Printer Friendly

Adolfo Garcia de la Sienra (comp.), Reflexiones sobre la paradoja de Orayen.

Adolfo Garcia de la Sienra (comp.), Reflexiones sobre la paradoja de Orayen, Instituto de Investigaciones Filosoficas-UNAM, Mexico, 2008, 240 pp.

Uno de los efectos que tienen las diversas axiomatizaciones que existen para la teoria de conjuntos consiste, como es bien sabido, en proscribir la formacion de cierto tipo de colecciones que dan lugar a paradojas como la descubierta por Bertrand Russell a principios del siglo xx. En particular, y de acuerdo con las axiomatizaciones estandar de la teoria de conjuntos, no existe el conjunto de todos los conjuntos. La llamada paradoja de Orayen (PO) surge de la siguiente manera. Como el lenguaje de la teoria de conjuntos (TC) trata de todos los conjuntos, entonces el dominio de un modelo que capturara la interpretacion deseada del lenguaje de TC deberia consistir en el conjunto de todos los conjuntos; pero, de acuerdo con TC misma, este ultimo conjunto no existe, de donde pareceria seguirse que ningun modelo puede capturar la interpretacion deseada de la teoria de conjuntos. Orayen exploro otras formas de interpretar teorias formales y propuso dos soluciones a la paradoja que lleva su nombre, soluciones a las que llamo I y II. En la solucion I, Orayen utilizo una nocion de modelo que apela, no a conjuntos, sino a un lenguaje base previamente interpretado. En la solucion II, Orayen propuso rechazar la idea de que una unica teoria de conjuntos ha de servir para interpretar lenguajes formales. Orayen mostro como se puede construir una jerarquia infinita (numerable) de teorias de conjuntos de tal forma que cada teoria proporcione un conjunto que sirva como dominio de interpretacion para teorias en niveles inferiores. La idea es, entonces, que cualquier asignacion de significado para el lenguaje de TC siempre ha de estar por debajo de algun nivel en la jerarquia. (1)

Resulta un tanto dificil, en un espacio como este, presentar los temas y argumentos principales de cada ensayo y simultaneamente hacer justicia a la profusion y creatividad tanto de ideas como de argumentos presentados por los autores, por lo que en esta resena solo senalare algunos puntos en comun que hay entre algunos de los ensayos, asi como otros que ilustran posturas contrastantes.

De los doce autores que contribuyeron a esta compilacion, Jose Alfredo Amor es el unico en sostener sin salvedades que la PO no es realmente una paradoja. En su ensayo "La teoria de modelos de la teoria de conjuntos: un concepto delicado", Amor presenta un argumento que se asemeja al que el mismo Skolem ofrecio en relacion con la paradoja que lleva su nombre. Asi como en el caso de la existencia de un modelo numerable de la teoria de conjuntos, la interpretacion de lo que en el modelo significa ser un conjunto no numerable hace verdadero al teorema que afirma que existe un conjunto "no numerable", Amor nos recuerda que en el caso de la presunta PO el cuantificador "todos" se refiere a todos los objetos del dominio del modelo. Es asi como, de acuerdo con este autor, el que en teoria de conjuntos sea un teorema que no existe el conjunto de todos los conjuntos no presenta problema alguno: si A es el dominio de un modelo dado de la teoria de conjuntos entonces, por tratarse de un modelo, en A no existe "ningun objeto c ('conjunto') tal que todos los objetos ('conjuntos') del conjunto A esten relacionados con el objeto c (en la relacion E que interpreta en A al simbolo relacional [elemento de])" (p. 87). Amor parece encontrar que lo que da lugar a la aparente paradoja es "el supuesto de que la teoria debe probar la existencia de un conjunto de todos los conjuntos" (p. 88), supuesto que "hay que rechazar porque esta equivocado, y asi no hay ni contradiccion, ni paradoja alguna" (ibid.).

