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A Unified Model for Forecasting the Term Structure of the Interest Rates/Um Modelo Unificado para a Previsao da Estrutura a Termo de Taxa de Juros.

1. Introducao

Neste trabalho, e proposta uma nova metodologia para previsao da Estrutura a Termo de Taxas de Juros (ETTJ). Mais precisamente, nosso objetivo e responder a questao: dada a ETTJ numa data qualquer, qual a ETTJ numa data futura? Desse modo, diferentemente da previsao do preco futuro de um ativo qualquer (digamos, uma acao), aqui se trata de fazer a previsao de uma curva inteira, o que implica na necessidade de uma formulacao teorica bastante mais elaborada. Para tanto, o ponto central da presente abordagem consiste na construcao de um modelo "hibrido" para a dinamica da ETTJ (em que por dinamica entendemos a evolucao da curva no tempo). Tal modelo "hibrido" e baseado na utilizacao de uma particular versao do modelo HJM, juntamente com a parametrizacao de Nelson-Siegel-Svensson e uma modelagem independente da taxa de curto prazo, via modelo de Hull-White.

Nao e mister que se diga que o estudo da estrutura a termo de taxa de juros (ETTJ) e de capital importancia pra qualquer pais em qualquer epoca. Em primeiro lugar porque, em ultima analise, ela carrega informacoes sobre o caminho futuro a ser trilhado pela economia de um pais. A ETTJ tem sido utilizada com sucesso nao apenas para prever taxas de curto prazo futuras como tambem na previsao da atividade economica e da inflado. Essas variaveis sao fUndamentais como base para decisoes de investimento, poupanqa, consumo, e de politica para governos, consumidores e firmas.

Entretanto, essas informacoes nao estao disponiveis a olho nu, e preciso de alguma forma extrai-las da ETTJ, o que nao e uma tarefa trivial. Por exemplo, avaliar se em que medida o aumento das taxas de longo prazo e devido a expectativa de aumentos futuros na taxa de curto prazo ou do aumento do premio pelo risco de reter titulos de prazos mais longos. Responder a questoes como essa requer um nivel de sofisticacao de analise raramente igualada em outros campos da Economia. E neste contexto que emergem os modelos de taxas de juros.

De forma geral, pode-se dizer que a construcao de modelos de taxa de juros tem que enfrentar dois desafios. O primeiro diz respeito a correta consideracao das caracteristicas da evolucao temporal das taxas de juros, notoriamente mais complexa que a de outros ativos, tais como acoes ou taxa de cambio: existencia de uma taxa de equilibrio, refletindo a hipotese de equilibrio economico do mercado, inexistencia de valores negativos, reversao ao equilibrio, variancia das flutuacoes altamente dependente do nivel da taxa e do tempo, carater estatistico nao-markoviano, dentre outras. O segundo esta relacionado, em maior ou menor grau, a precificacao de titulos de renda fixa. Neste caso, o modelo deve incluir, de alguma maneira, a "estrutura a termo" de taxas tal qual pode ser observada no mercado, de tal maneira que esses titulos sejam precificados com razoavel realismo.

Nao e de se admirar, portanto, que, enquanto os demais modelos estao bastante proximos da maturidade, os modelos de taxa de juros sao ainda algo controversos. Isso e ainda mais dramatico em se tratando de se fazer 'previsoes' quanto ao comportamento da ETTJ. Em que pese nao se discutir a importancia de se poder estimar uma ETTJ 'futura', muito pouco se tem produzido na literatura academica a esse respeito. Dignos de nota sao os esforqos de Diebold e Li (modelo DL)--(2006) e de Bowsher e Meeks (modelo BM)--(2008). No primeiro caso, e mostrado que uma variante dinamica da parametrizacao de Nelson-Siegel pode ser util para gerar estimativas da yield curve. Por sua vez, o modelo BM introduz o assim chamado "Functional Signal Plus Noise with an Equilibrium Correction Model (FSN-ECM), que se mostrou eficaz para previsoes da yield curve no horizonte de tempo de ate 1 mes. Alem disso, os autores mostram que este modelo supera o DL no curto prazo.

No que toca as economias de paises emergentes, existem poucas chances de que esses modelos venham a se tornar efetivamente uteis, principalmente, pela carencia de dados e pela nitida predominancia de prazos curtos dos titulos.

Em vista desse fato, parece-nos oportuno e justificavel buscar uma alternativa de previsao da ETTJ. Neste sentido, neste trabalho, nosso objetivo e estabelecer uma metodologia unificada que permita uma previsao da ETTJ baseada na utilizacao de uma particular versao do modelo HJM, juntamente com a parametrizacao de Nelson-Siegel-Svensson e uma modelagem independente da taxa de curto prazo, via modelo de Hull-White. Como resultado, esperamos obter expressoes analiticas para quantidades de suma importancia no ambito dos mercados de renda fixa. A titulo de exemplo, serao analisados os principais instrumentos do mercado brasileiro de indice. O texto esta organizado em cinco secqoes, sendo a primeira esta que se conclui aqui. A seccao 2 resume alguns conceitos e considerares fundamentais, imprescindiveis para um bom entendimento de nossa metodologia, que se acha exposta na seccao 3. A seccao seguinte contem os detalhes de uma particular implementacao do metodo ao mercado brasileiro. Por fim a secao 5 e reservada as conclusoes e aos comentarios finais.

2. Conceitos e Considerares Fundamentais

Consideremos uma economia com continous trading' com um infinito intervalo de negociacao.

