Printer Friendly

Acad. Solomon Marcus la 90 de ani sau despre trairea culturii.

1 Bene aetatem fert. Anii de facultate 1952-1957

1.1. Il regasim pe profesor in plina activitate, a scris carti, peste 20 de articole in ultimii cinci ani si ne-a impartasit analize critice privind educatia si societatea noastra. Fara rezerve putem spune bene aetatem fert (la Cicero era insa vorba de un vin de numai 40 de ani).

1.2. Am ezitari privind acest articol caci ce as putea sa adaug dupa stralucita Sesiune a Academiei Romane dedicata academicianului Solomon Marcus din 2015? Pe de alta parte, nu pot uita o relatie si evenimentele traite impreuna atatia ani, cu colegii care absolveam in 1957, Sergiu Rudeanu, Alexandra Bagdasar (Bellow), Kostache Teleman, Ion Cuculescu, Ion Zamfirescu, Horia Banea, Mariuca Halalau (Craifaleanu), Laura Constantinescu si multi altii, precedati de Valentin Poenaru, Gheorghe Gussi, Ciprian Foias, Nicu Boboc, din anul imediat superior, toti datori profesorului sarbatorit.

1.3. Anii 1952 - 1957 au fost ani grei, pentru studenti si profesori--raportul secret al lui Nikita Hrusciov la cel de-al XX-lea Congres PCUS din februarie 1956, revolutia din Ungaria din octombrie 1956 s.a. Personalitati in adevaratul sens al cuvantului, profesorii nostri aveau in comun dorinta puternica de a ne invata. Cand ma gandesc la acei Wilhelm Meister lehrjahre din facultate, gasesc spontan numai lucruri bune de spus, dintr-o perioada plina.

1.4. Pentru concizie, ma rezum la regula, atat povestesc cat am trait nemijlocit. Raman constiinta multor limite impreuna cu placerea de a spune ceva despre ce am trait in facultate.

2 Un izvor neistovit

2.1. intalnirea intelectuala cu profesorul Solomon Marcus a avut loc la seminarul de la cursul de Analiza Matematica al profesorului Miron Nicolescu din anii I si II (1952-1953). Asistentul nostru beneficia de toata libertatea de initiativa. Cursul si seminarul se disociau de tratarea din cartile de analiza ale lui N. Luzin din epoca, care insistau pe calcule putin semnificative, carti care nici macar nu ne erau citate asa cum ar fi cerut moda perioadei.

2.2. La tabla se desfasura o batalie matematica. Seminarul se transforma intr-un thriller, problemele puse intrunind caracteristicile genului, suspansul, tensiunea si solutia ca revelatie. Profesorul isi asuma ceva din rolul personajului Harley Quin din Agatha Christie cautand sa dezvolte in noi capacitatea de rezolvare.

Nu pot fi uitate acele ore si conversatii matematice. Mi-am amintit de ele cand am fost doctorand la Moscova si ma plimbam, necunoscut de nimeni, intr-un fel de a fi sau a nu fi, pe coridorul pustiu, din fata cabinetului lui I. G. Petrovski, rectorul de atunci al imensei Universitati de Stat din Moscova MGU unde imi pregateam teza de doctorat cu prof. Alexander Gennadyevich Kurosh (1908-1971) (domeniul de cercetare al profesorului Marcus era inrudit cu cel al lui Petrovski). Kurosh a fost un algebrist ilustru, in traditia/linia celor considerate in [2], [4], [5], [20], [25], [28], fundamente pentru Informatica Teoretica din Romania.

2.3. Am avut deci sansa exceptionala a unei intalniri timpurii cu o personalitate de mare si aleasa cultura ca profesorul Marcus, cu care comunic si azi, pe teme atat de diverse cat pot eu considera. Domnul academician Solomon Marcus este o referinta unica in cultura noastra, pe care o redescoperim permanent, prin aceasta redescoperind pentru noi insine cultura. Impresia dominanta pe care profesorul ne-o comunica si prin care ne incurajeaza este aceasta: cultura nu este un paradis pierdut, un vis dintr-un viitor incert, este o dimensiune definitorie a existentei concrete, o experienta neincetat traita, acum si aici, un prezent viu.

