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Modelagem nao linear da extracao de zinco de um solo tratado com lodo de esgoto.

Introducao

Os efeitos toxicologicos de elementos-traco, como cadmio, cromo, zinco, entre outros, em humanos sao bem conhecidos, todavia a possibilidade de se realizar predicoes da disponibilidade desses elementos para plantas a partir da extracao do solo de forma confiavel tem sido dificil de se concretizar (GARRET et al., 1998). Alguns modelos de predicao para se estimar a absorcao de elementos-traco por plantas tem sido usados para essa finalidade (KOO et al., 2006). Entretanto, avaliacoes da relacao entre uma variavel dependente, como a concentracao de um elementotraco extraido de um solo, com uma ou mais variaveis independentes, como o numero de extracoes realizadas ao longo do tempo, podem ser realizadas por meio dos modelos de regressao lineares ou nao-lineares (MAZUCHELI; ACHCAR, 2002). Tais modelos sao equacoes matematicas que podem ser ajustadas a resultados experimentais para se avaliar ou predizer fenomenos observados e auxiliar no desenvolvimento de praticas adequadas de manejo de solo (PEREIRA et al., 2005).

Em qualquer tipo de modelagem, alem do ajuste realizado, e necessario fazer inferencias sobre os parametros em estudo. A inferencia nos modelos nao-lineares ocorre por aproximacao em Serie de Taylor na regiao proxima as estimativas, e essa aproximacao pode ser considerada boa ou ruim dependendo do modelo a ser estudado, delineamento experimental e conjunto de dados. As propriedades dos estimadores nao-lineares, obtidos por metodos iterativos, como, por exemplo, o metodo de Gauss-Newton, sao semelhantes as dos modelos lineares quando o tamanho da amostra e suficientemente grande (BATES; WATTS, 1988). No entanto, para amostras pequenas, estas propriedades podem nao ser 'herdadas' e os resultados numericos apresentados pela maioria dos softwares estatisticos nao terao validade inferencial com respaldo na teoria, tendo em vista que as propriedades de estimacao nao-linear sao somente validas assintoticamente.

Para quantificar o quao distante a modelagem nao-linear esta em herdar as propriedades ja existentes em regressao linear, Bates e Watts (1980) formularam uma metodologia capaz de medir matematicamente este distanciamento. Outros estudos sobre o tema ja haviam sido realizados (e.g., BEALE, 1960; BOX, 1971). No entanto, a metodologia proposta por Beale (1960) tendia a apresentar que um modelo esta proximo de ser linear, mesmo quando um distanciamento consideravel estava presente enquanto a apresentada por Box (1971) se preocupava apenas com o vies dos estimadores nao-lineares.

Quando as hipoteses da aproximacao linear assintotica no modelo de regressao nao- linear se tornam questionaveis, possivelmente pelo tamanho reduzido da amostra ou pela curvatura excessiva da superficie-resposta, a tecnica bootstrap de estimacao se torna atrativa, nao somente como alternativa para o processo inferencial, mas tambem como ferramenta de diagnostico (SOUZA, 1998). Desse modo, torna-se possivel estudar as propriedades distribucionais dos estimadores de minimos quadrados a partir de simulacoes, que, para Ratkowsky (1983), e a melhor maneira de analisalas, sugerindo, para isso, o uso do bootstrap parametrico.

Na metodologia da aproximacao linear, as medidas de curvatura e a tecnica bootstrap podem ser aplicadas em pesquisas que possuam parametros nao-lineares, que precisam ser avaliados estatisticamente para a obtencao de resultados inferenciais validos e confiaveis para a realizacao de predicoes em longo prazo, como aqueles capazes de fornecer informacoes sobre a concentracao de elementos-traco nos solos, principalmente aqueles tratados com residuos, e sua potencial disponibilidade para as plantas (ANDERSON, 1975). A disponibilidade potencial de elementostraco em longo prazo de solos tratados com lodo de esgoto pode ser estimada, com auxilio de modelos nao-lineares, em estudos de extracoes sucessivas com o uso de misturas de acidos organicos que imitam a composicao da rizosfera de plantas (KOO et al., 2006; PIRES et al., 2007).

No presente estudo foram avaliadas as aproximacoes lineares obtidas pelos metodos iterativos de um modelo usado para descrever a extractabilidade de zinco de solos tratados com lodo de esgoto por sete extratores. Foram analisadas as propriedades estatisticas dos estimadores, tais como curvatura da superficie resposta, normalidade dos erros e vies. Alem disso, foram determinados intervalos de confianca, estimativas de erros-padrao e bandas de confianca para as respostas esperadas. Para o estudo da nao-linearidade do modelo foi considerada a metodologia de Bates e Watts (1980) e a tecnica bootstrap parametrico (SOUZA, 1998; RATKOWSKY, 1983) para avaliacao e diagnostico.

Material e metodos

Os dados deste trabalho provem de experimentos realizados nos Laboratorios de Ciencias Ambientais da Universidade da California, em Riverside, EUA, entre os anos de 2003 e 2004. Amostras de solo usado neste experimento--classificado como Kandiudox--foram coletadas de um experimento realizado em Jaguariuna, Estado de Sao Paulo, Brasil, 22[grados]41'S, 47[grados]W. Estas amostras foram analisadas para se avaliar suas caracteristicas fisicas e quimicas: p[H.sub.H2O] = 5,5; [Ca.sup.2+], [Mg.sup.2+] e [Al.sup.3+] (1 mol [L.sup.-1] KCl) = 27,5; 8,5 e 1 [mmol.sub.c] [dm.sup.-3], respectivamente; P (Mehlich I) = 3,5 mg [dm.sup.-3]; [K.sup.+] = 1,51 [mmol.sub.c] [dm.sup.-3]; acidez titulavel extraida com 0,5 mol [L.sup.-1] de acetato de calcio com pH 7.0 ([H.sup.+][Al.sup.3+]) = 35 [mmol.sub.c] [dm.sup.-3], materia organica (metodo Walkley--Black) = 25,5 g [kg.sup.-1]; argila = 450 g [kg.sup.-1].

Um lodo de esgoto obtido da Estacao de Tratamento de Lodo de Esgoto da cidade de Franca, Estado de Sao Paulo, Brasil, foi aplicado uma vez ao ano durante cinco anos consecutivos. As doses aplicadas a cada ano foram: 24,11; 26,03; 30,13; 35,45 e 34,80 t [ha.sup.-1] massa seca, respectivamente, acumulando 150,53 t [ha.sup.-1]. Amostras do solo tratado com lodo de esgoto foram coletadas e digeridas, utilizando-se o metodo da agencia de protecao ambiental dos Estados Unidos, USEPA 3052 (HCl-HN[O.sub.3]-HF, digestao por micro-ondas). A concentracao total do elemento-traco Zn foi de 71,74 mg [kg.sup.-1].

Sete extratores foram usados para se extrair, sucessivamente, os elementos-traco das amostras de solo. Quatro extratores foram compostos por acidos organicos de baixo peso molecular (0,1 [mol.sub.c] [L.sup.-1]): i) mistura de acidos organicos modificada (MOAS); ii) mistura de acidos organicos simplificada (SOAS); iii) acido latico e iv) acido acetico. Os extratores usados nas analises de rotina: v) Mehlich I (NELSON et al., 1953); vi) acetato de amonio--N[H.sub.4]OAc (URE et al., 1993) e vii) DTPA (LINDSAY; NORVELL, 1978) foram tambem utilizados para extracao dos elementos-traco.

Os extratores compostos de acidos organicos e os de analise de rotina foram utilizados para, sucessivamente, extrair-se os elementos-traco do solo. A tendencia da remocao cumulativa do metal com respeito ao numero de extracoes foi ajustada por um modelo de cinetica de primeira ordem (modelo exponencial de elevacao maxima), em que a dessorcao cumulativa de um ion das particulas do solo e dada por (BERMOND; GHESTEM, 2001):

[C.sub.t] = [C.sub.l] (1 - [e.sup.-kt])

em que:

A variavel resposta [C.sub.t] representa os metais cumulativos removidos (mg [kg.sup.-1]) para a extracao t; o parametro [C.sub.l] e a quantidade de metal extraido ate o equilibrio (mg [kg.sup.-1]); a variavel independente t e o numero de extracoes ([epsilon]); o parametro k e uma constante positiva, representando a taxa de extracao ([[epsilon].sup.-1]), ou seja, a constante k indica a velocidade com que a extracao e realizada.

Para as analises estatisticas, foi considerado o erro aditivo ([[xi].sub.t]):

[C.sub.t] = [C.sub.l] (1 - [e.sup.-kt]) + [[xi].sub.t] (2)

com [[xi].sub.t] sendo o erro aleatorio identicamente, normal e independentemente distribuido, com media zero e variancia constante [[sigma].sup.2].

O delineamento experimental foi o inteiramente ao acaso com tres repeticoes. As extracoes sucessivas representaram os tratamentos. Para a estimacao dos parametros do modelo nao-linear foi utilizada a metodologia estatistica classica, com o uso do metodo iterativo de Gauss-Newton (BATES; WATTS, 1988). As bandas de confianca aproximada para as respostas esperadas, a regiao de confianca conjunta para os parametros, os intervalos de confianca marginais, as estimativas para os parametros, o coeficiente de determinacao e os graficos foram calculados, utilizando-se rotina ou procedimento especifico desenvolvidos para o software R versao 2.7.0.

Com o objetivo de se investigar a nao-linearidade do modelo, foi utilizada a medida de curvatura de Bates e Watts (1980), ja implementada no software R versao 2.7.0, que serve para indicar o quao distante esta um modelo nao-linear de um modelo linear. Os resultados da medida de curvatura sao considerados proximos a linear quando os valores dessas medidas nao ultrapassarem 0,2 (BATES; WATTS, 1980).

Quando o modelo apresenta uma curvatura excessiva da superficie-resposta, a simulacao bootstrap e recomendada para a validacao ou nao dos resultados (SOUZA, 1998; MAZUCHELI; ACHCAR, 2002). No estudo de simulacao, o 'verdadeiro' valor de C, , k e [[sigma].sup.2] foi considerado como suas estimativas de minimos quadrados [[??].sub.l], [??] e [[??].sup.2]. Cada conjunto de dados consistiu de 45 pares de elementos: ([t.sub.1], [C.sub.1]), ([t.sub.2], [C.sub.2]), ([t.sub.45], [C.sub.45]), e, respectivamente, os erros [[xi].sub.1], [[xi].sub.2] , [[xi].sub.45]) foram obtidos pseudo-aleatoriamente pelo software computacional R versao 2.7.0. Esse novo conjunto de dados foi, entao, ajustado pelos minimos quadrados para a obtencao de uma 'nova' estimativa de [C.sub.l] e k. Cinco mil conjuntos de dados do mesmo modo foram gerados e forneceram 5.000 estimativas [[??].sup.*.sub.l] e [[??].sup.*] de [[??].sub.l] e [??] (parametros na simulacao).

Com essas 5.000 estimativas foram construidos histogramas de distribuicao de frequencia, calculados o vies e os intervalos de confianca bootstrap. Foram tambem encontrados os primeiros quatro momentos amostrais centrados na media dessas 5.000 estimativas e as quantidades derivadas deles para serem apresentadas em tabelas, com o objetivo da realizacao do teste de assimetria e de curtose assintotico. Os momentos amostrais foram obtidos com o uso da formula (MOOD et al., 1974):

[m.sub.r] = [n.suma de (t=1)][([X.sub.i] - [barra.X]).sup.r]/n (3)

em que:

n = 5000 , [X.sub.i] - [barra.X] e o desvio de cada estimativa em relacao a media bootstrap e [m.sub.r] o r-esimo momento amostral. Com base nos momentos amostrais, foram calculadas as quantidades de interesse [g.sub.1] = [m.sub.3]/[m.sup.3/2.sub.2] para se avaliar a assimetria e [g.sub.2] = [m.sub.4]/[m.sup.2.sub.2] - 3 para se avaliar o excesso de curtose. Os testes foram realizados tendo em vista que [g.sub.1] [??] N (0,[(6/5000).sup.1/2]) e [g.sub.2] [??] N(0,[(24/5000).sup.1/2]) (SNEDECOR; COCHRAN, 1980).

O vies bootstrap e a diferenca entre as medias dos valores obtidos via simulacao e os valores [[??].sub.l] e [??]. O resultado do vies bootstrap foi apresentado percentualmente e testado com base na distribuicao exposta em Souza (1998), adaptada para o estudo da seguinte forma:

[EXPRESION MATEMATICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII] (4)

Os intervalos de confianca bootstrap foram gerados por meio do metodo percentil t. Este metodo tem por base, unicamente, os quantis e outras medidas da distribuicao bootstrap do estimador de interesse (SOUZA, 1998).

Resultados e discussao

A analise dos dados obtidos pelas extracoes sucessivas de zinco das amostras de solo permitiu verificar que todos os parametros do modelo foram significativos, pois se encontravam dentro do intervalo de confianca assintotico de 95% que, por sua vez, nao incluia a constante zero (Tabela 1).

O coeficiente de determinacao obtido com o ajuste dos dados de extracao sucessiva de zinco pelos extratores acido acetico, latico, Mehlich I, MOAS, N[H.sub.4]OAc e SOAS sao considerados elevados. O extrator DTPA apresentou, dentre todos os extratores, o menor coeficiente de determinacao ([R.sup.2] = 52%).

Todos os valores das correlacoes entre os parametros foram negativos, indicando que, se determinado extrator tem elevada taxa de extracao, entao, a quantidade de metal extraido deve se estabilizar com menos extracoes.

Pelo estudo da nao-linearidade do modelo para cada conjunto de dados foi possivel avaliar o quao distante estao as propriedades dos estimadores nao-lineares de suas propriedades assintoticas, ou seja, o quao proximo esta um modelo nao-linear de um modelo linear (Tabela 2). A curvatura intrinseca foi menor do que 0,1 para todos os extratores, indicando que o local da solucao na vizinhanca das estimativas e relativamente plano ([aproximadamente igual to] 95%), segundo Bates e Watts (1988).

A curvatura de efeito parametro apresentou resultado entre 0,1 e 0,3 para os dados de Zn obtidos pela extracao sucessiva do solo por todos os extratores, exceto para o N[H.sub.4]OAc, que foi de 0,92 (Tabela 2). Esse resultado indica que, segundo Bates e Watts (1988), para os extratores: acetico, DTPA, latico, Mehlich I, MOAS e SOAS, a aproximacao das 'coordenadas uniformes' e em torno de 90% para um modelo linear. Isso significa que a disposicao com que os parametros aparecem no modelo nao prejudica demasiadamente as inferencias pela aproximacao linear, mesmo que o tamanho da amostra seja pequeno.

O ajuste dos dados obtidos com o uso do extrator N[H.sub.4]OAc apresentou curvatura intrinseca de valor considerado baixo, segundo Bates e Watts (1988), indicando que a superficie de resposta esperada e proxima de um plano na vizinhanca das estimativas. No entanto, o ajuste dos dados por este extrator resultou em uma curvatura de efeito parametro mais elevada que pelos outros extratores, indicando que: ou a disposicao com que os parametros aparecem no modelo e inadequada, ou que o modelo pode ser inadequado para este conjunto de dados. Assim, como as propriedades dos estimadores referentes a este modelo neste conjunto de dados estao muito distantes em relacao as propriedades dos estimadores lineares, as inferencias obtidas, via aproximacao linear e teoria assintotica, podem ser consideradas invalidas para este extrator.

Como os resultados inferenciais para o ajuste dos dados obtidos com o uso do extrator N[H.sub.4]OAc podem ser questionados pelo excesso de curvatura, a tecnica bootstrap de estimacao pode ser empregada, neste conjunto de dados, como recomendado por Souza (1998) e Ratkowsky (1983). Tanto a media ou a estimativa bootstrap bem como os intervalos de confianca para os parametros apresentaram resultados semelhantes aos apresentados pela metodologia da aproximacao linear (Tabela 3). A assimetria do parametro [C.sub.l] apresentou resultados significativos. Com isso, as estimativas podem seguir uma distribuicao nao-normal. O vies para os parametros [C.sub.l] e k foi inferior a 1%, considerado baixo e validando as inferencias (RATKOWSKY, 1983).

O grafico das estimativas dos parametros apresentou semelhanca com a distribuicao normal (Figura 1), apesar de o teste de assimetria ter apresentado resultado significativo (Tabela 3). Ha, portanto, evidencias visuais, segundo a metodologia bootstrap, demonstrando que nao se pode rejeitar a hipotese de normalidade.

Desta forma, a tecnica bootstrap torna validas as inferencias para o ajuste dos dados de extracoes sucessivas com o uso do extrator N[H.sub.4]OAc. O resultado elevado da curvatura de efeito parametro para o extrator N[H.sub.4]OAc pode ter sido causado pelo comportamento dos dados que aparecem de forma linear (Figura 2). Nota-se que, embora o coeficiente de determinacao tenha sido em torno de 97% (Tabela 1), os dados amostrais nao apresentaram assintota (Figura 2a) e estabilizacao apos as 15 extracoes sucessivas como ocorreu com o ajuste dos dados obtidos com o uso dos demais extratores.

[FIGURA 1 OMITIR]

[FIGURA 2 OMITIR]

Os extratores DTPA e Mehlich I extrairam quase toda a fracao de Zn potencialmente disponivel na primeira extracao, (Figura 2a). Os resultados das extracoes sucessivas de Zn, obtidos por estes dois extratores, foram semelhantes com relacao as bandas de confianca para a resposta esperada. No entanto, a constante de estabilidade [C.sub.l], obtida com o ajuste do modelo aos dados das extracoes de Zn pelo extrator Mehlich I, foi mais elevada que pelo DTPA, ou seja, o extrator Mehlich I extrai tao rapido quanto o DPTA, no entanto, o primeiro extrai uma quantidade maior de Zn.

As bandas de confianca obtidas pelo ajuste dos dados provenientes das extracoes sucessivas com o uso de N[H.sub.4]OAc determinaram regioes muito amplas para as respostas esperadas (Figura 2a), indicando que uma possivel previsao da extracao de Zn por plantas teria resposta pouco confiavel.

Os intervalos de confianca marginais considerados individualmente apresentam confianca nominal de 95%; no entanto, simultaneamente, essa confianca nao e preservada pelo teste 't' (FERREIRA, 2008). As elipses de confianca (Figuras 2b e 3b) representam regiao de confianca conjunta de 95% para o par de parametros ([C.sub.l],k), ou seja, a cada 100 repeticoes do experimento, em 95 vezes, as elipses geradas conterao o verdadeiro valor do par de parametro ([C.sub.l], k).

Os resultados obtidos pelos extratores organicos foram semelhantes na quantidade extraida na 15a extracao, na velocidade de extracao (Tabela 1) e nas bandas de confianca (Figura 3a). As predicoes em longo prazo da provavel disponibilidade de zinco pela extracao com acidos organicos podem ser consideradas confiaveis, pois as bandas de confianca delimitam regioes pequenas.

O extrator MOAS tem a composicao mais proxima a da rizosfera de milho, conforme descrito por Koo et al. (2006) e e, neste trabalho, considerado o padrao para a extracao de zinco. Este extrator apresentou resultados semelhantes aos obtidos com uso dos extratores SOAS e acido latico, com relacao aos ajustes (Tabela 1) e as bandas de confianca. Esses extratores podem predizer a provavel disponibilidade do elemento Zn com semelhante eficiencia (Figura 3).

Como SOAS e uma simplificacao do extrator MOAS, e o acido latico e o mais simples dos tres, ao se escolher um, entre esses tres extratores, o latico e preferivel por ser mais facil de se preparar. Entre todos os extratores utilizados, o acido latico foi o que obteve o valor do parametro [C.sub.l] mais proximo do obtido com o uso do extrator MOAS.

[FIGURA 3 OMITIR]

Conclusao

O ajuste nao-linear realizado a partir dos dados da extracao sucessiva de zinco apresentou resultados inferenciais semelhantes para grupos de extratores (MOAS, SOAS, acido acetico e latico), permitindo, em estudos futuros, a utilizacao de um extrator escolhido por comodidade dentro dos grupos. Com excecao do extrator N[H.sub.4]OAc, o ajuste dos dados, obtidos pela extracao com os outros extratores, apresentou bandas de confianca estreitas, de forma que predicoes realizadas por esses extratores sao consideradas precisas no intervalo de um a quinze extracoes. A validacao dessas metodologias de extracoes sucessivas para predicao de extracao de zinco, entretanto, ainda precisa ser comprovada experimentalmente com o uso de plantas.

A metodologia da aproximacao linear, a tecnica bootstrap e as medidas de curvatura de Bates e Watts (1980) validam a precisao dos resultados inferenciais da extracao de Zn para todos os extratores, exceto para o extrator N[H.sub.4]OAc. No entanto, a metodologia bootstrap apresentou resultados similares aos da aproximacao linear, para todos os extratores, incluindo o N[H.sub.4]OAc.

DOI: 10.4025/actascitechnol.v32i2.5505

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Received on October 20, 2008.

Accepted on April 23, 2009.

License information: This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Edcarlos Miranda de Souza (1), Joel Augusto Muniz (2), Giuliano Marchi (3) * e Luiz Roberto Guimaraes Guilherme (4)

(1) Centro de Ciencias Exatas e Tecnologicas, Universidade Federal do Acre, Rio Branco, Acre, Brasil. (2) Departamento de Ciencias Exatas, Universidade Federal de Lavras, Lavras, Minas Gerais, Brasil. (3) Embrapa Cerrados, BR 020, km 18, Cx. Postal 08223, 73310-970, Planaltina, Distrito Federal, Brasil. (4) Departamento de Ciencia do Solo, Universidade Federal de Lavras, Lavras, Minas Gerais, Brasil. * Autor para correspondencia. E-mail: giuliano.marchi@cpac.embrapa.br
Tabela 1. Estimativas dos parametros [C.sub.1] e k baseadas na
inferencia por aproximacao linear, erro-padrao da estimativa
(E.P.E), valor de p para o teste t, intervalo de confianca (IC) de
95% para os parametros, estimativa do coeficiente de correlacao
entre as estimativas dos parametros e coeficiente de determinacao
([R.sup.2]) para a descricao de dados da extracao sucessiva de zinco de
um solo tratado com lodo de esgoto por diferentes extratores.

Extrator    Parametro   Estimativa   E.P.E.       Valor-P

Acetico     [C.sub.1]     26,95       0,21    < [2.10.sup.-16]
                k          0,37       0,01    < [2.10.sup.-16]

DTPA        [C.sub.1]     21,55       0,19    < [2.10.sup.-16]
                k          1,33       0,11       < 8.10-15

Latico      [C.sub.1]     34,92       0,39    < [2.10.sup.-16]
                k          0,48       0,03    < [2.10.sup.-16]

Mehlich I   [C.sub.1]     35,41       0,19    < [2.10.sup.-16]
                k          1,27       0,07    < [2.10.sup.-16]

MOAS        [C.sub.1]     31,94       0,30    < [2.10.sup.-16]
                k          0,45       0,02    < [2.10.sup.-16]

NH4OAc      [C.sub.1]     10,97       0,39    < [2.10.sup.-16]
                k          0,12       0,01    < [2.10.sup.-16]

SOAS        [C.sub.1]     32,27       0,33    < [2.10.sup.-16]
                k          0,46       0,02    < [2.10.sup.-16]

Extrator       IC(95%)      Correlacao   [R.sup.2]

Acetico     [26,51;27,37]     -0,41        0,97
             [0,34;0,39]

DTPA        [21,14;21,97]     -0,27        0,52
             [1,09;1,66]

Latico      [34,12;35,75]     -0,36        0,90
             [0,43;0,54]

Mehlich I   [35,02;35,79]     -0,27        0,81
             [1,14;1,41]

MOAS        [31,33;32,57]     -0,37        0,94
             [0,41;0,49]

NH4OAc      [10,23;11,90]     -0,67        0,97
             [0,10;0,14]

SOAS        [31,55;33,01]     -0,37        0,92
             [0,41;0,51]

Tabela 2. Medidas de curvatura quadratica media (RMS) para a
descricao da extracao sucessiva de zinco de um solo tratado com
lodo de esgoto por diferentes extratores (1).

Extrator    Curvatura intrinseca   Curvatura de efeito parametro

Acetico             0,03                        0,14
DTPA                0,09                        0,26
Latico              0,06                        0,20
Mehlich I           0,05                        0,14
MOAS                0,05                        0,17
NH4OAc              0,03                        0,92
SOAS                0,06                        0,19

(1) Valores calculados, segundo Bates e Watts (1980).

Tabela 3. Resultados das inferencias bootstrap: estimativas obtidas por
aproximacao linear (E.A.L.), media, vies, intervalo de confianca (IC)
de 95% para os parametros, estatistica [g.sub.1] para o teste de
assimetria e estatistica [g.sub.2] para o teste de excesso de curtose.

                       Media
Parametro   E.A.L.   bootstrap     Vies%

[C.sub.1]   10,97      10,97     0,04 (ns)
k            0,12      0,12      0,01 (ns)

                                         Excesso de
                            Assimetria     Curtose
Parametro     IC (95%)         (g1)      ([g.sub.2])

[C.sub.1]   [10,68;11,29]     0,11 *      0,08 (ns)
k            [0,11;0,13]    0,05 (ns)     0,03 (ns)

(ns) nao-significativo a 5%; * significativo a 5%.
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Title Annotation:texto en portugues
Author:Miranda de Souza, Edcarlos; Muniz, Joel Augusto; Marchi, Giuliano; Guimaraes Guilherme, Luiz Roberto
Publication:Acta Scientiarum Technology (UEM)
Date:Apr 1, 2010
Words:4728
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