En su contribucion "Nota critica sobre La paradoja de Orayen", Agustin Rayo argumenta que el proyecto de Orayen parece no consistir en dar simplemente una semantica para el lenguaje de primer orden de la teoria de conjuntos; mas aun, que si dicho proyecto fuera dar una caracterizacion semantica de consecuencia logica, entonces la PO no tendria gran alcance. De lo anterior surge asi la pregunta de cual es, entonces, el proyecto de Orayen. Segun Rayo, para responderla es necesario considerar el proyecto de dar un semantica generalizada para lenguajes de primer orden (es decir, el proyecto de caracterizar un predicado de verdad-de-acuerdo-con-una-asignacion-posible-de-significado, nocion que tiene como caso particular la de verdad-en-un-modelo). Rayo plantea entonces otra pregunta (a la cual denomina "version generalizada de la pregunta crucial") (2) concerniente a la posibilidad de hacer semantica generalizada para el lenguaje de la teoria de conjuntos sin apelar a modelos, y propone ver las dos soluciones de Orayen a la PO como dos maneras de responder dicha pregunta. Esta perspectiva la utiliza Rayo para mostrar en que forma se generan dos jerarquias infinitas, una ideologica y otra ontologica, y concluye que la PO sugiere que "es imposible hacer semantica generalizada para un lenguaje sin utilizar un lenguaje que no solo sea de mayor riqueza expresiva, sino tambien de mayor riqueza logica u ontologica" (p. 45).

El articulo de Atocha Aliseda, "Sobre la parapraxis de Orayen", en cierta forma retoma un tema que Rayo aborda (a saber, la cuestion de si es posible construir cierto tipo de semantica para lenguajes de primer orden). De acuerdo con Aliseda, un rasgo caracteristico de las paradojas consiste en que estas nos revelan "alguna dificultad seria en nuestro entendimiento intuitivo de nociones basicas de semantica o de teoria de conjuntos" (p. 53). Una vez asi caracterizadas, Aliseda ilustra la distincion entre paradojas semanticas (aquellas que involucran nociones tales como verdad, predicacion y definibilidad), y paradojas logicas o de teoria de conjuntos; de acuerdo con la autora, en ambos tipos de paradoja se llega a alguna contradiccion y hay un uso de la autorreferencia. Utilizando estas distinciones, Aliseda argumenta de manera convincente que la paradoja de Orayen no es de indole semantica ni logica, y concluye que lo que Orayen identifico es un problema de naturaleza practica que concierne a la imposibilidad de construccion del dominio de un modelo de la teoria de conjuntos.

En "?Hay un supuesto conjuntista en la paradoja de Orayen?", Agustin Barrio sostiene que la PO presenta una grave dificultad para el proyecto de dar una teoria general de la interpretacion. De acuerdo con Barrio, el problema que nos presenta la PO radica "en la circularidad de una teoria que proponga expresar, por sus propios medios expresivos, como formalizarse, en el sentido de poder contar, dentro de sus propios compromisos ontologicos, con una coleccion (sea o no sea esta un conjunto) capaz de reunir a todas aquellas entidades de las que habla ella misma" (p. 200). Aunque lo anterior esta en claro contraste con la postura que defiende Amor, ambos autores abordan la cuestion de que tan clara es o puede ser nuestra comprension del concepto de clase propia.

En "Axiomas, formalizacion y teoria de conjuntos", Ignacio Jane, tal y como el mismo lo senala, no aborda la PO directamente; pero, al igual que Barrio, tambien exhibe un problema de circularidad relacionado con ciertos usos de la teoria de conjuntos. En el centro de la discusion de Jane yace una interesante distincion entre dos formas en que podemos concebir una teoria matematica. De acuerdo con Jane, dada una teoria matematica T (la aritmetica, por ejemplo), la "teoria reglamentada" [T.sup.reg] es el resultado de dos procesos. El primero consiste en la reglamentacion del lenguaje de T, reglamentacion que es basicamente un proceso de simbolizacion, donde el significado de los simbolos y expresiones procede del lenguaje previo a la reglamentacion. Cuando, una vez obtenido el lenguaje reglamentado, se fijan los medios de demostracion, se obtiene finalmente lo que Jane denomina la teoria reglamentada [T.sup.reg]. La teoria formalizada [T.sup.form] es una version idealizada de [T.sup.reg]. (3) El objetivo principal de introducir teorias formalizadas es estudiar sus correspondientes teorias reglamentadas. Esto ultimo requiere que