3 Rasfoind

Prezenta nota se rezuma la cateva referinte--la problema pusa de profesor (vezi [8] pentru exemple de probleme de genul considerat la seminar si mai ales [1] pentru contextul problemei, situat in cultura matematica grea), la culegerea de articole ale profesorului Words and Languages Everywhere [18] intr-o varietate de domenii, la cartea noastra (Afrodita Iorgulescu, Solomon Marcus, Sergiu Rudeanu, D. Vaida) despre Gr. C. Moisil [12] din 2007 si la Discursul de Receptie la Academie Singuratatea matematicianului (27 martie 2008) [19], eseu bogat in idei originale privind istoria si filosofia matematicii a carui editare comentata si traducere s-ar impune. Ne marginim la scurte exemplificari.

4 Criterii de tip l'Hopital pentru doua variabile

4.1. Lui Sergiu Rudeanu si mie, profesorul ne-a propus sa ne ocupam de criterii de tip l'Hopital (cf. L'analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696) pentru functii de doua variabile, lucrarile recomandate fiind cele ale lui Tadeusz Wazewski (1896-1972) [26], [27]. Propunerea a ramas nefinalizata, insa un dosar cu cat am putut studia il pastram si astazi.

4.2. Problema propusa este semnificativa pentru ca ne face sa vedem la ce nivel se situau cursul, seminarul, discutiile noastre matematice din anii 50 si asistentul nostru de atunci. Daca am fi perseverat, am fi ajuns la o teorema importanta a lui Rene L. Baire (1874-1932) din [1] din care se deduce ca daca f(x,y) este continua in x, pentru y fixat, si continua in y, pentru x fixat, atunci pe orice paralela la una dintre axe exista o multime densa de puncte in care functia f considerata este continua, concluzie obtinuta si de Kurt Bogel [3]. Am fi ajuns la universul cu doua variabile pe care profesorul il studia in teza sa de doctorat privind functiile monotone de doua variabile, conducator Miron Nicolescu, sustinuta in penultimul meu an de facultate (1956). Noutatea problemelor care apar cand se trece de la o variabila la doua variabile este strans legata de trecerea de la ordonarea liniara la una partiala. Probleme interesante subzista si azi.

4.3. In forma initiala, printre altele, noua ni se cerea sa verificam ipoteza urmatoare: daca o functie F de doua variabile este continua pe orice drum cu tangenta in origine, atunci ea este continua in origine.

4.4. In dosarul citat, recent am ajuns la concluzia ca drumurile din C' cu continuitatea primei derivate sunt suficiente pentru identificarea discontinuitatilor lui F, vezi [6], [7], [23].

5 Limbaje formale, Informatica teoretica

5.1. Dupa cum se stie din articolul acad. Gr. C. Moisil din 1970, reprodus in [12, p. 133-155], Stiinta calculatoarelor (n.n., i. e. computer science, adica lucrari, seminarii stiintifice, colocvii de specialitate, cursuri, doctorate) in tara noastra isi are originea in anume preocupari ale matematicienilor [op.cit., p. 133]. Exemplu semnificativ, prin publicarea in 1963 a cursului de Lingvistica matematica al profesorului S. Marcus, la Editura Didactica si Pedagogica, eram printre primele tari in care se tinea un curs cu profilul mentionat [12], [19], [18]. Fondatorul informaticii matematice/ teoretice in tara noastra este acad. S. Marcus, prin monografia sa de pionerat din 1964 Gramatici si automate finite si prin lucrarile care i-au urmat, vezi [18], [12], [19], precum si [9], [10], cu o prima versiune la Duke University, [24]. Calcuiul electronic si teoria programarii aparusera la noi in anii 55-60, dezvoltarile de mai tarziu ale teoriei folosind bazele algebrice, vezi [28], [2], [12], [20] si in continuare. Monografia amintita din 1964 este probabil prima in domeniu pe plan mondial, citata ca atare de o autoritate in domeniu, acad. profesor Arto Salomaa (Finlanda) in Formal Languages (1973). Citarea mi-a fost semnalata de acad. Gheorghe Paun.

5.2. Mentionez ca in anii 1960-1970, limbajele formale erau prezentate mai mult ca o disciplina in curs de formalizare, fara afilieri la structuri matematice fundamentale. Monografia acad. S. Marcus contribuie cu o tratare matematica substantiala, cu concepte, cu multa imaginatie. In primii ani care au urmat, tratarile nu foloseau inca structuri algebrice suport, e.g., Alio si Ullman (1973). Un pas important in introducerea unor structuri algebrice suport il face, dupa cum se stie, in 1977, grupul ADJ prin J. A. Goguen, J. W. Thatcher, E. G. Wagner si J. B. Wright, vezi Initial algebra semantics and continuous algebras. In Romania, din anii 1970 si pana in prezent, continuand opera acad. Gr. C. Moisil, profesorul S. Marcus indruma si anima scoala noastra in domeniu careia i s-a consacrat numarul dublu 3-4 din volumul 131/2014 din Fundamenta Informaticae. Sunt citati in volum profesorii Virgil E. Cazanescu, Leon Livovschi, Mircea Malita, Solomon Marcus, Constantin P. Popovici, Sergiu Rudeanu, Ioan Tomescu si Dragos Vaida.

5.3. Comparand diferitele articole stiintifice ale profesorului Solomon Marcus din cuprinzatorul volum Words and Languages Everywhere, remarcam varietatea domenilor abordate dar si coerenta operei. Cartea contine 40 de lucrari selectionate, in 15 sectii, care acopera un domeniu vast din care spicuim combinatorica, Computer Science, genetica moleculara, structuri in chimie, cuvinte infinite, limbaje formale, invatarea, economia, logica, filosofia, artele. Unele studii privesc teoria demonstratiei si fenomenul intelegerii stiintifice. Cine este interesat de aspectele personalizate gaseste in ultimile doua sectiuni ale cartii trei interviuri si o autobiografie.

5.4. Urmandu-1 pe profesorul Solomon Marcus, studiul a fost aprofundat, de Dan Simovici (1974) si V. E. Cazanescu (1980), continuat apoi de Adrian Atanasiu, Alexandru Mateescu si Gheorghe Paun, cu contributii majore in teoria matematica a limbajelor formale, sectiuni intregi din domeniu fiindu-le datorate, Amintesc articolul acad. Marcus in care sunt introduse gramaticile contextuale [15] si monografia acad. Gheorghe Paun [21] dedicata acestora.

6 Gramatici contextuale. Limbaje cu concatenare distribuita

6.1. Articolul [15] introduce gramaticile contextuale simple si limbajele generate, ideile fiind prezentate intr-o forma care prezinta si acum interes.

Definitie. O gramatica contextuala simpla este un sistem ordonat cu trei componente G = ([SIGMA], A, C), unde [SIGMA] este alfabetul gramaticii G, A este o submultime finita a lui [SIGMA]* denumita baza a lui G iar C este o submultime finita de perechi de cuvinte peste [SIGMA], adica C [??] [SIGMA]* x [SIGMA]*, denumita multime de contexte pentru G.

Rolul contextelor ca operatii de inchidere apare in legatura cu limbajul generat. Definitie. Fie G = ([SIGMA],A,C) o gramatica contextuala simpla. Limbajul generat de G, notat cu L(G), este cel mai mic limbaj L peste [SIGMA], astfel incat A [??] L, cu proprietatea ca daca x [member of] L si (u, v) [member of] C, atunci uxv [member of] L.

O cale de a extinde cele doua notiuni amintite este prezentata in lucrarea [14]: consideram operatia cheie de concatenare/catenare a doua cuvinte si procedam ca in Algebra, dandu-i un inteles mai general dar pastrand proprietatile de baza, adica structura algebrica suport (vezi propozitia mai jos).

6.2. Cu referire la [15], fie E un alfabet si [DELTA] [??] [SIGMA] astfel incat [SIGMA] = [GAMMA][union][DELTA], cu [GAMMA][intersection][DELTA] = [??], [GAMMA] sau [DELTA] putand fi vide. Luam [M.sub.0] = [GAMMA]* si [M.sub.k+1] = [[GAMMA]* ([DELTA]+[GAMMA]+).sup.k] [DELTA]+[HAMMA]* [union] {[lambda]}, k [greater than or equal to] 0, [lambda] fiind cuvantul vid. Daca i [not equal to] j atunci [M.sub.i] [intersection] [M.sub.j] = {[lambda]} si [for all]w [member of] [GAMMA]+, [there exists]k [greater than or equal to] 0 unic cu w [member of] [M.sub.k].

Orice w [member of] [SIGMA]* admite o reprezentare (in raport cu [DELTA]) de forma: w = [u.sub.0][v.sub.1][u.sub.1][u.sub.1] ... [v.sub.k][u.sub.k] cu [u.sub.0],[u.sub.k] [member of] [[GAMMA].sup.+], [u.sub.i] [member of] [GAMMA]*, 0 < i < k, [v.sub.j] [member of] [[DELTA].sup.+], 1 [less than or equal to] j [less than or equal to] k.

Definitie. Fie w in [[SIGMA].sup.+] = [SIGMA]* - {[lambda]}. [DELTA]- gradul lui w este gra[d.sub.[DELTA]] (w) = k, unde w [member of] [M.sub.k] si gra[d.sub.DELTA]([lambda]) = 0.

Descompunerea [SIGMA] = [GAMMA][union][DELTA] ne permite sa consideram in aplicatiile la procese doua tipuri de actiuni/operatii componente, cu comportamente diferite, si sa modelam calculul paralel cu mai multe procese, conform cu [10]. Extinderea propusa in articolul [14] se realizeaza prin generalizarea concatenarii cuvintelor, pana la concatenarea distribuita definita in continuare.

Definitie. Fie x,y [member of] [[SIGMA].sup.+], cu x = [u.sub.0][v.sub.1][u.sub.1]...[v'.sub.m][u'.sub.m], unde [u.sub.0],[u'.sub.0],[u.sub.n],[u'.sub.n] [member of] [GAMMA]*, [u.sub.i]] [member of] [[GAMMA].sup.+], [v.sub.i] [member of] [[DELTA].sup.+], 1 [less than or equal to] i [less than or equal to] n, [u'.sub.i] [member of] [[GAMMA].sup.+], 1 [less than or equal to] i < m, [v'.sub.i] [member of] [[DELTA].sup.+], 1 [less than or equal to] i [less than or equal to] m. Concatenarea/catenarea [DELTA] stanga distribuita a lui x cu y este definita prin:

[mathematical expression not reproducible]

[mathematical expression not reproducible]

cu [??] (similar dreapta).

In cazul particular, cu [??] avem concatenarea obisnuita [??]. Operatia [??] este extinsa natural, in modul obisnuit, de la cuvinte la limbajele din P([SIGMA]*). Notiunile de gramatica contextuala simpla si de limbaj generat sunt extinse in [14], considerand concatenarea distribuita in locul celei uzuale. Structura algebrica este insa mentinuta intrucat avem

Propozitie [lema 1, p. 327, revazuta]. Pentru orice alfabet [SIGMA] si [??], operatia [??] este asociativa, [??] este un monoid necomutativ si

[mathematical expression not reproducible]

este un semiinel necomutativ partial ordonat prin incluziune (vezi [9], [10], [24]).

7 Mai multa Algebra. Modelul Emmy Noether si Informatica teoretica

7.1. In articolul de care ne ocupam si in alte lucrari privind limbajele mai este considerat si un alt produs decat concatenarea, operatia shuffle intre doua cuvinte, comutativa si definita recursiv astfel:

[mathematical expression not reproducible]

unde u, v [member of] [SIGMA]* si a, b [member of] [SIGMA].

Operatia shuffle este extinsa natural, in modul obisnuit, de la cuvinte la limbajele din P([SIGMA]*). Se obtine semiinelul [??] partial ordonat prin incluziune, comutativ, vezi mai jos. Operatia apare la Algebre Lie, vezi [22], la sugestia recenzentului.

7.2. Constructia semiinelelor din [14], [18] poate fi vazuta ca rezultand din schema care urmeaza. Fiind dat un grupoid (G, x), pentru A, B [??] G, definim produsul A x B = {c = ab; a [member of] A, b [member of] B} si obtinem algebra S = (P(G), [union], [??], x) care este un semiinel in sensul din [24], o generalizare fata de notiunea de semiinel din [9]. Distributivitatea bilaterala a produsului x in raport cu suma [union] eventual infinita rezulta din modul in care este definit produsul A x B. Avem un semiinel semilaticial superior complet (nu neaparat asociativ sau comutativ) cu prim element si operatii w-continue distributive in raport cu sumele infinite. In particular, avem structurile de semiinel S = (P([SIGMA]*), [union], [??], [x.sub.h], {[lambda]}), pentru h = c (concatenare), ac (anticoncatenare), dc (concatenare distribuita) (din [14], [18] Lemma 1, pg. 327), s (shuffle)

(din [14], [18] Theorem 16, pg. 333), la care putem adauga produsul latin si produsul de infiltrare [up arrow] definit recursiv prin

[mathematical expression not reproducible]

Operatia poate fi extinsa la limbaje in modul uzual, obtinandu-se din nou un semiinel asociativ. Avem incluziunea [??]. Volumul citat al acad. Marcus ne ramane pentru analize ulterioare. Signatura considerata poate fi completata cu operatii si axiome noi ca in [13].

7.3. Ne amintim ca John von Neumann (1903-1957) a venit cu ideea programului memorat, in acelasi spatiu ca si datele [12], si a prezentat-o la Cambridge in 1935, fiind reflectata (enshrined) apoi in conceptia masinii Turing (1936). Aveam de considerat multimi de date, care insa nu ne apareau ca multimi amorfe ci ca structuri echipate cu operatii convenabil definite si cu relatii, in functie de aplicatie. Recursul la structuri algebrice in Informatica este deci natural si inevitabil. Demersul este obisnuit in matematica, in Scoala lui Emmy Noether (1882-1935), avand operatii si ecuatii.

7.4. Credem ca teoria abstracta a datelor ca si aritmetizarea demonstratiilor introdusa de K. Godel (1906-1978) se gasesc in embrion in ideea programului memorat si interpretat/compilat/generat, inainte sau in cursul executiei. Conceptia lui von Neumann privind organizarea unui calculator, ramasa in vigoare pana azi, apare in memoriul First draft on EDVAC, din 30 iunie 1945 (Klara von Neumann, September 1957, Cuvant inainte la The computer and the brain (1958)).

8 Observatii finale. Stintific/Umanist--Apolinic/Dionisiac

8.1. In discursul de receptie la Academie, profesorul Solomon Marcus isi recapituleaza peste 60 de ani de cercetare, invatamant si publicistica. Retinem ideea ca, dincolo de exercitiul profesiunii, matematica are o valoarea culturala data de capacitatea comunicationala, interdisciplinara si transdiciplinara. Sunt relevate pe rand importanta aplicatilor, in sens larg, moisilian, beneficiile dialogului interdisciplinar, interesul pentru structuri si calitati si unitatea culturii.

8.2. Ajungand acum si la aspectele privind cat de cat launtricul personalitatii magistrului, ce observam? Profesorul este in mare masura un profesor in iscusinta de a privi in jur, cu o proaspata si neobosita curiozitate. Este remarcabila puterea de a ne starni atentia ca nimeni altul si de a descoperi subiecte si idei chiar in acele locuri pe langa care, fara dansul, am fi trecut imperturbabili, mentinandu-ne cursul leneviei proprii. In aproape orice subiect ai discuta cu dansul, in foarte scurt timp, ajungi sa descoperi ceva. Profesorul ne-a adus aproape opera lui Godel. Cam tot ceea ce am ajuns sa exprimam in contextul D. Barbilian a fost descoperit si gandit cu ani buni inainte de profesorul S. Marcus. Trimitem la [2] si la volumul Solomon Marcus intalnirea extremelor [17]. Fara de dansul ma tem ca am fi uitat de opera matematica a lui Alexandru Froda [16], nu am fi avut editate operele lui Gr. C. Moisil sau Traian Lalescu si nici volumul [12] pentru care nu gasesc termeni de comparatie in literatura noastra. Nu stiu cine a stiut sa revele ca dansul atat de multe surse de interes in istoria matematicii, sa le arate valoarea stiintifica si culturala sau cine a mers mai departe in descoperirea matematicii romanesti.

8.3. Cele mai recente articole ale acad. Marcus privesc filosofici, educatiei sau interactiunile cu arhitectura. Dupa cat intelegem, in conceptia oferita, o materie inceteaza sa mai fie rezumatul mai mult sau mai putin reusit al unei discipline academic constituite, detronate acum de pe piedestalul ei intangibil, si mai mult un complex de activitati, date, deprinderi sau inventii rezultate din exercitiul liber al spiritului.

8.4. Dar de ce vorbim si scriem despre Solomon Marcus iar si iar, din nou? Cred ca aflam o explicatie intr-un fragment din Martin Heidegger. In mediocritate nu exista niciun lucru care ar putea el insusi sa provoace timpurile sa recunoasca si sa traduca iar ceea ce de multa vreme parea a fi cunoscut. Numai un lucru care a fost cu adevarat gandit are norocul sa fie iar si iar mai bine inteles decat s-a inteles chiar el pe sine. Dar, atunci, aceasta mai buna intelegere nu este meritul interpretului, ci darul oferit de insusi obiectul interpretarii (Originea operei de arta) [11].

References

[1] R. L. Baire: [1899] Sur les fonctions de variables relies, Annali di Mathematica Pura ed Applicata vol. 3, pp. 1-122.

[2] I. Barbu: [1987] Poezii*Proza*Publicistica, Editura Minerva, Bucuresti, 1987 (Editie ingrijita de Dinu Pillat, Antologie de Mihai Dascal, Repere istorico-literare realizate de Mihai Dascal si Maria Rafaila), (351 pag.).

[3] K. Bogel: [1920] Uber die Stetigkeit und die Schwankung von Funktionen zweier reeller Vernderlichen, Math. Ann. vol. 81, 64-93.

[4] L. Corry: [2003] Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, 2d Revised Edition, Basel and Boston, Birkhuser (Science Networks Vol. 16), 2003.

[5] R. Dedekind: [1900] Uber Zelegungen von Zahlen durch ihre grostengemeinsamen Teiler, Gesammelte Werke 2, 103-148.

[6] E. Dobrescu, I. Siclovan: [1965] Considerations on functions of two variables (Romanian), Analele Universitatii Timisoara Seria Stiinte Matematica-Fizica 3, 109-121.

[7] A. I. Fine, S. Kass: [1966] Indeterminate forms for multi-place functions, Annates Polonici Mathematici 18, 59-64.

[8] B.R. Gelbaum, J. Olmsted: [2003] Counterexamples in Analysis, Dover Publications.

[9] J. S. Golan: [1999] Semirings and their Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London.

[10] J. S. Golan, A. Mateescu, D. Vaida: [1996] Semirings and Parallel Composition of Processes, Journal of Automata, Languages and Combinatorics 1, 199 - 217.

[11] M. Heidegger: [1982] Originea operei de arta, Bucuresti, Editura Univers, 1982 (Traducere si note--Th. Kleininger, G. Liiceanu; Studiu introductiv--C. Noica).

[12] A. Iorgulescu. S. Marcus, S. Rudeanu, D. Vaida (coordonatori/ eds.): [2007] Grigore C. Moisil si continuatorii sai in domeniul Informaticii Teoretice/Grigore C. Moisil and his followers in the field of Theoretical Computer Science, Editura Academiei Romane, Bucuresti (in Romanian and English) (537 pag.).

[13] L. Kari, Al. Mateescu, A. Salomaa, Gh. Paun: [1993] Deletion sets. Fundam. Inform., 19, 3-4, 355-370.

[14] M. Kudlek, S. Marcus, A. Mateescu: [1997] Contextual grammars with distributed catenation and shuffle, in Fundamentals of Computation Theory FCT 1997, Lectures Notes in Computer Science 1279 (eds. B. S. Chlebus and L. Czeja), Berlin-New York, Springer, 1997, 269-280 (in [Mar07], 325-336).

[15] S. Marcus: [1969], Contextual grammars, Revue Roumaine de Mathmatiques Pures et Appliques 14, 12, 1525-1534.

[16] S. Marcus: [1994] Centenarul Alexandru Froda, Academica IV 11(47), septembrie 1994, 30.

[17] S. Marcus: [2005] intalnirea extremelor, Pitesti, Paralela 45 Publishing House.

[18] S. Marcus: [2007] Words and Languages Everywhere, Milano, Polimetrica--International Scientific Publisher (540 pages).

[19] S. Marcus: [2008] Gazeta Matematica Seria A, Revista de Cultura Matematica XXVI(CV) 3, 165-196. http://www.acad.ro/discursuri_receptie/d2008/SMarcus-discursReceptie.doc

[20] Gr. C. Moisil: [1954] Introducere in Algebra. I. Inele si ideale. Vol. I, Editura Academiei, Bucuresti (255 pag.).

[21] Gh. Paun: [1982] Contextual Grammars, Bucharest, The Publishing House of the Romanian Academy (in Romanian).

[22] R. Ree: Lie elements and an algebra associated with shuffles, Ann. Math. 68, 210-220.

[23] I. Rosenholtz: [1991] A topological mean value theorem for the plane, American Mathematical Monthly 98, 149-154.

[24] S. Rudeanu, D. Vaida: [2004] Semirings in Operations Research and Computer Science: More Algebra, Fundamenta Informaticae, 61 [2004], 61-85.

[25] D. Schlimm: [2011] On the creative role of axiomatics: The discovery of lattices by Schroder, Dedekind, Birkhoff, and others, Synthese, 183, 47-68.

[26] T. Wazewski: [1949] Une demonstration uniforme du theoreme generalise de l'Hospital, Ann. Soc. Polon. Math., 22, 161-169.

[27] T. Wazewski: [1951] Une generalisation des theoremes sur les accroissements finis au cas des espaces de Banach et application a la generalisation des theoreme de l'Hospital, Ann. Soc. Polon. Math. 24, 132-147 [MR 15,717g; Zbl 52.11302].

[28] B.L. van der Waerden: [1949] Moderne Algebra, 2 vols., Berlin, Springer. (English trans, of the 2d. ed.--Vol. I by Fred Blum [1949], Vol. II by T. J. Benac [1950], New York, Frederic Ungar Publishing).

Dragos Vaida

Faculty of Mathematics and Computer Science,

University of Bucharest,

Strada Academiei 14,

Bucharest, Romania

E-mail: dravaida2@gmail.com
COPYRIGHT 2015 American Romanian Academy of Arts and Sciences
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2015 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Vaida, Dragos
Publication:Libertas Mathematica
Date:Nov 1, 2015
Words:3702
Previous Article:About Some Theorems of Bohr-Mollerup Type.
Next Article:Existence and Ulam Stability Results for Quadratic Integral Equations.

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2021 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters |