Curvaturas: medidas e comparacao com modelos geometricos.

CURVATURES: MEASURES AND COMPARISON WITH GEOMETRIC MODELS

1 INTRODUCAO

A microestrutura de metais e formada por graos, ou seja, regioes tridimensionais solidas que possuem atomos com mesma orientacao cristalografica, separadas de seus vizinhos pelo contorno de grao.

Fazendo uma analise bidimensional do encontro de tres graos em uma liga considerada isotropica, o angulo de equilibrio entre eles deve ser igual a 120, como representado por a na Figura 1. Em tres dimensoes os angulos tetraedrais devem ser aproximadamente iguais a 109,47, como apresentado pela Figura 1, de acordo com a referencia 1.

As leis citadas acima sao conhecidas como as regras de Plateau, e uma rede cristalina esta em equilibrio quando respeita essas exigencias.

Na realidade, os graos de uma amostra se encontram num estado de equilibrio chamado metaestavel, isto e, estado de minima energia local para certas condicoes do processo, tais como temperatura e pressao. Para manter o balanco de energia e satisfazer as condicoes angulares de cerca de 120 e 109,47 as interfaces assumem uma forma curva.

A curvatura do contorno de grao e entao um parametro importante de uma microestrutura.

Os primeiros trabalhos em relacao a curvatura surgiram com a ideia de curvatura media da interface. Esses trabalhos reportaram metodos estereologicos por meio dos quais, a curvatura media da interface poderia ser obtida atraves de medidas realizadas em uma secao plana. Haroun e Budworth (2) usaram um metodo aproximado para medir a curvatura. Depois, Patterson e Liu (3) mediram a curvatura do contorno de grao em aluminio puro, e mais recentemente, Rios e Fonseca mediram em uma liga Al-1%massa Mn. (4) Esses trabalhos concentraram a curvatura do contorno de grao no contexto de ancoramento de particula. DeHoff e Liu(5) mediram a integral da curvatura para examinar a relacao entre o tamanho e a topologia do grao.

[FIGURA 1 OMITIR]

A estrutura cristalina pode ser analisada de tres pontos de vista distintos. Sendo assim, a curvatura pode ser expressa como: curvatura media do contorno de grao, [H.sub.c]; curvatura media do grao, [H.sub.g] e curvatura media das arestas do grao, [H.sub.a]. (6,7) Essas curvaturas podem ser calculadas atraves das Formulas 1, 2 e 3, apresentadas a seguir.

[H.sub.c] = 2[pi][T.sub.A]/[S.sub.v] (1)

Em que [T.sub.A] e o numero de pontos tangentes entre uma linha teste e um traco curvado do contorno de grao em uma secao por unidade de area. (3,6,7) SV e a area interfacial por unidade de volume de graos agregados.

[H.sub.g] = 2[pi][N.sub.A]/[S.sub.v] (2)

Em que [N.sub.A] e o numero de graos por unidade de area.

[H.sub.a] = 2[pi][P.sub.A]/[S.sub.v] (3)

Em que [P.sub.A] e o numero de pontos triplos por unidade de area.

E importante esclarecer que quando comparados os resultados presentes com os de outros autores, (3,5-7) deve-se considerar que nesse trabalho a curvatura media local, h, e definida como a soma das duas principais curvaturas, como sugerido por Taylor, (8) [k.sub.1] e [k.sub.2]. Portanto, as curvaturas medias acima sao multiplicadas por um fator 2 quando comparadas as de outros autores.

Rios e Fonseca, em trabalhos anteriores, deduziram modelos geometricos simples. (9-11) Esses modelos relacionam cada curvatura com o comprimento medio das interseccoes dos graos, [lambda], como apresentado abaixo:

[H.sub.c] = 2/3 [[lambda].sup.-1] (4)

[H.sub.g] = 8/3 [[lambda].sup.-1] (5)

[H.sub.a] = 2[[lambda].sup.-1] (6)

Esse trabalho tem como objetivo obter dados experimentais variados ao medir as tres curvaturas que descrevem a microestrutura em materiais com estrutura cubica de face centrada (liga Al-1%massa Mn) e em materiais com estrutura cubica de corpo centrado (aco eletrico de graos nao orientados, aco microligado ao niobio, aco livre de intersticiais, e ferro puro) com diferentes tipos de tratamento termico e compara-los a modelos geometricos apresentados nas Equacoes 4, 5 e 6.

2 MATERIAIS E METODOS

O comprimento medio das interseccoes dos graos e as curvaturas ([H.sub.c], [H.sub.g] e [H.sub.a]) foram medidos em uma variedade de policristais metalicos: i) Uma liga Al-1% massa Mn de alta pureza, com o total de impureza menor que 40 ppm; ii) Fe puro, com uma composicao (ppm em massa) de: 41 C; 940 Mn; 15 P; 20 S; 160 Si; 20 Al; 80 N; 10 Ti; 30 Cu; 100 Cr; 20 Mo; 10 Nb; 10 V; 4 B; e165 O; iii) Aco microligado ao Niobio, com uma composicao (% em massa) de: 0,09 C; 1,04 Mn; 0,07 Si; 0,018 P; 0,004 S; 0,004 N; 0,039 Al; e 0,036 Nb; iv) Aco eletrico com graos nao orientados, com uma composicao (% em massa) de: 0,004 C; 0,628 Mn; 0,58 Si; 0,097 P; 0,010 S; 0,017 Ni; 0,003 N; 0,20 Al; 0,009 Cu; e 0,02 Cr; e v) Aco livre de intersticiais (IF), com uma composicao (% em massa) de: 0,004 C; 0,162 Mn; 0,005 Si; 0,01 P; 0,004 S; 0,002 N; 0,03 Al; e 0,094 Ti.

Para a liga Al-1% massa Mn, apresentada em trabalhos anteriores (4,9-11), aqui o estudo e estendido atraves de medidas de amostras tratadas termicamente por 3.600s entre 490[grados]C e 610[grados]C em passos de 20[grados]C. Essas amostras sao chamadas "amostras isocronas" e nas legendas das Figuras na sequencia serao denominadas "Al-1% massa Mn (a)". Amostras tambem foram produzidas por tratamento isotermico a 610[grados]C, 615[grados]C, 625[grados]C e 650[grados]C por tempos variando de 3.600 s ate 86.400 s. Essas amostras foram chamadas "amostras isotermicas" e nas legendas das Figuras na sequencia serao denominadas "Al-l% massa Mn (b)". Amostras de Fe puro foram deformadas 80% por laminacao, e tratadas termicamente a 600[grados]C, 650[grados]C, 700[grados]C, 750[grados]C, 800[grados]C e 850[grados]C por 1.800s. As amostras de aco microligado ao Nb, aco eletrico e aco IF foram recebidas depois de diversas condicoes de processamento desses materiais.

O comprimento medio das interseccoes dos graos, [lambda], e a area do contorno de grao por unidade de volume, [S.sub.v], foram medidos por tecnicas metalograficas padrao. (12) A integral da curvatura do contorno de grao foi medida usando o metodo da tangente de DeHoff. (7,12) Foi medido o numero de pontos tangentes entre uma linha teste e um traco curvado do contorno de grao em uma secao por unidade de area ([T.sub.A]), assim como [N.sub.A] e [P.sub.A]. (12) Descricao detalhada dos procedimentos usados para as medidas podem ser encontrados nos capitulos 4 e 5 do livro de Russ e DeHoff. (12)

3 RESULTADOS E DISCUSSAO

Sao apresentadas nas Figuras 2, 3 e 4, as comparacoes entre resultados obtidos das medidas de curvatura media do contorno do grao [H.sub.c], curvatura media do grao [H.sub.g] e curvatura media das arestas do grao Ha, todos em funcao do inverso do comprimento medio dos interceptos, [lambda]-1. Usando escala logaritmica. Os erros experimentais sao apresentados como barras de erros nas Figuras 2, 3 e 4.

A Figura 2, [H.sub.c] x [lambda]-1, compara a Equacao 4 com os dados experimentais. As medidas experimentais de curvatura realizadas em aluminio puro por Patterson e Liu sao tambem incluidas. O coeficiente de correlacao, R, e igual a 0,856. O coeficiente de correlacao encontrado e razoavel e reflete a dispersao dos dados.

A Figura 3, [H.sub.g] x [[lambda].sup.-1], compara a Equacao 5 com os dados experimentais. O coeficiente de correlacao do modelo e 0,964. Esse coeficiente de correlacao e significantemente maior que o obtido na Figura de [H.sub.c] x [[lambda].sup.-1]. Uma inspecao visual das Figuras 2 e 3 confirma, uma melhor concordancia dos dados na Figura 3 com a Equacao 5 que o obtido na Figura 2.

[FIGURA 2 OMITIR]

[FIGURA 3 OMITIR]

[FIGURA 4 OMITIR]

A Figura 4, [H.sub.a] x [[lambda].sup.-1], compara a Equacao 6 com os dados experimentais. O coeficiente de correlacao do modelo e 0,95. Novamente, o coeficiente de correlacao e significantemente maior que o obtido na Figura de [H.sub.c] x [[lambda].sup-1], e comparavel ao obtido na Figura de [H.sub.8] x [[lambda].sup.-1]. Uma inspecao visual das Figuras 2, 3 e 4 confirma uma melhor concordancia dos dados na Figura 4 com a Equacao 6 que o obtido na Figura 2 e uma concordancia equivalente a apresentada na Figura 3.

Finalmente, observa-se que a concordancia entre os modelos e os dados e melhor para a curvatura media dos graos e curvatura media das arestas dos graos, Figuras 3 e 4, em relacao a curvatura media dos contornos de grao (Figura 2). Isto pode significar que a curvatura media dos contornos de grao, Hc, e mais sensivel a caracteristicas especificas de agregados policristalinos, como a distribuicao do tamanho de grao ou textura, comparada as curvaturas medias dos graos, [H.sub.g], e das arestas dos graos, [H.sub.a]. Como a curvatura media dos contornos de grao e particularmente importante para o crescimento de grao, esse ponto permanece com um grande interesse.

Em resumo, pode-se dizer que os dados experimentais tem uma boa concordancia com os modelos geometricos.

A razao pelas quais as medidas de diversos materiais possuirem uma boa concordancia com os modelos de Rios e Fonseca e discutido com referencia aos requerimentos topologicos comuns que a rede policristalina esta sujeita.

E claro que uma estrutura policristalina nao e apenas um agregado de poliedros. As energias dos contornos de grao ou tensoes superficiais impoem certos requerimentos topologicos na rede de poliedros. Essas condicoes de rede devem ser satisfeitas por todos os poliedros que a formam.

Na introducao foram descritas as regras de Plateau, que sao demasiadamente restritivas, pois essas regras sao aplicadas em materiais isotropicos. Em um policristal metalico real, pode-se ter anisotropia. Portanto, nem todas as interfaces podem exibir exatamente a mesma energia livre interfacial por unidade de area, e assim os angulos de equilibrio podem se afastar dos angulos ideais de Plateau.

Especificamente, mesmo que um policristal nao cumprir exatamente as regras demasiadamente restritivas de Plateau, ainda assim, cada policristal deve obedecer a condicoes restritivas de topologia. Essas condicoes impoem que no encontro de tres faces, o angulo diedral medio seja de 120, e que, no encontro de quatro linhas triplas, o angulo tetraedral medio seja de 109,47. Essas restricoes topologicas foram primeiramente mencionadas por DeHoff (13) e generalizadas por Glicksman. (14)

Os fortes requerimentos topologicos que o policristal esta sujeito pode ser a razao do comportamento similar demonstrado nas Figuras 2, 3 e 4. Em outras palavras, a boa concordancia de diversos materiais policristalinos com os modelos pode ser consequencia dos requerimentos topologicos na rede policristalina.

4 CONCLUSOES

Modelos geometricos relacionando a curvatura media do grao, [H.sub.g], da aresta do grao, [H.sub.a], e dos contornos de grao, [H.sub.c], com o comprimento medio das interseccoes de policristais apresentaram uma boa concordancia com dados abrangendo duas ordens de magnitude para uma variedade de policristais metalicos. Essa concordancia pode ser uma consequencia de requerimentos topologicos das redes policristalinas.

Agradecimentos

Esse trabalho teve o suporte da Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro, FAPERJ, do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico, CNPq e da Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior, CAPES. O primeiro autor agradece o Departamento de Matematica e Computacao (DEMAC) da Faculdade de Tecnologia (FAT) da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ), onde esteve trabalhando no periodo dessa publicacao como Professor Visitante. Agradecimento especial aos professores do DEMAC pelo apoio e confianca.

Recebido em: 30/07/2008

Aceito em: 18/02/2009

Proveniente de: CONGRESSO ANUAL DA ABM--INTERNACIONAL, 62., 2007, Vitoria, ES. Sao Paulo: ABM, 2007.

REFERENCIAS

(1) AUGUSTO, F.P.M. Medida das curvaturas do grao em metais. 2006. 111 p. Dissertacao (Mestrado em Engenharia Metalurgica)--Universidade Federal Fluminense, Volta Redonda, 2006.

(2) HAROUN, N.A.; BUDWORTH, D.W. Modifications to the Zener formula for limitation of grain size. Journal of Materials Science, v. 3, n. 3, p. 326-8, May 1968.

(3) PATTERSON, B.R.; LIU, Y. Relationship between grain boundary curvature and grain size. Metallurgical Transactions, v. 23A, n. 9, p. 2481-2, Sept. 1992.

(4) RIOS, P.R.; FONSECA, G.S. Grain boundary curvature and particle pinning in an Al-1mass%Mn alloy. Scripta Materialia, v. 50, n. 11, p. 1373-7, June 2004.

(5) DEHOFF, R.T.; LIU, G.Q. On the relation between grain size and grain topology. Metallurgical Transactions, v. 16A, n. 11, p. 2007-11, Nov. 1985.

(6) CANH, J.W. The Significance of Average mean curvature and its determination by quantitative metallography. Transactions of the Metallurgical Society of American Institute of Mining and Engineers, v. 239, n. 5, p. 610-6, May 1967.

(7) DEHOFF, R.T. The Quantitative estimation of mean surface curvature. Transactions of the Metallurgical Society of American Institute of Mining and Engineers, v. 239, n. 5, p. 617-21, May 1967.

(8) TAYLOR, J.E. II--Mean curvature and weighted mean curvature. Acta Metallurgica et Materialia, v. 40, n. 7, p. 1475-85, July 1992.

(9) RIOS, P.R.; FONSECA, G.S. Geometrical models for grain, grain boundary and grain edge average curvature in an Al-1 mass%Mn alloy. Scripta Materialia, v. 52, n. 9, p.893 -7, May 2005.

(10) RIOS, P.R.; FONSECA, G.S. Grain boundary pinning by Al6Mn precipitates in an Al-1wt%Mn alloy. Scripta Materialia, v. 50, n. 1, p. 71-5, Jan. 2004.

(11) FONSECA, G.S.; RIOS, P.R. Estudo geral das curvaturas dos graos e apresentacao de modelos geometricos. In: CONGRESSO ANUAL DA ABM--INTERNACIONAL, 60., 2005, Belo Horizonte. Anais ... Sao Paulo: ABM, 2005. 1 CD

(12) RUSS, J.C.; DEHOFF, R.T. Practical stereology. 2. ed. New York: Kluwer Academic, 2000.

(13) DEHOFF, R.T. The spherical image concept applied to grain structures. Acta Metallurgica et Materialia, v. 42, n. 8, p. 2633-43, Aug 1994

(14) GLICKSMAN, M.E. Analysis of 3-D network structures. Philosophical Magazine, v. 85, n. 1, p. 3-31, Jan. 2005.

Glaucio Soares da Fonseca [1] Fabiana Pinto Miguel Augusto [2] Paulo Rangel Rios [3]

[1] Engenheiro Quimico, Mestre e Doutor em Engenharia Metalurgica, Professor Adjunto na Escola de Engenharia Industrial Metalurgica de Volta Redonda (EEIMVR) da Universidade Federal Fluminense (UFF). Av. dos Trabalhadores, 420-27255-250--Volta Redonda, RJ, Brasil. [e-mail]

[2] Engenheira de Producao, Mestre em Engenharia Metalurgica pela Universidade Federal Fluminense (UFF). Av. dos Trabalhadores, 420-27255-250--Volta Redonda, RJ, Brasil. [e-mail].

[3] Engenheiro Metalurgico, Mestre em Engenharia Metalurgica, Ph. D em Engenharia Metalurgica e de Materiais, Professor Titular na Escola de Engenharia Industrial Metalurgica de Volta Redonda (EEIMVR) da Universidade Federal Fluminense (UFF). Av. dos Trabalhadores, 420-27255-250--Volta Redonda, RJ, Brasil. [e-mail]