las teorias formalizadas [T.sup.form] se introduzcan como objetos matematicos; y como tales, las teorias formales se definen dentro de alguna teoria matematica (a lo sumo reglamentada), a la cual Jane denomina la metateoria o teoria subyacente a [T.sup.form]. La introduccion de una teoria formalizada [T.sup.form] para el estudio de la correspondiente teoria reglamentada conlleva, por lo tanto, la aceptacion de la teoria subyacente a [T.sup.form] (aceptacion en el sentido de que es, por ejemplo, adecuada o correcta). Para teorias axiomaticas formales tales como, por ejemplo, la teoria [R.sup.form] de (el campo ordenado de) los numeros reales, la metateoria correspondiente suele ser alguna teoria (reglamentada) de conjuntos [TC.sup.reg]. De acuerdo con Jane, exhibir en [TC.sup.reg] un modelo de [R.sup.form] consiste basicamente en dar una explicacion en terminos conjuntistas de lo que son los numeros reales. La concepcion de una teoria de conjuntos, digamos ZF, como teoria formalizada no tiene en principio nada de especial: los axiomas de 7[F.sup.form] definen en la metateoria de conjuntos la clase de sus modelos; y, aunque no sea posible demostrar que dicha clase es no vacia, esto no es impedimento para el estudio de los posibles modelos y de las relaciones entre ellos, pues de ser necesario siempre se puede trabajar bajo la hipotesis de su existencia. El problema surge cuando tratamos de usar Z[F.sup.form] y sus modelos en forma analoga al caso de, por ejemplo, los numeros reales, es decir, cuando pretendemos que Z[F.sup.form] nos explique que son los conjuntos, pues esto equivaldria a pedir una explicacion de que son los conjuntos en terminos de los modelos de sus axiomas, es decir, en terminos de los conjuntos mismos.

En "Irresolubilidad de la paradoja de Orayen", Max Freund describe el problema planteado por Orayen como uno concerniente a "la imposibilidad de formalizar teorias del tipo de ZF o de ron Neumann en tanto ellas mismas se usen como metateoria semantica para la semantica de lenguajes formales (o, por lo menos, de lenguajes formales de primer orden)" (p. 137) De acuerdo con Freund, la PO surge de tres presupuestos que conciernen a la interpretacion, a la formalizacion y a la logica. Segun el presupuesto de la interpretacion, una sola teoria de conjuntos debe proporcionar la semantica de los lenguajes formales, asi como las entidades en la interpretacion; segun el presupuesto de la formalizacion, la metateoria semantica debe ser expresada como una teoria formal; y, finalmente, el presupuesto logico consiste en asumir la logica clasica. Freund argumenta que la PO no puede solucionarse en la medida en que nos apeguemos a estos tres presupuestos y asumamos formalizaciones finitistas. Despues de una exposicion clara de las dos soluciones que Orayen mismo ofreciera a la PO, Freund muestra, por un lado, que uno de los rasgos que tienen en comun las dos soluciones de Orayen consiste en el abandono del presupuesto de la interpretacion; y por otro lado, muestra en que forma esta estrategia da lugar a ciertos problemas. El objetivo principal de Freund es, entonces, el ofrecer una solucion a la PO siguiendo una estrategia similar a la de Orayen pero sin caer en los problemas que enfrentan las dos soluciones propuestas por este ultimo.

Al igual que Freund, Mario Gomez Torrente discute las soluciones a la PO propuestas por Orayen, pero dentro del contexto del concepto de consecuencia logica. En "Interpretaciones y conjuntos", Gomez Torrente argumenta que, al menos en lo que concierne al concepto de consecuencia logica, tenemos razones "para aceptar el supuesto de que podemos trabajar [...] como si cualquier interpretacion aceptable fuera conjuntista" (p. 209), pero sostiene que dichas razones son, no solo complicadas, sino muy probablemente susceptibles de generar controversia. Gomez Torrente examina entonces tres propuestas que parten, por un lado, del abandono de la teoria de conjuntos como fuente (exclusiva) de interpretaciones y, por otro lado, de una definicion de consecuencia logica en terminos de una nueva coleccion de interpretaciones, es decir, de una nocion de consecuencia logica en un nuevo sentido tecnico. La primera propuesta corresponde, de acuerdo con Gomez Torrente, a la Solucion I de Orayen; pero un problema grave que esta presenta consiste en que "si el lenguaje interpretado del que sacamos nuestras interpretaciones expresivas es un lenguaje habitual y no algo postulado ad hoc, entonces parece claro que habra oraciones de orden superior satisfechas por todas las interpretaciones expresivas, pero no satisfechas por alguna interpretacion intuitiva" (ibid.). La segunda propuesta, que corresponde a la Solucion II de Orayen, tiene, segun Gomez Torrente, el problema de embarcarnos en la jerarquia de las hiperclases de tal modo que "para definir explicitamente la nocion de verdad de una formula de orden superior [...] habremos de cuantificar por lo menos sobre clases de clases (y sobre hiperclases de estratos superiores cuanto mayor sea el orden de la formula)" (p. 211). La tercera propuesta (a la cual el autor denomina hiperclasista) parte de la correspondencia que existe entre, por un lado, la jerarquia de las hiperclases y, por otro lado, la jerarquia de valores de las variables de orden superior. De acuerdo a esta propuesta, las interpretaciones se conciben como ciertos valores de las variables de orden superior del lenguaje de la teoria de tipos. Asi, por ejemplo, si se toma como universo basico el universo de los conjuntos, entonces, y siguiendo la semantica tradicional, las hiperclases serian los valores que toman las variables; sin embargo, tal y como Gomez Torrente senala, esta propuesta genera incomodidades ontologicas similares a las de la segunda propuesta. A continuacion este autor presenta y examina una variante de esta ultima propuesta a la cual denomina pluralista. Pero, sostiene Gomez Torrente, el problema principal de la propuesta pluralista es que genera incomodidades, aunque no ontologicas, si de tipo ideologico. El supuesto que comparten estas dos propuestas es que hay una pluralidad de todos los conjuntos, pluralidad que determina el valor de verdad de cualquier formula --de cualquier orden--del lenguaje de la teoria de conjuntos. De acuerdo con Gomez Torrente, si se niega este supuesto habra que concluir que la supuesta interpretacion deseada de la teoria de conjuntos no es tal y que, en un sentido estricto, sus formulas no tienen un valor de verdad. Ante tal situacion, senala Gomez Torrente, una actitud que podria adoptarse es la siguiente: en la medida en que las afirmaciones de la teoria de conjuntos no lleven a inconsistencias, se pueden utilizar para lograr una aproximacion a los conjuntos que deseamos postular. Gomez Torrente confiesa no tener una defensa para una postura tan radical como esta, pero sostiene que tal defensa ofreceria una justificacion completamente transparente de la tesis de que ninguna consecuencia logica en el nuevo sentido tecnico es invalidada por ningun otro tipo de interpretacion. (4)

En contraste con las contribuciones de Barrio y Jane, Sandra Lazzer sostiene que la circularidad no es la fuente del problema; mas especificamente, que no se trata de una cuestion de circularidad en la relacion de autoaplicacion. En "Circularidad logica y conjuntos", Lazzer argumenta que el problema con el que nos confronta la PO es el siguiente: por un lado, nos vemos tentados a concebir el universo que involucra la teoria como si fuera un conjunto y, mas aun, esperamos que en algun momento la teoria muestre que dicho universo es un conjunto; pero, por otro lado, tomarlo como si fuera un conjunto requiere un uso del lenguaje de la teoria de conjuntos cuyo universo de interpretacion no puede ser un conjunto. De acuerdo con Lazzer, la verdadera causa de la PO radica entonces en que "la semantica parece requerir esencialmente un universo conjuntista pero, tan pronto como tratamos de determinar su dominio de cuantificacion, este se nos desdibuja en las manos, revelandose como un conjunto y no como el autentico universo que buscamos" (p. 77). Lazzer senala oportunamente que apelar a las clases propias no resuelve el problema "porque se rechaza qua conjunto lo que es considerado en todos los otros aspectos como un conjunto" (ibid.).

Al igual que Lazzer, Adolfo Garcia de la Sienra parte de que la PO es una autentica paradoja; sin embargo, y en contraste con Lazzer, Garcia de la Sienra considera que cierta teoria de las clases puede ayudar a evitar que surja la PO. En "Teoria general de las clases", Garcia de la Sienra argumenta que la adopcion de cierta modificacion que el mismo propone de la teoria de Ackerman-Muller (modificacion a la que denomina ARCU), permitiria hacer teoria de modelos sin riesgo de que surja la PO. La presentacion que el autor hace de ARCU sugiere la mayoria de las veces que esta teoria es lo que Jane denominaria una teoria reglamentada. (5) El proyecto de Garcia de la Sienra, sin embargo, va mas alla de evitar paradojas como la de Orayen, ya que su intencion es que dentro de ARCU se pueda desarrollar, no solo la teoria de modelos, sino toda la matematica conocida, exceptuando tal vez la geometria. De acuerdo con de la Sienra, "las construcciones de [la teoria de modelos] son entidades acerca de las que trata ARCU. En particular, los modelos son conjuntos [...], los lenguajes formalizados son conjuntos de urelementos [...] y las relaciones entre los segundos y los primeros son funciones--es decir, conjuntos nuevamente--" (p. 133, las cursivas son mias). Lo anterior sugiere que el proyecto de Garcia de la Sienra incluye la utilizacion de ARCU como algo muy similar a una teoria formalizada en el sentido de Jane. Las distinciones introducidas por este ultimo ofrecen asi una nueva perspectiva desde la cual evaluar la teoria propuesta por de la Sienra, no solo con respecto a la PO, sino tambien como teoria fundamentadora de una gran parte de la matematica conocida.

En "Semanticas de la logica de segundo orden", Angel Nepomuceno nos presenta una distincion entre sistemas abstractos y los modelos o representaciones de estos. Un sistema (matematico) esta dado por una clase no vacia de objetos y por ciertas relaciones que se establecen entre estos. Lo que distingue a un sistema abstracto de sus modelos es que los objetos del primero "se conocen unicamente mediante las relaciones establecidas" (p. 156), mientras que los modelos se obtienen mediante especificaciones ulteriores. Este autor argumenta que los problemas que se suscitan al intentar elaborar una teoria de modelos de segundo orden le atanen mas a la teoria de conjuntos que a la logica propiamente dicha, y que "si la paradoja se da, la circunstancia de pasar a segundo orden sin mas no nos libraria de ella" (p. 170). Nepomuceno termina su discusion abordando dos temas. El primero concierne a la posibilidad de considerar otros universos matematicos (como sistemas abstractos) y menciona propuestas tales como el uso de espacios topologicos como semanticas para la logica intuicionista, o el uso de categorias concretas. Con respecto a este primer tema, Nepomuceno no nos dice mucho mas alla de que propuestas como las dos anteriores abren la pregunta concerniente a "si se podrian usar otras teorias que introduzcan sistemas de objetos abstractos como universos matematicamente interesantes al margen de un modelo de la teoria de conjuntos" (p. 171). El segundo tema que Nepomuceno discute al final de su contribucion concierne a cierta forma de abordar las paradojas propuesta por J.M. Saguillo; de acuerdo con esta propuesta, la nocion de paradoja es con respecto a un sujeto cognoscente, como, por ejemplo, una comunidad cientifica que adopta cierto paradigma. Nepomuceno argumenta que, aplicada al caso particular de la PO, la propuesta de Saguillo muestra que la paradoja solo surge cuando el paradigma es de tal naturaleza que el sujeto que opere bajo dicho paradigma sostendra que es posible tener una teoria general de la interpretacion, y tambien que los unicos dominios de interpretacion son los conjuntos que provee la teoria intuitiva de conjuntos.

Alberto Moretti nos presenta, en "Interpretaciones y conjuntos", un argumento a favor (aunque con cierras reservas) de la via sustitucional para la interpretacion de los lenguajes de primer orden. Moretti utiliza una construccion ascendente de teorias de conjuntos con creciente poder referencial para mostrar que, desde un punto de vista matematico, no es incorrecto pensar que mediante la teoria de conjuntos se confiere o se construye la significatividad de los lenguajes de primer orden, ni tampoco pensar que la semantica de las teorias de primer orden siempre puede darse en terminos de alguna teoria de conjuntos; sin embargo, de acuerdo con Moretti, pensar asi es filosoficamente insatisfactorio. Segun este autor, la fuente de significatividad de los lenguajes de primer orden la constituyen los lenguajes naturales; lo mas que podemos lograr con la teoria de conjuntos es una representacion util de la significatividad de dichos lenguajes en la mayoria de sus usos. Para Moretti, optar por la via sustitucional es como adoptar la idea de que solo es necesario dar una explicacion del significado de los lenguajes de primer orden, pero no una interpretacion. Moretti expone al final de su contribucion ciertas dificultades que enfrenta la via sustitucional, dificultades cuya formulacion involucra, sin embargo, los lenguajes de segundo orden, de ahi en parte las reservas con que se pronuncia a favor del enfoque sustitucional.

En "De la interpretacion", Axel Barcelo sostiene que lo que muestra la PO es que si el cuantificador universal en

(a) p es verdadera bajo toda interpretacion

opera unicamente sobre interpretaciones clasicas en teoria de conjuntos, entonces cuando el lenguaje de p es el propio lenguaje de la teoria de conjuntos formalizada en logica de primer orden, no esta garantizada la inferencia de (a) a

(b) p es verdadera en su interpretacion natural.

Barcelo senala que de acuerdo con Putnam, lo que logro mostrar Orayen es que la nocion de "interpretacion" que aparece en (a) no es la misma que la que aparece en (b), pero que, ademas de esto, Putnam no dice mucho mas. Barcelo destaca entonces dos sentidos distintos en que se ha entendido la nocion de "interpretacion" dentro de discusiones recientes acerca de la definicion tarskiana de consecuencia logica: por un lado esta la nocion de que una interpretacion es un analisis conceptual o una reduccion de la nocion preteorica. Y, por otro lado, esta la idea de que dar una interpretacion es explicar cientificamente la nocion preteorica. Barcelo argumenta que ninguna de estas dos nociones captura el concepto de "interpretacion" en teoria de modelos y la tesis principal que defiende es que la nocion tecnica de "interpretacion" representa (o modela), dentro de la teoria (tarskiana) de consecuencia logica, la nocion preteorica (es decir, la nocion en uso en logica y matematicas previa a la teoria de modelos). De ser correcta esta tesis, surge de manera natural la pregunta acerca de hasta que punto es fiel esta representacion o modelo. Pero, senala Barcelo, lo importante es que esta pregunta por la adecuacion de la relacion de modelado depende al menos de dos cosas: el objetivo de la teoria de modelos en su totalidad y la naturaleza del concepto preteorico. La importancia de la PO radica, de acuerdo con Barcelo, en haber abierto la discusion acerca de cuales son los objetivos de la teoria de modelos.

La coleccion de ensayos compilados en Reflexiones sobre la paradoja de Orayen constituye, en primera instancia, una muestra clara de lo fructiferas que pueden ser las paradojas. Tanto la introduccion, como los doce ensayos que integran esta antologia, configuran un complejo entrelazado de ideas que, en la mayoria de los casos, van mas alla de la paradoja de Orayen propiamente dicha; asi, por ejemplo, tal y como Adolfo Garcia de la Sienra muestra en su excelente introduccion, a pesar de que a los autores no se les pidio que abordaran un tema especifico en torno a la PO, surge de los ensayos tomados en conjunto toda una perspectiva filosofica de la logica. Esta compilacion constituye tambien un recorrido por los diversos tipos de reacciones que una (presunta) paradoja puede suscitar, desde rechazar que lo sea, hasta aceptar que si constituye una autentica paradoja, lo cual a su vez suscita preguntas acerca de sus implicaciones, de su naturaleza, de su(s) causa(s) o acerca de la posibilidad de solucionarla.

IVONNE PALLARES VEGA

Departamento de Filosofia

Universidad Autonoma del Estado de Morelos

ipv@uaem.mx

(1) La contribucion de Agustin Rayo contiene una exposicion detallada y critica de estas dos soluciones.

(2) La pregunta que Rayo denomina "crucial" surge de manera inmediata de la PO y es la siguiente: ?es posible formular la interpretacion deseada de la teoria de conjuntos sin apelar a modelos o, por lo menos, sin apelar al tipo de modelo que da lugar al problema?

(3) "Idealizada" en el sentido de que, en contraste con la teoria reglamentada, en la teoria formalizada "no hay liimites a la complejidad de las posibles formulas ni a la longitud de las posibles deducciones" (p. 96).

(4) En la segunda mitad de su contribucion, Gomez Torrente presenta en detalle una objecion a la que podria enfrentarse esta postura radical.

(5) Asi, por ejemplo, de la Sienra introduce dos simbolos constantes, U y V, para designar a la clase de urelementos y a la de todos los conjuntos, respectivamente.
COPYRIGHT 2011 UNAM, Instituto de Investigaciones Filosoficas
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2011 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Pallares Vega, Ivonne
Publication:Dianoia
Date:Nov 1, 2011
Words:4630
Previous Article:Silvio Mota Pinto, Escepticismo del significado y teorias de conceptos.
Next Article:Reflexiones sobre la postmodernidad. Una conversacion de David Sanchez Usanos con Fredric Jameson.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2020 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters