlacao condicional constante nao ser realista na pratica, surgiu uma classe de modelos denominados Dynamic Conditional Correlation (DCC) devido a Engle (2002) e Tse and Tsui (2002) onde e permitido que a matriz de correlacao seja variante ao longo do tempo, tal que:

[H.sub.t] = [D.sub.t][R.sub.t][D.sub.t]. (14)

Nesses modelos, alem da matriz de correlacao variar ao longo do tempo, ela deve ser invertivel e positiva definida, tornando o calculo muito mais lento. O modelo DCC de Engle (2002), incorpora essas restricoes modelando um processo proxy, [Q.sub.t] como:

[Q.sub.t] = [bar.Q] + a([z.sub.t-1][z'.sub.t-1] - [bar.Q]) + b([Q.sub.t-i] - [bar.Q]) = (1 - a - b)[bar.Q] + a[z.sub.t-1][z'.sub.t-1] + b[Q.sub.t-1] (15)

onde a e b sao escalares nao negativos, com a condicao que a + b < 1, imposta para garantir que [Q.sub.t] e estacionaria e positiva definida. [bar.Q] e a matriz nao condicional dos erros padronizados [z.sub.t] que entra na equacao via covariancia (1 - a - b)[bar.Q], e [Q.sub.0] e positiva definida. A matriz de correlacao [R.sub.t] e entao obtida por meio do escalonamento de [Q.sub.t] tal que,

[R.sub.t] = diag[([Q.sub.t]).sup.-1/2] [Q.sub.t]diag[([Q.sub.t]).sup.-1/2]. (16)

A funcao do logaritmo da verossimilhanca na equacao 12 pode ser decomposta mais claramente em um componente de volatilidade e correlacao adicionando e subtraindo [[epsilon]'.sub.t][D.sup.-1.sub.t][D.sup.-1.sub.t][[epsilon].sub.t] = [z'.sub.t][z.sub.t],

[mathematical expression not reproducible] (17)

onde [LL.sub.V] ([[theta].sub.1]) e o componente de volatilidade com parametro [[theta].sub.1] e [LL.sub.R] ([[theta].sub.1], [[theta].sub.2]) o componente de correlacao com parametros [[theta].sub.1] e [[theta].sub.2]. No caso de uma normal multivariada, onde nao ha parametros de assimetria e forma na densidade, o componente de volatilidade e a soma das verossimilhancas do GARCH univariado que pode ser maximizada conjuntamente por maximizar cada modelo univariado separadamente. Em outras distributes, tal como uma Student multivariada, a existencia de um parametro de forma significa que a estimacao deve ser performanda em um passo de modo que o parametro de forma e estimado conjuntamente com todos os modelos. A separacao da verossimilhanca em duas partes torna viavel a estimacao em grande escala. Junto com a utilizacao da variancia segmentada, sistemas de grande escala podem ser estimados em uma questao de segundos com o uso de computacao paralela. Ainda, assim como um sistema se torna maior e maior, ele se torna questionavel se os parametros escalares podem adequadamente capturar a dinamica do processo subjacente. Como tal, Cappiello et al. (2006) generalizaram o modelo DCC com a introducao do AGDCC Asymmetric Generalized DCC onde a dinamica de [Q.sub.t] e:

[Q.sub.t] = ([bar.Q] - A'[bar.Q]A - B'[bar.Q]B - G'[bar.Q]-G) + A'[z.sub.t-1][z'.sub.t-1]A + B'[Q.sub.t-1]B + G' [z.sup.-.sub.t][z'.sub.t]G (18)

onde A, B e G sao as matrizes N x N de parametros, [z.sup.-.sub.t] sao os erros padronizados que sao iguais a [z.sub.t] quando menor que zero, [bar.Q] e [[bar.Q].sup.-] as matrizes incondicionais de [z.sub.t] e [z.sup.-.sub.t] respectivamente. Em funcao da alta dimensionalidade do modelo AGDCC, usamos um modelo mais restrito onde G = [square root of (g)], A = [square root of (a)] e B = [square root of (b)]. Tal modelo e conhecido como ADCC que permite que choques positivos e negativos com impactos diferentes.

2.3 Teoria de matrizes aleatorias e autovalores

A teoria de matrizes aleatorias fornece uma medida confiavel para distinguir autovalores informativos de poucos informativos. A distribuicao Marcenko-Pastur e uma boa aproximacao da densidade de autovalores da matriz de correlacao de retornos aleatorizados. (7) Contudo, estamos interessados em qual dos autovalores sao significativos examinando o maior autovalor da matriz de correlacao dos retornos aleatorizados. Outro ponto importante e que precisamos saber qual o valor limite que o maximo autovalor da matriz de correlacao dos retornos aleatorizados pode tomar. Se um autovalor de uma matriz de correlacao e maior do que o valor limite, podemos satisfatoriamente dizer que ele e significativo.

Para determinar o limite, necessitamos saber a distribuicao limitante do maximo autovalor da matriz de correlacao dos retornos aleatorizados com o mesmo tamanho da matriz de correlacao amostral. Johnstone (2001) mostrou que a distribuicao assintotica do maior autovalor corretamente redimensionado da matriz de coraviancia populacional Wishart e a distribuicao Tracy-Widom, que fornece a distribuicao limitante do maximo autovalor, enquanto a distribuicao Marcenko-Pastur sugere limites da distribuicao dos autovalores. Para maiores detalhes matematicos sobre autovalores e a distribuicao Tracy-Widom veja Johnstone (2001) e Tracy and Widom (2009). A funcao de distribuyo da distribuyo Tracy-Widom [F.sub.[beta]][??] tem tres tipos de definicao dependendo do valor de [beta] (1,2,4). (8). Definimos [beta] como 1, que fornece o valor (a ser usado como um limite) quantilico mais conservador (maior) comparado com os outros. A funcao de distribuyo [F.sub.1][??] e definida como:

[F.sub.1](x) = exp[(-1/2 [[integral].sup.[infinity].sub.x] q(y)dy)([F.sub.2](x)).sup.1/2] (19)

[F.sub.2](x) = exp[(- [[integral].sup.[infinity].sub.x] (y - x) [q.sup.2](y)(dy) (20)

q e a solucao unica para a equacao diferencial ordinaria chamada de equacao Painleve. (9).

2.4 Teste de tendencia linear

Uma abordagem padrao para testar a significancia da tendencia deterministica de uma serie temporal tem sido a de assumir um modelo linear simples, da forma:

[y.sub.t] = [[beta].sub.1] + [[beta].sub.2]t + [u.sub.t], t = 1, 2, 3, ..., T, (21)

onde [y.sub.t] e a variavel dependente e [u.sub.t] e o erro estocastico do modelo de tendencia. O parametro [[beta].sub.2] mede a mudanca media de [y.sub.t] por periodo de tempo. Uma vez que todas as series estudadas sao bastante persistentes, testes padroes nao sao validos. Desta forma, testamos os seguintes testes unicaudais:

[H.sub.0] : [[beta].sub.2] [greater than or equal to] 0; [H.sub.1] : [[beta].sub.2] < 0 (22)

[H.sub.0] : [[beta].sub.2] [less than or equal to] 0; [H.sub.1] : [[beta].sub.2] > 0 (23)

utilizando a estatistica t - [PS.sub.T] proposta por Vogelsang (1998), que e robusta para qualquer forma de correlacao serial em [u.sub.t]. O teste de tendencia usado oferece varias vantagens sobre os testes convencionais. Em primeiro lugar, o teste e robusto para a possibilidade de uma raiz unitaria no termo do erro, ou seja, e assintoticamente valido se os erros sao estacionarios ou se possuem raiz unitaria. Vogelsang (1998) mostrou que em amostras finitas o teste tem o tamanho otimo proximo do nivel nominal de amostras tao pequenas quanto 100 observacoes. Em segundo lugar, o teste nao requer uma estimativa de [[sigma].sup.2], e desse modo, a escolha do truncamento da defasagem do erro pode ser totalmente evitada segundo Fomby and Vogelsang (2002). A estatistica t - [PS.sub.T] e baseada na seguinte regressao que e obtida computando as somas parciais dos dados originais [y.sub.t].

[z.sub.t] = [[beta].sub.1]t + [[beta].sub.2][1/2 ([t.sup.2] + t) + [S.sub.t] (24)

onde [z.sub.t] = [[SIGMA].sup.t.sub.j=1] [y.sub.j] e [S.sub.t] = [[SIGMA].sup.t.sub.j=1] [u.sub.j]. [z.sub.t] e [S.sub.t] sao as somas parciais de [y.sub.t] e [u.sub.t] e os regressores sao obtidos pelas formulas t = [[SIGMA].sup.t.sub.j=1] 1 e 1/2([t.sup.2] + t) = [[SIGMA].sup.t.sub.j=1] j. Suponha que a regressao 24 e estimada por MQO. Seja [X.sub.z] a matriz (T x 2) dos regressores de 24 e [t.sub.z] a estatistica-t padrao de MQO para testar [[beta].sub.2] = 0. Ou seja,

[t.sub.z] = [[??].sub.2]/[[[S.sup.2.sub.Z][([X'.sub.Z][X.sub.Z]).sup.-1]].sup.1/2] (25)

onde [[??].sub.2] denota o estimador MQO de [[beta].sub.2] da equacao 24, [S.sup.2.sub.Z] = [(T - 2).sup.-1] [[SIGMA].sup.T.sub.t=1] [[??].sup.2.sub.t] e a variancia amostral dos residuos de MQO. A estatistica t -PST proposta por Vogelsang (1998) e definida por T(1/2) multiplicada pela expressao 25:

t - [PS.sub.t] = [T.sup.-1/2][t.sub.z] exp (-[bJ.sub.T]) (26)

b e uma constante e [J.sub.T] = ([RSS.sub.y] - [RSS.sub.J])/[RSS.sub.J]. [RSS.sub.y] e a soma dos quadrados dos residuos de MQO da regressao 24 e [RSS.sub.J] e a soma dos quadrados dos residuos de MQO da regressao:

[y.sub.t] = [[beta].sub.1] + [[beta].sub.2]t + [9.summation over (i=2)] [[beta].sub.i+1] [t.sup.i] + [u.sub.t] (27)

Note que T vezes [J.sub.T] corresponde a estatistica padrao de Wald para testar [[beta].sub.3] = [[beta].sub.4] = ... = [[beta].sub.10] = 0 na regressao 27. Vogelsang (1998) recomendou que a ordem do polinomio da equacao 27 seja igual a 9, pois o poder do teste t - [PS.sub.T] e uma funcao crescente da ordem do polinomio, mas o aumento do poder e desprezivel para ordens polinomiais maiores que 9. Quando os erros tem uma raiz unitaria, exp(-[bJ.sub.T]) tem uma distribuicao assintotica bem definida, porem quando os erros sao estacionarios, exp(-[bJ.sub.T]) [right arrow] 1, ja que [J.sub.T] [right arrow] 0. Assim, quando os erros sao estacionarios, t - [PS.sub.T] e [T.sup.-1/2][t.sub.z] possuem as mesmas distributes assintaticas porque exp(-[bJ.sub.T]) [right arrow] 1. Mas, quando os erros tem uma raiz unitaria, t - [PS.sub.T] e [T.sup.-1/2][t.sub.z] possuem distributes assintoticas diferentes. Mais importante, note que para b > 0, exp(-[bJ.sub.T]) assume valores pequenos porque [J.sub.T] assume grandes valores positivos. Portanto, b pode ser escolhido de forma a diminuir a distribuicao assintotica de t - [PS.sub.T] quando os erros tem uma raiz unitaria sem afetar a distribuicao assintotica de t - [PS.sub.T] quando os erros saao estacionaarios.

Nao e possivel escolher b de modo que a distribuicao de t - [PS.sub.T] seja a mesma se os erros sao estacionarios ou se tem uma raiz unitaria. Mas, para um dado nivel de significancia, b pode ser escolhido de forma que os valores criticos sao os mesmos, seja para erros estacionarios ou para erros com raiz unitaria. Vogelsang (1998) derivou a distribuicao assintatica de t - [PS.sub.T] e calculou os valores criticos assintoaticos e os valores correspondentes de b utilizando maetodos de simulacao de Monte Carlo. Para pontos percentuais 1%, 5% e 10%, os valores criticos assintaticos e os b's (em parenteses) sao 2.647 (1.501), 1.720 (0.716) e 1.331 (0.494). Esses valores criticos sao apropriados para a hipoatese unicaudal que estamos considerando.

2.5 Dados

Para a composto da amostra deste estudo, nao houve restrto sobre o tipo de empresa listada, mas apenas liquidez. Desta forma, todas as acoes negociadas na BM&F BOVESPA em cada mes do periodo amostral (2000-2015) sao candidatas a participar da amostra. O criterio adotado na escolha das acoes e a analise do andice de liquidez em bolsa (10), em termos mensais. Acoes que nao possuissem valor superior a 0.68 para este indice, que representa aproximadamente 15 dias de negociacao dentro de cada mes, nao foram consideradas. Este criterio foi adotado para minimizar os problemas de retornos espurios causados pela falta de precos de fechamento, tal como Ricca (2010) e Costa et al. (2016), ja que o mercado acionurio brasileiro e menor, mais recente e menos consolidado do que os mercados europeus e dos EUA. Abertura ou fechamento de capital, falencias e falta de liquidez sao as causas de tais dados faltantes. Tanto o indice de liquidez em bolsa quanto os precos de fechamentos utilizados para estimar a correlacao condicional foram obtidos no sistema Economatica. Todos os retornos foram calculados de forma continua, isto e, usou-se o logaritmo natural da razao entre os fechamentos (ajustados aos proventos) em t e t - 1, onde t pode ser de qualquer periodicidade (diario, semanal, mensal e anual). Apus a aplicacao dos criterios anteriormente apresentados, a amostra final e compreendida por 42 acoes com 4173 observacoes cada.

A tabela 1 apresenta a quantidade de acaes selecionadas por setor. (11) Os setores de Industria Manufatureira e Empresa de eletricidade, gas e agua sao os mais representativos. Detalhes sobre cada acao selecionada dentro dos setores podem ser encontrados na tabela 11 do anexo.

3. Resultados

A pioneira analise do comportamento de medidas de volatilidade desagregadas proposta por Campbell et al. (2001) desencadeou uma serie de estudos (Xu and Malkiel (2003), Kearney and Poti (2008), Sousa and Serra (2008), Brandt et al. (2010)) sobre a dinamica do risco idiossincratico. Uma das principais conclusoes de Campbell et al. (2001) e que o componente especifico das acoes apresentou tendencia de alta no periodo de 1962 a 1997 para o mercado acionario dos EUA. Como consequencia deste comportamento, houve uma queda na correlacao media entre as acoes dos EUA fazendo com que a quantidade de acoes necessarias para alcancar um determinado nivel de diversificacao aumentasse. Estas evidencias tambem foram documentadas em mercado de acoes de outros paises desenvolvidos e economias emergentes (Morck et al. (2000), Li et al. (2004), Kearney and Poti (2008)). Para o caso brasileiro, Costa et al. (2016), utilizando a abordagem de Campbell et al. (2001), encontraram uma tendencia de queda na volatilidade idiossincratica no periodo de 1996 a 2010 enquanto que a a correlacao media incondicional aumentou no mesmo periodo.

Porem, a analise baseada apenas na computacao de variancias e covariancias seguidas pela estimacao de series temporais conforme apresentado na metodologia, tem suas deficiencias e pode impactar nas conclusoes obtidas. Nesta perspectiva, o presente trabalho buscou a partir da estimacao de modelos GARCH multivariado avaliar o comportamento da correlacao condicional do retorno das acoes do mercado acionario brasileiro no periodo de 2000 a 2015 e verificar empiricamente se este se assemelha ao documentado na teoria de financcas.

Com o objetivo de validar a presenca de heterocedasticidade condicional na amostra de dados utilizada neste estudo, ralizamos testes por meio da estatistica de Ljung-Box (mais detalhes sobre os testes em Tsay (2013)). A tabela 2 apresenta os resultados e, como esperado, as estatisticas dos testes rejeitam a hipotese nula de noo heterocedasticidade condicional (12).

3.1 Dinamica da Correlacao Condicional

A escolha entre correlacao dinamica e estatica e uma questao empirica que depende dos dados observados. Neste contexto, executamos o teste proposto por Engle and Sheppard (2001) para verificar se a hipotese de correlacao dinamica e viavel para os dados deste estudo. O modelo GARCH (1,1), que e assumido ser um modelo GARCH tipico, e primeiro ajustado aos retornos individuais para obter os residuos padronizados. A correlacao constante e entao calculada a partir dos residuos padronizados. A hipotese nula ([H.sub.0]) o [R.sub.t] = [bar.R] (ou seja, correlacao condicional constante). O teste o baseado em uma regressao artificial dos produtos externos dos residuos sobre uma constante e produtos externos defasados para explorar se existe qualquer dependencia temporal entre [R.sub.t] e [R.sub.t-1], ..., [R.sub.t-i].

A tabela 3 mostra os resultados do teste. Em ambos os casos, podemos rejeitar a hipotese nula em favor do modelo de correlacao dinamica ao inves da correlacao estatica ao nivel de significancia de 5%. Este resultado motiva a estimacao do modelo DCC-GARCH. (13)

3.2 Analise do comportamento da correlacao condicional

Como mencionado na metodologia, modelos de correlacao condicional baseiam-se na decomposicao da matriz de variancia condicional em dois componentes: desvio padrao e correlacao (ambos condicionais). Isto o realizado de forma que seja possivel a separacao das dinamicas univariadas e multivariadas e, por conseguinte, facilita o processo de estimacao. Esta decomposicao traz o custo de assumir alguma estrutura dinamica assim como restricoes sobre o tipo de distribuyo multivariada que podem ser decompostas desta maneira.

Como propoe o teste de Engle and Sheppard (2001), optamos pelo uso da estrutura dinamica da correlacao condicional. As estimacoes dos modelos foram realizadas nas seguintes etapas: a) no primeiro estagio, para cada acao, sao estimadas todas as combinacoes possiveis entre ARMA-GARCH(0,0)(0,0) e ARMA-GARCH(2,2)(2,2) usando o modelo GJR-GARCH (14) com constante e assumindo uma distribuyo t de Student assimetrica; b) escolhe-se, para cada acao, dentre os modelos estimados no primeiro estagio, o modelo que apresenta menor BIC (15); c) no segundo estagio, usando as estimativas selecionadas anteriormente, estimamos todas as combinacoes possiveis tanto para DCC-GARCH(1,1) e DCC-GARCH(2,2) quanto ADCCGARCH(1,1) e ADCC-GARCH(2,2) alternando a hipotese da distribuicao multivariada entre Normal e t de Student; d) por fim, selecionamos dentre os modelos estimados no passo anterior, o modelo com menor BIC.

Os resultados para cada modelo ARMA-GARCH univariado sao omitidos em funcao de limitacao de espaco, mas as especificacoes selecionadas para cada acao sao mostradas na tabela 4. No que tange aos parametros estimados para o modelo GARCH Multivariado, a tabela 6 apresenta os resultados do modelo ADCC-GARCH(1,1) com distribuicao multivariada t de Student que foi o escolhido dentre todas as combinacaes estimadas (menor BIC conforme a tabela 9, mas observe que tambem seria o modelo escolhido nos demais criterios).

A defasagem m escolhida para a na equacao 15 e 1. Tal parametro indica o grau da resposta de [Q.sub.t] as covariancias passadas dos erros padronizados na equacao 15. O resultado de que m = 1 significa que o efeito de choques passados sobre Qt e assim, sobre a correlacao [R.sub.t], persistem pouco. A ordem da defasagem n para b tambem e 1. Tal parametro indica o grau de persistencia de [Q.sub.t] assim como [R.sub.t]. Esta ordem corresponde ao paraametro b1 na tabela 6.

Os parametros al e b1 sao diferentes de zero, positivos e estatisticamente significativos ao nivel de 5% de significancia, mas a1 e muito pequeno (< 0.01). Por outro lado, o parametro gl nao e estatisticamente significante ao nivel de 5% de significancia. Ao calcularmos a soma dos parametros estimados encontramos o valor 0.7198 o que nos permite dizer que DCC e mais realista para amostra de dados do que CCC dado que este assume que a = b = 0 na equacao 15.

O parametro de forma (mshape) da distribuicao t de Student e relativamente alto significando que a dependencia nas caudas dos residuos padronizados parece estar limitada, se houver.

Conduzimos testes para avaliar a qualidade do ajuste do modelo ADCC-GARCH(1,1) de forma que seja possivel garantir que as hipoteses do modelo sao mantidas. Especificamente, a selecao da distribuicao de probabilidade dos residuos padronizados deveria ser confirmada. A ausencia de autocorrelacao serial dos residuos padronizados tambem deveria ser garantida, uma vez que a condicao de independentes e identicamente distribuidas (i.i.d.) e assumida na equacao 8. Para tanto, executamos o teste de Anderson-Darling (16) para a qualidade de ajuste da distribuyo selecionada e o teste de Ljung-Box (17) para autocorrelacao. Estes dois testes sao conhecidos como portmanteau test em que apenas a hipotese nula e bem especificada.

Como mostra a tabela 7, o resultado do teste de Anderson-Darling com alto p-valor demonstra que a hipotese nula nao pode ser rejeitada ao nivel de significancia de 10%. Podemos dizer que nao existe ma especificacao significante no que diz respeito a distribuicao dos residuos padronizados. Quanto aos resultados do teste de LjungBox, a hipotese nula de nao existencia de autocorrelacao serial nao pode ser rejeitada ao nivel de 10% de significancia. Estes resultados sugerem que as hipoteses do modelo estao satisfeitas.

3.3 Uma medida de intensidade da correlacao

Anteriormente, obtivemos os parametros do modelo ADCC-GARCH (1,1). Agora, calculamos a matriz [R.sub.t] apresentada na equacao 16. Em funcao de [R.sub.t] existir em cada periodo temporal, o numero total de matrizes de correlacao e o mesmo do tamanho da amostra (isto e, 4173 matrizes). Alem disso, a dimensao de [R.sub.t] e 42 x 42 o que torna dificil observar a dinamica da serie temporal de [R.sub.t], nos obrigando a reduzir sua dimensaao.

E sabido que os autovalores de uma matriz de correlacao podem ser usados como uma proxy para a intensidade da correlacao. Um autovalor grande indica forte correlacao sendo que o maximo autovalor positivo de [R.sub.t] a medida de intensidade da correlacao. Isto indica o montante maximo de variancia das variuveis que pode ser explicada por um unico fator subjacente (Friedman and Weisberg (1981)). Se o maior autovalor e grande o suficiente, os outros autovalores podem ter influencia limitada sobre a intensidade da correlacao de [R.sub.t]. Desta forma, a serie temporal do maior autovalor aproxima bem a dinamica da intensidade da correlacao entre os retornos das acoes.

Apesar das mudancas em uma matriz de correlacao serem oriundas de dois componentes, intensidade da correlacao (autovalores) e direcao (autovetores), focamos sobre o componente intensidade para observar qualquer mudanca na dinamica, assumindo que esse tem uma maior influencia sobre o risco de uma carteira. Para tanto, coletamos a serie temporal dos maiores autovalores de [R.sub.t] a partir das matrizes [R.sub.t] obtidas por meio do modelo ADCC-GARCH(1,1).

A tabela 8 resume tres maiores autovalores de [R.sub.t] (AV1, AV2, AV3). (18) Min e Max representam os valores minimos e maximos da serie temporal dos autovalores de [R.sub.t]. O maior autovalor (AV1) e muito maior do que o segundo e o terceiro (AV2 e AV3) sugerindo que AV1 determina, principalmente, a intensidade da correlacao. Se assim for, podemos focar sobre o comportamento da serie dos maiores autovalores como proxy para a intensidade da correlacao.

Por conseguinte, tambem apresentamos na tabela 8 o percentil 99 ([beta] = 1) da distribuicao Tracy-Widom (TW) para identificar os autovalores nao aleatorios que estao alem deste valor. O valor do percentil 99 da distribuicao Marcenko-Pastur (MP) tambem e calculado para referencia. E possivel observar que o valor minimo do maximo autovalor (AV1) de [R.sub.t] durante o periodo amostral e maior do que o percentil 99 da distribuyo Traxy-Widom. Esta conclusao significa que esses moximos autovalores sao todos significativos o suficiente.

Alem disso, encontramos que o minimo valor de AV2 e menor do que o percentil 99 da distribuicao Tracy-Widom enquanto seu valor moaximo oe maior. Estes resultados significam que AV2 oe apenas significativo em certos pontos do tempo durante o periodo amostral. O mesmo prevalece para AV3 indicando que este autovalor nao transmite informacao significativa. Desta forma, podemos assumir o maior autovalor para cada matriz [R.sub.t] como proxy da intensidade da correlacao entre os retornos das acoes e a figura 1 apresenta o comportamento da serie temporal do maior autovalor das matrizes de correlacao condicional com sua respectiva media movel.

3.4 Comportamento da intensidade da correlacao condicional

Na figura 1 e possivel observar o comportamento da intensidade da correlacao condicional durante o periodo estudado. Analisando a serie original bem como sua media movel de ordem 252, podemos observar que a serie apresenta um padrao de variacoes amenas, mas com alguns momentos de grandes oscilacaes. A intensidade da matriz de correlacao condicional foi maior em periodos de crise, tanto internacionais quanto nacionais. Tais fatores contribuiram para uma maior correlacao nestes periodos, sugerindo que a correlacao entre as acoes aumenta em momentos de crise.

Visualmente, nao e possivel definir se a intensidade da correlacao condicional apresenta qualquer tendencia ao longo do periodo estudado. Uma importante questao neste ponto e se, em caso de existencia, ha tendencia estocastica ou deterministica. Para tanto, testes de raiz unitaria precisam ser realizados na serie temporal. E sabido que se deve tomar cuidado na realizacao de testes de raiz unitaria em uma serie temporal caso exista suspeita de mudancas estruturais. Se a presenca destas e confirmada, as varias estatisticas dos testes tradicionais como o Augmented Dickey-Fuller (ADF) e Phillips-Perron (PP) apresentados por Dickey and Fuller (1981) e Phillips and Perron (1988), respectivamente, sao enviesadas em direcao a nao rejeicao de raiz unitaria, mesmo sendo a serie estacionaria dentro de cada um dos subperiodos. Um condicionante favorivel a presenca de quebras e que durante o periodo estudado (2000-2015) ocorreram mudancas estruturais economicas que poderiam alterar o comportamento de longo prazo das series.

Assim, em busca de nao incorrer em respostas erroneas para os testes de raiz unitaria aplicados na serie estudada, foi realizado o teste de quebra estrutural proposto por Bai and Perron (1998, 2003) que considera a possibilidade de quebras miltiplas ocorrendo em datas desconhecidas em modelos de regressao linear estimados por MQO. Alem disso, a possibilidade de identificar quando a quebra ocorreu atraves destes procedimentos, fornece subsidios para analisar se a mudanca de comportamento de uma variavel esta associada a politica de governo, crise economica ou outros fatores.

Utilizamos uma configuracao do teste de Bai and Perron (1998, 2003) que possibilita o teste de existencia de quebra estrutural apenas na constante. Analisando os resultados da tabela 9, podemos ver que o teste Udmax (19) nao rejeita a hipotese nula de nenhuma quebra em favor da hipotese alternativa de um numero qualquer de quebras ao nivel de significancia de 10%.

O objetivo de utilizar o procedimento de Bai and Perron (1998, 2003) foi identificar de forma endugena a quantidade de quebras estruturais da variuvel estudada, pois o tipo de teste de raiz unitaria a ser usado na presenca de quebras estruturais varia em funcao da quantidade destas e da forma como sao identificadas. Como o teste de Bai and Perron (1998, 2003) nao identificou quebra estrutural, utilizamos os testes de raiz unitaria ADF e PP para avaliacao da estacionariedade da serie temporal dos maiores autovalores das matrizes de correlacao condicional oriundas do modelo ADCC-GARCH(1,1). Como resultado, encontramos -12.06 e -887.90 para as estatisticas dos testes ADF e PP, respectivamente (ambas com o p-valor de 0.01). Assim, concluimos que a serie de interesse e estacionaria dado que a hipotese nula de ambos os testes e de existencia de raiz unitaria.

Dada a estacionariedade da serie, buscou-se verificar a possibilidade de uma tendencia deterministica linear utilizando a serie temporal em nivel ao inves de em diferencas. Uma vez que a serie estudada e bastante persistente, testes de tendencias tradicionais nao sao validos. Desta forma, utilizamos o teste proposto por Vogelsang (1998) que produz a estatistica t - [PS.sub.T] que e robusta para qualquer forma de correlacao serial no termo de erro para a execucao de testes unicaudais. Detalhes sobre este teste foram apresentados na metodologia. Para tanto, estimou-se os modelos de tendencia (equacao 21) para todo o periodo amostral (2000-2015). A tabela 10 mostra os resultados para o teste de tendencia.

E possivel observar a partir da tabela10 que a serie temporal dos maiores autovalores das matrizes de correlacao condicional oriundas do modelo ADCC-GARCH(1,1) nao apresenta tendencia significativa, representada pelo valor de [[??].sub.2]. Note que alem do parametro estimado ser nulo, a estatistica t - [PS.sub.T] calculada e menor que seu valor critico em todos os niveis de significancia. Assim, nao podemos rejeitar a hipotese nula de nao existencia de tendencia. Este resultado significa que apesar de se mostrar relativamente alta em momentos de crise, a intensidade da matriz de correlacao das acoes avaliadas neste estudo e periodo temporal nao apresenta qualquer comportamento tendencial de longo prazo.

Consideracoes Finais

A correlacao dos retornos de ativos e um problema crucial para mensuraccoao do risco quantitativo e controle de investimento em uma carteira. Neste estudo empirico, observamos as mudancas na dinamica das matrizes de correlacao dos retornos de acoes listadas na BM&F BOVESPA usando modelos GARCH multivariado, neste caso DCCGARCH e suas derivacoes. A partir do modelo selecionado, ADCCGARCH(1,1), as matrizes de correlacao condicional foram calculadas para todo o periodo temporal. Entao, a serie temporal dos maiores autovalores destas matrizes de correlacao condicional foi obtida para observar mudancas na dinamica da intensidade da correlacao. As conclusoes confirmam que tanto em periodos de crises nacionais como turbulencias internacionais, ha intensificacao da correlacao entre as acoes. Contudo, nao encontramos qualquer tendencia temporal na serie temporal dos maiores autovalores das matrizes de correlacao condicional.

Essas conclusoes empiricas sugerem um namero de pontos de discussao. O primeiro deles e as limitacoes tecnicas encontradas quando modelamos correlacao. Embora a abordagem DCC-GARCH possa modelar a dinamica da correlacao, permanece dificil avaliar as mudancas na matriz de correlacao estimada. Neste estudo, adotamos o maximo autovalor de uma matriz de correlacao como uma medida proxy para a intensidade da correlacao. O maximo autovalor revela as mudancas na dinamica na intesidade da correlacao como um indicador escalar, que nos ajuda a avaliar o padrao destas mudancas ao longo do tempo. Mesmo assim, o maior autovalor naao diretamente esta ligado ao calculo do risco de uma carteira. Mais estritamente, as mudancas no autovetor de uma matriz de correlacao podem tambem influenciar o risco de uma carteira, demandando uma simulacao do impacto quantitativo de mudancas na correlacao sobre o risco da carteira.

Os resultados encontrados sugerem duas possiveis direcaes para pesquisas futuras. Primeiro, nossas conclusoes empiricas dependem da hipotese de nao existencia de spillovers. Um modelo multivariado mais generalizado poderia ser aplicado. Ainda, estudos futuros podem utilizar outras formulacoes dos modelos GARCH multivariado (DCC-GARCH Copula, EDCC-GARCH, cDCC-GARCH e GOGARCH) em busca de confirmaccaoes sobre os resultados obtidos e incorporar a heterogeneidade das distribuyes dos retornos individuais mais eficientemente. Por fim, um estudo mais detalhado da relacao entre autovalores e risco de uma carteira poderiam ser um topico de interesse. Finalmente, uma aplicacao pratica da estimacao da dinamica da mudanca na correlacao sobre gerenciamento do risco de uma carteira poderia ser explorado.

Referencias

Anderson, T. W. and Darling, D. A. (1952). Asymptotic theory of certain"goodness of fit"criteria based on stochastic processes. The annals of mathematical statistics, pages 193-212.

Anderson, T. W. and Darling, D. A. (1954). A test of goodness of fit. Journal of the American statistical association, 49(268):765-769.

Angelidis, T. (2010). Idiosyncratic risk in emerging markets. Financial Review, 45(4):1053-1078.

Bai, J. and Perron, P. (1998). Estimating and testing linear models with multiple structural changes. Econometrica, pages 47-78.

Bai, J. and Perron, P. (2003). Computation and analysis of multiple structural change models. Journal of applied econometrics, 18(1):1-22.

Bauwens, L., Laurent, S., and Rombouts, J. V. (2006). Multivariate garch models: a survey. Journal of applied econometrics, 21(1):79-109.

Bollerslev, T. (1990). Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized arch model. The review of economics and statistics, pages 498-505.

Bollerslev, T., Engle, R. F., and Wooldridge, J. M. (1988). A capital asset pricing model with time-varying covariances. The Journal of Political Economy, pages 116-131.

Box, G. E. and Pierce, D. A. (1970). Distribution of residual autocorrelations in autoregressive-integrated moving average time series models. Journal of the American statistical Association, 65(332):1509-1526.

Brandt, M., Brav, A., Graham, J., and Kumar, A. (2010). The idiosyncratic volatility puzzle: Time trend or speculative episodes? Review of Financial Studies, 23(2):863-899.

Campbell, J., Lettau, M., Malkiel, B., and Xu, Y. (2001). Have individual stocks become more volatile? an empirical exploration of idiosyncratic risk. The Journal of Finance, 56(1):1-43.

Campbell, J. Y., Lo, A. W., MacKinlay, A. C., and Whitelaw, R. F. (1997). The econometrics of financial markets. Princeton University press.

Cappiello, L., Engle, R. F., and Sheppard, K. (2006). Asymmetric dynamics in the correlations of global equity and bond returns. Journal of Financial econometrics, 4(4):537-572.

Costa, H. C., Mazzeu, J. H. G., and Costa Jr, N. C. A. (2016). O comportamento dos componentes da volatilidade das acoes no brasil. Revista Brasileira de Financas, 14(2):225-268.

Dickey, D. A. and Fuller, W. A. (1981). Likelihood ratio statistics for autoregressive time series with a unit root. Econometrica: Journal of the Econometric Society, pages 1057-1072.

Emiliano, P. C., Veiga, E. P., Vivanco, M. J., and Menezes, F. S. (2010). Criterios de informacao de akaike versus bayesiano: analise comparativa. 19[degrees] Simposio Nacional de Probabilidade e Estatistica.

Engle, R. (2002). Dynamic conditional correlation. Journal of Business and Economic Statistics, 20(3):339-350.

Engle, R. F. and Kroner, K. F. (1995). Multivariate simultaneous generalized arch. Econometric theory, 11(01):122-150.

Engle, R. F. and Sheppard, K. (2001). Theoretical and empirical properties of dynamic conditional correlation multivariate garch. Technical report, National Bureau of Economic Research, Cambridge.

Falkenstein, E. (1996). Preferences for stock characteristics as revealed by mutual fund portfolio holdings. Journal of finance, pages 111-135.

Fama, E. F. (1965). The behavior of stock-market prices. The journal of Business, 38(1):34-105.

Fomby, T. B. and Vogelsang, T. J. (2002). The application of size-robust trend statistics to global-warming temperature series. Journal of Climate, 15(1):117-123.

Friedman, S. and Weisberg, H. F. (1981). Interpreting the first eigenvalue of a correlation matrix. Educational and Psychological Measurement, 41(1):11-21.

Glosten, L. R., Jagannathan, R., and Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The journal of finance, 48(5):1779-1801.

Isogai, T. et al. (2015). An empirical study of the dynamic correlation of japanese stock returns. Technical report, Bank of Japan, Tokyo.

Jeantheau, T. (1998). Strong consistency of estimators for multivariate arch models. Econometric theory, 14(01):70-86.

Johnstone, I. M. (2001). On the distribution of the largest eigenvalue in principal components analysis. Annals of statistics, pages 295-327.

Kearney, C. and Poti, V. (2006). Correlation dynamics in european equity markets. Research in International Business and Finance, 20(3):305-321.

Kearney, C. and Poti, V. (2008). Have european stocks become more volatile? an empirical investigation of idiosyncratic and market risk in the euro area. European Financial Management, 14(3):419-444.

Li, K., Morck, R., Yang, F., and Yeung, B. (2004). Firm-specific variation and openness in emerging markets. Review of Economics and Statistics, 86(3):658-669.

Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets. The review of economics and statistics, 47(1):13-37.

Mandelbrot, B. (1963). The variation of certain speculative prices. The Journal of Business, 36(4):394-419.

Mantegna, R. N. and Stanley, H. E. (1999). Introduction to econophysics: correlations and complexity in finance. Cambridge university press.

Marcenko, V. A. and Pastur, L. A. (1967). Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices. Mathematics of the USSRSbornik, 1(4):457.

Markowitz, M. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance, 7(1):77-91.

Morck, R., Yeung, B., and Yu, W. (2000). The information content of stock markets: why do emerging markets have synchronous stock price movements? Journal of Financial Economics, 58(1-2):215-260.

Phillips, P. C. and Perron, P. (1988). Testing for a unit root in time series regression. Biometrika, 75(2):335-346.

Ricca, B. d. O. G. (2010). Aprecamento da assimetria idiossincratica no mercado brasileiro de acoes.

Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. The journal of finance, 19(3):425-442.

Silvennoinen, A. and Terasvirta, T. (2009). Multivariate garch models. In Handbook of financial time series, pages 201-229. Springer.

Sousa, S. and Serra, A. (2008). What drives idiosyncratic volatility over time? Portuguese Economic Journal, 7(3):155-181.

Tracy, C. A. and Widom, H. (1996). On orthogonal and symplectic matrix ensembles. Communications in Mathematical Physics, 177(3):727-754.

Tracy, C. A. and Widom, H. (2009). The distributions of random matrix theory and their applications. In New Trends in Mathematical Physics, pages 753-765. Springer.

Tsay, R. S. (2013). Multivariate time series analysis: with R and financial applications. John Wiley & Sons.

Tse, Y. K. and Tsui, A. K. C. (2002). A multivariate generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model with time-varying correlations. Journal of Business & Economic Statistics, 20(3):351-362.

Vogelsang, T. J. (1998). Trend function hypothesis testing in the presence of serial correlation. Econometrica, pages 123-148.

Xu, Y. and Malkiel, B. (2003). Investigating the behavior of idiosyncratic volatility *. The Journal of Business, 76(4):613-645.

Zou, H., Hastie, T., Tibshirani, R., et al. (2007). On the "degrees of freedom" of the lasso. The Annals of Statistics, 35(5):2173-2192.

Apendice
Tabela 11
Acoes utilizadas por setor

Empresa            Acao                    Setor

Braskem            BRKM5   Industria Manufatureira
Celesc             CLSC4   Empresa de eletricidade, gus e ugua
Cemig              CMIG4   Empresa de eletricidade, gus e agua
Coelce             COCE5   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Comgas             CGAS5   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Copel              CPLE6   Empresa de eletricidade, guas e uagua
Coteminas          CTNM4   Induustria Manufatureira
Eletrobras         ELET6   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Emae               EMAE4   Empresa de eletricidade, guas e uagua
Embraer            EMBR3   Induustria Manufatureira
Embratel Part.     EBTP4   Informacao
Eternit            ETER3   Induustria Manufatureira
Ferbasa            FESA4   Induustria Manufatureira
Forja Taurus       FJTA4   Induustria Manufatureira
Gerdau             GGBR4   Induustria Manufatureira
Gerdau Met         GOAU4   Induustria Manufatureira
Inepar             INEP4   Induustria Manufatureira
Itausa             ITSA4   Servicos financeiros e seguros
Klabin S/A         KLBN4   Induustria Manufatureira
Light S/A          LIGT3   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Lojas Americanas   LAME4   Comuercio Varejista
M G Poliest        RHDS3   Induustria Manufatureira
Marcopolo          POMO4   Induustria Manufatureira
Net                NETC4   Informacao
Oi                 OIBR4   Informacaao
Pao de Acucar      PCAR4   Comuercio Varejista
Petrobras          PETR4   Mineracaao
Randon Part        RAPT4   Induustria Manufatureira
Sabesp             SBSP3   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Sid Nacional       CSNA3   Induustria Manufatureira
Souza Cruz         CRUZ3   Induustria Manufatureira
Suzano Papel       SUZB5   Induustria Manufatureira
Tectoy             TOYB4   Induustria Manufatureira
Telebras           TELB4   Informacaao
Telef Brasil       VIVT4   Informacaao
Tim Part S/A       TIMP3   Informacaao
Tractebel          TBLE3   Empresa de eletricidade, gaus e uagua
Tran Paulist       TRPL4   Empresa de eletricidade, gaus e augua
Unipar             UNIP6   Induustria Manufatureira
Usiminas           USIM5   Induustria Manufatureira
Vale               VALE5   Mineracaao
Bradesco           BBDC4   Servicos financeiros e seguros
Itau Unibanco      ITUB4   Servicos financeiros e seguros

Fonte: Elaborado pelos autores.


Hudson Chaves Costa *

Sabino da Silva Porto Junior **

Gabrielito Rauter Menezes ***

Submetido em 26 de setembro de 2017. Reformulado em 10 de setembro de 2018. Aceito em 27 de outubro de 2018. Publicado on-line em 19 de janeiro de 2019. O artigo foi avaliado segundo o processo de duplo anonimato aiem de ser avaliado pelo editor. Editor responsavel: Marcio Laurini.

* IBMEC--MG, Belo Horizonte, MG, Brasil. E-mail: hudsonchavs@gmail. com

** Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Porto Alegre, RS, Brasil. E-mail: sabino@ppge.ufrgs.br

*** Universidade Federal de Pelotas (UFPel), Pelotas, RS, Brasil. E-mail: gabrielitorm@gmail.com

(1) Uma forma de precificar a volatilidade idiossincratica e pela parcela da variabilidade total do rendimento atrelada a fatores peculiares do ativo

(2) Neste contexto, correlacao e uma medida de tendencia dos retornos de um ativo mover em conjunto com os retornos de outro ativo. Em outras palavras, dois ativos que sao nao correlacionados deveriam nao ter relacao linear e sistematica entre seus retornos ao longo do tempo. Combinando ativos nao correlacionados, os movimentos de um ativo podem mitigar, ao menos parcialmente, os movimentos do segundo ativo, reduzindo a volatilidade media de um portfolio.

(3) a) Estacionariedade: as propriedades da serie sao invariantes ao longo do tempo; b) fraca ou nenhuma dependencia linear e uma dependencia nao linear: a serie normalmente e pouco ou nao autocorrelacionada, mas a serie do quadrado das observacaes e autocorrelacionada; c) nao-normalidade: as distribuicoes das series financeiras geralmente apresentam caudas pesadas e presenca de assimetria, distanciando da distribuicao Normal; d) existencia de conglomerados de volatilidade: a serie financeira costuma alterar periodos de alta volatilidade e periodos de baixa volatilidade, ou seja, a variancia condicional da serie varia o longo do tempo.

(4) As tentativas iniciais de construcao de modelos para as covariancias condicionais, como por exemplo, o modelo Vech de Bollerslev et al. (1988) e o modelo Bekk de Engle and Kroner (1995), sofreram da chamada maldicao da dimensionalidade. Nessas especificacoes, o nUmero de parametros cresce rapidamente a medida que a dimensao do problema aumenta, criando dificuldades no processo de estimacao e introduzindo erro de estimacao nas matrizes de covariancias estimadas. Nesse contexto, os modelos de correlates condicionais de Bollerslev (1990) emergem como alternativas mais parcimoniosas e que requerem uma quantidade menor de parametros a serem estimados. A principal atratividade destes modelos e a possibilidade de estimar separadamente variancias univariadas e a matriz de correlaccaoes. Essa decomposiccaao simplifica a estimaccaao e torna o modelo mais flexivel e mais atrativo em relacao as especificacoes Garch multivariadas de Bollerslev et al. (1988) e Engle and Kroner (1995), especialmente no que se refere a possibilidade de sua utilizacao em problemas que envolvem um grande numero de series temporais.

(5) O vetor de media pode, por exemplo, ser derivado a partir de um modelo VAR ou pode simplesmente representar a media incondicional dos retornos.

(6) Os modelos GARCH nao sao restritos a serem de uma forma particular, permitindo escolher diferentes modelos GARCH no estagio onde eles sao estimados.

(7) Os maiores e menores autovalores de uma matriz Wishart apresenta convergencia quase certa para os respectivos limites da distribuicao de MarcenkoPastur quando a verdadeira matriz de covariancia e uma matrix identidade como pode ser visto em Marcenko and Pastur (1967)

(8) O valor de ft depende da hipotese da estrutura da matrix de correlacao: [beta] = 1 para Gaussian orthogonal ensemble, [beta] = 2 para Gaussian unitary ensemble e [beta] = 4 para Gaussian symplectic ensemble.

(9) Para uma definido mais completa, veja Tracy and Widom (1996).

(10) liquidezembolsa = 100 * p/P * [square root of (n/N x v/V)], onde p e o numero de dias em que houve pelo menos um negocio com a acao dentro do periodo escolhido; P e o numero total de dias do periodo escolhido; n e o numero de negocios com a acao dentro do periodo escolhido; N e o numero de negocios com todas as acoes dentro do periodo escolhido; v e o volume em dinheiro com a acao dentro do periodo escolhido; V e o volume em dinheiro com todas as acaes dentro do periodo escolhido.

(11) Neste estudo, a definicao de setor e semelhante a disponibilizada pelo Economatica. A Unica diferenca e a agregacao dos setores Loja de Mercadorias Variadas com o Comercio Varejista para formar o setor Comercio Varejista

(12) Sabemos que a maioria das series temporais financeiras tem heterocedasticidade condicional e que um dos principais objetivos dos modelos multivariado de volatilidade e modelar a dependencia da covariancia condicional.

(13) Engle and Sheppard (2001) discutiram as dificuldades tecnicas associadas com testar a hipotese nula de correlacao constante contra a alternativa de correlacao dinamica.

(14) Assumindo que uma serie temporal e escrita como [r.sub.t] = [mu] + [a.sub.t] sendo [a.sub.t] = [[sigma].sub.t][[epsilon].sub.t], onde [[mu].sub.t] = ([r.sub.t]|[F.sub.t-1]) e a media condicional da serie temporal [r.sub.t] dado o conjunto de informacoes [F.sub.t-1], [[sigma].sup.2.sub.t] = Var([r.sub.t]|[F.sub.t-1]) e a variancia condicional e [[epsilon].sub.t] e o termo de erro iid com media zero e variancia igual a 1. O modelo GJR-GARCH de Glosten et al. (1993) modela choques positivos e negativos sobre a variancia condicional assimetricamente por meio do uso da funcao indicadora I:

[mathematical expression not reproducible] (28)

onde [[gamma].sub.j] representa o termo de alavancagem. A funcao indicadora I toma o valor 1 para [epsilon] [less than or equal to] 0 e 0, caso contrario. Em funcao da presenca desta funcao, a persistencia do modelo depende da assimetria da distribuiccaao condicional utilizada.

(15) Como princippais alternativas temos o Akaike Information Criterion (AIC), Bayesian Information Criterion (BIC) e Hannan Quinn Information Criterion (HQIC). Optamos pelo BIC em funcao de sua performance em amostras maiores, que e o nosso caso, conforme Emiliano et al. (2010) e pela capacidade de escolher modelos mais simples como mostrado por Zou et al. (2007)

(16) O teste de Anderson and Darling (1952, 1954) avalia a hipotese de que uma dada amostra tenha sido retirada de uma determinada populacao. Neste estudo, avaliamos para a distribuicao t de Student. Maiores detalhes podem ser encontrados em Anderson and Darling (1952, 1954).

(17) O teste de Box and Pierce (1970) e baseado nas autocorrelacoes dos residuos onde examina a autocorrelacao dos residuos. Se as autocorrelacoes forem muito pequenas, concluimos que o modelo nao exibe falha significativa de ajuste. Maiores detalhes deste teste podem ser encontrado em Box and Pierce (1970).

(18) Uma matriz positiva definida e simetrica tem autovetores ortonormais.

(19) Resumidamente, os passos sugeridos por Bai and Perron (2003) para obter o numero de quebras sao: primeiro, utilizar o teste Udmax e verificar se pelo menos uma quebra esta presente; a partir disso, o numero de quebras pode ser decidido baseado na analise do teste SupF l+1/l como forma de verificar se ha alguma quebra adicional na serie. Udmax testa a nao existencia de quebras contra um numero desconhecido de quebras dado um limite superior M. Ja o teste SupF l+1/l e aplicado de forma sequencial por aumenta4r l ate que o teste falhe em rejeitar a hipotese nula de nao existir quebra adicional. O teste analisa a soma dos quadrados dos residuos obtida com l quebras e a soma dos quadrados dos residuos que e obtida com l + 1 quebras. A hipatese nula e rejeitada se o valor minimo da soma dos quadrados dos residuos (sobre todos os segumentos onde uma quebra adicional esta incluida) e suficientemente menor que a soma dos quadrados dos residuos do modelo com l quebras. Assim, a data de quebra selecionada ae associada com esse minimo total

Caption: Figura 1 Maximo autovalor para as matrizes de correlacao condicional do modelo ADCC-GARCH(1,1)
Tabela 1
Quantidade de acoes selecionadas por setor

Setor                                          Quantidade

Industria Manufatureira                            19
Empresa de eletricidade, gas e agua                11
Informacao                                          5
Administracao de empresas e empreendimentos         1
Comercio Varejista                                  2
Mineracao                                           2
Servicos financeiros e seguros                      2
Total                                              42

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 2
Teste de heterocedasticidade condicional

Teste                         Estatistica do Teste   p-valor

Q(m) das series ao quadrado          1773.18          0.00
Teste baseado no rank                2440.07          0.00
[Q.sub.k](m)                        75728.54          0.00
Teste Robusto (5%)                  67133.47          0.00

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 3
Teste de correlacao constante

Defasagens    Estatistica   P-valor

1               6.2859       0.043
5               14.800       0.022

Fonte: Elaborado pelos autores. Estatistica do teste proposto por
Engle and Sheppard (2001).

Tabela 4
Ordens ARMA(P,Q)-GARCH(p,q) selecionadas para cada acao

Acao   (P,Q)   (p,q)   Acao   (P,Q)   (p,q)   Acao    (P,Q)     (p,q)

1      (1,0)   (2,1)    15    (1,0)   (1,2)    29     (0,0)     (2,1)
2      (2,1)   (2,1)    16    (0,1)   (1,2)    30     (1,1)     (1,1)
3      (0,0)   (1,2)    17    (0,2)   (2,0)    31     (0,1)     (1,2)
4      (1,0)   (2,1)    18    (0,2)   (2,0)    32     (2,2)     (2,0)
5      (0,1)   (2,1)    19    (0,0)   (2,1)    33     (0,1)     (2,0)
6      (0,0)   (2,0)    20    (0,0)   (1,1)    34     (0,1)     (1,2)
7      (1,0)   (2,2)    21    (0,1)   (2,0)    35     (0,1)     (1,1)
8      (0,0)   (2,1)    22    (0,0)   (1,1)    36     (1,0)     (2,2)
9      (2,2)   (2,2)    23    (0,1)   (1,1)    37     (0,2)     (2,2)
10     (0,1)   (2,1)    24    (0,0)   (1,1)    38     (2,0)     (2,1)
11     (2,0)   (1,1)    25    (0,1)   (2,2)    39     (0,0)     (2,1)
12     (1,0)   (1,1)    26    (1,1)   (1,2)    40     (2,0)     (2,2)
13     (0,1)   (2,1)    27    (1,0)   (1,1)    41     (2,2)     (2,1)
14     (0,0)   (2,1)    28    (2,1)   (2,1)    42     (0,2)     (2,2)

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 5
Criterios de Informacao dos modelos GARCH multivariado estimados

Modelo   Ordem (m,n)   Distribuicao   Parametros      AIC

DCC          1,1          Normal         1272      1970.5624
DCC          1,1       t de Student      1273      -106.5483
ADCC         1,1          Normal         1273      1970.7713
ADCC         1,1       t de Student      1274      -106.8315
DCC          1,2          Normal         1273      1970.7713
DCC          1,2       t de Student      1274      -106.5478
ADCC         1,2          Normal         1274      1970.5635
ADCC         1,2       t de Student      1275      -106.5665
DCC          2,1          Normal         1273      1970.5611
DCC          2,1       t de Student      1274      -106.5486
ADCC         2,1          Normal         1275      1970.5621
ADCC         2,1       t de Student      1276      -106.8305
DCC          2,2          Normal         1274      1970.5633
DCC          2,2       t de Student      1275      -106.5548
ADCC         2,2          Normal         1276      1970.5588
ADCC         2,2       t de Student      1277      -106.5801

Modelo      BIC        HQIC

DCC      1972.4938   1971.2455
DCC      -104.6154   -105.8646
ADCC     1972.7043   1971.4550
ADCC     -104.8970   -106.1472
DCC      1972.7043   1971.4550
DCC      -104.6134   -105.8636
ADCC     1972.4980   1971.2478
ADCC     -104.6305   -105.8817
DCC      1972.4941   1971.2448
DCC      -104.6142   -105.8644
ADCC     1972.4981   1971.2469
ADCC     -104.8930   -106.1452
DCC      1972.4978   1971.2476
DCC      -104.6188   -105.8700
ADCC     1972.4963   1971.2441
ADCC     -104.6410   -105.8942

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 6
Parametros estimados do modelo ADCC-GARCH (1,1)

         Estimativa   erro padrao   valor t    p-valor

a1        0.009320     0.002004     4.649677   0.000003
b1        0.698003     0.091779     7.605267   0.000000
g1        0.012574     0.008023     1.567251   0.117056
mshape   10.844010     3.632409     9.000713   0.000000

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 7
Testes de qualidade do ajuste do ADCC-GARCH(1,1)

Anderson-Darling   Ljung-Box

AD       P-value   LB      P-value

0.510    0.737     8.472   0.293

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 8
Autovalores da matriz de correlacao condicional

          AV1     AV2     AV3

Min      2.128   1.188   1.139
Max      5.618   2.230   1.507
TW(99)           1.280
MP(99)           1.229

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 9
Teste de quebra estrutural de Bai and Perron (1998, 2003)

              [y.sub.t] = [[delta].sub.0,j] + [[epsilon].sub.t]

m    UDmax   Valor Critico   Valor Critico    Valor        Valor
             1%              2.50%            Critico 5%   Critico 10%

3    17.10   12.37           10.39            8.88             7.46

Fonte: Elaborado pelos autores.

Tabela 10
Resultados do teste de tendencia para a correlacao condicional media.

Serie   [[??].sub.2]   t - [PS.sub.T]5%   t - [PS.sub.T]2.5%

AV1        0.0000           -1.2510             -1.2401

Serie   t - [PS.sub.T]1%

AV1          -1.2312

          Valores Criticos

A esquerda         A direita

0.950   -1.720   0.950   1.720
0.975   -2.152   0.975   2.152
0.990   -2.647   0.990   2.647

Fonte: Elaborado pelos autores.
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Title Annotation:texto en portugues
Author:Costa, Hudson Chaves; Porto, Sabino da Silva, Jr.; Menezes, Gabrielito Rauter
Publication:Revista Brasileira de Financas
Article Type:Ensayo
Date:Oct 1, 2018
Words:10724
Previous Article:Evidences of Dividend Month Premium in the Brazilian Stock Market/Evidencias do Premio do Mes do Dividendo no Mercado Acionario Brasileiro.
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