O contrato basico e um zero-coupon bond (default-free) com maturidade na data T que paga ao portador 1 unidade de caixa em T. Seja P(t,T) denotar o preco desse bond no instante t , com t < T . Portanto, P(T,T) = 1, e exige-se que a seguinte relacao seja verificada:

[mathematical expression not reproducible], (1)

para alguma funcao localmente integravel f(t, *): [t,[infinity]) [right arrow] R (doravante denominada curva forward no instante t).

O numero f(t,T)e a taxa de juros forward no instante t para um titulo livre de risco com data de inicio T > t . No caso particular em que T = t,f(t,t) coincide com a taxa de juros curto prazo.

O Metodo de Nelson-Siegel-Svensson.

Consideremos agora um bonus com uma serie de cupons intermediarios [C.sub.1], [C.sub.2],...,[C.sub.j] que sao pagos respectivamente nos periodos [m.sub.1], [m.sub.2],..., [m.sub.j]} no futuro. No cupom final inclui-se o principal. O preco desse bonus pode ser escrito como:

P = [[SIGMA].sup.J.sub.j=1] [C.sub.j] exp(-[m.sub.j][S.sub.j]) (2)

em que [S.sub.j] e a taxa 'spot' o correspondente prazo do cupom (intervalo de pagamento) [m.sub.j]-. Por definicao, a estrutura a termo de taxas de juros e obtida fazendo-se [S.sub.j] em fundo de [m.sub.j].

Outra relado usada frequentemente entre o preco e os cupons de um dado bonus e a chamada taxa interna de retorno' (TIR), definida como a taxa (y) para a qual se verifica a relado:

P = [[SIGMA].sup.J.sub.j=1] [C.sub.j] exp(-[m.sub.j]y) (3)

A TIR pode ser interpretada como uma taxa media assumindo-se que todos os cupons sao reinvestidos a mesma taxa durante o tempo de vida do bonus, ou, o que e o mesmo, para cada prazo do cupom a 'spot' e a mesma. Em outras palavras, a estrutura a termo e constante (ou, na linguagem de mercado, 'flat').

Como vimos, a TIR reflete apenas o comportamento medio da 'spot' . Alem do mais, a estrutura a termo de taxas 'spot' atual (para o dia de hoje) tem implicares na taxa futura. Alguns autores argumentam que a taxa forward' e igual ao valor esperado da taxa spot' no futuro. Entretanto, essa colocado nao leva em conta os premios pela liquidez, pela maturidade, entre outros. Desse modo, essa interpretacao deve ser vista com cautela.

Parametrizacao de Nelson-Siegel

Do que foi discutido anteriormente, podemos inferir que a estrutura a termo nao pode ser observada diretamente usando os precos dos bonus observados no mercado. Por simplificacao, admitamos que a estrutura a termo e uma fundo continua da maturidade. O primeiro problema com que se defronta e o fato de que, para a construcao dessa curva, dispoe-se apenas de um numero reduzido de pontos, que sao consequencia da existencia de um numero insuficiente de bonus no mercado. Alem do mais, como existem bonus que pagam cupons, nao se pode usar diretamente a equacao (2).

Para contornar essa dificuldade, Nelson e Siegel (1987) propuseram o uso de uma parametrizacao que relaciona as taxas spot' ao prazo do cupom. Os referidos parametros podem ser estimados dos cupons observados no mercado. De acordo com Nelson-Siegel,

[s(m).sub.{}] = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * (1-exp(-m/[[tau].sub.1])/m/[[tau].sub.1]) + [[beta].sub.2] * (1-exp(-m/[[tau].sub.1])/m/[[tau].sub.1]) + exp(-m/[[tau].sub.1])) (4)

e a expressao para a taxa 'spot'. Da definicao de taxa forward, temos, imediatamente,

[f(m).sub.{}] = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * (-m/[[tau].sub.1]) + [[beta].sub.2] * (m/[[tau].sub.1]) * exp(-m/[[tau].sub.1]) (5)

em que {} = {[[beta].sub.0], [[beta].sub.1], [[beta].sub.2], [[tau].sub.1]} representa o conjunto de parametros que determinam a forma das curvas para r e f . E interessante observar que [[beta].sub.0] e [[beta].sub.1] tem interpretares economicas. O primeiro e a taxa de juros de longo prazo (o limite da taxa spot quando m [right arrow] [infinity]. Neste limite, forward e spot devem coincidir). O simetrico de [[beta].sub.1] pode ser interpretacao como o 'spread' entre as taxas de curto e longo prazo (isso vem do fato de que, no limite em que m [right arrow] 0, a 'spot' converge para [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1]). Infelizmente, [[beta].sub.2] e [[tau].sub.0] nao tem interpretacao economica direta, apenas dizem respeito a forma das curvas.

Parametrizacao de Svensson

Na mesma linha de Nelson-Siegel, Svensson (1994) propos o uso de uma parametrizacao um pouco mais flexivel. Sao agora necessarios mais dois parametros, de tal forma que as equacoes sao alteradas, respectivamente, para:

[s(m).sub.{}] = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * (1-exp(-m/[[tau].sub.1])/m/[[tau].sub.1]) + [[beta].sub.2] * (1-exp(-m/[[tau].sub.1])/m/[[tau].sub.1]) + exp(-m/[[tau].sub.1])) + [[beta].sub.3] (1-exp(-m/[[tau].sub.2])/m/[[tau].sub.2]) + exp(-m/[[tau].sub.2])) (6)

e

[f(m).sub.{}] = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * (-m/[[tau].sub.1]) + [[beta].sub.2] * (m/[[tau].sub.1]) * exp(-m/[[tau].sub.1]) [[beta].sub.3] * (m/[[tau].sub.2]) * exp(-m/[[tau].sub.2]) (7)

Nas expressoes anteriores, os parametros sao definicaos como antes, i.e., [beta] ={[[beta].sub.0], [[beta].sub.1], [[beta].sub.2], [[beta].sub.3], [[beta].sub.4], [[beta].sub.5]} em que somente os dois primeiros tem significado economico.

Estimacao dos Parametros

A essencia do processo de estimacao dos parametros consiste em que pode-se definir um 'preco teorico' para o titulo em questao da seguinte forma:

[??] = [[SIGMA].sub.j=1] [C.sub.j]exp{-[m.sub.j] * [S([m.sub.j]).sub.{}]) (8)

, na qual [S([m.sub.j]).sub.{}] e a 'spot' (dada por (4) ou (6) ) para os prazos [m.sub.j]-(ou cupons devido a [m.sub.j]periodos no futuro).

A tecnica mais comum e estimar os parametros resolvendo o seguinte problema de otimizacao:

[[SIGMA].sub.i=1] [([P.sub.i] - [[??].sub.i]).sup.2]}. (9)

em que e [P.sub.i] o preco (observacao) do i-esimo titulo, [[??].sub.i]e o preco (teorico) do mesmo titulo, dado por (8), e N e o numero total de titulos sob consideracao.

Entretanto, esse procedimento tem o inconveniente de gerar erros nao despreziveis quando os prazos sao pequenos, como pode-se facilmente notar. Para evitar esse inconveniente, pode-se usar a TIR e resolver mais uma otimizacao:

[[SIGMA].sub.i=1] [([y.sub.i] - [[??].sub.i]).sup.2]} (10)

em que y e a TIR (observada) dos titulos, ou seja, e obtida por meio da equacao:

P = [[SIGMA].sup.J.sub.j=1] [C.sub.j]exp (-[m.sub.j] * y) (11)

e e a TIR (teorica) dos titulos, calculada atraves da equacao:

[mathematical expression not reproducible] (12)

Os problemas indicados por (9) e (10) podem ser resolvidos por meio de metodos bastante conhecidos, e.g., Minimos Quadrados Ordinarios, Minimos Quadrados Nao-Lineares, Metodo Generalizado dos Momentos ou Maxima Verossimilhanqa. A convergencia, na ampia maioria das situacoes, e rapidamente conseguida.

O modelo Hull-White

O bem conhecido "Modelo Hull-White" (Hull & White, 1990) emergiu para incorporar a dependencia temporal dos parametros (taxa de juros de equilibrio, taxa de reversao ao equilibrio, variancia (volatilidade) da taxa) e teve sucesso em permitir que a 'yield curve' pudesse ser assim considerada. Entretanto, suas desvantagens sao que 1) somente 'deslocamentos paralelos' da yield curve sao permitidos, o que implica que os precos dos Bonds de todas as maturidades sao perfeitamente correlacionados e 2) as taxas de juros sao normalmente distribuidas, o que pode levar a valores negativos desta ultima.

A equacao fundamental do modelo Hull-White e:

dr(t) = [[theta](t) - [beta](t) * r(t)] * dt+[sigma](t) * dW(t) (13)

na qual r(t) e a taxa de juros de curto prazo, [sigma](t), [theta](t), [beta](t) sao funcao nao-aleatorias de t.

Um caso de bastante interesse e aquele para o qual [sigma](t) e [beta](t) sao constantes. Nesta situacao, pode ser provado que 9(t) e relacionado a estrutura a termo inicial observada (em t=0) atraves da relacao:

[theta](t) = [partial derivative]f/[partial derivative]T (0,t)+[beta] * f(0,t) + [[sigma].sup.2]/2[beta] (1 - [e.sup.-2[beta]t]) (14)

Entretanto, para propositos efetivamente praticos, a expressao anterior nao e muito conveniente, pois contem um termo de derivada que aumenta muito os erros observacionais. Para contornar essa dificuldade, tenta-se uma representacao da forma (1):

r(t) = [gamma](0+z(0 (15)

com [gamma](t) deterministico e z(t) satisfazendo:

[mathematical expression not reproducible] (16)

Omitindo os detalhes do calculo, a solunao para [gamma](t)e:

[gamma](t) = f(0, t) + [[gamma].sup.2]/2[[beta].sup.2] (1-[e.sup.-2[beta]t]) (17)

O Modelo Heath-Jarrow-Morton (HJM)

No conhecido modelo Heath-Jarrow-Morton (HJM) (1992), cada processo para a taxa forward [f(t,T).sub.t[member of][0 T]] e representacao como um processo de Ito, baseado num movimento browniano com dimensao fixa e finita, dW. Para uma arbitraria, mas fixa, maturidade T [member of] [R.sub.+], a evolucao de temporal def(t,T) e dada por:

[mathematical expression not reproducible] (18)

ou, em versao diferencial,

df(t,T) = [alpha](t,T) * dt+v(t,T) * dW,t [member of] [0,T] (19)

Existe portanto uma equacao diferencial estocastica apara cada maturidade fixa T.

E bem conhecido que a condicao de nao-arbitragem leva a existencia de uma medida martingal local equivalente Q, que produz uma representacao para o Q-drift de f(t,T), em termos de v:

[mathematical expression not reproducible] (20)

Pode ser provado (2) que se a equacao para a taxa forward e (19) entao a equacao para o preno do titulo e:

dp(t,T) = p(t,T) * {r(t)+A(t,T) + 1/2 [parallel][OMEGA](t,T)[[parallel].sup.2]} * dt+p(t,T) * [parallel][OMEGA](t,T)[parallel] * dW (21)

com:

[mathematical expression not reproducible] (22)

E importante notar que (21) fornece uma descricao generica de uma evolucao livre de arbitragem ao inves do que simplesmente um modelo para taxas de juros. Por causa desse resultado e conveniente e comum descrever a evolucao de/(t,T)sob a medida neutra ao risco Q, que envolve somenteu e a Transformada de Girsanov [??] de W.

A excecao de alguns poucos casos, todo o trabalho de implementacao do HJM e feito numericamente. Pode-se construir uma particular versao do modelo--que se provou bastante util em algumas situacoes praticas--com intervalos de tempo discretos e com um numero finito de estados, no qual a esperanza estatistica e obtida construindo um grande numero de trajetorias para/ a partir de uma versao discreta de (19).

De acordo com as equacoes (19) e (20), em principio, o conhecimento da volatilidade da taxa forward, v(t,[theta]), somente, e suficiente para o calculo de toda evolufao temporal da mesma.

Apesar dessa relativa simplicidade, o problema pode se tornar bastante dificil, pois, para estruturas de volatilidade bastante gerais a dinamica da estrutura a termo pode ser dependente da trajetoria, resultando na impossibilidade de uma representacao markoviana finita. Como consequencia, aten?ao tem sido dada a identificado de restricoes sobre a estrutura da volatilidade que abolissem tais dificuldades. Ademais, essas estruturas devem ser consistentes com a observacao empirica.

Surpreendentemente, existem formas funcionais simples para a volatilidade da taxa forward que garantem a facilidade do tratamento matematico. Considerando as seguintes estruturas para a volatilidade:

v(t,T) = [b.sub.0] + ([a'.sup.0] + [a'.sup.1] * (T--t)) * h(r(t)) [e.sup.-k*(T-t)] (23)

([b.sub.0], [a'.sub.0], [a'.sub.1] e ksao constantes e h(r(t)) e uma fundo da taxa de curto prazo), Bhar e outros (2000) mostraram que uma representacao markoviana finita para a estrutura a termo e possivel se o coeficiente do termo amortecido exponencialmente e um polinomio de grau finito na maturidade T.

3. A Metodologia

Embora os modelos descritos na sedo anterior sejam aparentemente independentes, e de se esperar que, por tratarem basicamente do mesmo assunto, haja alguma estreita relado entre eles. De fato, a equado (21) ja nos da uma pista importante ao incluir explicitamente a taxa de curto prazo na dinamica do pre?o de um titulo obtido pelo modelo HJM. Resta-nos tentar obter a conexao com a parametrizacao de Nelson-Siegel.

Como vimos, a abordagem de Nelson-Siegel nao e apenas uma tarefa simples de ajuste de parametros. Ela contempla importantes conceitos, entre os quais, o "spread" entre as taxas de curto e longo prazo, a propria taxa de longo prazo e a consideracao explicita dos titulos com cupons intermediarios. Portanto, uma vez corretamente determinados os parametros, certamente muita informacao esta disponivel nas curvas forward e spot definidas pelas equacoes (4) e (5). Seria de suma importancia incluir de alguma forma essas informacoes nas equacoes dos modelos de taxa de juros. No que segue, procuraremos derivar uma maneira possivel de se fazer isso.

A Equacao Fundamental da Dinamica da Taxa 'Spot'

Seja, pois, a equacao:

dp(t,T) = p(t,T) * {r(t)+A(t,T) + 1/2 [parallel][OMEGA](t,T)[[parallel].sup.2]} * dt+p(t,T) * [parallel][OMEGA](t,T)[parallel] * dW (24)

na qual vamos admitir que r(t) e uma variavel aleatoria descrita pela equacao:

dr(t) = [[theta](t) - [beta] * r(t)] * dt+[sigma] * d[W.sub.1] (25)

que representa a evolucao temporal da taxa de curto prazo de acordo com o modelo Hull-White com volatilidade e taxa de reversao constantes, por simplificacao.

De (21) temos imediatamente que

d[lnp(t,T)] = (r(t)+A(t,T)}dt+[OMEGA](t,T)dW (26)

Calculemos agora a media dessa ultima expressao:

[bar.d[lnp(t,T)]] = {[bar.7(t)] + [bar.A(t.T)]} dt (27)

na qual a notancao [bar.x] representa a media de x.

A partir desse ponto, faremos uma importante simplificacao, qual seja, admitir que a integral:

[mathematical expression not reproducible]

possa ser avaliada como uma integral deterministica (nao-estocastica). De forma geral, isso e conseguido se se considera que a dependencia temporal da volatilidade pode ser escrita na forma:

v(0,r - t) = [b.sub.0] + ([a'.sub.0] + [a'.sub.1] * (T - t)) * h[r(t=0)] [e.sup.-k*(T-t)].

(isto e, nao ha dependencia explicita de t, mas sim do 'tempo para a maturidade' (T-t)). Equivalentemente, estamos, na pratica, lidando com um HJM 'gaussiano'. Sobre as implicacoes desse fato, falaremos um pouco mais na ultima seccao. Desse modo, a funcao A(t,T) e deterministica e, portanto,

[bar.A(t,T)]=A(t,T)

Integrando, pois, ambos os lados de (27) entre o instante inicial t=0 e o instante t=t, levando-se em conta a simplificacao anterior,

[mathematical expression not reproducible] (28)

Por definicao, os termos do lado esquerdo dessa equacao sao:

[([bar.[lnp(t,T)]]).sub.t] [equivalent to] -(T - t) * [bar.S(t,T)] (29)

[([bar.[lnp(t,T)]]).sub.0) [equivalent to] -T * [bar.S(0,T)] (30)

nas quais [bar.S(t,T)] e a taxa spot media de maturidade T observada no instante t=t e [bar.S(0,T)] e a taxa spot media de maturidade T observada no instante t=0.

Substituindo (29) e (30) em (28),

[mathematical expression not reproducible] (31)

Isolando [bar.S(t,T)], temos (3):

[mathematical expression not reproducible] (32)

Na equacao anterior, a taxa media de curto prazo sera calculada de maneira analoga a descrita para o modelo Hull-White (4). Assim, das equacoes (16), [bar.r(t)] e:

[bar.r(t)] = [gamma](t) + [bar.z(t)] (33)

O segundo termo a direita deve ser obtido a partir da media da primeira das equacoes (16):

dz=(-[beta] * z)dt+[sigma] * dw (34)

Dessa equacao, e bastante plausivel admitir para [bar.z(t)]uma representacao da forma:

[bar.z(t)]=M+[Ne.sup.-[beta]*t] (M, N : constantes) (35)

com a condicao de que [bar.z(t [right arrow] [infinity])] seja finita e [bar.z(0)] = 0.

Tendo em vista as equacoes (17) e (35),

[bar.r(t)] = f(0,t) + [[sigma].sup.2]/2[[beta].sup.2] [(1 - [e.sup.-2[beta]t]).sup.2]+M+[Ne.sup.-[beta]*t] (36)

e, portanto (32) fica:

[mathematical expression not reproducible] (37)

Resta-nos agora ajustar essa expressao para que ela seja simultaneamente consistente com os tres modelos utilizacaos (NelsonSiegel, Hull-White e HJM).

Antes facamos as seguintes abreviantes:

[mathematical expression not reproducible] (38)

E lembrando ainda que

[mathematical expression not reproducible]

E natural, entao, escolhermos (5):

* [bar.S(0, t)] = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * (1-exp(-T/[[tau].sub.1])/(T/[[tau].sub.1])) + [[beta].sub.2] * (1-exp(-T/[[tau].sub.1])/(T/[[tau].sub.1])) - exp(-T/[[tau].sub.1])) (4)

* f(0, t) = [[beta].sub.0] + [[beta].sub.1] * exp(-t/[[tau].sub.1]) + [[beta].sub.2] * (t/[[tau].sub.1]) * exp(-t/[[tau].sub.1]) (5)

As condicoes de contorno para o problema serao assumidas nos limites de t [right arrow] [infinity]e t [right arrow] 0.

Nesses dois limites, vamos admitir como plausiveis as seguintes condicoes:

[mathematical expression not reproducible]

Da equacao (36),

[mathematical expression not reproducible]

do que devemos ter as seguintes equacoes simultaneas:

[mathematical expression not reproducible]

Portanto,

* M = -[[sigma].sup.2]/2[[beta].sup.2], (41)

* N = -[[sigma].sup.2]/2[[beta].sup.2], (42)

E importante tambem notarmos que, sob essas condicoes, a condicao de contorno antes imposta sobre [bar.z(0)] e satisfeita consistentemente, pois:

[bar.z(t)] = [M+Ne.sup.-[beta]*t] [right arrow] [bar.z(0)] = [M+Ne.sup.-[beta]*0] [right arrow] [bar.z(0)] = [[sigma].sup.2]/2[[beta].sup.2] + [[sigma].sup.2]/2[[beta].sup.2] =0

Com essas escolhas, a equacao (38) e escrita:

[bar.S(t,T)] = (T/T-t) * [bar.S(0, T)] + (-1/T-t) * [[I.sub.1](t)+[I.sub.2](t)+[I.sub.3](t)+[I.sub.4](t,i)] (43)

que e a equacao fundamental para a dinamica da taxa 'spot', ou seja, a equacao que determina a estrutura a termo em qualquer instante, dadas, no instante inicial, a estrutura a termo e a estrutura a termo da volatilidade. Mais precisamente, poderiamos dizer que essa equacao e a expressao da taxa 'spot' media que reflete as "expectativas do mercado", uma vez que ela contempla todos os titulos e prazos disponiveis (atraves da parametrizacao de Nelson-Siegel).

4. Exemplos de Aplicado ao Mercado Brasileiro

A titulo de exemplo, nesta parte, serao mostrados alguns resultados da implementacao da metodologia, exclusivamente para mercado nacional de renda fixa. Ela esta dividida como segue. Em primeiro lugar, obteremos os parametros de Nelson-Siegel-Svensson. Na sequencia, a dinamica da taxa 'spot' sera avaliada em alguns horizontes de tempo, para os principais instrumentos do mercado de indice nacional (cupom de IGPM, pre, cupom cambial, cupom de TR e cupom de IPCA).

4.1. A Parametrizacao de Nelson-Siegel-Svensson

Tomando como exemplo os titulos em negociacao em marqo de 2002 (resumidos no Apendice 3), inicialmente, consideremos a parametrizacao de Nelson-Siegel.

Dado um conjunto de valores iniciais dos parametros calcula-se os precos dos titulos por meio de (7). A seguir, faz-se a minimizado (8), encontrando-se uma primeira soludo. Como vimos, essa soludo nao e satisfatoria. Passamos entao a solucao de (11), ou seja, o calculo da TIR 'teorica'.

Como e evidente, essa TIR e funcao dos parametros da taxa spot'. Deve-se notar tambem que os valores que acabamos de obter para ela sao funqoes do conjunto de parametros conseguidos na resolucao da primeira otimizacao. Esse resultado deve ser refinado. Para tanto, passa-se a otimizacao dada por (9), ou seja,

[mathematical expression not reproducible]

cuja solucao fornece, finalmente, o conjunto de parametros { } = {[[beta].sub.0], [[beta].sub.1], [[beta].sub.2], [[tau].sub.1]} que, em principio, e a solucao do problema. Os resultados da computacao acham-se resumidos na tabela IV. De maneira exatamente analoga ao caso supra especificacao, obtivemos as curvas para o caso da parametrizacao de Svensson. Os resultados sao resumidos na tabela II. A figura 2 mostra a comparacao entre as diferentes curvas.

A figura 1 mostra os resultados finais.

4.2. A Estrutura da Volatilidade da taxa Forward

Como vimos, de acordo com (23) a estrutura da volatilidade depende da especificacao do funcional h(r(t)) . Por razoes de simplificacao, vamos tomar o mais simples deles, isto e, um funcional linear:

h(r(t)) = [[mu].sub.1]r(t) + [[mu].sub.2] [[mu].sub.1], [[mu].sub.2] [right arrow] ctes

Com essa especificacao, (23) se escreve:

v(0,T - t) = [b.sub.0] + ([a'.sub.0] + [a'.sub.1] * (T - t)) * [[[mu].sub.1] r(t=0) + [[mu].sub.2]] [e.sup.-k*(T-t)]

De (15), (16), (17) e (41) temos, para t=0 (instante de avaliado da volatilidade),

r(0)=[gamma](0)=f(0,0)=[[beta].sub.0]+[[beta].sub.1]

e, portanto,

v(0,T)=[b.sub.0] + ([a'.sub.0] + [a'.sub.1] * T) * [[[mu].sub.1]([[beta].sub.0]+[[beta].sub.1]) + [[mu].sub.2]] [e.sup.-k*T]

De posse dos dados do Apendice 3, a estrutura a termo da volatilidade da taxa forward (volatilidade da taxa com respeito aos vertice da ETTJ (1,21,42,63,84,105,126,252 e 504) foi estimada como o desviopadrao dos retornos diarios observados das respectivas taxas (no periodo analisado (dez/1997 a maio/2001). A seguir, atraves de um ajuste por minimos quadrados ordinarios, foram obtidos os parametros da equacao para v(0,T) . Os resultados sao mostrados na tabela III (6).

4.3. A dinamica da taxa spot'

Sem duvida, a equacao (43) e a equacao fundamental da metodologia desenvolvida. A utilizacao pratica dessa equacao pressupoe a avaliacao de no minimo 12 parametros: 4 da parametrizacao de Nelson'Siegel {[[beta].sub.0], [[beta].sub.1], [[beta].sub.2], [[tau].sub.0]} 2 da modelagem da taxa de curto prazo {[sigma], [beta]]e 6 da versao utilizada do modelo HJM {[a'.sub.0], [a'.sub.1], [b.sub.0], k, [[mu].sub.1], [[mu].sub.2]}.

Supondo, por simplificacao, que nenhum novo titulo tenha sido emitido no prazo analisado, as tabelas seguintes resumem os valores tipicos dos parametros para cada parametrizacao (determinados na data t=0).

a) Parametrizacao de Nelson-Siegel:
Tabela 3--NBC-E e NTN-D (tempo em anos)

Parametro            Valor Final    Parametro     Valor Final

[[beta].sub.0] (*)     0,1216       [a'.sub.0]     -0,00715
[[beta].sub.1] (*)     -0,0714      [a'.sub.1]      0,46271
[[beta].sub.2] (*)     -0,1843      [b.sub.0]       0,01061
[[tau].sub.1] (*)      0,3970           k            19,57
[sigma] (**)           0,1465      [[mu].sub.1]     0,03733
[beta] (**)            1,2955      [[mu].sub.2]     0,64910

(*) Extraidos de Franklin Jr. et al (2011).

(**) Extraidos de Almeida, Yoshino, & Shirmer (2003).

Tabela 3--NBC-E e NTN-D (tempo em anos)

Parametro            Valor Final    Parametro     Valor Final

[[beta].sub.0] (*)     0,1216       [a'.sub.0]     -0,00715
[[beta].sub.1] (*)     -0,0714      [a'.sub.1]      0,46271
[[beta].sub.2] (*)     -0,1843      [b.sub.0]       0,01061
[[tau].sub.1] (*)      0,3970           k            19,57
[sigma] (**)           0,1465      [[mu].sub.1]     0,03733
[beta] (**)            1,2955      [[mu].sub.2]     0,64910

(*) Extraidos de Franklin Jr. et al (2011).

(**) Extraidos de Almeida, Yoshino, & Shirmer (2003).


b) Parametrizacao de Svensson:
Tabela 6--Cupom de IPCA (tempo em anos)

Parametro            Valor Final    Parametro     Valor Final

[[beta].sub.0] (*)     0,04829      [beta] (**)     1,2955
[[beta].sub.1] (*)    -0,03660      [a'.sub.0]     -0,003575
[[beta].sub.2] (*)     0,07895      [a'.sub.1]      0,2313
[[beta].sub.3] (*)     0,02163      [b.sub.0]       0,0054
[[tau].sub.1] (*)      0,5329           k            27,75
[[tau].sub.2] (*)      5,1891      [[mu].sub.1]     0,03733
[sigma] (**)           0,1465      [[mu].sub.2]     0,64910

Tabela 7--Pre (tempo em anos)

Parametro           Valor Final    Parametro     Valor Final

[[beta].sub.0] (*)     0,11054      [beta] (**)     1,2955
[[beta].sub.1] (*)    -0,00967      [a'.sub.0]     -0,003575
[[beta].sub.2] (*)    -0,66457      [a'.sub.1]      0,2313
[[beta].sub.3] (*)     0,68617      [b.sub.0]       0,0054
[[tau].sub.1] (*)      0,4265           k           27,75
[[tau].sub.2] (*)      0,4374      [[mu].sub.1]     0,03733
[sigma] (**)           0,1465      [[mu].sub.2]     0,64910

(*) Extraidos de Franklin Jr. et al (2011).

(**) Extraidos de Almeida, Yoshino, & Shirmer (2003).

Tabela 8--Cupom de IGPM (tempo em anos)

Parametro            Valor Final    Parametro     Valor Final

[[beta].sub.0] (*)    0,005530      [beta] (**)     1,2955
[[beta].sub.1] (*)    -0,00900      [a'.sub.0]     -0,003575
[[beta].sub.2] (*)    -0,07376      [a'.sub.1]      0,2313
[[beta].sub.3] (*)     0,03288      [b.sub.0]       0,0054
[[tau].sub.1] (*)      0,09261          k            27,75
[[tau].sub.2] (*)      0,6062      [[mu].sub.1]     0,03733
[sigma] (**)           0,1465      [[mu].sub.2]     0,64910

(*) Extraidos de Franklin Jr. et al (2011).

(**) Extraidos de Almeida, Yoshino, & Shirmer (2003).


De posse desses parametros, a equacao (43) foi avaliada em alguns intervalos de tempo para os diversos indices. Os resultados estao mostrados no Apendice 1.

c) A dinamica "real" da ETTJ

A Figura 3 foi extraida de um jornal especializado de grande circulacao e mostra um exemplo "real" da evolucao temporal da ETTJ. Como dissemos no inicio, nao e escopo deste trabalho fazer uma avaliacao empirica detalhada da evolucao da ETTJ, ja que e evidente que esta importante questao merece um trabalho exclusivo, a ser feito num futuro proximo. Contudo, e nossa opiniao que essa figura atesta a plausibilidade e efetividade da presente abordagem, como pode-se facilmente verificar cotejando-a diretamente com as curvas "teoricas" do Apendice. I.

5. Conclusoes e Comentarios

Como a experiencia indica, os modelos de taxa de juros, na ampia maioria das vezes, diferentemente dos de acoes, enfrentam graves entraves no ambito de sua aplicacao efetivamente pratica. Grosso modo, cada um deles e razoavel para aplicares praticas somente em algum aspecto. Assim, por exemplo, a parametrizacao de Nelson-Siegel-Svensson traz muita informacao do mercado como um todo por contemplar explicitamente todos os titulos em negociacao. Por outro lado, tem a seria desvantagem de nao considerar nenhuma dinamica. O modelo Hull-White, por sua vez, trata bem a dinamica, mas apenas da taxa de curto prazo. O modelo HJM foi sem duvida um grande avanzo, mas sua implementacao, alem de dificil, pressupoe informacoes adicionais sobre a estrutura a termo.

Frente a realidade de que, pelo menos por enquanto, e pouco provavel que um unico arcabouqo teorico possa abarcar, com bastante efetividade, todas as situacoes encontradas no dia-a-dia dos mercados, a abordagem desenvolvida aqui, embora nao desfrute do status de uma teoria propriamente dita, pode ser util, uma vez que tira proveito, pelo menos em tese, do que ha de mais efetivo em cada um dos modelos em particular.

Na sequencia, teceremos pequenos comentarios adicionais a respeito das aplicacoes realizadas, na ordem em que foram apresentadas.

Em primeiro lugar, os detalhes da parametrizacao de NelsonSiegel-Svensson parecem evidentes por si mesmos. Devemos notar que, para a grande maioria das situacoes, a parametrizacao de Nelson-Siegel e suficiente, fato porque foi a que utilizamos, reduzindo o numero de parametros.

Uma questao importante a se mencionar diz respeito a importancia da modelagem da taxa de curto prazo para a implementacao final do modelo. Essa modelagem depende de dois parametros que podem ser tomados de uma implementacao do modelo Hull-White sem grande erro, tal como fizemos. Evidentemente, e o conhecimento da volatilidade da estrutura a termo a chave para que o modelo faqa um bom trabalho em estimar as curvas futuras. E bom lembrar que aqui advogamos o uso de uma volatilidade nao-estocastica. Mas, e evidente que um modelo com volatilidade estocastica traria mais realismo as aplicares, embora nao sem um trabalho numerico maior, tipico das implementacoes do HJM.

Para finalizar, devemos reiterar que as evidencias empiricas apontadas aqui devem ser vista tao-somente como indicativas da plausibilidade da presente abordagem. Uma mais completa avaliacao empirica foi deixada para um futuro trabalho.

Referencias

Almeida, L., Yoshino, J. e Shirmer, P. (2003). Derivativos de taxas de juros no Brasil: Modelo Hull-White. Pesquisa e Planejamento Economico, 33 (2): 299-333.

Bhar, R., Chiarella, C., El-Hassan, N. e Zheng, X. (2000). Reduction of forward rate dependent HJM models to Markovian form: Pricing European bond options. Journal of Computational Finance, 3: 4772.

Bowsher, C. G. e Meeks, R. (2008). The Dynamics of Economic Functions: Modeling and Forecasting the Yield Curve. Journal of American Statistical Association), 103: 1419-1433.

Diebold, F. X. e Li, C. (2006). Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, 127 (2): 337-364.

Franklin Jr. et al. (2011). A estrutura a termo de taxas de juros no Brasil: modelos, estimacao, interpolacao, extrapolacao e testes. Disponivel em: http://www.susep.gov.br/setores susep/cgsoa/coris/dicem/arquivosettj/1artigo_ETTJ_CORIS_14042011.pdf

Froot, K. A. (1989). New Hope for the Expectations Hypothesis of the Term Structure of Interest Rates. Journal of Finance, 44: 283-304.

Heath, D., Jarrow, R. e Morton, A. (1992). Bond Pricing and the Term Structure of the Interest Rates: A New Methodology. Econometrica, 60 (1): 77-105.

Hull, J.C. e White, A. (1990). Pricing Interest Rate Derivatives Securities. Review of Financial Studies, 3: 573-592.

Nelson, C. R. e Siegel, A. (1987). Parsimonious Modeling of Yield Curves. Journal of Business, 60 (4): 473-489.

Svensson, L. E. O. (1994). Estimating and Interpreting Forward Interest Rates Sweden 1992-1994. Working Paper, n. WP/94/114 IMF, Washington, D.C.

Apendice 1

Apendice 2

Calculo das integrais I1, I2, I3 e I4

I1: [mathematical expression not reproducible]

I2: [mathematical expression not reproducible]

I3: [mathematical expression not reproducible]

I4: [mathematical expression not reproducible]

com

[mathematical expression not reproducible]

Apendice 3 - Dados Empiricos
Tabela A1--NTN-D

Titulo   Vencimento

NTN-D    01/10/2002
NTN-D    19/06/2002
NTN-D    01/07/2002
NTN-D    07/08/2002
NTN-D    17/10/2002
NTN-D    19/03/2003
NTN-D    17/07/2003
NTN-D    10/03/2004
NTN-D    15/07/2004
NTN-D    13/10/2004
NTN-D    10/11/2004
NTN-D    20/01/2005
NTN-D    13/10/2005
NTN-D    15/03/2006
NTN-D    20/09/2006
NTN-D    07/05/2003
NTN-D    16/07/2008

Tabela A2--NBC-E

Titulo   Vencimento

NBC-E    12/12/2002
NBC-E    17/072003
NBC-E    14/10/2004
NBC-E    11/04/2002
NBC-E    16/01/2003
NBC-E    08/05/2002
NBC-E    14/03/2002
NBC-E    25/07/2002
NBC-E    11/07/2002
NBC-E    18/12/2003
NBC-E    12/08/2004
NBC-E    15/12/2004
NBC-E    16/05/2002
NBC-E    13/06/2002
NBC-E    18/04/2002
NBC-E    15/08/2002
NBC-E    14/11/2002
NBC-E    15/04/2004
NBC-E    18/07/2002
NBC-E    11302/2003
NBC-E    08/05/2002
NBC-E    12/06/2003
NBC-E    15/05/2003
NBC-E    17/04/2003
NBC-E    14/08/2003


Ailton Cassettari *

Jose R. Chiappin **

Submetido em 21 de margo de 2016. Reformulado em 17 de agosto de 2016. Aceito em 25 de junho de 2018. Publicado online em 11 de julho de 2018. O artigo foi avaliado segundo o processo de duplo anonimato, alem de ser avaliado pelo editor. Editor responsavel: Marcio Laurini.

* Caixa Economica Federal e Departamento de Economia/FEA-USP. Sao Paulo, SP, Brasil. E-mail: ailton.c.junior@caixa.gov.br

** Departamento de Economia/FEA-USP. Sao Paulo, SP, Brasil. E-mail: chiappin@usp.br

(1) Peter Carr--Interest Rate Models: Hull-White (Notas da conferencia do Courant Institute -30 de marco de 2005 (disponivel com os autores).

(2) Thomas Bork--'Interest Rate theory--An introduction' (disponivel com os autores).

(3) Deve ser notado que estamos supondo sempre T > t. No limite T [right arrow] t, temos simplesmente que a taxa da equacao (33) se reduz a taxa de curto prazo.

(4) O grifo e de suma importancia, pois, em ultima analise, nao estamos utilizando este modelo aqui. Devemos lembrar que a modelagem da taxa de curto prazo esta intrinsecamente ligada a metodologia como um todo, como sera visto na sequencia.

(5) Preferimos a parametrizacao de Nelson-Siegel, mas, como e obvio, poderiamos tambem ter usado a de Svensson.

(6) Nas demais tabelas, esses mesmos parametros sao meras estimativas plausiveis dos valores efetivos (que nao foram calculados nestes casos).

Caption: Figura 1--Parametrizacao de Nelson-Siegel (tabela 1)

Caption: Figura 2--Parametrizacao de Svensson (Tabela 2)

Caption: Figura 3--Um exemplo da evolucao temporal "real" da ETTJ (jornal Valor Economico, maio de 2015)

Caption: Figura A1--Resultados das Simulares da Equacao (43)

Caption: Apendice 3--Dados Empiricos
Tabela 1--Parametrizacao de Nelson-Siegel

Valores Iniciais         Valores Finais

[[beta].sub.0] = 0.12    [[beta].sub.0] = 0,1216
[[beta].sub.1] = -0.09   [[beta].sub.1] = -0,0714
[[beta].sub.2] = -0.1    [[beta].sub.2] = -0,1843
[[tau].sub.1] = 100      [[tau].sub.0] = 100,05

Tabela 2--Parametrizacao de Svensson

Valores Iniciais              Valores Finais

[[beta].sub.0] = 0.12    [[beta].sub.0] = 0.1260
[[beta].sub.1] = -0.09   [[beta].sub.1] = -0.0759
[[beta].sub.2] = -0.1    [[beta].sub.2] = 0,8645
[[beta].sub.2] = -0.1    [[beta].sub.3] = -1,0359
[[tau].sub.1] = 150       [[tau].sub.1] = 132,18
[[tau].sub.2] = 100       [[tau].sub.2] = 127,62
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Article Details
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Author:Cassettari, Ailton; Chiappin, Jose R.
Publication:Revista Brasileira de Financas
Date:Apr 1, 2018
Words:6325
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