Printer Friendly

ANALISIS DE LAS REFLEXIONES Y VALORACIONES DE UNA FUTURA PROFESORA DE MATEMATICAS SOBRE LA PRACTICA DOCENTE.

I. INTRODUCCION

Diversas tendencias sobre la formacion de profesores, tanto inicial como continua, proponen la investigacion del profesorado y la reflexion sobre la practica docente como una estrategia clave para el desarrollo profesional y la mejora de la ensenanza. Entre dichas tendencias destacamos la investigacion --accion (Elliot, 1993), la practica reflexiva (Schon, 1983) y el estudio de lecciones desarrollado en Japon y difundido en diversos paises (Hart, Alston y Murata, 2011). En esta linea de potenciar la reflexion del profesor sobre su propia practica, el constructo criterios de idoneidad didactica (y su desglose en componentes e indicadores), propuesto en el marco del Enfoque Ontosemiotico de la Cognicion e Instruccion Matematica (EOS, a partir de ahora) (Godino, Batanero y Font, 2007) (Godino, Batanero y Font, 2008), puede ser utilizado como una herramienta para organizar la reflexion del profesor sobre su practica cuando esta reflexion se orienta hacia la valoracion y mejora de la practica--tal como se esta haciendo en diferentes procesos de formacion en Espana, Mexico, Brasil, Ecuador, Chile, Venezuela y Argentina (Ramos, 2006), (Ramos y Font, 2008), (Gimenez, Font y Vanegas, 2013), (Gimenez, Vanegas, Font y Ferreres, 2012), (Ferreres y Vanegas, 2015), (Pochulu, Font y Rodriguez, 2016), (Breda, 2016), (Seckel, 2016). En estos procesos de formacion, uno de los espacios en los que se han usado los criterios de idoneidad para reflexionar sobre la practica es el Trabajo de Fin de Master (TFM).

El objetivo de este trabajo es doble, por una parte, presentar el constructo criterios de idoneidad didactica, propuesto por el EOS y, por otra parte, presentar un estudio de caso que analiza el uso de dichos criterios, en el proceso de reflexion (explicado en su TFM) de una futura profesora, con el fin de mejorar la implementacion de una unidad didactica sobre la funcion de segundo grado en el cuarto ano de la Ensenanza Secundaria Obligatoria (ESO) de Espana. El uso de los criterios de idoneidad didactica fue ensenado en el proceso formativo de esta futura profesora como una herramienta metodologica para promover y apoyar la reflexion sobre su practica.

Estamos presentando un resultado que coincide con otras investigaciones que han puesto de relieve: 1) que dar a los profesores la oportunidad de reflexionar sobre su practica no basta; 2) que los profesores necesitan herramientas para dirigir su atencion hacia aspectos relevantes de los episodios de ensenanza, y 3) que estas herramientas se pueden ensenar como parte de la formacion del profesorado, por ejemplo, (Nilssen, 2010), (Star y Strickland, 2008), (Turner, 2012), (Sun y Van, 2015).

Fundamentacion teorica

En este trabajo estudiamos un modelo de TFM en el que los profesores deben explicar una propuesta didactica y justificar por que esta significa una mejora para la ensenanza. Por tanto, este tipo de TFM es una tarea que implica, de forma implicita o explicita, un ejercicio de analisis didactico.

En el campo de la Educacion Matematica no hay un consenso sobre la nocion de calidad y, en particular, no hay consenso sobre los metodos para la valoracion y mejora de los procesos de ensenanza y aprendizaje de las matematicas. Basicamente existen dos maneras de afrontar esta problematica, desde una perspectiva positivista o desde una consensual (Font y Godino, 2011). Desde la primera, la investigacion cientifica realizada en el area de Didactica de las Matematicas nos dira cuales son las causas que hay que modificar para conseguir los efectos considerados como objetivos a alcanzar, o, como minimo, nos dira cuales son las condiciones y restricciones que hay que tener en cuenta para conseguirlos. Desde la perspectiva consensual, aquello que nos dice como guiar la mejora de los procesos de instruccion de las matematicas, debe emanar del discurso argumentativo de la comunidad cientifica, cuando esta esta orientada a conseguir un consenso sobre "lo que se puede considerar como mejor".

La nocion de idoneidad didactica propuesta por el Enfoque Ontosemiotico de la Cognicion e Instruccion Matematicos (Godino et al., 2007), (Godino et al., 2008) se posiciona en la perspectiva consensual. La opcion de considerar que el constructo idoneidad didactica debe contar con un cierto grado de consenso, aunque sea local, da una manera de generar criterios parciales que permitan responder a la pregunta ?que se debe entender por mejora de la ensenanza de las matematicas?

Para responder a esta pregunta, es cuestion de explorar, en una primera fase, como se ha generado un conjunto de tendencias y principios que gozan de un cierto consenso en la comunidad relacionada con la educacion matematica; clarificando, a ser posible, que papel juegan los resultados de la investigacion didactica en la generacion de dichos consensos. En una segunda fase, se tiene que relacionar, relativizar, subordinar, etc., estos principios para generar una lista de criterios de idoneidad didactica, con sus componentes e indicadores, que sirvan al profesor para organizar la reflexion sobre su practica (Breda, Font y Pino-Fan, 2018).

La nocion de idoneidad didactica es, pues, una respuesta parcial a la siguiente problematica: ?Que criterios se deben utilizar para disenar una secuencia de tareas, que permitan evaluar y desarrollar la competencia matematica de los alumnos y que cambios se deben realizar en su rediseno para mejorar el desarrollo de esta competencia? Los criterios de idoneidad pueden servir primero para guiar los procesos de ensenanza y aprendizaje de las matematicas y, segundo, para valorar sus implementaciones. Los criterios de idoneidad son utiles en dos momentos de los procesos de instruccion. A priori, los criterios de idoneidad son principios que orientan "como se deben hacer las cosas". A posteriori, los criterios sirven para valorar el proceso de instruccion efectivamente implementado. En el EOS se consideran los siguientes criterios de idoneidad didactica (Font, Planas y Godino, 2010):

1. Idoneidad Epistemica, para valorar si las matematicas que estan siendo ensenadas son "buenas matematicas".

2. Idoneidad Cognitiva, para valorar, antes de iniciar el proceso de instruccion, si lo que se quiere ensenar esta a una distancia razonable de aquello que los alumnos saben, y despues del proceso, si los aprendizajes adquiridos estan cerca de aquello que se pretendia ensenar.

3. Idoneidad Interaccional, para valorar si las interacciones resuelven dudas y dificultades de los alumnos.

4. Idoneidad Mediacional, para valorar la adecuacion de los recursos materiales y temporales utilizados en el proceso de instruccion.

5. Idoneidad Emocional, para valorar la implicacion (intereses, motivaciones, etc.) de los alumnos durante el proceso de instruccion.

6. Idoneidad Ecologica, para valorar la adecuacion del proceso de instruccion al proyecto educativo del centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social y profesional.

La operatividad de los criterios de idoneidad exige definir un conjunto de indicadores observables, que permitan valorar el grado de idoneidad de cada uno de los criterios. Por ejemplo, todos concordamos que es necesario implementar unas "buenas" matematicas, pero podemos entender cosas muy diferentes por ello. Para algunos criterios, los descriptores son relativamente faciles de consensuar (por ejemplo, para el criterio de idoneidad de medios), para otros, como es el caso de la idoneidad epistemica es mas dificil. En Breda y Lima (2016), Seckel (2016) y Breda, Pino-Fan y Font (2017) se aporta un sistema de indicadores que sirve de guia de analisis y valoracion de la idoneidad didactica, que esta pensado para un proceso de instruccion en cualquier etapa educativa. A continuacion, se reproducen los componentes e indicadores de los criterios de idoneidad didactica (Breda y Lima, 2016):

Esta lista de componentes e indicadores para los seis criterios de idoneidad didactica (que se halla en (Breda y Lima, 2016), (Seckel, 2016), (Breda et al., 2017) presenta una reorganizacion relevante en los componentes e indicadores respecto a los propuestos en Godino (2013), sobre todo para el criterio de idoneidad epistemica (Cuadro 1). Ahora bien, en dicha reorganizacion no se pierde una referencia importante del marco teorico del EOS, que es el papel central de la nocion de significado en la definicion de los indicadores de idoneidad epistemica. Por otra parte, esta lista de criterios componentes en indicadores es la que se uso en el proceso de formacion del estudio de caso considerado en este articulo. Otro aspecto a considerar es que se deberia complementar la lista de indicadores a partir del paso previo de reconstruccion del significado de referencia del tema especifico que se quiere ensenar. Dos articulos que desarrollan esta idea (para el caso del tema de proporcionalidad y el estudio de la ecuacion cuadratica) son Aroza, Godino y Beltran-Pellicer (2016); Posadas y Godino, (2017), respectivamente. Por otra parte, en Godino (2013), la lista de criterios, componentes e indicadores que contemplamos en este trabajo, se complementa con otros indicadores de caracter mixto, que involucran mas de un criterio de idoneidad didactica.

La valoracion de la idoneidad didactica es un nivel de analisis didactico que forma parte de un modelo mas amplio de analisis didactico de procesos de instruccion propuesto por el EOS. Dicho modelo consta de cinco tipos de analisis, cada uno con sus respectivas herramientas: 1) Identificacion de practicas matematicas. 2) Elaboracion de las configuraciones de objetos y procesos matematicos. 3) Analisis de las trayectorias e interacciones didacticas. 4) Identificacion del sistema de normas y meta-normas. 5) Valoracion de la idoneidad didactica del proceso de instruccion (Font et al., 2010), (Pochulu y Font, 2011). El primer tipo de analisis explora las practicas matematicas hechas en un proceso de instruccion matematico. El segundo tipo de analisis se centra en los objetos y procesos matematicos que intervienen en la realizacion de las practicas, asi como los que emergen de ellas (Badillo, Figueiras, Font y Martinez, 2013), (Font, Godino y Gallardo, 2013), (Badillo, Font y Edo, 2015), (Distefano, Pochulu y Font, 2015), (Rondero y Font, 2015). El tercer tipo de analisis didactico esta orientado, sobre todo, a la descripcion de los patrones de interaccion, a las configuraciones didacticas y su articulacion secuencial en trayectorias didacticas (Font et al., 2010), (Contreras, Garcia y Font, 2012); las configuraciones y trayectorias estan condicionadas y soportadas por una trama de normas y meta-normas. El cuarto tipo de analisis estudia dicha trama (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), (Pochulu y Font, 2011). Los cuatro primeros tipos de analisis son herramientas para una didactica descriptiva-explicativa, mientras que el quinto se centra en la valoracion de la idoneidad didactica (Pochulu y Font, 2011), (Robles, Del Castillo y Font, 2012). Este ultimo tipo se basa en los cuatro analisis previos y es una sintesis orientada a la identificacion de mejoras potenciales del proceso de instruccion en nuevas implementaciones. Tal como se muestra en la revision de la literatura realizada en Breda, Font y Lima (2015), la nocion de idoneidad didactica ha tenido un impacto relevante en la formacion de profesores en diferentes paises (Mallart, Font y Malaspina, 2015), (Seckel y Font, 2015), (Pochulu et al., 2016). Dicho impacto esta relacionado con la idea de que uno de los componentes del conocimiento didactico-matematico del profesor es aquel que permite valorar y justificar la mejora de los procesos de ensenanza y aprendizaje de las matematicas.

II. MATERIALES Y METODOS

Se Optamos por realizar el estudio de un caso donde se investiga el analisis didactico realizado por una futura profesora de matematicas en su TFM donde reflexiona y valora su practica docente y realiza una propuesta de mejora de dicha practica. Concordamos con Ponte (1994) y Yin (2001), que el estudio de caso se caracteriza por un analisis muy particular. En este tipo de estudio el investigador no pretende cambiar la situacion, pero si comprenderla tal como se presenta. El TFM se ha seleccionado entre unos 500 TFM que siguen la misma estructura. El motivo de que sea este TFM el seleccionado y no otro es que se trata de un TFM calificado con una nota alta y que es un buen ejemplo del tipo de reflexion y valoracion que se pretendia desarrollar en el proceso de formacion de estos futuros profesores de matematicas.

Para analizar las reflexiones realizadas por la futura profesora sobre como mejorar su practica docente, utilizamos los criterios de idoneidad didactica propuestos por el EOS. Basicamente, el analisis consiste en seleccionar parrafos en los que la autora trata de justificar que la secuencia de tareas propuestas en su TFM representa una mejora con relacion a la secuencia de tareas que ha disenado e implementado previamente para la ensenanza del objeto matematico considerado en su propuesta de TFM. Dichos parrafos en nuestro analisis son considerados evidencias de uso implicito o explicito de algunos de los descriptores de los componentes de los criterios de idoneidad didactica propuestos por el EOS.

2.1 Contexto de la investigacion

En las orientaciones generales del Trabajo Fin de Master que se dan a los alumnos, en el caso del Master de Formacion de Profesorado que ha cursado la futura profesora, se dice que debe ser un trabajo original, autonomo e individual que permite al estudiante mostrar de forma integrada los contenidos formativos recibidos y las competencias generales asociadas al titulo de Master en Formacion del Profesorado de Secundaria de Matematicas, y debe contribuir a reflexionar y profundizar en el analisis de su propia practica, posibilitando proponer elementos de mejora de la misma. Dicha mejora se debe justificar a partir de la reflexion de la comunidad de investigacion en Educacion Matematica sobre el tema que se ha desarrollado en su periodo de practicas.

Un elemento clave del TFM es su relacion directa con la experiencia escolar realizada previamente (el diseno y la implementacion de una unidad didactica). Otra de las caracteristicas importantes es que se asigna un mismo tutor al periodo de practicas (donde se ha disenado e implementado la unidad didactica) y al Trabajo Fin de Master, para facilitar la continuidad de las practicas y el proceso de reflexion sobre ellas, y poder reconocer los progresos alcanzados. Durante este proceso, se realizan, como minimo cuatro reuniones, entre el estudiante y su tutor. Dos de ellas durante su practica escolar, y al menos dos encuentros tutoriales durante la realizacion del TFM.

En el TFM se realiza el analisis y valoracion de la idoneidad de la unidad didactica implementada y se formula una propuesta de mejora justificada de dicha unidad didactica. Para ello, se sugiere a los futuros docentes que en su analisis consideren responder a preguntas como las siguientes: a) ?He ensenado unas matematicas de calidad? ?Se puede mejorar esta calidad? ?Como? b) Los alumnos podian aprender con las actividades propuestas? ?Han aprendido? ?Por que no? c) ?Se podria mejorar la gestion de la clase? d) ?Use los recursos adecuados? ?El tiempo estuvo bien gestionado? e) ?Como se ha considerado una perspectiva ecologica en las condiciones generales del trabajo? Para responder a estas preguntas en las diferentes asignaturas que intervienen en el ciclo se presentan elementos de valoracion de la calidad de los procesos de estudio, en concreto los criterios de idoneidad didactica propuestos por el EOS (Godino et al., 2007), asi como la version modificada (Breda y Lima, 2016) de la pauta de componentes y descriptores de dichos criterios (Godino, 2013) que permite aplicarlos.

En su TFM, la futura profesora escribe comentarios de tipo valorativo que se relacionan con los diferentes componentes e indicadores de los criterios de idoneidad didactica. Se trata de una valoracion que ha hecho la profesora y que ha sido triangulada con su tutor. Por otra parte, posteriormente en la presentacion oral de su valoracion ante el tribunal del TFM hay una segunda triangulacion. Estos comentarios son el foco de nuestro analisis, el cual se explica con detalle en el siguiente apartado. Se trata, pues, de un analisis del contenido en las que las categorias han sido fijadas previamente (criterios, componentes y descriptores de la idoneidad didactica).

III. USO DE LOS CRITERIOS DE IDONEIDAD DIDACTICA EN EL TEM

La futura profesora en su TFM (Ruiz, 2014) presenta la valoracion y el rediseno de una propuesta didactica sobre la funcion de segundo grado, para un grupo de alumnos del cuarto ano de la Ensenanza Secundaria Obligatoria (ESO) (15-16 anos de edad). Este TFM esta organizado en cinco capitulos; en el primero se realiza una introduccion al TFM, en el segundo se presenta un resumen de la implementacion de la unidad didactica (la explicacion detallada se halla en su memoria de practicas). En el tercer capitulo se explica la valoracion de los seis criterios de idoneidad didactica. En el cuarto capitulo se especifican los aspectos que se proponen mejorar en una futura implementacion y se detalla el rediseno de las tareas para ello. El ultimo capitulo termina con unas consideraciones finales sobre el TFM y sobre su experiencia en el master.

Cuando la futura profesora tiene que reflexionar sobre una nueva propuesta didactica que implica un cambio y una mejora sobre su practica anterior, explicitamente utiliza los criterios de idoneidad didactica. A continuacion, mostramos el uso que ella hace de dichos criterios (sus componentes y descriptores) para justificar que su nueva propuesta representa una mejora con relacion a la unidad didactica implementada en su periodo de practicas.

3.1 Idoneidad epistemica

La futura profesora Ruiz (2014, p. 34) valora la idoneidad epistemica de su unidad didactica con un 3,4 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): errores (5), ambiguedades (4), riqueza de procesos (3) representatividad y conectividad de los contenidos (1,6). Para justificar estas puntuaciones la futura profesora realiza diferentes reflexiones. Con relacion a los errores, explica que en su implementacion no observo errores, en particular comenta que corrigio con sus comentarios uno que se hallaba en el libro de texto y en alguno de los videos utilizados (errores fotograficos al confundir la parabola con una catenaria).

Con relacion a las ambiguedades comenta que observo que el uso del programa dinamico GeoGebra propicio la metafora de la grafica de una funcion como camino que deja un punto que se mueve sobre la misma. Tambien comenta que en la implementacion de la unidad didactica uso tablas de valores triples (la misma abscisa y dos columnas de ordenadas para dos funciones) lo cual tambien creo ambiguedades (en particular, porque utilizo la misma letra para las dos funciones). En el rediseno decide que no usara este tipo de tablas (Figura 1).

Con relacion al componente riqueza de procesos afirma:

La secuencia de actividades es "rica" en cuanto a los procesos matematicos que activa, aunque que la disposicion de un solo ordenador para toda la clase genera un nivel de procesos de manipulacion / experimentacion /exploracion / ensayo y error bajo, ya que el alumno ha tenido un papel pasivo receptor en vez de que sea el el que "haga cosas". El nivel de formulacion, enumeracion y conjecturacion ha estado en general flojo, mientras que argumentacion, explicacion, justificacion, demostracion y la comunicacion en terminos de institucionalizacion ha sido alto (Ruiz, 2014, p.35).

El componente al que otorga menor puntuacion es al que hace referencia a la representatividad y lo justifica con afirmaciones como las siguientes:

El principal significado parcial que se ha trabajado en la UD ha sido el de la representacion de la funcion explicita, por lo que no podemos considerarlos como una muestra representativa de la complejidad de la funcion cuadratica. Han faltado significados parciales y sus conexiones (Ruiz, 2014, p. 35-36).

La muestra de actividades presentadas en la UD no ha sido representativa. Han faltado problemas de contextos significativos de la aplicacion de la parabola, como pueden ser de tiro parabolico, de fuentes (por ejemplo, Montjuic), de luz de faros, etc. (Ruiz, 2014, p. 3536).

3.2 Idoneidad cognitiva

La futura profesora Ruiz (2014, p. 4) valora la idoneidad cognitiva de su unidad didactica con un 2.2 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): conocimientos previos (4,5), adaptaciones curriculares (1), aprendizaje (1). Para justificar estas puntuaciones la futura profesora realiza diferentes comentarios sobre los componentes e indicadores de la idoneidad cognitiva.

Conocimientos previos. La futura profesora explica que, dado que habia asistido a esta clase, por un amplio espacio de tiempo, antes de comenzar la unidad didactica sobre la funcion cuadratica ya sabia que los alumnos tenian los conocimientos previos necesarios sin necesidad de una evaluacion inicial.

Adaptaciones curriculares. La futura profesora explica que no se contemplaron actividades de refuerzo ni de ampliacion dadas las caracteristicas del grupo.

Aprendizaje. Con relacion a este componente, la autora del TFM se muestra poco satisfecha y afirma lo siguiente:

"La evaluacion efectuada no ha sido competencial, tal como se ha pretendido enfocar la UD, por lo que no es informativa, aunque los resultados alcanzados en el examen propuesto han sido satisfactorios" (Ruiz, 2014, p. 37).

Alta demanda cognitiva. Con relacion a este componente la futura profesora no hace comentarios.

3.3 Idoneidad interaccional

En el TFM analizado se valora la idoneidad interaccional de la implementacion realizada con un 4 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): interaccion profesor - alumno (4,6), interaccion entre alumnos (5), autonomia (3), evaluacion formativa (3,5). Se justifican estas puntuaciones con comentarios como los siguientes.

Con relacion al componente interaccion professor--alumno "En general se han reconocido y resuelto los conflictos de significado, aunque en algun caso no se aprovecha la interaccion para generar y resolver una duda cognitiva en un alumno (conexion parabola con la pendiente de una recta)" (Ruiz, 2014, p. 38). Con relacion al componente interaccion entre alumnos:

Mediante el trabajo en grupo, la disposicion de la clase y el buen ambiente que existia en clase se ha favorecido el dialogo y la comunicacion entre los alumnos y entre los alumnos y el profesor. Se ha creado un ambiente que favorecia la inclusion de los alumnos en grupo, evitando la exclusion (Ruiz, 2014, p. 38).

Con relacion al componente autonomia, se afirma: "La metodologia de trabajo (trabajo en grupo, actividades individuales, exposiciones de los alumnos) ha contemplado momentos que han favorecido que los alumnos asuman responsabilidades de estudio" (Ruiz, 2014, p. 38). Con relacion al componente evaluacion formativa, se afirma:

No se ha incidido bastante en la observacion sistematica del progreso cognitivo de los alumnos. Aunque diariamente se han controlado los deberes que han realizado los alumnos de manera autonoma y se han realizado actividades en clase, estos no han servido para evaluar el progreso cognitivo personal de cada alumno. (No se han tomado apuntes / comentarios diarios de los resultados de las actividades por alumno) (Ruiz, 2014, p. 39).

3.4 Idoneidad mediacional

En el TFM de la futura profesora se valora la idoneidad mediacional de su unidad didactica con un 4,3 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): recursos materiales (3,5), numero de alumnos, horario y condiciones del aula (4,5), tiempo (5). Para justificar estas puntuaciones, con relacion al componente recursos, la futura profesora afirma que utilizo diversos medios o recursos como dispositivos de ayuda al estudio (GeoGebra, proyeccion de un video, calculadora cientifica, etc.). Tambien afirma que el numero de alumnos, el horario y las condiciones del aula fueron adecuados. Con relacion al componente tiempo, afirma que invirtio el tiempo en los aspectos clave del tema y en los que presentaban mas dificultad para los alumnos.

3.5 Idoneidad afectiva

En el TFM analizado se valora la idoneidad afectiva de la unidad didactica con un 4,3 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): intereses y necesidades (3,5), actitudes (5), emociones (4,5). Para justificar estas puntuaciones la futura profesora realiza comentarios como los siguientes:

Con relacion al componente intereses y necesidades:

Se ha intentado que la contextualizacion de las actividades fuera de interes para los alumnos y que la metodologia empleada fuera amena y atractiva. Trabajar con GeoGebra les ha supuesto a los alumnos una novedad y una metodologia innovadora en clase que les ha motivado mucho, igual que proyectar un video actual sobre las parabolas (Ruiz, 2014, p. 41).

Con relacion al componente actitudes: "Se ha favorecido la argumentacion trabajando las actividades en grupos y exponiendo los resultados por los propios alumnos al resto de la clase" (Ruiz, 2014, p. 41).

Con relacion al componente emociones, se afirma que se ha intentado en todo momento motivar al alumnado promocionando su autoestima y evitado el rechazo, fobia o miedo a las matematicas.

3.6 Idoneidad ecologica

En el TFM de la futura profesora se valora la idoneidad ecologica de la unidad didactica implementada con un 3,5 que resulta de hacer la media de las siguientes puntuaciones (sobre 5): adaptacion al curriculum (3), abertura hacia la innovacion didactica (4), Adaptacion socio-profesional y cultural (5), Conexiones intra e interdisciplinarias (2). Dichas puntuaciones se justifican con comentarios como los siguientes:

Adaptacion al curriculum: "Aunque los significados se han correspondido con las directrices curriculares, Ha habido un bajo hincapie en los procesos de contextualizacion que indica el curriculo. La evaluacion no se ha correspondido con la idea competencial del curriculo" (Ruiz, 2014, p. 42).

Con relacion al componente abertura hacia la innovacion didactica, se afirma que se tuvo en cuenta la incorporacion de las TIC. Con relacion al componente adaptacion socio-profesional y cultural, se afirma que se ha presentado el tema de manera que permita a los alumnos entender la importancia de las funciones, y en particular, la funcion cuadratica, como un tema relevante y de importancia en el mundo real, necesario en su camino para convertirse en ciudadanos constructivos, reflexivos y capaces de emitir decisiones bien fundadas. Con relacion al componente conexiones intra e inter, se afirma: "La contextualizacion de las actividades ha propiciado escasas conexiones con otros contenidos interdisciplinarios como la fisica, las ciencias sociales o la historia" (Ruiz, 2014, p. 42).

3.7 Valoracion global de la idoneidad didactica de la implementacion realizada

Para representar la valoracion global que hace de su practica, la futura profesora usa un esquema en forma de hexagono (Figura 2) siguiendo el modelo de figura que se habia comentado con los futuros profesores durante el ciclo formativo. Se trataba de una figura con dos hexagonos. En esta figura, el hexagono regular exterior representa un proceso de ensenanza ideal ya que se habra conseguido una alta idoneidad simultanea de las seis idoneidades parciales, mientras que el hexagono irregular interior representa la idoneidad de un proceso de instruccion efectivamente implementado. Siguiendo este modelo, en la figura 2, la futura profesora supone que todas las idoneidades parciales tienen un mismo valor representado por el segmento que une el centro con el vertice. A partir de ello, construye el poligono irregular que representa las idoneidades parciales que ella considera que ha conseguido.

Un aspecto a resaltar es que el constructo criterios de idoneidad se les explico a los futuros profesores no como un constructo que trataba de medir la idoneidad de un proceso de instruccion, sino que se les explico como un constructo que permitiera al profesor reflexionar sobre su practica y poder guiar su mejora en el contexto donde se iba a realizar el proceso de instruccion a partir de la determinacion cualitativa de los aspectos que se deberian y podrian mejorar. A pesar de esa explicacion la futura profesora, de acuerdo con su tutor de TFM, decidio realizar una medida del grado de idoneidad de cada uno de los criterios de idoneidad didactica sin contar con un referente institucional de evaluacion. El metodo que siguio fue valorar cada uno de los componentes de uno de los seis criterios con una escala de 1 a 5 y despues hizo la media de estas puntuaciones que represento en cada uno de los segmentos de la Figura 2 para construir el poligono irregular de la Figura 2.

La conclusion a la que llega la futura profesora es:

Mediante esta valoracion global se puede observar que los valores asignados a los criterios de idoneidad interaccional, mediacional y emocional son altos, pero no he incidido bastante en la idoneidad epistemica y cognitiva ni, en menor medida, en la idoneidad ecologica, concretamente, en la representatividad y conectividad de los contenidos y las adaptaciones curriculares y la evaluacion, y en la adaptacion de los procesos curriculares y las conexiones intra e interdisciplinarias (Ruiz, 2014, p. 6).

3.8 Propuesta de rediseno de su unidad didactica

La futura profesora concluye que hay que mejorar su unidad didactica en los aspectos que obtiene menor puntuacion. Por cuestiones de espacio no abordamos en este articulo la amplia y profunda reflexion que realiza esta futura profesora para justificar su propuesta de rediseno. Nos limitaremos a mostrar un ejemplo de como sus propuestas se justifican a partir de la lectura de articulos:

Trabajaremos la conexion de la funcion cuadratica con la funcion lineal y la pendiente: conectaremos el parametro a de la parabola con la pendiente de 'una recta (Conexion "Parabola-Recta"). Pera ello, nos basaremos en el articulo de Amick, H L. (1995) Sharing Teaching Idees: A Unique Slope for a Parabola (Ruiz, 2014, p. 9).

IV. CONCLUSIONES

El analisis realizado en este trabajo muestra que el uso de los criterios de idoneidad didactica es un instrumento metodologico util para promover y apoyar su reflexion sobre su propia practica. Tambien muestra que los profesores necesitan herramientas para dirigir su atencion a los aspectos mas destacados de los episodios de ensenanza y que estas herramientas pueden ser ensenadas como parte de la formacion del profesorado. Las reflexiones de la futura profesora son una evidencia de estas conclusiones ya que ella reconoce la utilidad de la herramienta criterios de idoneidad cuando afirma:

Como conclusion quiero resaltar la importancia de analizar de una manera sistematica y organizada las practicas que he realizado.

A traves del estudio de la calidad didactica de mi unidad didactica he podido percatarme de la complejidad del tema y he llegado a reconocer problemas en un contexto profesional que durante las practicas no fui consciente de tenerlos.

La mayoria de nosotros ha tenido una grata experiencia durante el periodo de practicas y valoro su experiencia como muy positiva, muy buena, etc. Pero creo que llegados a este punto como profesores tenemos que ir mas alla de una valoracion de este tipo y comprobar que no solo nos sentimos comodos en clase y nos gusta involucrarnos en el aprendizaje de los alumnos, sino que, ademas, somos capaces de autoevaluarnos, ser criticos con nosotros mismos y de hacer una reflexion sobre lo que hemos hecho. El uso de estos criterios empleados, para analizar nuestra propia unidad didactica, nos han permitido afinar y ser mas precisos en el analisis y valoracion (Ruiz, 2014, p. 29-30).

Por otra parte, en este master tambien se les pide a los futuros profesores que hagan una autovaloracion competencial en la que, dada la lista de competencias que se deben desarrollar en el master, para cada una de ellas deben senalar cual era, segun su criterio, su nivel de entrada y cual es su nivel de salida. En esta autovaloracion, con relacion a la competencia 14 (Analisis de secuencias didacticas) la futura profesora comenta lo siguiente:

El grado de conocimiento de tecnicas de analisis didactico y criterios de calidad que poseia antes del Master era practicamente nulo.

En el Master he aprendido a disenar, aplicar y valorar secuencias de aprendizaje para establecer ciclos de planificacion, implementacion, valoracion y plantear propuestas de mejora.

En esta autovaloracion la futura profesora comenta que valorar su unidad didactica implementada utilizando los criterios de idoneidad didactica le ha permitido desarrollar su competencia de analisis didactico de manera significativa.

Si bien en este articulo nos hemos focalizado en un estudio de caso. Una revision amplia de los TFM (Ferreres y Vanegas, 2015) permite observar que los criterios de idoneidad son una herramienta util para organizar la reflexion de los futuros profesores sobre su propia practica, aunque los futuros profesores los tuvieron en cuenta muy poco en la primera fase de planificacion de la unidad didactica. Dicho de otra manera, los futuros profesores no fueron suficientemente conscientes de su potencia como herramienta a priori para disenar una secuencia didactica. En la planificacion de la secuencia didactica, que despues implementaron, no los consideraron como criterios que indican como se deben de hacer las cosas. En cambio, les fueron muy utiles para organizar la reflexion sobre su propia practica una vez realizada. Volvieron a ser muy utiles cuando los futuros profesores tuvieron que justificar una secuencia didactica que mejoraria la implementacion realizada en su periodo de practicas.

Con relacion al hexagono de la Figura 2, utilizado por la futura profesora que hemos analizado, hay que resaltar que si bien la mayoria de los futuros profesores usa en sus TFM un hexagono muy parecido a este (debido a que es el que se les habia usado a lo largo del ciclo formativo por los profesores del master) hay aportaciones creativas. Por ejemplo, hay futuros profesores que se dan cuenta de que la implementacion es un proceso evolutivo, y utilizan tablas o graficas para indicar como cambiaron las idoneidades a lo largo del tiempo. Se observaron sobre todo tres maneras de utilizar los criterios de idoneidad para llegar a una valoracion global de la unidad didactica implementada. Un primer grupo hizo una valoracion global de toda su unidad didactica criterio por criterio. Un segundo realizo una valoracion, criterio por criterio, a cada una de las sesiones de clase impartidas y despues una valoracion, criterio por criterio de todas las sesiones impartidas. Un tercer grupo dividio su unidad didactica en bloques de contenidos y primero realizo una valoracion, criterio por criterio, del bloque y despues una valoracion, criterio por criterio de toda la unidad.

Para finalizar, ante la pregunta: ?como afecta a la practica del profesor un constructo como el de idoneidad didactica?, la primera consideracion es que es una herramienta que se puede ensenar a los profesores en formacion y en servicio para organizar la reflexion sobre su practica (Breda et al., 2015). La segunda, es que su aplicacion concreta debe ser situada. Es decir, la aplicacion, priorizacion, relegacion, etc., de dichos criterios depende del contexto institucional en el que se desarrolla el proceso de ensenanza y aprendizaje, y del criterio pedagogico y didactico del profesor que los debe tener en cuenta.

V. REFERENCIAS

Aroza, C. J., Godino, J. D. y Beltran-Pellicer, P. (2016). Iniciacion a la innovacion e investigacion educativa mediante el analisis de la idoneidad didactica de una experiencia de ensenanza sobre proporcionalidad. AIRES, 6(1), 1-29.

Badillo, E., Figueiras, L., Font, V. y Martinez, M. (2013). Visualizacion grafica y analisis comparativo de la practica matematica en el aula. Ensenanza de las Ciencias, 31(3), 207-225.

Badillo, E., Font, V. y Edo, M. (2015). Analyzing the responses of 7-8 year olds when partitioning problems. International Journal of Science and Mathematics Education, 13(4), 811-836.

Breda, A. (2016). Melhorias no ensino de matematica na concepcao de professores que realizam o mestrado profmat no rio grande do sul: uma analise dos trabalhos de conclusao de curso. Tesis de Doctorado. Pontificia Universidade Catolica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brasil.

Breda, A., Font, V. y Lima, V. (2015). A nocao de idoneidade didatica e seu uso na formacao de professores de matematica. Jornal Internacional de Estudos em Educacao Matematica, 8(1), 4-41.

Breda, A., Font, V. y Pino-Fan, L. (2018). Criterios valorativos y normativos en la Didactica de las Matematicas: el caso del constructo idoneidad didactica. BOLEMA, 60(1).

Breda, A., y Lima, V. M. R. (2016). Estudio de caso sobre el analisis didactico realizado en un trabajo final de un master para profesores de matematicas en servicio. REDIMAT, 5(1), 74-103.

Breda, A., Pino-Fan, L., y Font, V. (2016). Establishing criteria for teachers' reflection on their own practices. In Csikos, C., Rausch, A., & Szitanyi, J. (Eds.), Proceedings of the 40th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 283). Szeged, Hungria: PME.

Breda, A., Pino-Fan, L., y Font, V. (2017). Meta didactic-mathematical knowledge of teachers: criteria for the reflection and assessment on teaching practice. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 13(6), 1893-1918.

Contreras, A., Garcia, M. y Font, V. (2012). Analisis de un Proceso de Estudio sobre la Ensenanza del Limite de una Funcion. BOLEMA, 26(42b), 667-690. (Contreras, Garcia y Font, 2012)

Distefano, M. L, Pochulu, M. D. y Font, V. (2015). Analisis de la complejidad cognitiva en la lectura y escritura de expresiones simbolicas matematicas. REDIMAT, 4(3), 202-233.

Elliot, J. (1993). El cambio educativo desde la investigacion-accion. Madrid: Morata.

Ferreres, S. y Vanegas, Y. (2015). Uso de criterios de calidad en la reflexion sobre la practica de los futuros profesores de secundaria de matematicas. Procedia, 196, 219-225.

Font, V., Breda, A. y Pino-Fan, L. (2017). Analisis didactico en un trabajo de fin de master de un futuro profesor. En J. M. Munoz-Escolano, A. Arnal-Bailera, P. Beltran-Pellicer, M. L. Callejo y J. Carrillo (Eds.). Investigacion en Educacion Matematica XXI (pp. 247-256). Zaragoza: SEIEM.

Font, V. y Godino, J. D. (2011), Inicio a la investigacion en la ensenanza de las matematicas en secundaria y bachillerato, en J. M. Goni (ed.), MATEMATICAS: Investigacion, innovacion y buenas practicas (9-55). Barcelona, Espana: Grao.

Font, V., Godino, J. D. y Gallardo, J. (2013). The emergence of objects from mathematical practices. Educational Studies in Mathematics, 82(1), 97-124.

Font, V., Planas, N. y Godino, J. D. (2010). Modelo para el analisis didactico en educacion matematica. Infancia y Aprendizaje, 33(1), 89-105.

Gimenez, J., Font, V. y Vanegas, Y. (2013). Designing professional tasks for didactical analysis as a research process. In C. Margolinas (Ed.), Task Design in Mathematics Education. Proceedings of ICMI Study 22 (pp. 581-590). Oxford: ICMI studies.

Gimenez, J., Vanegas, Y., Font, V. y Ferreres, S. (2012). El papel del trabajo final de Master en la formacion del profesorado de Matematicas. UNO. Revista de Didactica de las Matematicas, 61, 76-86.

Godino, J. D. (2013). Indicadores de la idoneidad didactica de procesos de ensenanza y aprendizaje de las matematicas. Cuadernos de Investigacion y Formacion en Educacion Matematica, 11, 111-132.

Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39(1), 127-135.

Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2008). Um enfoque onto-semiotico do conhecimento e da instruido matematica. Acta Scientiae. Revista de Ensino de Ciencias e Matematica, 10(1), 7-37.

Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R. & Castro, C. (2009). Aproximacion a la dimension normativa en didactica de las matematicas desde un enfoque ontosemiotico. Ensenanza de las Ciencias, 27(1), 59-76.

Hart, C., Alston, A. S. & Murata, A. (Eds) (2011). Lesson Study Research and Practice in Mathematics Education. Netherlands: Springer.

Ludke, M. & Andre, M. E. D. A. (1986). Pesquisa em educagao: abordagens qualitativas. Sao Paulo: Editora Pedagogica e Universitaria.

Mallart, A., Font, V. y Malaspina, U. (2015). Reflexion sobre el significado de que es un buen problema en la formacion inicial de maestros. Perfiles Educativos, 35(152), 14-30.

Nilssen, V. (2010). Encouraging the habit of seeing in student teaching. Teaching and Teacher Education, 26(3), 591-598.

Pino-Fan, L., Godino, J. D. y Font, V. (2016). Assessing key epistemic features of didactic-mathematical knowledge of prospective teachers: the case of the derivative. Journal of Mathematics Teacher Education. doi: 10.1007/s10857-016-9349-8.

Pochulu, M. y Font, V. (2011). Analisis del funcionamiento de una clase de matematicas no significativa. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa-RELIME, 14(3), 361-394.

Pochulu, M., Font, V. y Rodriguez, M. (2016). Desarrollo de la competencia en analisis didactico de formadores de futuros profesores de matematica a traves del diseno de tareas. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa-RELIME, 19(1), 71-98.

Ponte, J. P. (1994). O estudo de caso na investigando em educando matematica. Quadrante, 3(1), 3-18.

Posadas, P. y Godino, J. D. (2017). Reflexion sobre la practica docente como estrategia formativa para desarrollar el conocimiento didactico-matematico. Didacticae, 1, 77-96.

Ramos, A. B. (2006). Objetos personales, matematicos y didacticos, del profesorado y cambios institucionales. El caso de la contextualizacion de las funciones en una Facultad de Ciencias Economicas y Sociales. Tesis doctoral no publicada. Universitat de Barcelona, Espana.

Ramos, A. B y Font, V. (2008). Criterios de idoneidad y valoracion de cambios en el proceso de instruccion matematica. Revista Latinoamericana de Investigacion en Matematica Educativa-RELIME, 11(2), 233-265.

Robles, M. G., Del Castillo, A. G. y Font, V. (2012). Analisis y valoracion de un proceso de instruccion de la derivada. Educacion Matematica, 24, 5-41.

Rondero, C. y Font, V. (2015). Articulacion de la complejidad matematica de la media aritmetica. Ensenanza de las Ciencias, 33(2), 29-49.

Ruiz E. (2014). Funcions quadratiques. Tesis de master no publicada. Universitat de Barcelona, Espana.

Seckel, M. J. (2016). Competencia en analisis didactico en la formacion inicial de profesores de educacion general basica con mencion en matematica. Tesis de Doctorado. Universitat de Barcelona, Espana.

Seckel. M. J. y Font, V. (2015). Competencia de reflexion en la formacion inicial de profesores de matematica en Chile. Praxis Educacional, 11(19), 55-75.

Schon, D. A. (1983). The Reflective Practitioner: how professionals think in action, New York: Basic Books.

Star, J. R. y Strickland, S. K. (2008). Learning to observe: using video to improve preservice mathematics teachers' ability to notice. Journal of Mathematics Teacher Education, 11, 107-125.

Sun, J., y van Es, E. A. (2015). An exploratory study of the influence that analyzing teaching has on preservice teachers' classroom practice. Journal of Teacher Education, 66(3), 201-214.

Turner, F. (2012). Using the knowledge quartet to develop mathematics content knowledge: The role of reflection on professional development. Research in Mathematics Education, 14(3), 253-271.

Yin, R. (2001). Estudo de caso: planejamento e metodos. Porto Alegre: Bookman.

Vicenc Fonf ([cruz doble]), Adriana Breda (2), Maria Jose Seckel (3) y Luis Roberto Pino-Fan (4).

(1) Universitat de Barcelona, Barcelona, Espana

(2) Universidad Nacional de Educacion, Azogues, Ecuador

(3) Universidad Catolica del Maule, Talca, Chile

(4) Universidad de Los Lagos, Osorno, Chile

Recibido: 1/Ago/2017; Aceptado: 17/Oct/2018

* Este trabajo se ha realizado en el marco del proyecto de investigacion EDU2015-64646-P (MINECO/FEDER, UE) y Fondecyt No 11150014 (CONICYT, Chile) y es una version revisada y ampliada de la comunicacion presentada en el XXI Simposio se la Sociedad Espanola de Investigacion en Educacion Matematica: Analisis didactico en un trabajo de fin de master de un futuro profesor [14].

([cruz doble]) Autor para correspondencia: vfont@ub.edu

Leyenda: Figura 2. Hexagono de idoneidad (Ruiz, 2014, p. 6).
Cuadro 1. Componentes e indicadores de los criterios de idoneidad.

Componentes                   Indicadores

                              Idoneidad Epistemica

Errores                       * No se observan practicas que se
                              consideren incorrectas desde el punto de
                              vista matematico.

Ambiguedades                  * No se observan ambiguedades que puedan
                              llevar a la confusion a los alumnos:
                              definiciones y procedimientos clara y
                              correctamente enunciados, adaptados al
                              nivel educativo al que se dirigen;
                              adecuacion de las explicaciones,
                              comprobaciones, demostraciones al nivel
                              educativo a que se dirigen, uso
                              controlado de metaforas, etc.

Riqueza de procesos           * La secuencia de tareas contempla la
                              realizacion de procesos relevantes en la
                              actividad matematica (modelizacion,
                              argumentacion, resolucion de problemas,
                              conexiones, etc.).

Representatividad de la       * Los significados parciales
complejidad                   (definiciones, propiedades,
                              procedimientos, etc.) son una muestra
                              representativa de la complejidad
                              contemplada en el curriculo de la nocion
                              matematica que se quiere ensenar.

                              * Los significados parciales
                              (definiciones, propiedades,
                              procedimientos, etc.) son una muestra
                              representativa de la complejidad de la
                              nocion matematica que se quiere ensenar.

                              * Para uno o varios significados
                              parciales seleccionados, muestra
                              representativa de problemas.

                              * Para uno o varios significados
                              parciales seleccionados, uso de
                              diferentes modos de expresion (verbal,
                              grafico, simbolico...), tratamientos y
                              conversiones entre los mismos.

                              Idoneidad cognitiva

Conocimientos previos         * Los alumnos tienen los conocimientos
                              previos necesarios para el estudio del
                              tema (bien se han estudiado anteriormente
                              o el profesor planifica su estudio).

                              * Los significados pretendidos se pueden
                              alcanzar (tienen una dificultad
                              manejable) en sus diversas componentes.

Adaptacion curricular a       * Se incluyen actividades de ampliacion y
las diferencias               de refuerzo.
individuales.

Aprendizaje                   * Los diversos modos de evaluacion
                              muestran la apropiacion de los
                              conocimientos / competencias pretendidas
                              o implementadas.

Alta demanda cognitiva        * Se activan procesos cognitivos
                              relevantes (generalizacion, conexiones
                              intra-matematicas, cambios de
                              representacion, conjeturas, etc.).

                              * Promueve procesos meta-cognitivos.

                              Idoneidad Interaccional

Interaccion                   * El profesor hace una presentacion
docente-discente              adecuada del tema (presentacion clara y
                              bien organizada, no habla demasiado
                              rapido, enfatiza los conceptos clave del
                              tema, etc.).

                              * Se reconocen y resuelven los conflictos
                              de significado de los alumnos (se
                              interpretan correctamente los silencios
                              de los alumnos, sus expresiones faciales,
                              sus preguntas, se hace un juego de
                              preguntas y respuestas adecuado, etc.).

                              * Se busca llegar a consensos con base al
                              mejor argumento.

                              * Se usan diversos recursos retoricos y
                              argumentativos para implicar y captar la
                              atencion de los alumnos.

                              * Se facilita la inclusion de los alumnos
                              en la dinamica de la clase y no la
                              exclusion.

Interaccion entre             * Se favorece el dialogo y comunicacion
discentes                     entre los estudiantes.

                              * Se favorece la inclusion en el grupo y
                              se evita la exclusion.

Autonomia                     * Se contemplan momentos en los que los
                              estudiantes asumen la responsabilidad del
                              estudio (exploracion, formulacion y
                              validacion).

Evaluacion formativa          * Observacion sistematica del progreso
                              cognitivo de los alumnos.

                              Idoneidad Mediacional

Recursos materiales           * Uso de materiales manipulativos e
(manipulativos,               informaticos que permiten introducir
calculadoras, computadoras)   buenas situaciones, lenguajes,
                              procedimientos, argumentaciones adaptadas
                              al significado pretendido.

                              * Las definiciones y propiedades son
                              contextualizadas y motivadas usando
                              situaciones y modelos concretos y
                              visualizaciones.

Numero de alumnos, horario    * El numero y la distribucion de los
y condiciones del aula        alumnos permiten llevar a cabo la
                              ensenanza pretendida.

                              * El horario del curso es apropiado (por
                              ejemplo, no se imparten todas las
                              sesiones a ultima hora).

                              * El aula y la distribucion de los
                              alumnos es adecuada para el desarrollo
                              del proceso instruccional pretendido.

Tiempo (de la ensenanza       * Adecuacion de los significados
colectiva / tutorizacion,     pretendidos /implementados al tiempo
tiempo de aprendizaje)        disponible (presencial y no presencial).

                              * Inversion del tiempo en los contenidos
                              mas importantes o nucleares del tema.

                              * Inversion del tiempo en los contenidos
                              que presentan mas dificultad.

                              Idoneidad Emocional

Intereses y necesidades       * Seleccion de tareas de interes para los
                              alumnos.

                              * Proposicion de situaciones que permitan
                              valorar la utilidad de las matematicas en
                              la vida cotidiana y profesional.

Actitudes                     * Promocion de la implicacion en las
                              actividades, la perseverancia,
                              responsabilidad, etc.

                              * Se favorece la argumentacion en
                              situaciones de igualdad; el argumento se
                              valora en si mismo y no por quien lo
                              dice.

Emociones                     * Promocion de la autoestima, evitando el
                              rechazo, fobia o miedo a las matematicas.

                              * Se resaltan las cualidades de estetica
                              y precision de las matematicas.

                              Idoneidad Ecologica

Adaptacion al curriculo       * Los contenidos, su implementacion y
                              evaluacion se corresponden con las
                              directrices curriculares.

Conexiones intra e            * Los contenidos se relacionan con otros
interdisciplinares            contenidos matematicos (conexion de
                              matematicas avanzadas con las matematicas
                              del curriculo y conexion entre diferentes
                              contenidos matematicos contemplados en el
                              curriculo) o bien con contenidos de otras
                              disciplinas (contexto extra-matematico) o
                              bien con contenidos de otras asignaturas
                              de la etapa educativa).

Utilidad socio-laboral        * Los contenidos son utiles para la
                              insercion socio-laboral.

Innovacion didactica          * Innovacion basada en la investigacion y
                              la practica reflexiva (introduccion de
                              nuevos contenidos, recursos tecnologicos,
                              formas de evaluacion, organizacion del
                              aula, etc.).

Figura 1. Grafica (Ruiz, 2014, p. 15).

Tabla triple:

Dos puntos de dos
parabolas diferentes:
(-2, 4) y (-2, 7)

         f(x)=[x.sup.2]     f(x)= [x.sup.2] + 3

X             f(x)                 f(x)

-2              4                    7
-1              1                    4
0               0                    3
1               1                    4
2               4                    7
COPYRIGHT 2018 Universidad de Costa Rica
No portion of this article can be reproduced without the express written permission from the copyright holder.
Copyright 2018 Gale, Cengage Learning. All rights reserved.

Article Details
Printer friendly Cite/link Email Feedback
Author:Font, Vicenc; Breda, Adriana; Seckel, Maria Jose; Pino-Fan, Luis Roberto
Publication:Ciencia y Tecnologia
Date:Jul 1, 2018
Words:8728
Previous Article:HERRAMIENTAS PARA DESENTRANAR LO QUE ABARCA LA NOCION SIBILINA DE 'HABILIDAD DE APLICAR UN TEOREMA DADO'.
Topics:

Terms of use | Privacy policy | Copyright © 2019 Farlex, Inc. | Feedback | For webmasters